2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數為虛數單位），則z的虛部為（）A．2 B． C．4 D．2．圓錐底面半徑為，高為，是一條母線，點是底面圓周上一點，則點到所在直線的距離的最大值是（）A． B． C． D．3．若雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為()A．2 B． C． D．4．函數在的圖像大致為A． B． C． D．5．已知數列為等差數列，且，則的值為（）A． B． C． D．6．定義運算，則函數的圖象是（）．A． B．C． D．7．設是等差數列，且公差不為零，其前項和為．則“，”是“為遞增數列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．某三棱錐的三視圖如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）A．B．C．D．10．已知拋物線上一點到焦點的距離為，分別為拋物線與圓上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．11．若復數（是虛數單位），則復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經過點，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，在區間上隨機取一個數，則使得≥0的概率為．14．的展開式中的常數項為______.15．已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點到這條漸近線的距離為_____．16．如圖，在等腰三角形中，已知，，分別是邊上的點，且,其中且，若線段的中點分別為，則的最小值是_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）[選修4-4：極坐標與參數方程]在直角坐標系中，曲線的參數方程為（是參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；（2）若射線與曲線交于，兩點，與曲線交于，兩點，求取最大值時的值18．（12分）已知函數，其中e為自然對數的底數.（1）討論函數的單調性；（2）用表示中較大者，記函數.若函數在上恰有2個零點，求實數a的取值范圍.19．（12分）已知函數，，（1）討論的單調性；（2）若在定義域內有且僅有一個零點，且此時恒成立，求實數m的取值范圍.20．（12分）若函數在處有極值，且，則稱為函數的“F點”.（1）設函數（）.①當時，求函數的極值；②若函數存在“F點”，求k的值；（2）已知函數（a，b，，）存在兩個不相等的“F點”，，且，求a的取值范圍.21．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的短軸長為，直線與橢圓相交于兩點，線段的中點為.當與連線的斜率為時，直線的傾斜角為（1）求橢圓的標準方程；（2）若是以為直徑的圓上的任意一點，求證：22．（10分）如圖，四棱錐中，側面為等腰直角三角形，平面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

對復數進行乘法運算，并計算得到，從而得到虛部為2.【詳解】因為，所以z的虛部為2.【點睛】本題考查復數的四則運算及虛部的概念，計算過程要注意.2、C【解析】分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉化求解的位置，推出結果即可.詳解：圓錐底面半徑為，高為2，是一條母線，點是底面圓周上一點，在底面的射影為；，，過的軸截面如圖：，過作于，則，在底面圓周，選擇，使得，則到的距離的最大值為3，故選：C點睛：本題考查空間點線面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力，解題的關鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題．3、C【解析】

利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關系.【詳解】由已知，雙曲線的漸近線方程為，故圓心到漸近線的距離等于1，即，所以，.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求法，求雙曲線離心率問題，關鍵是建立三者間的方程或不等關系，本題是一道基礎題.4、B【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數為奇函數，由的近似值即可得出結果．【詳解】設，則，所以是奇函數，圖象關于原點成中心對稱，排除選項C．又排除選項D；，排除選項A，故選B．【點睛】本題通過判斷函數的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．5、B【解析】

由等差數列的性質和已知可得，即可得到，代入由誘導公式計算可得．【詳解】解：由等差數列的性質可得，解得，，故選：B．【點睛】本題考查等差數列的下標和公式的應用，涉及三角函數求值，屬于基礎題．6、A【解析】

由已知新運算的意義就是取得中的最小值，因此函數，只有選項中的圖象符合要求，故選A.7、A【解析】

根據等差數列的前項和公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】是等差數列，且公差不為零，其前項和為，充分性：，則對任意的恒成立，則，，若，則數列為單調遞減數列，則必存在，使得當時，，則，不合乎題意；若，由且數列為單調遞增數列，則對任意的，，合乎題意.所以，“，”“為遞增數列”；必要性：設，當時，，此時，，但數列是遞增數列.所以，“，”“為遞增數列”.因此，“，”是“為遞增數列”的充分而不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合等差數列的前項和公式是解決本題的關鍵，屬于中等題．8、C【解析】

作出三棱錐的實物圖，然后補成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球，然后計算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示：將其補成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時要結合三視圖作出三棱錐的實物圖，并分析三棱錐的結構，選擇合適的模型進行計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.9、D【解析】

如圖所示：在邊長為的正方體中，四棱錐滿足條件，故，得到答案.【詳解】如圖所示：在邊長為的正方體中，四棱錐滿足條件.故，，.故，故，.故選：.【點睛】本題考查了三視圖，元素和集合的關系，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.10、D【解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點間距離公式求得，根據二次函數的性質，求得，由取得最小值為，求得結果.【詳解】由拋物線焦點在軸上，準線方程，則點到焦點的距離為，則，所以拋物線方程：，設，圓，圓心為，半徑為1，則，當時，取得最小值，最小值為，故選D.【點睛】該題考查的是有關距離的最小值問題，涉及到的知識點有拋物線的定義，點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數的最小值，屬于中檔題目.11、A【解析】

將整理成的形式，得到復數所對應的的點，從而可選出所在象限.【詳解】解：，所以所對應的點為在第一象限.故選:A.【點睛】本題考查了復數的乘法運算，考查了復數對應的坐標.易錯點是誤把當成進行計算.12、A【解析】

由已知可得，根據二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經過點，則，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數定義、二倍角公式，考查計算求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：可以得出，所以在區間上使的范圍為，所以使得≥0的概率為考點：本小題主要考查與長度有關的幾何概型的概率計算.點評：幾何概型適用于解決一切均勻分布的問題，包括“長度”、“角度”、“面積”、“體積”等，但要注意求概率時做比的上下“測度”要一致.14、160【解析】

先求的展開式中通項，令的指數為3即可求解結論.【詳解】解：因為的展開式的通項公式為：；令，可得；的展開式中的常數項為：.故答案為：160.【點睛】本題考查二項式系數的性質，關鍵是熟記二項展開式的通項，屬于基礎題．15、2.【解析】

由雙曲線的一條漸近線為，解得．求出雙曲線的右焦點，利用點到直線的距離公式求解即可．【詳解】雙曲線的一條漸近線為解得：雙曲線的右焦點為焦點到這條漸近線的距離為：本題正確結果：【點睛】本題考查了雙曲線和的標準方程及其性質，涉及到點到直線距離公式的考查，屬于基礎題．16、【解析】

根據條件及向量數量積運算求得,連接,由三角形中線的性質表示出.根據向量的線性運算及數量積公式表示出,結合二次函數性質即可求得最小值.【詳解】根據題意,連接,如下圖所示:在等腰三角形中,已知,則由向量數量積運算可知線段的中點分別為則由向量減法的線性運算可得所以因為,代入化簡可得因為所以當時,取得最小值因而故答案為:【點睛】本題考查了平面向量數量積的綜合應用,向量的線性運算及模的求法,二次函數最值的應用,屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)的極坐標方程為.曲線的直角坐標方程為.(2)【解析】

(1)先得到的一般方程，再由極坐標化直角坐標的公式得到一般方程，將代入得，得到曲線的直角坐標方程；（2）設點、的極坐標分別為，，將分別代入曲線、極坐標方程得：，，，之后進行化一，可得到最值，此時，可求解.【詳解】（1）由得，將代入得：，故曲線的極坐標方程為.由得，將代入得，故曲線的直角坐標方程為.（2）設點、的極坐標分別為，，將分別代入曲線、極坐標方程得：，，則，其中為銳角，且滿足，，當時，取最大值，此時，【點睛】這個題目考查了參數方程化為普通方程的方法，極坐標化為直角坐標的方法，以及極坐標中極徑的幾何意義，極徑代表的是曲線上的點到極點的距離，在參數方程和極坐標方程中，能表示距離的量一個是極徑，一個是t的幾何意義，其中極徑多數用于過極點的曲線，而t的應用更廣泛一些.18、（1）函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；（2）.【解析】

（1）由題可得,結合的范圍判斷的正負,即可求解；（2）結合導數及函數的零點的判定定理,分類討論進行求解【詳解】（1）,①當時,,∴函數在內單調遞增；②當時,令,解得或,當或時,,則單調遞增,當時,,則單調遞減,∴函數的單調遞增區間為和,單調遞減區間為（2）（Ⅰ）當時,所以在上無零點；（Ⅱ）當時,,①若,即,則是的一個零點；②若,即,則不是的零點（Ⅲ）當時,,所以此時只需考慮函數在上零點的情況,因為,所以①當時,在上單調遞增。又，所以（ⅰ）當時,在上無零點；（ⅱ）當時,,又,所以此時在上恰有一個零點；②當時,令,得,由,得；由,得,所以在上單調遞減,在上單調遞增,因為,,所以此時在上恰有一個零點,綜上,【點睛】本題考查利用導數求函數單調區間,考查利用導數處理零點個數問題,考查運算能力,考查分類討論思想19、（1）時，在上單調遞增，時，在上遞減，在上遞增．（2）．【解析】

（1）求出導函數，分類討論，由確定增區間，由確定減區間；（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得結論．【詳解】（1）函數定義域是，，當時，，單調遞增；時，令得，時，，遞減，時，，遞增，綜上所述，時，在上單調遞增，時，在上遞減，在上遞增．（2）易知，由函數單調性，若有唯一零點，則或．當時，，，從而只需時，恒成立，即，令，，在上遞減，在上遞增，∴，從而．時，，，令，由，知在遞減，在上遞增，，∴．綜上所述，的取值范圍是．【點睛】本題考查用導數研究函數的單調性，考查函數零點個數與不等式恒成立問題，解題關鍵在于轉化，不等式恒成立問題通常轉化為求函數的最值．這又可通過導數求解．20、（1）①極小值為1，無極大值.②實數k的值為1.（2）【解析】

（1）①將代入可得，求導討論函數單調性，即得極值；②設是函數的一個“F點”（），即是的零點，那么由導數可知，且，可得，根據可得，設，由的單調性可得，即得.（2）方法一：先求的導數，存在兩個不相等的“F點”，，可以由和韋達定理表示出，的關系，再由，可得的關系式，根據已知解即得.方法二：由函數存在不相等的兩個“F點”和，可知，是關于x的方程組的兩個相異實數根，由得，分兩種情況：是函數一個“F點”，不是函數一個“F點”，進行討論即得.【詳解】解：（1）①當時，（），則有（），令得，列表如下：x10極小值故函數在處取得極小值，極小值為1，無極大值.②設是函數的一個“F點”（）.（），是函數的零點.，由，得，，由，得，即.設，則，所以函數在上單調增，注意到，所以方程存在唯一實根1，所以，得，根據①知，時，是函數的極小值點，所以1是函數的“F點”.綜上，得實數k的值為1.（2）由（a，b，，），可得（）.又函數存在不相等的兩個“F點”和，，是關于x的方程（）的兩個相異實數根.又，，，即，從而，，即..，，解得.所以，實數a的取值范圍為.（2）（解法2）因為（a，b，，）所以（）.又因為函數存在不相等的兩個“F點”和，所以，是關于x的方程組的兩個相異實數根.由得，.（2.1）當是函數一個“F點”時，且.所以，即.又，所以，所以.又，所以.（2.2）當不是函數一個“F點”時，則，是關于x的方程的兩個相異實數根.又，所以得所以，得.所以，得.綜合（2.1）（2.2），實數a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數求函數極值，以及由函數的極值求參數值等，是一道關于函數導數