-.z.因數、倍數、質數、合數一、因數倍數的特征1、重點歸納〔1〕一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身：一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的因數是它本身，沒有最大的因數：一個數，既是它本身的因數，也是它本身的倍數。〔2〕2、3、5、9倍數的特征：2的倍數的特征：個位數字是0，2，4，6，8；5的倍數的特征：個位數字是0或5；同時是2、5倍數的特征：個位數字是0；3的倍數的特征：各個數位的數字之和是3的倍數；9的倍數的特征：各個數位的數字之和是9的倍數。同時是2、3和5倍數的特征：個位數字是0，并且各個數位的數字之和是3的倍數〔3〕質數〔素數〕、合數最小的質數是2,2是唯一的偶質數，沒有最大的質數。最小的合數是4，沒有最大的合數。1既不是質數，也不是合數。〔4〕分解質因數的方法用短除法，先用這個合數的質因數〔通常從最小的開場〕去除，一般先試2、3、5這幾個數，除到得出的商是質數為止，把出書和商寫成相乘的形式。〔5〕奇數、偶數的運算性質：奇數±奇數=偶數偶數±偶數=偶數奇數±偶數=奇數奇數×奇數=奇數奇數×偶數=偶數偶數×偶數=偶數2、典型練習〔1〕判斷：因為48÷8=6，所以說48是倍數，8是因數。〔〕因數和倍數的關系式相互依存的，不能說*一個數是因數或倍數，可以說"誰是誰的倍數，誰是誰的因數〞。〔2〕用a表示一個大于1的自然數，則a2一定是〔〕。A、奇數B、偶數C、質數D、合數二、兩數互質的幾種特殊情況：〔1〕兩個不一樣的質數一定是互質數。如：7和13、17和19是互質數。〔2〕兩個連續的自然數一定是互質數。如：4和5、13和14是互質數。〔3〕相鄰的兩個奇數一定是互質數。如：5和7、75和77是互質數。〔4〕1和其他所有的自然數一定是互質數。如：1和4、1和13是互質數。〔5〕2和任意一個奇數都是互質數。如2和1、2和9都是互質數。〔6〕一個奇數和質因數只有2的偶數都是互質數。如9和4、3和8都是互質數。因數只有2的偶數，指的是如8=2×2×2，16=2×2×2×2；32=2×2×2×2×2……三、最大公因數和最小公倍數1、重點歸納〔1〕在求最小公因數和最大公倍數的時候，我們要區分兩者的區別與聯系。兩者都可以用短除法來求，但是前者是所有的除數相乘，而后者是把除數和商連乘起來而得到。〔2〕求兩個數的最大公因數和最小公倍數的特殊情況：①1與任意非零自然數的公因數只有1個，就是1。②倍數關系的兩個數，最大公因數是較小的數，最小公倍數是較大的數。舉例：15和5，[15，5]=15，〔15，5〕=5③互質的兩個數，最大公因數是１，最小公倍數是它們的乘積。舉例：[3，7]=21，〔3，7〕=1〔3〕在解決最大公因數和最小公倍數的實際問題中，一般問題中有"最大〞、"最多〞是求最大公因數的問題；一般問題中有"最少〞、"至少〞是求最小公倍數的問題。〔4〕兩個自然數的最大公因數與它們的最小公倍數的一個重要性質是：最大公因數×最小公倍數=兩個數的乘積〔5〕求兩個數的最小公倍數的方法：這兩個數的公有質因數與獨有質因數的連乘積就是這兩個數的最小公倍數。2、典型練習例1、兩個數的最大公因數是4，最小公倍數是252，其中一個是28，另一個是數〔〕。例2、兩個自然數的積是360，最小公倍數是120，這兩個數各是多少？例3、甲數=2×2×3×5，乙數=3×3×5×2，這兩個數的最小公倍數是〔〕。分析：根據求兩個數的最小公倍數的方法：即這兩個數的公有質因數與獨有質因數的連乘積，進展解答即可。解答：因為甲數=2×2×3×5，乙數=3×3×5×2，

所以這兩個數的最小公倍數是2×3×5×2×3=180．例4、學校舉行春季運動會，六1班人數的參加田賽，參加徑賽，六1班人數是〔〕人。分析：由六1班人數的參加田賽，參加徑賽參加徑賽〞，求出要求六1班人數，也就是求7和8的最小公倍數。7和8的最小公倍數是7×8=56，例5、能同時被2、3、5除余數為1的最小數是〔〕分析：可先求出能同時被2、3、5整除的最小的數，也就是它們的最小公倍數為30〔2、3、5互質，最小公倍數等于這三個數的乘積〕，由此解決問題。解答：能被2、3、5整除的最小的數是30，30+1=31例6、一筐蘋果〔在100以內〕，按每份3個分多1個；每份5個分多3個，每份7個分多2個，這筐蘋果原有〔〕個。分析：按每份3個分多1個；每份5個分多3個，每份7個分多2個，這筐蘋果加上2個，就是3個分和5個分沒有剩余，7個分剩4個，即是15的公倍數，求出100以內15的公倍數，然后再滿足7個分多4個的數，最后減去2即可。解：100以內15的公倍數有：30、45、60、75、90，

7個分多4個是：60，所以這筐蘋果原有：60-2=58個例7、從學校到文化中心的這段公路一側，一共有37盞路燈〔兩端均安裝〕，原來每兩盞燈之間相距50米，選擇要改成每兩盞之間相距60米，除去兩端不移動外，中間有多少盞路燈不需要重新安裝？分析：即求出50和60的最小公倍數，是300，也就是說每300米就有一盞燈不需要重新安裝；再求出這段路的總長里有多少個300米即可。6段，共有7個點，除去兩頭，還有5根不動，可以看圖.___.___.___.___.___.___.解答：[50，60]=300〔37-1〕×50=1800〔米〕1800÷300=66+1-2+5例8：用96朵紅花和72朵黃花做花束,如果每個花束里的紅花朵數同樣多,每個花束里的黃花也同樣多，且兩種花都沒有剩余。每個花束里最少有多少朵花？分析：看到最少，不能錯認為是求最小公倍數，花束例的花朵數要最少，說明花束要最多，也就是96和72最大公因數，再把每束花例的紅花朵數和黃花朵數加起來即可。解答：96和72的最大公因數是24，96÷24+72÷24=7(朵)練習一、填空題1、兩個數的最大公因數是42，最小公倍數是2940，且兩個數的和是714，這兩個數各是〔〕和〔〕。2、一個數與48的最大公約數是12，最小公倍數是144，這個數是〔〕。3、既有因數3，又是5的倍數的最小三位數是〔〕【分析】根據3的倍數的特征，各個數位上的數字之和是3的倍數，這個數就是3的倍數．5的倍數特征是：個位上是0或5的數是5的倍數．所以既有因數3又是5的倍數最小三位數是105．4、甲數=2×3×5×A，乙數=2×3×7×A，當A=〔〕時，甲、乙兩數的最小公倍數是630。解答：因為甲數=2×3×5×A，乙數=2×3×7×A，

所以這兩個數的最小公倍數是2×3×5×7×A=630，210×A=630，A=3二、選擇題1、a÷b=9〔a、b都是整數〕，則a與b的最小公倍數是〔〕A、aB、bC、abD、9注：成倍數關系的兩個數，大的數是小的數的最小公倍數。2、甲數×3=乙數，〔甲乙都是非0自然數〕，則乙數是甲數的〔〕A、倍數B、因數C、自然數D、質數3、下面的數，因數個數最少的是〔〕A、16B、36C、40【考點】找一個數的因數的方法．【分析】根據找一個數因數的方法分別找出16、36、40的因數，然后數出個數，比擬即可．【解答】解：16的因數有：1、2、4、8、16，共5個；

36的因數有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9個；

40的因數有：1、2、4、5、8、10、20、40，共8個；應選：A．4、1、3、7都是21的〔〕A、質因數B、公因數C、奇數D、因數解：因為1×3×7=21，所以1、3、7是21的因數；

因3、7都是質數，3、7是21的質因數，但1既不是質數，也不是合數，．

應選D．5、28□同時是2、3的倍數，□中可能是〔〕A、0或2或4或6或8B、2或5或8C、2或8D、以上說法都不正確考點：找一個數的倍數的方法；數的整除特征．分析：根據能被2和3整除的數的特征：個位是偶數，并且該數各個數位上數的和能被3整除；進展解答即可．解答：因為2+8+2=12，2+8+8=18，12和18都能被3整除，所以□中可能是2或8；三、解決問題1、兩數的積是3072，最大公約數是16，求這兩個數。2、小明家房間的地面正好是正方形，要鋪地磚，不管選擇邊長是50厘米的方磚，還是選擇邊長是60厘米的方磚都正好鋪滿，小明房間的地面至少是多少平方米？分析：房間的面積要最小，也就是房間的面積要同時是兩種方磚面積的最小整數倍，也就是房間的邊長要是兩種方磚邊張的最小公倍數。3、一張長24厘米，寬18厘米的長方形紙，要分成大小相等的小正方形，且沒有剩余．最少可以分成幾個這樣的小正方形？分析：看到最少，不能錯認為是求最小公倍數，截的塊數要最少，說明每塊在正方形截得的面積要最大，也就是邊長要最大。即求長、寬的最大公因數，再用長方形紙的面積÷截得的每塊小正方形的面積。4、*校五年級〔共3個班〕的學生排隊，每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人。這個學校五年級至少有〔〕名學生。分析：由每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：這個學校五年級減去2人就是3、5、7的公倍數，求至少就是、5、7的最小公倍數加2，據此解答。解答：3、5、7兩兩互質，它們最小公倍數等于它們的乘積；

3、5、7的最小公倍數：3×5×7=105；105+2=107〔名〕；因數、倍數、質數、合數一、因數倍數的特征1、重點歸納〔1〕一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身：一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的因數是它本身，沒有最大的因數：一個數，既是它本身的因數，也是它本身的倍數。〔2〕2、3、5、9倍數的特征：2的倍數的特征：個位數字是0，2，4，6，8；5的倍數的特征：個位數字是0或5；同時是2、5倍數的特征：個位數字是0；3的倍數的特征：各個數位的數字之和是3的倍數；9的倍數的特征：各個數位的數字之和是9的倍數。同時是2、3和5倍數的特征：個位數字是0，并且各個數位的數字之和是3的倍數〔3〕質數〔素數〕、合數最小的質數是2,2是唯一的偶質數，沒有最大的質數。最小的合數是4，沒有最大的合數。1既不是質數，也不是合數。〔4〕分解質因數的方法用短除法，先用這個合數的質因數〔通常從最小的開場〕去除，一般先試2、3、5這幾個數，除到得出的商是質數為止，把出書和商寫成相乘的形式。〔5〕奇數、偶數的運算性質：奇數±奇數=偶數偶數±偶數=偶數奇數±偶數=奇數奇數×奇數=奇數奇數×偶數=偶數偶數×偶數=偶數2、典型練習〔1〕判斷：因為48÷8=6，所以說48是倍數，8是因數。〔〕〔2〕用a表示一個大于1的自然數，則a2一定是〔〕。A、奇數B、偶數C、質數D、合數二、兩數互質的幾種特殊情況：〔1〕兩個不一樣的質數一定是互質數。如：7和13、17和19是互質數。〔2〕兩個連續的自然數一定是互質數。如：4和5、13和14是互質數。〔3〕相鄰的兩個奇數一定是互質數。如：5和7、75和77是互質數。〔4〕1和其他所有的自然數一定是互質數。如：1和4、1和13是互質數。〔5〕2和任意一個奇數都是互質數。如2和1、2和9都是互質數。〔6〕一個奇數和質因數只有2的偶數都是互質數。如9和4、3和8都是互質數。因數只有2的偶數，指的是如8=2×2×2，16=2×2×2×2；32=2×2×2×2×2……三、最大公因數和最小公倍數1、重點歸納〔1〕在求最小公因數和最大公倍數的時候，我們要區分兩者的區別與聯系。兩者都可以用短除法來求，但是前者是所有的除數相乘，而后者是把除數和商連乘起來而得到。〔2〕求兩個數的最大公因數和最小公倍數的特殊情況：①1與任意非零自然數的公因數只有1個，就是1。②倍數關系的兩個數，最大公因數是較小的數，最小公倍數是較大的數。舉例：15和5，[15，5]=15，〔15，5〕=5③互質的兩個數，最大公因數是１，最小公倍數是它們的乘積。舉例：[3，7]=21，〔3，7〕=1〔3〕在解決最大公因數和最小公倍數的實際問題中，一般問題中有"最大〞、"最多〞是求最大公因數的問題；一般問題中有"最少〞、"至少〞是求最小公倍數的問題。〔4〕兩個自然數的最大公因數與它們的最小公倍數的一個重要性質是：最大公因數×最小公倍數=兩個數的乘積〔5〕求兩個數的最小公倍數的方法：這兩個數的公有質因數與獨有質因數的連乘積就是這兩個數的最小公倍數。2、典型練習例1、兩個數的最大公因數是4，最小公倍數是252，其中一個是28，另一個是數〔〕。例2、兩個自然數的積是360，最小公倍數是120，這兩個數各是多少？例3、甲數=2×2×3×5，乙數=3×3×5×2，這兩個數的最小公倍數是〔〕。例4、學校舉行春季運動會，六1班人數的參加田賽，參加徑賽，六1班人數是〔〕人。例5、能同時被2、3、5除余數為1的最小數是〔〕例6、一筐蘋果〔在100以內〕，按每份3個分多1個；每份5個分多3個，每份7個分多2個，這筐蘋果原有〔〕個。例7、從學校到文化中心的這段公路一側，一共有37盞路燈〔兩端均安裝〕，原來每兩盞燈之間相距50米，選擇要改成每兩盞之間相距60米，除去兩端不移動外，中間有多少盞路燈不需要重新安裝？例8：用96朵紅花和72朵黃花做花束,如果每個花束里的紅花朵數同樣多,每個花束里的黃花也同樣多，且兩種花都沒有剩余。每個花束里最少有多少朵花？練習一、填空題1、兩個數的最大公因數是42，最小公倍數是2940，且兩個數的和是714，這兩個數各是〔〕和〔〕。2、一個數與48的最大公約數是12，最小公倍數是144，這個數是〔〕。3、既有因數3，又是5的倍