專題04橢圓方程及其應(yīng)用類型一橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)、為橢圓的兩個焦點，直線過交橢圓于A、B兩點，則△的周長是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】由橢圓的定義可知，，則△的周長為，故選：.2．（2022·廣東·廣州市番禺區(qū)實驗中學(xué)高二期中）已知，是橢圓的兩個焦點，點M在C上，則的最大值為（

）．A．13 B．12 C．25 D．16【答案】C【解析】由橢圓方程知：；根據(jù)橢圓定義知：，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最大值為.故選：C.3．（2022·安徽滁州·高二期中）已知橢圓的焦點為、，P為橢圓上的一點，若，則的面積為（

）A．3 B．9 C． D．【答案】C【解析】根據(jù)橢圓的定義有，①根據(jù)余弦定理得，②結(jié)合①②解得，所以的面積．故選:C類型二橢圓的簡單幾何性質(zhì)4．（2022·安徽·南陵中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點分別為、，為橢圓上的一點（不在軸上），則△面積的最大值是（

）A．15 B．12 C．6 D．3【答案】B【解析】由三角形面積公式可知，當(dāng)最大時有最大值，即點位于橢圓上頂點或下頂點，其中，則△面積的最大值是，故選：.5．（2022·廣東·鹽田高中高二期中）已知橢圓，其左右焦點分別為，其離心率為，點P為該橢圓上一點，且滿足，已知的內(nèi)切圓的面積為，則該橢圓的長軸長為（

）A．2 B．4 C．6 D．12【答案】D【解析】由，得，即.設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則因為的內(nèi)切圓的面積為，所以，解得（負(fù)舍），在中，根據(jù)橢圓的定義及焦點三角形的面積公式，知，即，由，聯(lián)立，得，所以該橢圓的長軸長為.故選：D.6．（2022·四川·攀枝花市第三高級中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知是橢圓上的動點，且與的四個頂點不重合，，分別是橢圓的左、右焦點，若點在的平分線上，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，直線與直線相交于點N，由于PM是的平分線，且，即PM⊥，所以三角形是等腰三角形，所以，點M為中點，因為O為的中點，所以O(shè)M是三角形的中位線，所以，其中，因為P與的四個頂點不重合，設(shè)，則，則，所以，又，所以，∴的取值范圍是.故選：D.類型三橢圓離心率問題7．（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室高二期中（文））已知橢圓的左、右焦點分別為，，過坐標(biāo)原點的直線交E于P，Q兩點，且，，，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為過坐標(biāo)原點的直線交E于P，Q兩點，根據(jù)橢圓的對稱性，可知四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，則，因為，所以，則，設(shè)，則，又，所以，即，解得，則，因為，即，所以，所以，故選：B8．（2022·湖南·長沙一中高二階段練習(xí)）兩個長軸在x軸上、中心在坐標(biāo)原點且離心率相同的橢圓.若A，B分別為外層橢圓的左頂點和上頂點，分別向內(nèi)層橢圓作切線AC，BD，切點分別為C，D，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：設(shè)內(nèi)橢圓方程為，外橢圓為，切線的方程為，聯(lián)立消去可得：，因為直線為橢圓的切線，所以，化簡可得：，設(shè)直線的方程為：，同理可得，因為兩切線斜率之積等于，所以，所以橢圓的離心率為.故選：B.法二；設(shè)內(nèi)層橢圓：，外層橢圓：.設(shè)切點，，，，切線：，切線：，∴①，②，又∵，即，即，即，∴，同理，∴，∴，將，代入橢圓中得：，經(jīng)分析得：，由①②可知，∴，∴，∴.故選：B.9．（2022·四川·閬中中學(xué)高二期中）已知，是橢圓：的左右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點，，因為，所以，即，結(jié)合可得，所以.故選：B.10．（2022·江西贛州·高二期中）已知橢圓，P是橢圓C上的點，是橢圓C的左右焦點，若恒成立，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，在橢圓上，，，兩邊都乘以化簡后得：，，，又因為橢圓離心率，.故選：A.

考點二橢圓綜合問題類型一：齊次化解決定點定值問題1已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.【答案】(1).(2)證明見解析.解題方法一：試題解析：（1）由于，兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點.又由知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上.因此，解得.故C的方程為.（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）.則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：（）.將代入得由題設(shè)可知.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時，，欲使l：，即，所以l過定點（2，）解題方法二：齊次化處理：類型二：常規(guī)韋達(dá)定理解決橢圓問題3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F，且橢圓過點、，過點F的直線l與橢圓交于P、Q兩點（點P在x軸的上方）.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求點P的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線AP、BQ的斜率分別為、，是否存在常數(shù)，使得?若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【分析】（1）因為橢圓過點、，則有，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，.由（1）知，.因為，則有，即，所以解得即.分別將、兩點的坐標(biāo)代入得解得（舍）或所以所求點的坐標(biāo)為.（3）設(shè)存在常數(shù)，使得.由題意可設(shè)直線的方程為，點，，則.又因為，即，即，所以即（*）又由得，，且，.代入（*）得即，所以存在常數(shù)，使得.4．已知橢圓的短軸長是2，且離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）已知，若直線與橢圓E相交于A，B兩點，線段AB的中點為M，是否存在常數(shù)，使恒成立，并說明理由．【答案】（1）；（2）存在，理由見解析.【分析】（1）因橢圓的短軸長是2，則，而離心率，解得，所以橢圓方程為.（2）存在常數(shù)，使恒成立，

由消去y并整理得：，設(shè)，，則，，又，，，則有，而線段AB的中點為M，于是得，并且有所以存在常數(shù)，使恒成立.圍.類型三：中點弦問題5．已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M，N在橢圓C上.(1)若線段MN的中點坐標(biāo)為，求直線MN的斜率；(2)若M，N，O三點共線，直線NF1與橢圓C交于N，P兩點，求△PMN面積的最大值.【答案】(1)(2)【解析】設(shè)，則，兩式相減，可得，則，解得，即直線MN的斜率為；(2)顯然直線NF1的斜率不為0，設(shè)直線NF1：，，聯(lián)立，消去x整理得，顯然，故，故△PMN的面積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故△PMN面積的最大值為.6．已知橢圓方程，直線與軸相交于點，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點．（1）若過點的直線與垂直，且與直線交于點，線段中點為，求證：．（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，直線與直線交于點，試問是否垂直，若是，寫出證明過程，若不是，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）是垂直；證明見解析．【解析】（1）由橢圓方程為知，右焦點坐標(biāo)，直線方程為，點坐標(biāo)．由知，直線斜率不為0，故設(shè)直線的方程為，從而，直線的方程為，令得，點坐標(biāo)為，故直線的方程來，聯(lián)立方程組，消去得：，設(shè)，，即，，從而，線段的中點，，綜上可知，．（2）（ⅰ）當(dāng)直線的斜率為0時，點即為點，從而．（ⅱ）當(dāng)直線的斜率不為0時，由（1）知，，，所以，則，直線的方程為，又，令，得，所以點的坐標(biāo)為，即．類型四：最，定值以及參數(shù)取值范圍問題7設(shè)點M和N分別是橢圓上下不同的兩點，線段MN最長為4，橢圓的離心率.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線MN過點，且，線段MN的中點為P，求直線OP的斜率的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】由題意可得，解得，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）由題意知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)其方程為，由，得，由，得，設(shè)，則，所以，因為，所以，得，所以，設(shè)直線的斜率為，因為，所以，化簡得，所以，所以，解得或，所以直線OP的斜率的取值范圍為一、單選題1．（2022·江西省定南中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知橢圓C：的左?右焦點分別是?，過的直線l與C交于A，B兩點，設(shè)O為坐標(biāo)原點，若，則四邊形面積的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由已知得若，故四邊形AOBE是平行四邊形，其面積是△OAB面積的兩倍，下面先求△OAB的面積的最大值.由橢圓的方程的橢圓的右焦點坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線AB的方程為,代入橢圓方程中并整理得：,，令,,當(dāng),即k=0,也就是直線AB與x軸垂直時面積取得最大值為，∴四邊形AOBE的面積最大值為.故選：B.2．（2022·北京·人大附中高二期末）已知橢圓的左、右焦點分別為，若C上存在一點P，使得，且內(nèi)切圓的半徑大于，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，內(nèi)切圓的半徑為r．因為，所以，則．由等面積法可得，整理得，又故．又，所以則，從而．故選：C3．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高二期末）如圖，、分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的點，是線段上靠近的三等分點，為正三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D由橢圓的定義知，，則，因為為正三角形，所以，．在中，由余弦定理得，則，，故選：D．4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左，右焦點分別為，，過左焦點作直線與橢圓在第一象限交點為P，若為等腰三角形，則直線的斜率為A． B． C． D．【答案】A【解析】因為點在第一象限，所以，因為，所以，當(dāng)時，滿足，，所以，所以，所以直線的斜率為，當(dāng)時，，不符合題意.綜上所以直線的斜率為.故選：A二、多選題5．（2022·海南·嘉積中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)，為橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上.若為直角三角形，則下列說法正確的是（

）A．符合條件的M點有4個 B．M點的縱坐標(biāo)可以是C．的面積一定是 D．的周長一定是【答案】BD【解析】橢圓的長半軸長，焦點，，為直角三角形，以為直角頂點的直角有2個，以為直角頂點的直角有2個，顯然橢圓C的半焦距，短半軸長，，以線段為直徑的圓與橢圓C有4個公共點，以為直角頂點的直角有4個，因此，符合條件的M點有8個，A不正確；以為直角頂點時，設(shè)，由消去得：，即M點的縱坐標(biāo)為，B正確；由選項B知，以為直角頂點時，的面積，C不正確；由橢圓定義知，的周長為，D正確.故選：BD6．（2022·黑龍江·綏化市第九中學(xué)高二階段練習(xí)）一般地，我們把離心率的橢圓稱為“黃金橢圓”，則下列命題正確的有（

）A．若橢圓是黃金橢圓，則B．在中，，，點在以，為焦點的黃金橢圓上，則的周長為C．過黃金橢圓上的右焦點作垂直于長軸的垂線，交橢圓于、兩點，則D．設(shè)?是黃金橢圓的兩個焦點，則橢圓上滿足的點不存在【答案】BCD【解析】對于A，若焦點在軸上,則,解得.若焦點在軸上,則,解得，故A錯誤；對于B，易知,所以,所以,故B正確；對于C，將代人橢圓方程得,則,因為,所以，故C正確；對于D，設(shè),,則,與聯(lián)立,此方程組無實數(shù)解.因此橢圓上滿足的點不存在,故D正確.故選：BCD.7．（2022·遼寧·本溪市第二高級中學(xué)高二期末）設(shè)橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于兩點，現(xiàn)給出下述結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的是（

）A．B．的周長的取值范圍是（6，12）C．當(dāng)時，的面積為D．當(dāng)時，為直角三角形．【答案】ABD【解析】：由橢圓得，設(shè)橢圓的左焦點為，則，∴為定值，故A正確；的周長為，因為為定值6，∴的范圍是，∴的周長的范圍是，故B正確；當(dāng)時，將與橢圓方程聯(lián)立，解得，，則，所以的面積為，故C不正確；當(dāng)時，將與橢圓方程聯(lián)立，解得，，又因為，所以，所以為直角三角形，故D正確．故選：ABD.8．（2022·河北省唐縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知橢圓的左，右兩焦點分別是，，其中.直線與橢圓交于A，B兩點.則下列說法中正確的有（

）A．的周長為 B．當(dāng)時，若的中點為M，則C．若，則橢圓的離心率的取值范圍是 D．若，則橢圓的離心率【答案】CD【解析】對于A,當(dāng)k=0時,直線l:y=k(x+c)與橢圓的兩交點A,B與F2在一直線上，不能構(gòu)成三角形.故A錯誤；對于B,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),,可得由作差得:，則有.故B錯誤；對于C,,則有,可得：.故C正確；對于D,由,即，解得：（舍去）,所以.故D正確.故選:CD三、解答題9．（2022·北京市第十二中學(xué)高二期中）已知橢圓的左右頂點的坐標(biāo)分別為且橢圓E的離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點作直線l交橢圓E于P，Q兩點，且點P位于x軸上方，記直線的斜率分別為．①證明：；②設(shè)點Q關(guān)于x軸的對稱點為，求證直線過x軸上一個定點，并求面積的最大值．【答案】(1);(2)①證明見解析；②.【解析】(1)由題意知，，又，所以，所以，所以橢圓方程為；(2)①設(shè)直線的方程為，則，又，消得，得因此，故.②坐標(biāo)為，則直線方程為，令解得:，即直線恒過點，故，當(dāng)，即時，等號成立，此時面積最大值為．10．（2022·湖北恩施·高二期中）已知橢圓過點B（0，1），A為其左頂點，且直線AB的斜率為.(1)求E的方程；(2)不經(jīng)過B點的直線l與E相交于C，D兩點，若兩直線BC，BD的斜率之和為，求直線l所過的定點.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題意，直線AB為，即，故當(dāng)時，所以，橢圓過，則，所以橢圓E為.(2)設(shè)直線BC與直線BD的斜率分別為，.若直線l與x軸垂直，設(shè)直線，且，可得C，D分別為，，則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)直線.將代入得：.由題意.設(shè)，，則，.而.所以，即，解