第七章均值—方差證券資產

組合理論第七章均值—方差證券資產

組1第一節資產組合的期望收益

與標準差一單個證券的期望收益率與方差設某投資者所以可供選擇的證券有N種，對于任一種證券，其收益有M種可能性，我們用Rij表示證券i在第j種可能性下的收益，用Pij表示第i種證券的收益率出現第j種可能性的概率。第i種證券收益的期望收益為：第一節資產組合的期望收益

與2對證券投資者來說，僅知道某種證券期望收益尚不足以對該證券有足夠的把握，我們還必須知道收益率的離散程度，即要知道各收益率偏離期望值的情況。在表7.2中A、B兩種投資結局的期望收益都為10，但其離散程度不一樣，顯然個人選擇時會感到這兩種投資方式是不同的。表7.2兩種投資的收益分布AB結局收益（%）概率結局收益（%）概率121091/31/31/3101042/51/52/5對證券投資者來說，僅知道某種證券期望收益尚不足以對該證券有足3收益均值大小只表示某證券收益的期望值。對兩種證券比較優劣時，不能光憑收益均值大小來決定，還要考慮各證券的風險程度。而風險程度的大小我們用收益率的標準差σ來衡量。收益率偏離均值越厲害，也就是標準差越大，它表示證券收益的變化越厲害，風險也越大。收益均值大小只表示某證券收益的期望值。對兩種證券比較優劣時，4

第i種證券收益的方差定義為如果證券收益M種可能性發生的概率相同，即Pij=則有：

第i種證券收益的方差定義為5市場狀況收益ABCDE好151611616平均910101010壞341944均值910101010方差2424542424標準差4.94.97.354.94.9市場狀況收益AB6二資產組合的期望收益率與方差市場狀況BC組合（60%b+40%c)好1.161.011.1平均1.11.11.1壞1.041.191.1二資產組合的期望收益率與方差市場狀況BC組合（60%b7二資產組合的期望收益率與方差

假設某投資者用N種證券組成了他的資產組合，設該資產組合用P表示，投資在證券i上的資本量占總投資的比例為Xi，（i=1,2,…,N）則有：

j=1，2，…，M二資產組合的期望收益率與方差假設某投資者用N種證券組成了8此表示在第j種可能結果下組合P的收益率，因此P的期望收益率為：

此表示在第j種可能結果下組合P的收益率，因此P的期望收益率為9組合收益的方差

設證券組合只包含兩種證券，由概率論知識可知：其中σ1、σ2分別為這兩種證券的標準差，而σ12為這兩種證券的協方差。σ12符號不同，影響不一樣。協方差反映了該兩證券收益變動之間的聯系，σ12>0表示兩證券收益同方向變化，σ12<0表示兩證券收益反方向文化，σ12=0表示他們互相獨立。

組合收益的方差設證券組合只包含兩種證券，由概率論知識可知：10對于包含有N種證券的資產組合P，其方差由下式決定：

若該組合是等比例地投資在各證券上，即投資在各種證券上的資本量相等，，則有：其中，是種證券方差之平均值，是種協方差的平均值。

對于包含有N種證券的資產組合P，其方差由下式決定：11三資產組合的風險分散原理對每個證券組合而言，組成組合的單個資產的風險稱為可分散化風險，也稱作非系統風險或個股風險，而則為不可分散化風險，也稱作系統風險或市場風險。三資產組合的風險分散原理對每個證券組合而言，組成組合的單12表7.5所列數據顯示了美國股票市場的實際情況，平均方差和平均協方差從紐約股票交易所所有上市股票的每月數據中采樣。證券數組合方差146.619416.9481210.354169.530507.8491007.45310007.097無窮大7.058表7.5所列數據顯示了美國股票市場的實際情況，平均方差和平均13圖7.1是顯示分散化原理的圖，采樣自美國股票市場實際情況。

組合風險（%）證券數圖7.1組合風險與單個證券風險的關系圖7.1是顯示分散化原理的圖，采樣自美國股票市場實際情況。14四偏斜度和證券組合分析許多證券分析家建議，僅僅用證券收益分布的二個特征值尚不足以準確地反映收益的隨機變化性，還必須再增加一個特征值“偏斜度”來作出補充。所謂偏斜度是測量收益分布的非對稱性情況的。正態分布為對稱分布，因此偏斜度為零，但正態分布的自然對數函數就不是對稱的

A收益概率圖7.2證券收益的自然對數正態分布四偏斜度和證券組合分析許多證券分析家建議，僅僅用證券收益15分析家們提倡再補充一個偏斜度，主要是他們相信投資者們將都會偏好于正偏斜度，若其它條件不變，則可認為投資者們將更喜歡可能帶來較高收益的證券組合。若偏斜度被接受，則我們在前面討論的證券組合“問題”就將在一個三維空間中表達出來。這三個坐標軸分別為；均值、均方差、偏斜度。而我們的有效邊界也將被一個“有效邊界曲面”所代替。該有效邊界曲面將是所有可行空間域中具有最大均值，最小均方差和最大偏斜度的部分所構成。

分析家們提倡再補充一個偏斜度，主要是他們相信投資者們將都會偏16第二節

有效資產組合曲線

一不存在無風險借貸1．不允許賣空

設定X1為投資在第i種證券上的資產價值比例，在不存在無風險借貸且不允許賣空的假設下顯然有：且Xi≥0，因為“賣空”行為在經濟意義上相當于負投資。

第二節有效資產組合曲線一不存在無風險借貸17仍設有A、B兩種證券，其中相關系數為

仍設有A、B兩種證券，其中相關系數為18（1）若設,則有其中：0≤XA≤1上面方程組的為共同參數，二方程均為線性方程，若消去參數，可得、線性方程如下：（1）若設,則有19（2）若設,則有

由于上式中括號中的值可能為負數，故：或者

（2）若設,則20沿用上例：=2/3，=1/3組合的風險為零。同時我們也易知：沿用上例：=2/3，21將這兩個方程所描述的和的關系在坐標平面上表示出來，如圖7.4：AB=3=6=1410=8.0圖7.4時證券組合的預期收益與標準差之間的關系將這兩個方程所描述的和的關系在坐標平面上表示出來，如圖7.4223）下面再討論ρAB=0的情況，也就是兩證券之間線性無關。此時有

3）下面再討論ρAB=0的情況，也就是兩證券之間線性無關。此23AB=3=6=14=8MV圖7.5時證券組合的預期收益與方差之間的關系AB=3=6=14=8MV圖7.524我們將ρAB=1，ρAB=-1，ρAB=0及ρAB=0.5四條曲線畫在一張圖上

=14=8B=3=610ρ=+1ρ=0.5ρ=0ρ=-1A圖7.7證券組合在各種相關系數條件下的預期收益與標準差我們將ρAB=1，ρAB=-1，ρAB=0及ρAB=0.5四25從圖7.7中得到如下結論：對所有的證券資產而言，總存在著某一個ρ值，使資產組合風險（σP）不可能比單個證券中的最小風險（σi）小。如上例中的ρ=0.5，ρ=1時的情況。但當ρ=0及ρ=-1時，其σP可能會比單個證券的最小風險σA小。

從圖7.7中得到如下結論：對所有的證券資產而言，總存在著某一26另外也我們注意到：AB直線（ρAB=1）為組合體的方差（σP）最大時的情況，通過數學方法可以證明任何兩個證券的組合體之方差不可能再落到AB直線的右邊。同時，ρAB=-1時亦為另一極端。所以，三角形ABC為組合體方差σP及收益之關系所可能落在的區域。對-1<ρAB<1中任一ρAB之定值，其對應的證券組合體的可能性曲線只會在此區域內，如ρ=0及ρ=0.5時的情況。

另外也我們注意到：AB直線（ρAB=1）為組合體的方差（σP27證明：MV~B曲線為凹曲線，

MV~A曲線為凸曲線。

ABMV圖7.8一條典型的組合可能性曲線證明：MV~B曲線為凹曲線，

MV~A曲線為凸曲線。ABM28先觀察MV~B線：顯然從前面已知，任何兩個證券之組合體的可能性曲線不可能在此兩點直線的右邊。這一結論，不僅適用于任意兩個單個證券之組合體特征，也可以推廣到以任意兩個組合體所組成的組合的可能性曲線的特征。MV點為A、B證券的一個組合體證券，故MV點和B點之組合體適用于此原理，從而圖7.9中（a）種情況不會發生，對于（b）種情況，E點和F點為二個組合體，該二點所組成的組合體也不可能在EF直線右邊。同理可證明（c）、（d）二種情況不可能存在，至此證明完畢。先觀察MV~B線：顯然從前面已知，任何兩個證券之組合體的可能29（1）不允許賣空條件下的有效邊界在不允許賣空情況下，投資者所有可能的組合的點集合如圖7.10，其中C點為最小風險點。然而，由于我們假定了投資者兩個行為原則，因此他只可能選擇B、C曲線上的某一點。

（1）不允許賣空條件下的有效邊界在不允許賣空情況下，投資者所30（2）允許賣空下的有效邊界允許賣空意味著在數學模型中XB的值可以為負數，也可以為大于1。XB<0表示賣空B證券，并把B所獲得的資金投到A證券上。XB>1表示賣空A證券，并把所獲得的資金投到B證券上。因此，雖然XB值變化范圍擴大，然XA+XB=1約束條件仍必須滿足。

（2）允許賣空下的有效邊界31ECBEAD圖7.10證券組合的各種預期收益和標準差的可能性ECBEAD圖7.10證券組合的各種預期收益和標準差的可能32例子：設期初投資者擁有資金2000元，A股票價格為10元，B股票價格為10元，但投資預測1個月后A價格會上升，B價格為下降。于是他賣出B股票100股，同時買入A月股票300股，則A、B股票的投資比例分別為1.5和-0.5，即XA+XB=1，如果一個月后A、B股票價格分別為11元、9元，則組合的收益率為

例子：設期初投資者擁有資金2000元，A股票價格為10元，B33不管是否允許賣空，如下等式始終成立：

不管是否允許賣空，如下等式始終成立：34二存在無風險借貸設RF為無風險證券資產利率，X為投放在A上的資本比例，（1－X）就是投放在無風險資產上的比例，新的資產組合設為C，則有X≥0二存在無風險借貸設RF為無風險證券資產利率，X為投放在A35故有得：

A借貸圖7.12含有無風險借貸的證券組合的預期收益和風險H故有

A借貸圖7.12含有無風險借貸的證券組合的預期收益36

GAB

H圖7.13無風險資產與各種風險資產組合構成的投資組合

GAB

H圖7.13無風險資產與各種風險資產組合構成的投37第三節有效邊界的數學描述及計算技術一允許賣空且有無風險借貸BA圖7.18在允許賣空且有無風險借貸情況下證券組合的收益與風險第三節有效邊界的數學描述及計算技術一允許賣空且有無風險38設θ為夾角。求最大θ即為求最大tgθ值，所以此問題可歸結為下述數學規劃問題：Max設θ為夾角。求最大θ即為求最大tgθ值，所以此問題可歸結為下39設有A、B、C三家股份有限公司，各公司股票收益的特征值由表7.11給出。表7.11A、B、C三家公司股票收益的特征值ABCρAB=0.5ρAC=0.214%6%8%3%20%15%ρBC=0.4設有A、B、C三家股份有限公司，各公司股票收益的特征值由表740假設無風險借貸利率均為5%簡化后解方程組得：Z1=14/63， Z2=1/63，Z3=3/63進一步由公式

X1=14/18，X2=1/18， X3=3/18假設無風險借貸利率均為5%41二允許賣空但沒有無風險借貸解決問題的思路是：認為無風險資產存在，然后再假設一系列的RF值。如：RF=4%、5%、6%，分別找出對應的最佳風險資產組合A、B、C這些點，即構成了有效邊界曲線。二允許賣空但沒有無風險借貸解決問題的思路是：認為無風險資421．一般解法

當RF為某一值時，最佳風險資產組合中各風險資產比例Xi由下列方程組決定：對方程組求解Zi，則可求解出形如Zi=C0i+C1iRF ，i=1，2，…，N1．一般解法當RF為某一值時，最佳風險資產組合中各風險資產43仍用前述例子的數據，可得：14-RF＝36Z1+9Z2+18Z38-RF＝9Z1+9Z2+18Z320-RF＝18Z1+18Z2+225Z3解此方程組得：如此，給RF以不同的值，將得到一系列不同的（Z1、Z2、Z3）值，從而構畫出有效邊界曲線。仍用前述例子的數據，可得：442．特殊解法

前面我們已從一般解法中得知Zi=C0i+C1iRF。若我們任意選定兩個RF值：RF′和RF″，則可以從上面一般方程組中得到相應的Zi′和Zi″值。這樣就可以通過方程組：Zi′=C0i+C1iRF′Zi″=C0i+C1iRF″求出C0i和C1i，得出Zi的一般表達式，最終也就可以得到整個有效邊界。

2．特殊解法前面我們已從一般解法中得知Zi=C0i+C1i45第四節

國際分散化

一外國證券風險第四節國際分散化一外國證券風險46表7.12一些國家證券市場之間的相關系數（1963－1972）

加拿大法國意大利日本英國西德美國加拿大

法國0.164

意大利0.0600.012

日本0.1920.1060.102

英國0.1460.0390.0780.110

西德0.2010.1530.0500.1130.030

美國0.6340.1070.0020.0920.0960.163

表7.12一些國家證券市場之間的相關系數（1963－19747風險（%）證券種數1020304050020406080100圖7.20美國國內分散化投資組合與國際分散化投資組合的風險與證券種數之間的關系風險（%）證券種數10203040500204060801048二國際分散化證券組合的收益表7.13美國投資者投資的外國證券必須具有的最低收益

美國證券收益（RF=6%）國內10%15%加拿大9.02%12.795%法國7.6%9.6%西德8.756%12.201%日本7.56%9.51%英國7.96%10.41%二國際分散化證券組合的收益表7.13美國投資者投資的外49三匯率風險的影響三匯率風險的影響50資產ABC市場狀況收益概率收益概率收益概率好160.2540.25200.25平均120.560.5140.5差80.2580.2580.25資產ABC市場狀況收益概率收益概率收益概率好160.25451（1）求出每個資產的期望收益和標準差（2）求出每個資產之間的協方差（3）構造組合P1,P2,求出期望和標準差（1）求出每個資產的期望收益和標準差52組合ABCP10.50.5P20.250.50.25組合ABCP10.50.5P20.250.50.2553答案：A的期望收益=0.25*16+0.5*8+8*0.25=12A的標準差=[0.25*（16-12）+0.5（12-12）+0.25（8-12）]=2.83同理B的期望收益=6標準差=1.41C的期望收益=14標準差=4.242220.5答案：2220.554AB之間協方差（16-12）*（4-6）*0.25+（8-12）*（8-6）*0.25=-4同理AC之間協方差12BC之間協方差-6AB之間協方差（16-12）*（4-6）*0.25+（8-155P1的收益=0.5RA+0.5RB=9標準差[0.5*0.5*8+0.5*0.5*2+2*0.5*0.5*（-4）]=0.707P2的收益=0.25*12+6*0.5+14*0.25=9.5標準差=[0.25*0.25*8+0.5*0.5*18+0.25*0.25*2+2*0.25*0.25*（-4）+2*0.25*0.5*（-6）+2*0.25*0.25*12]=2.150.50.5P1的收益=0.5RA+0.5RB=90.50.556均值—方差證券資產組合理論課件57第七章均值—方差證券資產

組合理論第七章均值—方差證券資產

組58第一節資產組合的期望收益

與標準差一單個證券的期望收益率與方差設某投資者所以可供選擇的證券有N種，對于任一種證券，其收益有M種可能性，我們用Rij表示證券i在第j種可能性下的收益，用Pij表示第i種證券的收益率出現第j種可能性的概率。第i種證券收益的期望收益為：第一節資產組合的期望收益

與59對證券投資者來說，僅知道某種證券期望收益尚不足以對該證券有足夠的把握，我們還必須知道收益率的離散程度，即要知道各收益率偏離期望值的情況。在表7.2中A、B兩種投資結局的期望收益都為10，但其離散程度不一樣，顯然個人選擇時會感到這兩種投資方式是不同的。表7.2兩種投資的收益分布AB結局收益（%）概率結局收益（%）概率121091/31/31/3101042/51/52/5對證券投資者來說，僅知道某種證券期望收益尚不足以對該證券有足60收益均值大小只表示某證券收益的期望值。對兩種證券比較優劣時，不能光憑收益均值大小來決定，還要考慮各證券的風險程度。而風險程度的大小我們用收益率的標準差σ來衡量。收益率偏離均值越厲害，也就是標準差越大，它表示證券收益的變化越厲害，風險也越大。收益均值大小只表示某證券收益的期望值。對兩種證券比較優劣時，61

第i種證券收益的方差定義為如果證券收益M種可能性發生的概率相同，即Pij=則有：

第i種證券收益的方差定義為62市場狀況收益ABCDE好151611616平均910101010壞341944均值910101010方差2424542424標準差4.94.97.354.94.9市場狀況收益AB63二資產組合的期望收益率與方差市場狀況BC組合（60%b+40%c)好1.161.011.1平均1.11.11.1壞1.041.191.1二資產組合的期望收益率與方差市場狀況BC組合（60%b64二資產組合的期望收益率與方差

假設某投資者用N種證券組成了他的資產組合，設該資產組合用P表示，投資在證券i上的資本量占總投資的比例為Xi，（i=1,2,…,N）則有：

j=1，2，…，M二資產組合的期望收益率與方差假設某投資者用N種證券組成了65此表示在第j種可能結果下組合P的收益率，因此P的期望收益率為：

此表示在第j種可能結果下組合P的收益率，因此P的期望收益率為66組合收益的方差

設證券組合只包含兩種證券，由概率論知識可知：其中σ1、σ2分別為這兩種證券的標準差，而σ12為這兩種證券的協方差。σ12符號不同，影響不一樣。協方差反映了該兩證券收益變動之間的聯系，σ12>0表示兩證券收益同方向變化，σ12<0表示兩證券收益反方向文化，σ12=0表示他們互相獨立。

組合收益的方差設證券組合只包含兩種證券，由概率論知識可知：67對于包含有N種證券的資產組合P，其方差由下式決定：

若該組合是等比例地投資在各證券上，即投資在各種證券上的資本量相等，，則有：其中，是種證券方差之平均值，是種協方差的平均值。

對于包含有N種證券的資產組合P，其方差由下式決定：68三資產組合的風險分散原理對每個證券組合而言，組成組合的單個資產的風險稱為可分散化風險，也稱作非系統風險或個股風險，而則為不可分散化風險，也稱作系統風險或市場風險。三資產組合的風險分散原理對每個證券組合而言，組成組合的單69表7.5所列數據顯示了美國股票市場的實際情況，平均方差和平均協方差從紐約股票交易所所有上市股票的每月數據中采樣。證券數組合方差146.619416.9481210.354169.530507.8491007.45310007.097無窮大7.058表7.5所列數據顯示了美國股票市場的實際情況，平均方差和平均70圖7.1是顯示分散化原理的圖，采樣自美國股票市場實際情況。

組合風險（%）證券數圖7.1組合風險與單個證券風險的關系圖7.1是顯示分散化原理的圖，采樣自美國股票市場實際情況。71四偏斜度和證券組合分析許多證券分析家建議，僅僅用證券收益分布的二個特征值尚不足以準確地反映收益的隨機變化性，還必須再增加一個特征值“偏斜度”來作出補充。所謂偏斜度是測量收益分布的非對稱性情況的。正態分布為對稱分布，因此偏斜度為零，但正態分布的自然對數函數就不是對稱的

A收益概率圖7.2證券收益的自然對數正態分布四偏斜度和證券組合分析許多證券分析家建議，僅僅用證券收益72分析家們提倡再補充一個偏斜度，主要是他們相信投資者們將都會偏好于正偏斜度，若其它條件不變，則可認為投資者們將更喜歡可能帶來較高收益的證券組合。若偏斜度被接受，則我們在前面討論的證券組合“問題”就將在一個三維空間中表達出來。這三個坐標軸分別為；均值、均方差、偏斜度。而我們的有效邊界也將被一個“有效邊界曲面”所代替。該有效邊界曲面將是所有可行空間域中具有最大均值，最小均方差和最大偏斜度的部分所構成。

分析家們提倡再補充一個偏斜度，主要是他們相信投資者們將都會偏73第二節

有效資產組合曲線

一不存在無風險借貸1．不允許賣空

設定X1為投資在第i種證券上的資產價值比例，在不存在無風險借貸且不允許賣空的假設下顯然有：且Xi≥0，因為“賣空”行為在經濟意義上相當于負投資。

第二節有效資產組合曲線一不存在無風險借貸74仍設有A、B兩種證券，其中相關系數為

仍設有A、B兩種證券，其中相關系數為75（1）若設,則有其中：0≤XA≤1上面方程組的為共同參數，二方程均為線性方程，若消去參數，可得、線性方程如下：（1）若設,則有76（2）若設,則有

由于上式中括號中的值可能為負數，故：或者

（2）若設,則77沿用上例：=2/3，=1/3組合的風險為零。同時我們也易知：沿用上例：=2/3，78將這兩個方程所描述的和的關系在坐標平面上表示出來，如圖7.4：AB=3=6=1410=8.0圖7.4時證券組合的預期收益與標準差之間的關系將這兩個方程所描述的和的關系在坐標平面上表示出來，如圖7.4793）下面再討論ρAB=0的情況，也就是兩證券之間線性無關。此時有

3）下面再討論ρAB=0的情況，也就是兩證券之間線性無關。此80AB=3=6=14=8MV圖7.5時證券組合的預期收益與方差之間的關系AB=3=6=14=8MV圖7.581我們將ρAB=1，ρAB=-1，ρAB=0及ρAB=0.5四條曲線畫在一張圖上

=14=8B=3=610ρ=+1ρ=0.5ρ=0ρ=-1A圖7.7證券組合在各種相關系數條件下的預期收益與標準差我們將ρAB=1，ρAB=-1，ρAB=0及ρAB=0.5四82從圖7.7中得到如下結論：對所有的證券資產而言，總存在著某一個ρ值，使資產組合風險（σP）不可能比單個證券中的最小風險（σi）小。如上例中的ρ=0.5，ρ=1時的情況。但當ρ=0及ρ=-1時，其σP可能會比單個證券的最小風險σA小。

從圖7.7中得到如下結論：對所有的證券資產而言，總存在著某一83另外也我們注意到：AB直線（ρAB=1）為組合體的方差（σP）最大時的情況，通過數學方法可以證明任何兩個證券的組合體之方差不可能再落到AB直線的右邊。同時，ρAB=-1時亦為另一極端。所以，三角形ABC為組合體方差σP及收益之關系所可能落在的區域。對-1<ρAB<1中任一ρAB之定值，其對應的證券組合體的可能性曲線只會在此區域內，如ρ=0及ρ=0.5時的情況。

另外也我們注意到：AB直線（ρAB=1）為組合體的方差（σP84證明：MV~B曲線為凹曲線，

MV~A曲線為凸曲線。

ABMV圖7.8一條典型的組合可能性曲線證明：MV~B曲線為凹曲線，

MV~A曲線為凸曲線。ABM85先觀察MV~B線：顯然從前面已知，任何兩個證券之組合體的可能性曲線不可能在此兩點直線的右邊。這一結論，不僅適用于任意兩個單個證券之組合體特征，也可以推廣到以任意兩個組合體所組成的組合的可能性曲線的特征。MV點為A、B證券的一個組合體證券，故MV點和B點之組合體適用于此原理，從而圖7.9中（a）種情況不會發生，對于（b）種情況，E點和F點為二個組合體，該二點所組成的組合體也不可能在EF直線右邊。同理可證明（c）、（d）二種情況不可能存在，至此證明完畢。先觀察MV~B線：顯然從前面已知，任何兩個證券之組合體的可能86（1）不允許賣空條件下的有效邊界在不允許賣空情況下，投資者所有可能的組合的點集合如圖7.10，其中C點為最小風險點。然而，由于我們假定了投資者兩個行為原則，因此他只可能選擇B、C曲線上的某一點。

（1）不允許賣空條件下的有效邊界在不允許賣空情況下，投資者所87（2）允許賣空下的有效邊界允許賣空意味著在數學模型中XB的值可以為負數，也可以為大于1。XB<0表示賣空B證券，并把B所獲得的資金投到A證券上。XB>1表示賣空A證券，并把所獲得的資金投到B證券上。因此，雖然XB值變化范圍擴大，然XA+XB=1約束條件仍必須滿足。

（2）允許賣空下的有效邊界88ECBEAD圖7.10證券組合的各種預期收益和標準差的可能性ECBEAD圖7.10證券組合的各種預期收益和標準差的可能89例子：設期初投資者擁有資金2000元，A股票價格為10元，B股票價格為10元，但投資預測1個月后A價格會上升，B價格為下降。于是他賣出B股票100股，同時買入A月股票300股，則A、B股票的投資比例分別為1.5和-0.5，即XA+XB=1，如果一個月后A、B股票價格分別為11元、9元，則組合的收益率為

例子：設期初投資者擁有資金2000元，A股票價格為10元，B90不管是否允許賣空，如下等式始終成立：

不管是否允許賣空，如下等式始終成立：91二存在無風險借貸設RF為無風險證券資產利率，X為投放在A上的資本比例，（1－X）就是投放在無風險資產上的比例，新的資產組合設為C，則有X≥0二存在無風險借貸設RF為無風險證券資產利率，X為投放在A92故有得：

A借貸圖7.12含有無風險借貸的證券組合的預期收益和風險H故有

A借貸圖7.12含有無風險借貸的證券組合的預期收益93

GAB

H圖7.13無風險資產與各種風險資產組合構成的投資組合

GAB

H圖7.13無風險資產與各種風險資產組合構成的投94第三節有效邊界的數學描述及計算技術一允許賣空且有無風險借貸BA圖7.18在允許賣空且有無風險借貸情況下證券組合的收益與風險第三節有效邊界的數學描述及計算技術一允許賣空且有無風險95設θ為夾角。求最大θ即為求最大tgθ值，所以此問題可歸結為下述數學規劃問題：Max設θ為夾角。求最大θ即為求最大tgθ值，所以此問題可歸結為下96設有A、B、C三家股份有限公司，各公司股票收益的特征值由表7.11給出。表7.11A、B、C三家公司股票收益的特征值ABCρAB=0.5ρAC=0.214%6%8%3%20%15%ρBC=0.4設有A、B、C三家股份有限公司，各公司股票收益的特征值由表797假設無風險借貸利率均為5%簡化后解方程組得：Z1=14/63， Z2=1/63，Z3=3/63進一步由公式

X1=14/18，X2=1/18， X3=3/18假設無風險借貸利率均為5%98二允許賣空但沒有無風險借貸解決問題的思路是：認為無風險資產存在，然后再假設一系列的RF值。如：RF=4%、5%、6%，分別找出對應的最佳風險資產組合A、B、C這些點，即構成了有效邊界曲線。二允許賣空但沒有無風險借貸解決問題的思路是：認為無風險資991．一般解法

當RF為某一值時，最佳風險資產組合中各風險資產比例Xi由下列方程組決定：對方程組求解Zi，則可求解出形如Zi=C0i+C1iRF ，i=1，2，…，N1．一般解法當RF為某一值時，最佳風險資產組合中各風險資產100仍用前述例子的數據，可得：14-RF＝36Z1+9Z2+18Z38-RF＝9Z1+9Z2+18Z320-RF＝18Z1+18Z2+225Z3解此方程組得：如此，給RF以不同的值，將得到一系列不同的（Z1、Z2、Z3）值，從而構畫出有效邊界曲線。仍用前述例子的數據，可得：1012．特殊解法

前面我們已從一般解法中得知Zi=C0i+C1iRF。若我們任意選定兩個RF值：RF′和RF″，則可以從上面一般方程組中得到相應的Zi′和Zi″值。這樣就可以通過方程組：Zi′=C0i+C1iRF′Zi″=C0i