線性代數 線性方程 第四 線性方程組解的一般理線性代 第二章線性方程 第1節Gauss消元n

a21

a22as2

a2nxnasnxn

第一消元線性代 第二章線性方程 第1節Gauss消元例1 2x2 x2 7x2例2

3x25x3

9x

10x

2x3例3

5x3

6x2

5x3線性代 第二章線性方程 第1節Gauss消元出現式，可得如下一般形式：

x

2

(r x cx 0

dr（其中

為階梯形方程組中方程式的個數。線性代 第二章線性方程 第1節Gauss消元

dr1

（2）dr

0且r

xcx...cx x... x

2 x

1D 線性代 第二章線性方程 第1節Gauss消元（3）dr

n（1）組，將化出的階梯形方程組的每一個方程中含xr1 ,xn

x

c

c1,r1xr

2

2,r r 2 x

r r r

r1,r r

r

cr,r1xr

crn從而求得方程組的一般解：

ex（

1,r

r r

X

frer,r1xr

ernxn 線性代 第二章線性方程 第1節Gauss消元

k線性代 第二章線性方程 第1節Gauss消元

... bA

2

2...

as

bs方程組（1）

...a1n2A2

aa

as

aasna線性代 第二章線性方程 第1節Gauss消元定m

mn個數，排成m

A

a1na2n

...aa

am

amn兩個

矩陣A(aij)mn

時，稱矩陣A線性代 第二章線性方程 第1節Gauss消元將矩陣一行的

線性代 第二章線性方程 第1節Gauss消元a11A

s則：dr1

dr1

r

dr1

r

x5x 26x3x

（書P34例

2x3線性代 第二章線性方程 第1節Gauss消元

a21

a22as2

a2nxnasnxn

顯然dr1

且當r

r

線性代 第二章線性方程 第1節Gauss消元定理齊次線性方程組（2）中，若方程個數定理

小于n定理定理

a21

a22an2

a2n ann D0第二n維向線性代 第二章線性方程 第2節n維向一、定義維向量及其一、定義設a1a2

n個數，由這

(a1a2an

稱為n維向量，記作

a1,a2,,an 數a1a2

n

(a1,a2,...,an),

當

bi

時，稱它們相等，記作 定義

(a1,a2,...,an),

向量之和 為a1b1,a2b2,...,

bn（2）a1a2an

k為一數，定義數k kka1ka2kan線性代 第二章線性方程 第2節n維向（1）

)

分量均為零的n維向量(0,0,…,0)稱為n

，對于任意n維向 有

O

a1,a2,...,an

a1,a2,...,an

()

k

(k

l線性代 第二章線性方程 第2節n維向

(并有0O若kOk

或 定義定義

維向量組成的集合記作

RnRn為n定義1,2,...,s為一個向量組，k1k2ks定義

個數

kss

1,2,...,s的一個線

k1,k2,...,

線性代 第二章線性方程 第2節n維向定義向量若能夠表示成向量定義

1,2

k1k2ks

...kss可由向量組1,2

線性表出，或稱

1,2

定理定理

可由向量組1,2

1,2

為系數列向量，線性代 第二章線性方程 第2節n維向例1：一個n12

n稱為

本向量組，試證任一n維向量

a1,a2,...,an能夠由 出表達式。（書P40例例2

1,2,...,s

中任一向量i

可由這組向量線性表出。（書P40例

1is1isi線性代 第二章線性方程 第2節n維向例3

可由向量組1,2

i

1,2s可由向量組12t

量

1,2,...,

線性代 第二章線性方程 第2節n維向二、向量的相關定義 一個向量組, ,(s1)，如果存定義 ,k1k,

k11k22...

kss 就稱向量組1,2 線性相關。若向量組1,2,...,s線性相關，就稱1,2

若向量組是由一個向量組成的，由定義：一個向量線性O定義6設定義6

...kss

存在不全為零的k1k2

1,2

只有

...

0時（1）1,2

線性代 第二章線性方程 第2節n維向定理s個定理

ia1i,a2i,...,ani

1,2

axax...ax

a21an1

a22an2

a2sxsans

推論推論

1,2

推論任意s個n維向量，當s>n時，都是線性相關推論特別的n1個

線性代 第二章線性方程 第2節n維向推論n推論

(a11,a21,...,an1 ,n

(a1n,a2n,...,ann

an

a2 推論推論為n

在n

Rn線性代 第二章線性方程 第2節n維向推論推論12

a11,a21,...,an1(a12,a22,...,an2s

(a1s,a2s,...,ans

r個分'

,

nr,12 2

,

nr,2's

,a2

nr,s線性代 第二章線性方程 第2節n維向例4

1,2

1

22,

也線性無關 （書P44例線性代 第二章線性方程 第2節n維向定理向量組1,,s定理

推論向量組1,,推論

推論推論線性代 第二章線性方程 第2節n維向例 若一個向量組中包含零向量，則這個向量組線性相關線性代 第二章線性方程 第2節n維向 中向量線性相關性的幾何意義1,2線性相關兩個三維向1,2線性無

11

三個三維向1,2三個三維向量1,2

線性相關1,2,3線性無關1,2,3定理41,2,,s

線性無關，而1,2,,s

關，則可由1,2,,s

線性代 第二章線性方程 第2節n維向定義定義

1,,s

量1,1,t

1,,s

若向量組1,,s可由1,t線性表出，而向量組1,t又可由1,,s

線性代 第二章線性方程 第2節n維向定理定理

1,,s

1,

s

，則1,,s

推論推論

1,,s

1,,

1,,s線性無關

s 推論推論線性代 第二章線性方程 第2節n維向三、向量組的定義定義ii111

iri

為向量組1,,s

1,,s中任一向量都可表為

iri

對于

1,,s

線性代 第二章線性方程 第2節n維向關于極大線性無關組有如下結論線性代 第二章線性方程 第2節n維向定義定義3）若向量組1,,sr1,,s

與向量組1,r1,,t

若向量組1,,sr1,,s

r1,,t

1,,

線性代 第二章線性方程 第2節n維向例 若一個向量組的秩為

r個,s ,s

, ,可由向量組

,（C）

rsrsrsr

（2003年考研數學一試題，4分線性代 第二章線性方程 第2節n維向四、n維向量空間Rn的維數、基底在n維向量空間Rn中，線性無關向量的最大個數為n任意n1個

最大個數稱為該線性空間的維數。因而我們稱Rn的維數為而Rn中任意n個線性無關的向量（按一定次序排列）為Rn一組基底，簡稱基設n維向 線性無關，則它為

，由于e1e2,

必線性相關，則一定能 線性表出，且表達式唯一，即

kn

稱為向量在 的坐標向量，T稱坐標T線性代 第二章線性方程 第2節n維向例 在R3中設

001,

011,

11

為R3的一組基，并求（31-4）的坐標。（書P50例例 在Rn1）求2）求（書P50例

an在 的坐標an在 的坐標第三矩陣的線性代 第二章線性方程 第3節矩陣的一、矩陣秩的概

a1nm

矩陣A aa

am

amn中任選

行、

列，位于這些行列交點處的k2原來的次序構成一個k階行列式，稱之為矩陣A的k子式（或稱k階子行列式），kminmn定義1若矩陣

r1階子式（如果有的話）ArrArA

m

矩陣，則rA

minmn線性代 第二章線性方程 第3節矩陣的例 試求下列矩陣的 0 1 21 21123 A 202 3003線性代 第二章線性方程 第3節矩陣的二、矩陣秩的計

a1n

0 a2

0i

,rA 0 arn0 0A有一個

階子式Dr

A所有的r1

階子式均為0，故rA 線性代 第二章線性方程 第3節矩陣的定理定理23111例 設矩

A

6 0391 203 3求：Ar(

。（書P54線性代 第二章線性方程 第3節矩陣的三、矩陣的秩與向量組秩的關一個sn

A

a1naa

as

asnn元有序數組，它可視為n

a1n

as

asn，

1,2,,s

為矩陣A的行向量組

a11

a1n

aa

,,

a a s1

sn稱1,2,,n為矩陣A的列向量組線性代 第二章線性方程 第3節矩陣的定理定理推論推論推論將矩陣推論

B

A的列向量

B的列向量組對應的部分組有相同的 組。=(-1402),=(5130),=(324=(-29-54),=(17-1（書P55第四線性方程組解的一般理線性代 第二章線性方程 第4節線性方程組解的一般理一、線性方程組定理定理與增廣矩陣A秩相同（即r

r ）

A

a2

2b2 b s s的列向量組設為1,2,,n,

xx x 定理向量1定理

r1,2,,n

r1,2,,n,線性代 第二章線性方程 第4節線性方程組解的一般理由矩陣秩的定義可 消元法，將線性方程組化階梯形方程組，左邊不為零的方程個數

矩陣A的秩，即

rA。而dr1

即rA 消元法的結論可寫為1、n元線性方程組（1）無解

r 2、n元線性方程組（1）解唯一

rA 3、n元線性方程組（1）有無窮多組

rA 特別地對于齊次方程組有如下結論（A為系數矩陣1、n元齊次線性方程組只有全零解

r 2、n元齊次線性方程組有非零

r 線性代 第二章線性方程 第4節線性方程組解的一般理二、線性方程組解的性

as2

a1nxnasnxn

線性代 第二章線性方程 第4節線性方程組解的一般理性質設X性質

x1,x1,,x1

及X

x2,x2,,x2

kX1

X

x1

x2,,

x1

x2 性質X性質

x1,x1,,x1T,X2x2,x2,,x2

X

X2

性質 X性質

x1,x1,,x1

X

x0x0,x0T為導出組(2)的解，則X1

X0 線性代 第二章線性方程 第4節線性方程組解的一般理例 設X1

X2,

為線性方程組（1）問：1、導出組（2）2

X2,

2X3

3X2,

是方程組（111組（2）線性代 第二章線性方程 第4節線性方程組解的一般