2023高考數學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝()．A． B． C． D．52．已知集合，則=（）A． B． C． D．3．集合，則（）A． B． C． D．4．若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．5．過直線上一點作圓的兩條切線，，，為切點，當直線，關于直線對稱時，（）A． B． C． D．6．已知平面向量，，，則實數x的值等于（）A．6 B．1 C． D．7．已知定義在上的函數的周期為4，當時，，則（）A． B． C． D．8．根據散點圖，對兩個具有非線性關系的相關變量x，y進行回歸分析，設u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到線性回歸方程為=0.5v+2，則變量y的最大值的估計值是（）A．e B．e2 C．ln2 D．2ln29．函數的圖象大致是（）A． B．C． D．10．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A． B．6 C． D．11．設，，則（）A． B．C． D．12．如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點，分別為線段和棱上任意一點，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數列的前項和為，且，則______.14．已知等比數列的前項和為，，且，則__________.15．如圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則的最小值為.16．（5分）國家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國青少年毒品預防教育數字化網絡平臺上開展2019年全國青少年禁毒知識答題活動，活動期間進入答題專區，點擊“開始答題”按鈕后，系統自動生成20道題.已知某校高二年級有甲、乙、丙、丁、戊五位同學在這次活動中答對的題數分別是，則這五位同學答對題數的方差是____________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為調研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯考中，參考的文科生與理科生人數之比為，且成績分布在的范圍內，規定分數在50以上（含50）的作文被評為“優秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構成以2為公比的等比數列.（1）求的值；（2）填寫下面列聯表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認為“獲得優秀作文”與“學生的文理科”有關？文科生理科生合計獲獎6不獲獎合計400（3）將上述調查所得的頻率視為概率，現從全市參考學生中，任意抽取2名學生，記“獲得優秀作文”的學生人數為，求的分布列及數學期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）己知點，分別是橢圓的上頂點和左焦點，若與圓相切于點，且點是線段靠近點的三等分點.求橢圓的標準方程；直線與橢圓只有一個公共點，且點在第二象限，過坐標原點且與垂直的直線與圓相交于，兩點，求面積的取值范圍.19．（12分）設橢圓E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點，O為坐標原點，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由．20．（12分）某藝術品公司欲生產一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內接圓錐組成，圓錐的側面用于藝術裝飾，如圖1.為了便于設計，可將該禮品看成是由圓及其內接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉180°而成，如圖2.已知圓的半徑為，設，圓錐的側面積為.（1）求關于的函數關系式；（2）為了達到最佳觀賞效果，要求圓錐的側面積最大.求取得最大值時腰的長度.21．（12分）已知函數有兩個極值點，.（1）求實數的取值范圍；（2）證明：.22．（10分）設橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）設圓上任意一點處的切線交橢圓于點，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【答案解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據復數相等的充要條件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，選C考點：復數的代數運算，復數相等的充要條件，復數的模2．D【答案解析】

先求出集合A，B，再求集合B的補集，然后求【題目詳解】，所以.故選：D【答案點睛】此題考查的是集合的并集、補集運算，屬于基礎題.3．D【答案解析】

利用交集的定義直接計算即可.【題目詳解】，故，故選：D.【答案點睛】本題考查集合的交運算，注意常見集合的符號表示，本題屬于基礎題.4．B【答案解析】

由題中垂直關系，可得漸近線的方程，結合，構造齊次關系即得解【題目詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直．∴雙曲線的漸近線方程為．，得．則離心率．故選：B【答案點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，考查了學生綜合分析，概念理解，數學運算的能力，屬于中檔題.5．C【答案解析】

判斷圓心與直線的關系，確定直線，關于直線對稱的充要條件是與直線垂直，從而等于到直線的距離，由切線性質求出，得，從而得．【題目詳解】如圖，設圓的圓心為，半徑為，點不在直線上，要滿足直線，關于直線對稱，則必垂直于直線，∴，設，則，，∴,．故選：C．【答案點睛】本題考查直線與圓的位置關系，考查直線的對稱性，解題關鍵是由圓的兩條切線關于直線對稱，得出與直線垂直，從而得就是圓心到直線的距離，這樣在直角三角形中可求得角．6．A【答案解析】

根據向量平行的坐標表示即可求解.【題目詳解】，，，，即，故選：A【答案點睛】本題主要考查了向量平行的坐標運算，屬于容易題.7．A【答案解析】

因為給出的解析式只適用于，所以利用周期性，將轉化為，再與一起代入解析式，利用對數恒等式和對數的運算性質，即可求得結果.【題目詳解】定義在上的函數的周期為4，當時，，，，.故選：A.【答案點睛】本題考查了利用函數的周期性求函數值，對數的運算性質，屬于中檔題.8．B【答案解析】

將u=lny，v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2，利用指數函數和二次函數的性質可得最大估計值.【題目詳解】解：將u=lny，v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得：，即，當時，取到最大值2，因為在上單調遞增，則取到最大值.故選：B.【答案點睛】本題考查了非線性相關的二次擬合問題，考查復合型指數函數的最值，是基礎題,.9．A【答案解析】

根據復合函數的單調性，同增異減以及采用排除法，可得結果.【題目詳解】當時，，由在遞增，所以在遞增又是增函數，所以在遞增，故排除B、C當時，若，則所以在遞減，而是增函數所以在遞減，所以A正確，D錯誤故選：A【答案點睛】本題考查具體函數的大致圖象的判斷，關鍵在于對復合函數單調性的理解，記住常用的結論：增+增=增，增-減=增，減+減=減，復合函數單調性同增異減，屬中檔題.10．D【答案解析】

根據幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據正方體和三棱錐的體積公式可求解.【題目詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D【答案點睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.11．D【答案解析】

由不等式的性質及換底公式即可得解.【題目詳解】解：因為，，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【答案點睛】本題考查了不等式的性質及換底公式，屬基礎題.12．D【答案解析】

取中點，過作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當時，最小，由，故，即可求解.【題目詳解】取中點，過作面，如圖：則，故，而對固定的點，當時，最小．此時由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【答案點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

根據等差數列的性質求得，結合等差數列前項和公式求得的值.【題目詳解】因為為等差數列，所以，解得，所以.故答案為：【答案點睛】本小題考查等差數列的性質，前項和公式的應用等基礎知識；考查運算求解能力，應用意識.14．【答案解析】

由題意知，繼而利用等比數列的前項和為的公式代入求值即可.【題目詳解】解：由題意知，所以.故答案為：.【答案點睛】本題考查了等比數列的通項公式和求和公式，屬于中檔題.15．.【答案解析】.16．2【答案解析】

由這五位同學答對的題數分別是，得該組數據的平均數，則方差．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），，.（2）填表見解析；在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認為“獲得優秀作文”與“學生的文理科”有關（3）詳見解析【答案解析】

（1）根據頻率分步直方圖和構成以2為公比的等比數列，即可得解；（2）由頻率分步直方圖算出相應的頻數即可填寫列聯表，再用的計算公式運算即可；（3）獲獎的概率為，隨機變量，再根據二項分布即可求出其分布列與期望.【題目詳解】解：（1）由頻率分布直方圖可知，，因為構成以2為公比的等比數列，所以，解得，所以，.故，，.（2）獲獎的人數為人，因為參考的文科生與理科生人數之比為，所以400人中文科生的數量為，理科生的數量為.由表可知，獲獎的文科生有6人，所以獲獎的理科生有人，不獲獎的文科生有人.于是可以得到列聯表如下：文科生理科生合計獲獎61420不獲獎74306380合計80320400所以在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認為“獲得優秀作文”與“學生的文理科”有關.（3）由（2）可知，獲獎的概率為，的可能取值為0，1，2，，，，分布列如下：012數學期望為.【答案點睛】本題考查頻率分布直方圖、統計案例和離散型隨機變量的分布列與期望，考查學生的閱讀理解能力和計算能力，屬于中檔題．18．;.【答案解析】

連接，由三角形相似得，，進而得出，，寫出橢圓的標準方程；由得，，因為直線與橢圓相切于點，，解得，，因為點在第二象限，所以，，所以，設直線與垂直交于點，則是點到直線的距離，設直線的方程為，則，求出面積的取值范圍.【題目詳解】解：連接，由可得，，，橢圓的標準方程；由得，，因為直線與橢圓相切于點，所以，即，解得，，即點的坐標為，因為點在第二象限，所以，，所以，所以點的坐標為，設直線與垂直交于點，則是點到直線的距離，設直線的方程為，則，當且僅當，即時，有最大值，所以，即面積的取值范圍為.【答案點睛】本題考查直線和橢圓位置關系的應用，利用基本不等式，屬于難題.19．（1）（2）【答案解析】試題分析：（1）因為橢圓E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即，要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上,存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且．考點：本題主要考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，圓與橢圓的位置關系．點評：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題，往往要利用韋達定理．存在性問題，往往從假設存在出發，運用題中條件探尋得到存在的是否條件具備．（2）小題解答中，集合韋達定理，應用平面向量知識證明了圓的存在性．20．（1），（2）側面積取得最大值時，等腰三角形的腰的長度為【答案解析】試題分析：（1）由條件，，，所以S，；（2）令，所以得，通過求導分析，得在時取得極大值，也是最大值．試題解析：（1）設交于點，過作，垂足為，在中，，，在中，，所以S，（2）要使側面積最大，由（1）得：令，所以得，由得：當時，，當時，所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以在時取得極大值，也是最大值；所以當時，側面積取得最大值，此時等腰三角形的腰長答：側面積取得最大值時，等腰三角形的腰的長度為．21．（1）（2）證明見解析【答案解析】

（1）先求得導函數，根據兩個極值點可知有兩個不等實根，構造函數，求得；討論和兩種情況，即可確定零點的情況，即可由零點的情況確定的取值范圍；（2）根據極值點定義可知，，代入不等式化簡變形后可知只需證明；構造函數，并求得，進而判斷的單調區間，由題意可知，并設，構造函數，并求得，即可判斷在內的單調性和最值，進而可得，即可由函數性質得，進而由單調性證明，即證明，從而證明原不等式成立.【題目詳解】（1）函數則，因為存在兩個極值點，，所以有兩個不等實根.設，所以.①當時，，所以在上單調遞增，至多有一個零點，不符合題意.②當時，令得，0減極小值增所以，即.又因為，，所以