化工傳遞過程基礎

主要參考教材

[1]陳濤，張國亮．化工傳遞過程基礎．北京：化學工業出版社，２００9

[2]王紹亭，陳濤．化工傳遞過程基礎．北京：化學工業出版社，1987

[3]王紹亭．化工傳遞過程．北京：化學工業出版社，1980

[4]王紹亭，陳濤．動量、熱量與質量傳遞．天津：天津科學技術出版社，1987

緒論一、化學工程學科的發展階段1、工藝過程考察階段單純的過程實踐考察，結論異業各殊，化工廠是由不同的化學反應和物理過程組成，代表作為1898年F.H.Thorpe“OutlineofChemistry”。2、單元操作認識階段以某些設備和過程組成的系統是相同（近）的，將相同的系統經分析、歸納和分類分成若干單元操作來考察生產過程，化工廠是由若干單元操作和化學反應過程組成的，結論異業有同。代表作為1923年Walker，Lewis“PrinciplesofChemicalEngineering”。

3、化工傳遞認識階段對單元操作研究的基礎上獲得共同實質為動、熱、質量傳遞過程，從理論上步入了異業相同。雖傳遞過程使用的定律與單元操作過程一樣但方法不同，內容上實踐—理論、理論—實踐和理論、實踐的統一，方法上采用宏觀—微觀、微觀—宏觀和宏觀、微觀的統一。代表作為1960年R.B.Bird“TransportPhenomena”，J.R.Welty，C.E.Wicks，R.E.Wilson“FundementalsofMomentum，HeatandTransfer”。4、信息化階段

二、化工傳遞過程課程的內容和任務

化工傳遞過程是據三個基本定律，采用微分衡算的方法研究動、熱、質量傳遞過程的基本原理，及三種傳遞現象之間的定量關系。其基本出發點是將三種傳遞現象歸結為過程速率問題加以探討。動、熱、質量傳遞過程和現象是不可分割，而且互相作用。學習本課程的任務是：①進一步理解各種傳遞過程的本質，啟發和指導我們改善各類傳遞過程的途徑；②為化工過程的開發和研究提供理論基礎和基本數學模型思路，從而將高新技術應用到化工生產中去。化工傳遞過程重點探討物理過程進行的速率及其傳遞機理，動量、熱量、質量傳遞過程的類似性。

第一章傳遞過程概述體系內部具有強度性質的物理量存在梯度時的狀態稱為不平衡狀態。任何處于不平衡狀態的物系都有向平衡狀態轉移的傾向，這些物理量朝平衡方向轉移的過程稱傳遞過程。質量傳遞指物系中的組分由高濃區向低濃區擴散或通過相界面的轉移；熱量傳遞指熱量由高溫區向低溫區的轉移；動量傳遞則是在垂直于流動方向上，動量由高速區向低速區的轉移。

傳遞方式：由微觀分子熱運動所產生的傳遞為分子傳遞；依靠宏觀的流體質點的運動造成的傳遞，稱為湍流傳遞。傳遞過程的大小常用傳遞速率或通量（傳遞量/m2s）描述。

第一節分子傳遞條件下傳遞通量的通用表達式一、質量通量式中：jA—A的質量通量，kg/（m2·s）；DAB—A的擴散系數，m2/s；

—A在y方向上的質量濃度梯度，

“－”表示質量通量的方向與濃度梯度的方向相反，即A朝著濃度降低的方向傳遞。質量通量=－質量擴散系數×質量濃度梯度二、熱量通量

式中：q——熱量通量，J/（m2·s）；α——熱量擴散系數，m2/s；

——在y方向上的熱量濃度梯度，。“－”表示熱量通量的方向與熱量濃度梯度的方向相反，即熱量朝著溫度降低的方向傳遞。熱量通量=－熱量擴散系數×熱量濃度梯度三、動量通量

式中：τ——動量通量（kg·m/s）/（m2·s）；ν——動量擴散系數，m2/s；

——在y方向上的動量濃度梯度，。

“－”表示動量通量的方向與動量濃度梯度的方向相反，即動量朝著速度降低的方向傳遞。動量通量=－動量擴散系數×動量濃度梯度四、動量通量與剪應力

兩層流體以ux1和

ux2向前運動，且分子運動引起分子在流層間交換。若質量為m的流體從1層跳到2層，動量由mux1增到

mux2，同時質量為m的流體從2層下到1層，動量由mux2減少到

mux1。從宏觀上表現為1層受到2層的推力，2層受到1層的阻力，動量交換的結果產生了剪應力。

剪應力τyx為動量在其垂直方向上傳遞的結果，其大小和動量通量在數值上相等。說明；對剪應力可正可負，對動量通量只能取負，表示動量傳遞的方向和動量濃度梯度的方向相反。同時動量通量方向和剪應力的方向垂直。五、小結1、動、熱、質量通量普遍的表達方程式：通量=－擴散系數×濃度梯度2、動、熱、質量擴散系數具有相同的因次，均為m2/s；3、通量為單位時間內通過與傳遞方向相垂直的單位面積上的動、熱、質量，各量的傳遞方向均與該量的濃度梯度方向相反，故普遍式中加“－”號。

第二節湍流傳遞條件下傳遞通量的通用表達式一、渦流傳遞的通量表達式

在湍流流體中，質點的脈動、混合和旋渦運動，使動、熱、質量的傳遞程度大大加劇。仿照分子傳遞的方程式，1877年Boussinesq提出了渦流傳遞的通量表達式：其中：渦流擴散系數ε、εH、εM非流體物性參數，與流動條件有關。二、湍流傳遞的動量、熱量、質量通量表達式因此，不僅層流時的三種傳遞過程之間具有類似性，而且湍流時的三種傳遞過程之間也具有類似性，同時層流與湍流傳遞過程之間均具有類似性。故可采用類比的方法研究動、熱、質量傳遞過程，在許多場合可用類似的數學模型來描述動、熱、質量傳遞過程的規律。第二章總動量、總熱量、總質量衡算在化工中需對系統或某一過程的總動量（對過程包含的力進行分析）、總熱量（了解過程熱量和其它能量間的轉化關系）、總質量（掌握過程物料的變化）進行衡算，為研究動、熱、質量傳遞和單元操作的基礎，同時對推導微分動、熱、質量衡算也有指導作用（依據定律相同）。前提：規定衡算范圍、基準和對象。在流動過程，通常將進行總衡算時所限定的空間區域稱為控制體，包圍此空間區域的邊界面稱控制面。特點：根據控制體外部各有關物理量的變化，來研究空間范圍內部的總體平均變化情況，而無需對內部每一點的規律進行分析。本章推導通用的總衡算方程，并說明在化工中的具體應用。

第一節總質量衡算方程式一、通用的總質量衡算方程式設：控制體為任意空間范圍，體積V，控制A面面積A，有多個進出口且流速方向與控制面的法線交角為任意α，流體密度ρ，流速。流體通過微元面積dA時，

質量速度：G=ρ質量流率：dw=ρu·cosα·dA

則通過整整個控制制面的質質量流率率：該式表示示通過控控制面外外流的凈凈質量流流率，即即：＞0，，質量量的輸出出大于輸輸入=（輸出出－輸入入）流率率=0，，質量的的輸出等等于輸入入＜0，，質量量的輸出出小于輸輸入在微元體體dV內內，流體體的質量量為ρdV，整整個控制制體的瞬瞬時質量量和質量量累積速速率：因此根據據質量守守恒定律律，任意意控制體體的通用的總總質量衡衡算方程程式為：：二、化工工流動系系統中的的總質量量衡算方方程式化工中常常見的是是通過管管道或容容器的流流動，特特點①流流動方向向與通過過的截面面垂直（（α=0或α=180°）；；②ρρ=常數數；③流速取取平均值值：對穩態流流動系統統：，，即為連續續性方程程式。三、總質質量衡算算方程式式的應用用1、單組組分系統統的質量量衡算見例1-22、多組組分系統統的質量量衡算對其中任任一組分分：設組分i的質量量分率為為ai=wi/w，對對n組分分系統可可得（n－1））個獨立立方程式式：將n個方方程式相相加仍然然得到：：（使用時時可據情情況聯立立求解，，見例1-3）3、有化化學反應應時的質質量衡算算在控制體體內當組組分間發發生化學學反應時時，則有有產物生生成，因因此產物物的生成成速率應應加入到到衡算中中。此時時各組分分的量根根據化學學反應的的計量關關系相應應變化，，因反應應物和生生成物的的化學當當量相等等，故采采用摩爾爾流量單單位計算算方便。。對組分i的摩爾爾流量衡衡算：對體系總總摩爾流流量衡算算：其中生成成速率和和的的計計算方法法是：化學反應應方程式式寫為：：bABA+bBBB+………+biBi+………=∑biBi=0同時規定定：產物物的bi＞0，反反應物的的bi＜0。。當選擇某某一產物物生成的的摩爾速速率為為基準準來表示示任一組組分i的的摩爾生生成速率率時時，則則有：即：對n個組組分相加加得：第二節總總能能量衡算算方程式式一、通用用的總能能量衡算算方程式式依據熱力力學第一一定律：：對控制體體，由于于流動便便有能量量的輸入入、輸出出和累積積，其總總能量衡衡算應為為：對單位時時間所作作的功，，通常由由兩部分分組成（（軸功和和流動功功），即即：而得到另一一總能量量衡算的的通用表表達式為為：二、化工工連續穩穩定流動動系統的的總能量量衡算化工過程程常見的的流動系系統如圖圖，應用用總能量衡衡算方程程式，其其中積分分項分別別為：A2ub2p2z2q引入動能能修正系系數，令令：A1ub1p1z1所以因而：稱為化工連續續穩定流流動系統統的總能能量衡算算方程式式。（1）化工工連續穩穩定流動動系統的的總能量量衡算方方程式過程無物物料、能能量累積積，△w=0，，dEt/dθ=0；各各點速度度、高度度取平均均值，得得：即為熱力力學中單單位質量量流體穩穩定流動動時的總總能量衡衡算方程程式（J/kg）。（2）化化工連續續穩定流流動系統統的機械械能衡算算方程式式取α=1，設備備對流體體作功時時，Ws為負值，，以We表示，得得Beinulli方方程式：：第三節總總動動量衡算算方程式式動量衡算算以動量量守恒為為依據，，根據Newton第第二運運動定律律：對控制體體進行動動量衡算算，的原原則是：：作用在在控制體體上的力力等于動動量的變變化率，，即為總動量量衡算的的通用表表達式（（x方向向）。其其中∑Fx是指作用用在控制制體上諸諸力在x方向分分量的代代數和，，一般包包括重力力、壓力力、摩擦擦力和受受到的外外力等。。對穩定流流動系統統：w2=w1=w，，第三章流流體運運動微分分方程式式為進一步步探討動、熱、、質量的的傳遞過過程，須須了解系系統內的的流體微微團或質質點運動動時動、、熱、質質量等物物理量隨隨時間和和空間的的變化關關系，為為此進行行微分衡衡算。第一節連連續性性方程式式一、連續續性方程程式的推推導在流動的的流體中中取微元元體dV=dxdydz，流流體y在任一點點（x、、y、z）處的的速度，，沿x、、y、z方向分量ux、uy、uz，密度ρ=f（θ，x，，y，z）。。dyρux根據質量守恒恒定律：dzdxxz分別從x、y、z三個方方向，分析微微元體輸入和和輸出的質量量流率，在x方向：輸入質量流率率：dw1x=ρuxdydz輸出質量流率率：dw2x=輸出與輸入質質量流率差：：dw2x－dw1x=同理在y、z方向輸出與與輸入質量流流率差：而微元體內累累積的質量流流率：因而有：稱為連續性方方程式（普遍遍形式）。反反映連續介質質微團運動時時，質量隨時間和和空間位置的的變化。或寫為：二、連續性方方程式的分析析將連續性方程程式展開：由ρ=f（（x，y，，z，θ）得得：當觀察者隨流流體運動時，，對應的導數稱稱為隨體導數：因此得連續性性方程式的另另一形式：表表明質量不變時，體積隨時間和和位置的變化化。小結：密度ρρ對時間θ的的各種形式導導數的物理意意義比較1、偏導數：：表示某某固定點處ρρ隨時間的變變化率；2、全導數：：表示任任意點處ρ隨隨時間θ、位位置（x，y，z）的變變化率；3、隨體導數數：：表示流流體質點運動動時，ρ隨時時間的變化率率。三、描述流體體運動的兩種種方法（1）Euler法：：在固定空間間考察流體的的運動，根據據流體通過某某點的特性變變化來研究整整個流體的運運動規律。特特點流體的體積、、位置固定而質量隨時間變變化。（2）Lagrange法：選固固定質量的流流體微元，考考察其運動過過程中其特性性的變化來研研究整個流體體的運動規律律。特點流體的質量固固定而位置、體積隨隨時間變化。四、連續性方程式式的簡化形式式1、對穩定流動過程，連連續性方程式式為：2、對不可壓縮流體體的穩定流動過過程，連續性性方程式為：：線變形速率為為零，即體積積不變。3、對不可壓壓縮流體的一維穩定流動過程程，連續性方方程式為：五、柱坐標系系中的連續性性方程式六、球坐標系系中的連續性性方程式柱坐標系球球坐坐標系zzdrdrdzxxyy第二節運運動方程程式一、用應力表表示的運動方方程式將Newton第二運運動定律應用用于運動著的的流體，有：：采用Lagrange法法，對質量量固定而且運運動的流體，，可表示為：：對邊長dx、、dy、dz的流體微元，，慣性力：在各方向的分分量為：式中的dFx、dFy、dFz為外力作用在在流體微元上上的合力在x、y、z方方向上的分量量，每一個分分量都由兩種種類型的力組組成。1、質量力（體積力）：：作用在流體體整體上的非接接觸力，其大小與流流體的體積成成正比。以FB表示，X、Y、Z表示單位質量力在x、y、z方向上的分分量，作用在在流體微元上上的體積力：：dFxB=XρdxdydzdFyB=YρdxdydzdFzB=Zρdxdydz2、表面力：作用在流體體表面上的接觸觸力，其大小與流流體的表面積積成正比，以以FS表示，包括壓壓力和摩擦力力。因只考慮慮作用在流體體表面上的摩摩擦力，作用用在流體單位位表面積上的的表面力稱為為表面應力τ。表面應力可分分解為三個平平行于x、y、z軸的表表面應力分量量，如以垂直直于x軸的平平面說明（注注意τ的第一個下標標表示作用面與與軸的垂直方方向，第二個下標表示表面應力力的作用方向向）。τxyyyyτxxxτxzxxzzz作用在垂直于于x、y、z軸的6個平平面上共有18個表面應力分量量，但由于對對應兩面受力力為同一類型型，因此用9個表面應力力分量即可表表示，它們是是：其中具有相同同下標的，和和作用面垂直，稱為法向應力；具有不同下標的，和作作用面平行，，稱為切向應力。3、以應力表表示的運動微微分方程式對運動著的流流體微元，作作用在x方向向上y的體積力：dFxB=Xρdxdydz作用在x方向向上的凈的表表面力：dFxS=dydz－dydz+dxdz－dxdz+dxdy－dxdyxz因此：而：∴同理：二、切向應力力的表達式對通過流體微微團中心且平平行于z軸的的軸線取力矩：：∑J=Df·dl=dM·R2·a，即：當流體微團邊邊長dx、dy、dz趨趨近于零，即即R趨近于零零時，得：以及：切向應力分量量的表達式：：y對一維流動x即：速度梯度為角角變形速率對二維流動進進行分析：正正方形的流體體微團經過dθ時間間后變化為菱菱形，變化角角度：yx三、法向應力力的表達式法向應力由兩兩部分組成：：一部分由流流體靜壓力產產生，其結果果使流體微元元承受壓縮應應力，發生體積變形；另一部分由由流體流動時時的粘性應力力的作用產生生，其結果是是使流體微元元在法線方向向上承受拉伸伸或壓縮應力力，發生線性形變。各法向應力與與壓力、形變變速率之間的的關系如下：：當流體靜止（（或雖流動但但無剪應力作作用）時：即靜止流體中中的法向應力力就是壓強（（各向同性）。流體運動時，，粘性的作用用使法向應力力在各方向不不等，但總壓壓力相同（各向不同性）。四、粘性流體體的運動微分分方程式（Navier—Stokeseq）對x方向：即：對不可壓縮流體體的穩定流動過過程，連續性性方程式：所以：對y、z方向：稱為Navier—Stokes方程式式，寫成向量方方程式：五、Navier—Stokes方程式分析析1、Navier—Stokes方程式為：：慣性力=質量力+凈壓力+粘性力；2、流體靜止止時：相加得：3、流體運動動時，總壓力力=靜壓力+動壓力，即即：p=pS+pd而由流體靜力力學方程式故：∴以動壓力力梯度表示的的Navier—Stokes方程程式為：4、柱坐標標系和球坐標標系中的Navier——Stokes方程式見見44-45頁。第四章Navier—Stokes方程式式的應用第一節阻阻力系數粘性流體運動動時，由于流流層間存在速速度梯度，將將發生動量傳傳遞產生內摩摩擦力，導致致流體的部分分機械能損失失。阻力表現現在流體與固固體壁面間、、流體層與層層間的相互摩摩擦的總體效效應上。通常常將阻力的計計算歸納為：：阻力=阻力系系數×一、繞流流動動與曳力系數數當流體沿固體體表面流過或或圍繞浸沒物物體流動時，將流體受受到壁面的力力稱為阻力；；而物體受到到流體施加的力力稱曳力。兩兩者大小相等等方向相反。。如流體對圓柱柱體施加的曳曳力表示為：：CD稱為曳力系數數。總曳力Fd=壓力分布在在物體表面上上不對稱引起起的形體曳力Fdf+物體表面上上剪應力引起起的摩擦曳力Fds。二、管內流動動與Fanning摩擦擦系數流體在管內流流動時，由于于壓力分布對對稱只存在摩擦曳力Fds。1ττs2p1p21ττs2L如圖穩定流動動情況下，推推動力與阻力力相等，即：：f—稱為Fanning摩擦系數數，第二節平平壁間的一一維穩態層流流不可壓縮流體體在兩層無限限寬的平行y壁面間作穩態態層流流動，，流動沿x方方向，用Navier—Stokes方程程式結合該情情況進ux行求解。y01、Navier—Stokes方程式的簡簡化x對x方向進行行簡化：zy0（1）穩定流流動：；；（2）流動沿沿x方向：uy=0，uz=0；（3）由不可可壓縮流體連連續性方程式式得：，，；；（4）流道為為水平的，X=0；（5）高度為為2y0的流道無限寬寬，因而ux不隨z而變化化，即：因此x方向的的Navier—Stokes方程程式簡化為：：同理，在y、、z方向可簡簡化為：由此可知，pd與y、z方向無無關，而且ux與x、z無無關，因此Navier—Stokes方程式式最終簡化為為：注意：稱稱為單位距離上壓壓強的變化率率，為常數。2、速度分布布積分：代入邊界條件件，y=0，，du/dy=0，c=0；y=y0，u=0，再再積分：為速度分布方程程式，特殊情況：：①在壁面處，，y=y0，u=0；；②在中心，y=0，u=umax，速度最大：：3、平均流速速ub4、有效壓力力降5、剪應力第三節圓圓管中中的一維穩穩態層流不可壓縮流流體在圓管管中作穩態態層流流動動，yx流動沿z方方向（軸向向），為一一維軸對稱稱流動，采用柱坐標標系的Navier—Stokes方方程式求解解。z連續性方程程式和Navier—Stokes方方程（z分量）為：uz1、Navier—Stokes方方程式的簡簡化（1）穩定定流動：，，；；（2）流動動沿x方向向：ur=0，，uθ=0；；（3）由不不可壓縮流流體連續性性方程式得得：，，（4）為一一維軸對稱稱流動，uz不隨z、θθ而變化，，即：，因此，Navier—Stokes方程（z分量）簡化為：：同理對Navier—Stokes方方程（r、θ分量）簡化可得得：由此可知，，pd與r、θ方向向無關，而而且uz與θ、z無關，因因此Navier——Stokes方程程式最終簡簡化為：注意：稱稱為單位距離上上壓強的變變化率，為常數。2、速度分分布積分：，，得得：代入邊界條條件，r=0，du/dr=0，c=0；r=R，u=0，再積積分：為速度分布方方程式，特殊情況況：①在管壁處處，r=R，u=0；；②在中心，，r=0，，u=umax，速度最大大：3、平均流流速ub4、有效壓壓力降積分：為Hagen—Poiseuille方程式。。5、剪應力力第四節爬爬流（CreepingFlow））爬流是指極極其緩慢的的一種流動動過程，其其特征是：：Re很小小（＜1）），慣性力力與粘性力力相比可以以忽略不計計，受力只只考慮壓力力和粘性力力。在直角坐標標中Navier——Stokes方程程及其連續續性方程式式簡化為：：4個方程式式，涉及到到4個未知知數，理論上可以以求解，但但非線性很很難解出。以球形粒子子的沉降過過程，討論論Navier—Stokes方程的的具體應用用。不可壓壓縮流體（（μ、ρ））以極慢的的u0速度沿z軸軸由下而上上繞過球體體（半徑R）流動，，遠離球體體處的靜壓壓強為p0。zryxu0p01、簡化方方程式球坐標系（（r，θ，，φ）討論論，為軸對對稱二維流流動，即：：于是連續性性方程式簡簡化為：①①Navier—Stokes方程簡化化為：②③以上3個方方程式，3個未知數數，可解。。邊界條件：在球面上：：在遠離球體體處：2、速度和和壓強分布布方程式的的推導采用分離變變量法，假假定速度、、壓強具有有下列形式式的函數關關系：而且將上述假定定代入①得得：④④將上述假定定代入②得得：⑤⑤將上述假定定代入③得得：⑥⑥由④知：⑦⑦于是：⑧⑧⑨將⑦、⑧、、⑨代入⑥⑥得：⑩⑩因而⑾將⑦、⑾代代入⑤中：：⑿為常微分方方程，其特特征根是：：k=－3，，－1，0，2所以方程式式⑿的一般般解為：⒀⒀將⒀代入⑦⑦中：⒁⒁將⒀代入⑩⑩中：⒂⒂當r=∞時，h=0，由由⒂得：D=0；當r=∞時，f=u0，由⒀得：：C=u0；當r=R時，f=0，g=0，由由⒀、⒁得得：因此由⒀：：因此由⒁：：因此由⒂：：即速度和壓壓強分布方方程式：3、曳力的的計算（1）壓力力分布在球球體表面上上引起的形形體曳力Fdf：（2）剪應應力在球體體表面上引引起的摩擦擦曳力Fds：總曳力：曳力系數：：故沉降過程程的阻力：：當達到勻速速運動時，，顆粒的沉降降速度：為Stokes方程程式。第五節勢勢流流運動流體Re很大時時，慣性力力＞＞粘性性力，這種種流動稱為為勢流。一、理想流流體的運動動方程式在Navier—Stokes方程中中，當μ=0時，方方程式稱為為Euler方程式式，即：以及不可壓壓縮流體的的連續性方方程式：該偏微分方方程組，4個方程式式，4個未未知數，可可解。但由由于非線性性需引入勢勢函數。二、無旋流流動流體運動時時，微團的的大小和形形狀可能發發生變化，，這種變化化分解為：：平行移動動、線變形形、角變形形、旋轉四四種形式。。若旋轉時，，旋轉角速度度定義為：過過A點的任任意兩條正正交微元流流體線在xoy平面面上旋轉角角速度的平平均值，等等于流體微微團在該平平面上繞A點的旋轉轉角速度。。流場中各點點的旋轉角角速度矢量量都為零的的流動，稱稱無旋流動。即：因此無旋流動的的條件是：由于理想流流體無粘性性，無角變變形，因而而為無旋流動。。其結果是是：當流體體微元最初初處于無旋旋狀態，它它就不發生生旋轉；當當最初處于于旋轉狀態態，它也就就不會發生生旋轉。三、速度勢勢函數根據數學分分析：，，，，是是表表達式成為某一函函數全全微微分的必要要且充分條條件。因而在無旋旋流動條件件下，必存存在函數，，和速速度的關系系為：而的的全微分分：比較可得：：即在在三三個坐標軸軸方向的偏偏導數等于于速度在該該坐標軸上上的投影，，稱為速度勢函數數。引入目的的是將多個個變量用一一個變量代代替，使方方程式求解解簡化。四、勢流理想流體的的無旋流動動稱為勢流流，將的的定義式代代入到連續續性方程式式中，可得得到：稱為Laplace方程式，，為線性方方程，可求求得其通解解，然后求求得速度ux、uy、uz。應用1：對對穩態流動動時的理想想流體運動動方程式（（x方向））同理：在重力場中中，X=0，，Y=0，，Z=－g將上述三個個方程式分分別乘dx、dy、dz并且且相加：即：為理想流體體的Bernoulii方程程式。應用用2：：流流量量、、流流速速測測量量，，見見70頁頁。。附：：柱柱坐坐標標系系中中的的Laplace方方程程式式球坐坐標標系系中中的的Laplace方方程程