第八章統計與統計學臺州學院應瑋婷第八章統計與統計學臺州學院應瑋婷1隨機變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機現象的統計性規律。

概率論的許多問題中，隨機變量的概率分布通常是已知的，或者假設是已知的，而一切計算與推理都是在這已知是基礎上得出來的。但實際中，情況往往并非如此，一個隨機現象所服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些參數是未知的。B><§8.1統計的研究對象隨機變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機2例如：某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的；電視機的使用壽命服從什么分布是未知的；產品是否合格服從兩點分布，但參數——合格率p是未知的；B><統計研究的對象是大量社會經濟和自然現象一定總體的數量特征和數量關系。例如：某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的3統計學是一門使用有效方法收集數據、分析數據、并基于數據作出科學結論的方法論學科。它的主要內容包括抽樣調查、試驗設計、點估計、區間估計及假設檢驗等等。統計數據的收集、整理、分析屬于描述統計學，而統計數據的估計、檢驗、推斷等屬于推斷統計學。B><統計學是一門使用有效方法收集數據、分B><4§8.2總體和樣本總體與個體總體就是研究對象的統計指標。個體就是統計指標的特定觀察值。B><總體中所包含的個體的個數稱為總體的容量。容量為有限的稱為有限總體。容量為無限的稱為無限總體?！?.2總體和樣本總體與個體總體就是研究對象的統計5樣本與樣本值

B><抽樣

要了解總體的分布規律，在統計分析工作中，往往是從總體中抽取一部分個體進行觀測，這個過程稱為抽樣。樣本是n個隨機變量，抽取之后的觀測數據稱為樣本值或子樣觀察值。從總體中按一定規則抽取的部分個體為樣品，樣品的統計指標稱為樣本或子樣.樣本所包含的個體個數稱為樣本容量.樣本與樣本值B><抽樣要了6獨立性——即每次抽樣的結果既不影響其余各次抽樣的結果，也不受其它各次抽樣結果的影響。滿足上述兩點要求的子樣稱為簡單隨機樣本.獲得簡單隨機樣本的抽樣方法叫簡單隨機抽樣.代表性——即樣本()的每個分量與總體具有相同的概率分布。B><從簡單隨機樣本的含義可知，樣本與總體X

具有相同分布的隨機變且是獨立的.獨立性——即每次抽樣的結果既不影響其余各次抽樣的結果，7第九章統計量和抽樣分布第九章統計量和抽樣分布8則例如：設是從正態總體中抽取的一個樣本，其中為已知參數,為未知參數，是統計量不是統計量B><定義

設（）為總體X的一個樣本，為不含任何未知參數的連續函數，則稱為樣本（）的一個統計量?！?.1統計量則例如：設9樣本均值設是總體X的一個樣本，樣本方差B><樣本均方差或標準差§9.2常用統計量樣本均值設10統計量的分布稱為抽樣分布。B><數理統計中常用的分布除正態分布外，還有三個非常有用的連續型分布，即2分布t分布F分布數理統計的三大分布(都是連續型).它們都與正態分布有密切的聯系.！在本章中特別要求掌握對正態分布、2分布、t分布、F分布的一些結論的熟練運用.它們是后面各章的基礎.§9.3抽樣分布統計量的分布稱為抽樣分布。B><數理統計中常用的11——分布定義設總體，是X的一個樣本,則稱統計量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨立隨機變量的個數。B><一、三個重要分布——分布定義設總體，12滿足的數稱為2分布的下分位點或上側臨界值，其幾何意義見右圖所示.其中f(y)是2-分布的概率密度.f(y)xO顯然，在自由度n取定以后，的值只與有關.2分布的下分位點B><滿足的數稱為2分布的其幾何132分布的數學期望與方差設2～2(n)，則E(2)=n，D(2)=2n.2分布的可加性設且相互獨立，則B><2分布的數學期望與方差設2～2(n)，則E(14設隨機變量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X與Y相互獨立，則稱統計量2.t分布定義為n的t分布或學生氏分布，記作t分布的概率密度函數為T～t(n).其圖形如P107圖9.3所示,B><服從自由度設隨機變量15基本性質:

(1)f(t)關于t=0(縱軸)對稱。

(2)f(t)的極限為N(0，1)的密度函數，即

基本性質:16但對較小的n值，t分布與標準正態分布之間有較大差異.且P{|t|≥t0}≥P{|X|≥t0}，其中X～N(0，1)，即在t分布的尾部比在標準正態分布的尾部有著更大的概率.t

分布的數學期望與方差設T～t

(n)，則E(T)=0，D(T)=B><t(n)h(t)tOt分布的下分位點但對較小的n值，t分布與標準正態分布之間有較17設隨機變量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且與相互獨立，則稱隨機變量3.F分布為n1，第二自由度為n2的F分布，定義記作F～F(n1，n2).概率密度函數：其中其圖形見圖9.3.(P109)

B><服從第一自由度設隨機變量X～2(n1)18性質：若X～F(n1，n2)，則～F(n2，n1).F

分布的下分位點對于給定的

(0<

<1)，稱滿足條件的數F(n1，n2)為F分布的下分位點或下側臨界值，B><性質性質：若X～F(n1，n2)，則～F(n2，n1).F分布19二、正態總體的樣本均值與樣本方差的分布定理二設(X1，X2，…，Xn)為來自正態總體X～N(

，

2)的樣本，則(1)樣本均值與樣本方差S

2相互獨立；(2)定理一設(X1，X2，…，Xn)為取自正態總體X～N(，2)的樣本，則B><二、正態總體的樣本均值與樣本方差的分布定理二設20定理三設(X1，X2，…，Xn)為來自正態總體X～N(

，

2)的樣本，則統計量證由于與S

2相互獨立，且由t分布的定義得B><定理三設(X1，X2，…，Xn)為來自正態總體證由于與S221(1)設(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2)分別是來自正態總體N(1

，2)和N(2

，2)的樣本，且它們相互獨立，則統計量定理四其中、分別為兩總體的樣本方差.(證略).B><(1)設(X1，X2，…，Xn1)22(2)設為正態總體的樣本容量和樣本方差；定理四

為正態總體的樣本容量和樣本方差；且兩個樣本相互獨立，則統計量證明由已知條件知且相互獨立，由F分布的定義有B><(2)設23第八章統計與統計學臺州學院應瑋婷第八章統計與統計學臺州學院應瑋婷24隨機變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機現象的統計性規律。

概率論的許多問題中，隨機變量的概率分布通常是已知的，或者假設是已知的，而一切計算與推理都是在這已知是基礎上得出來的。但實際中，情況往往并非如此，一個隨機現象所服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些參數是未知的。B><§8.1統計的研究對象隨機變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機25例如：某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的；電視機的使用壽命服從什么分布是未知的；產品是否合格服從兩點分布，但參數——合格率p是未知的；B><統計研究的對象是大量社會經濟和自然現象一定總體的數量特征和數量關系。例如：某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的26統計學是一門使用有效方法收集數據、分析數據、并基于數據作出科學結論的方法論學科。它的主要內容包括抽樣調查、試驗設計、點估計、區間估計及假設檢驗等等。統計數據的收集、整理、分析屬于描述統計學，而統計數據的估計、檢驗、推斷等屬于推斷統計學。B><統計學是一門使用有效方法收集數據、分B><27§8.2總體和樣本總體與個體總體就是研究對象的統計指標。個體就是統計指標的特定觀察值。B><總體中所包含的個體的個數稱為總體的容量。容量為有限的稱為有限總體。容量為無限的稱為無限總體。§8.2總體和樣本總體與個體總體就是研究對象的統計28樣本與樣本值

B><抽樣

要了解總體的分布規律，在統計分析工作中，往往是從總體中抽取一部分個體進行觀測，這個過程稱為抽樣。樣本是n個隨機變量，抽取之后的觀測數據稱為樣本值或子樣觀察值。從總體中按一定規則抽取的部分個體為樣品，樣品的統計指標稱為樣本或子樣.樣本所包含的個體個數稱為樣本容量.樣本與樣本值B><抽樣要了29獨立性——即每次抽樣的結果既不影響其余各次抽樣的結果，也不受其它各次抽樣結果的影響。滿足上述兩點要求的子樣稱為簡單隨機樣本.獲得簡單隨機樣本的抽樣方法叫簡單隨機抽樣.代表性——即樣本()的每個分量與總體具有相同的概率分布。B><從簡單隨機樣本的含義可知，樣本與總體X

具有相同分布的隨機變且是獨立的.獨立性——即每次抽樣的結果既不影響其余各次抽樣的結果，30第九章統計量和抽樣分布第九章統計量和抽樣分布31則例如：設是從正態總體中抽取的一個樣本，其中為已知參數,為未知參數，是統計量不是統計量B><定義

設（）為總體X的一個樣本，為不含任何未知參數的連續函數，則稱為樣本（）的一個統計量?！?.1統計量則例如：設32樣本均值設是總體X的一個樣本，樣本方差B><樣本均方差或標準差§9.2常用統計量樣本均值設33統計量的分布稱為抽樣分布。B><數理統計中常用的分布除正態分布外，還有三個非常有用的連續型分布，即2分布t分布F分布數理統計的三大分布(都是連續型).它們都與正態分布有密切的聯系.！在本章中特別要求掌握對正態分布、2分布、t分布、F分布的一些結論的熟練運用.它們是后面各章的基礎.§9.3抽樣分布統計量的分布稱為抽樣分布。B><數理統計中常用的34——分布定義設總體，是X的一個樣本,則稱統計量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨立隨機變量的個數。B><一、三個重要分布——分布定義設總體，35滿足的數稱為2分布的下分位點或上側臨界值，其幾何意義見右圖所示.其中f(y)是2-分布的概率密度.f(y)xO顯然，在自由度n取定以后，的值只與有關.2分布的下分位點B><滿足的數稱為2分布的其幾何362分布的數學期望與方差設2～2(n)，則E(2)=n，D(2)=2n.2分布的可加性設且相互獨立，則B><2分布的數學期望與方差設2～2(n)，則E(37設隨機變量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X與Y相互獨立，則稱統計量2.t分布定義為n的t分布或學生氏分布，記作t分布的概率密度函數為T～t(n).其圖形如P107圖9.3所示,B><服從自由度設隨機變量38基本性質:

(1)f(t)關于t=0(縱軸)對稱。

(2)f(t)的極限為N(0，1)的密度函數，即

基本性質:39但對較小的n值，t分布與標準正態分布之間有較大差異.且P{|t|≥t0}≥P{|X|≥t0}，其中X～N(0，1)，即在t分布的尾部比在標準正態分布的尾部有著更大的概率.t

分布的數學期望與方差設T～t

(n)，則E(T)=0，D(T)=B><t(n)h(t)tOt分布的下分位點但對較小的n值，t分布與標準正態分布之間有較40設隨機變量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且與相互獨立，則稱隨機變量3.F分布為n1，第二自由度為n2的F分布，定義記作F～F(n1，n2).概率密度函數：其中其圖形見圖9.3.(P109)

B><服從第一自由度設隨機變量X～2(n1)41性質：若X～F(n1，n2)，則～F(n2，n1).F

分布的下分位點對于給定的

(0<

<1)，稱滿足條件的數F(n1，n2)為F分布的下分位點或下側臨界值，B><性質