第頁課題：1.2空間向量基本定理主備人：審核：課時：1學案編號：班級：姓名：學習筆記【學習目標】1.掌握空間向量基本定理.2.了解空間向量正交分解的含義.3.空間向量基本定理的應用。【重點難點】難點：用空間向量基本定理解決有關問題.空間向量基本定理解決有關問題.【知識梳理】1、空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝，其中{a，b，c}叫做空間的一個，a，b，c都叫做．空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底．2、空間向量的正交分解(1)單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量，且長度都為1，那么這個基底叫做．常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣，把一個空間向量分解為三個的向量，叫做把空間向量進行．練習：{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且eq\o(OA,\s\up7(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up7(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up7(→))＝e1＋e2－e3，試判斷{eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))}能否作為空間的一個基底．題型一利用基底表示向量例1如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知eq\o(AA′,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝c，點M，N分別是BC′，B′C′的中點，試用基底{a，b，c}表示向量eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→)).如圖所示，空間四邊形OABC中，G，H分別是△ABC，△OBC的重心，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D為BC的中點．試用向量a，b，c表示向量eq\o(OG,\s\up6(→))和eq\o(GH,\s\up6(→)).題型二空間向量基本定理的應用例2已知正四面體A－BCD的棱長為1，點E，F分別是BC，AD的中點．(1)證明：EF⊥BC；(2)求異面直線AE與CD所成角的余弦值．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PA的長為2，且PA與AB，AD的夾角都等于60°，M是PC的中點，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AP,\s\up6(→))＝c.(1)試用a，b，c表示向量eq\o(BM,\s\up6(→))；(2)求BM的長．歸納總結：應用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.首先根據幾何體的特點,選擇一個基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數量積為0;(2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線;(3)若要求異面直線所成的角,則轉化為兩向量的夾角(或其補角).【當堂檢測】1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可以作為空間向量的一組基底的是()A.AB,AC,ADB.AB,2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,若點F是側面CC1D1D的中心,且AF=AD+mAB-nAA1,則A. B.C. D.3.下列說法正確的是()A.任何三個不共線的向量可構成空間向量的一個基底B.空間的基底有且僅有一個C.兩兩垂直的三個非零向量可構成空間的一個基底D.基底{a,b,c}中基向量與基底{e,f,g}中基向量對應相等4.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E為PD中點,若PA=a,PB=b,PC=c,則BE=.

【課后作業】1．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3i，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2j，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝5k，則eq\o(AC1,\s\up6(→))＝()A．i＋j＋kB.eq\f(1,3)i＋eq\f(1,2)j＋eq\f(1,5)kC．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k2．若{a，b，c}是空間的一個基底，則一定可以與向量p＝2a＋b，q＝2a－b構成空間的另一個基底的向量是()A．aB．bC．cD．a＋b3.如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四邊形BB1C1C的對角線BC1和B1C的交點，且eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(A1D,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cB.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)cD．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c4．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(BC,\s\up6(→))＋3zeq\o(C1C,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝()A．1B.eq\f(7,6)C.eq\f(5,6) D.eq\f(2,3)5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，則AC1與CE的位置關系是()A．重合B．垂直C．平行 D．無法確定6．(多選)給出下列命題，其中真命題有()A．若{a，b，c}可以作為空間的一個基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可以作為空間的一個基底B．已知a∥b，則a，b與任何向量都能構成空間的一個基底C．A，B，M，N是空間四點，若eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))不能構成空間的一個基底，則A，B，M，N四點共面D．已知{a，b，c}是空間的一個基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個基底7.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，用eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\