2022年12月1日1模糊數學緒論用數學的眼光看世界，可把我們身邊的現象劃分為：1.確定性現象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現象的規律性靠經典數學去刻畫；2.隨機現象：如擲篩子，觀看那一面向上，這種現象的規律性靠概率統計去刻畫;3.模糊現象：如“今天天氣很熱”，“小伙子很高”，…等等。此話準確嗎？有多大的水分？靠模糊數學去刻畫。2022年12月1日1模糊數學緒論用數學的眼光看世界，可把我2022年12月1日2年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、長、短、貴、賤、強、弱、軟、硬、陰天、多云、暴雨、清晨、禮品。共同特點：模糊概念的外延不清楚。模糊概念導致模糊現象模糊數學——研究和揭示模糊現象的定量處理方法。模糊數學緒論2022年12月1日2年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、2022年12月1日3產生1965年，L.A.Zadeh（扎德）發表了文章《模糊集》

(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)基本思想用屬于程度代替屬于或不屬于。某個人屬于高個子的程度為0.8,另一個人屬于高個子的程度為0.3等.模糊數學緒論2022年12月1日3產生1965年，L.A.Zadeh（2022年12月1日4模糊代數，模糊拓撲，模糊邏輯，模糊分析，模糊概率，模糊圖論，模糊優化等模糊數學分支

涉及學科分類、識別、評判、預測、控制、排序、選擇；

模糊產品洗衣機、攝象機、照相機、電飯鍋、空調、電梯人工智能、控制、決策、專家系統、醫學、土木、農業、氣象、信息、經濟、文學、音樂模糊數學緒論2022年12月1日4模糊代數，模糊拓撲，模糊邏輯，模糊分析2022年12月1日5模糊數學緒論

課堂主要內容一、基本概念二、主要應用1.模糊聚類分析——對所研究的事物按一定標準進行分類模糊集，隸屬函數，模糊關系與模糊矩陣例如，給出不同地方的土壤，根據土壤中氮磷以及有機質含量，PH值，顏色，厚薄等不同的性狀，對土壤進行分類。2022年12月1日5模糊數學緒論課堂主要內容一、基本概念2022年12月1日62.模糊模式識別——已知某類事物的若干標準模型，給出一個具體的對象，確定把它歸于哪一類模型。模糊數學緒論例如：蘋果分級問題蘋果，有{I級，II級，III級，IV級}四個等級。現有一個具體的蘋果，如何判斷它的級別。2022年12月1日62.模糊模式識別——已知某類事物的若干2022年12月1日73.模糊綜合評判——從某一事物的多個方面進行綜合評價模糊數學緒論例如：某班學生對于對某一教師上課進行評價從{清楚易懂，教材熟練，生動有趣，板書清晰}四方面給出{很好，較好，一般，不好}四層次的評價最后問該班學生對該教師的綜合評價究竟如何。4.模糊線性規劃——將線性規劃的約束條件或目標函數模糊化，引入隸屬函數，從而導出一個新的線性規劃問題，其最優解稱為原問題的模糊最優解2022年12月1日73.模糊綜合評判——從某一事物的多個方2022年12月1日8模糊數學一模糊集合及其運算二模糊聚類分析三模糊模式識別四模糊綜合評判五模糊線性規劃2022年12月1日8模糊數學一模糊集合及其運算二模糊聚類分2022年12月1日9一、經典集合與特征函數集合：具有某種特定屬性的對象集體。通常用大寫字母A、B、C等表示。論域：對局限于一定范圍內進行討論的對象的全體。通常用大寫字母U、V、X、Y等表示。論域U中的每個對象u稱為U的元素。模糊集合及其運算2022年12月1日9一、經典集合與特征函數集合：具有某2022年12月1日10.uAA.u模糊集合及其運算2022年12月1日10.uAA.u模糊集合及其運算2022年12月1日11在論域U中任意給定一個元素u及任意給定一個經典集合A，則必有或者，用函數表示為：其中函數稱為集合A的特征函數。模糊集合及其運算非此即彼2022年12月1日11在論域U中任意給定一個元素u及任意給2022年12月1日12模糊集合及其運算亦此亦彼UA模糊集合,元素x若x位于A的內部，則用1來記錄，若x位于A的外部，則用0來記錄，若x一部分位于A的內部，一部分位于A的外部，則用x位于A內部的長度來表示x對于A的隸屬程度。2022年12月1日12模糊集合及其運算亦此亦彼UA模糊集合2022年12月1日13{0,1}[0,1]特征函數隸屬函數二、模糊子集定義：設U是論域，稱映射確定了一個U上的模糊子集。映射稱為的隸屬函數，稱為對的隸屬程度，簡稱隸屬度。2022年12月1日13{0,1}[0,1]特征2022年12月1日14模糊子集由隸屬函數唯一確定，故認為二者是等同的。為簡單見，通常用A來表示和。模糊集合及其運算越接近于0,表示x隸屬于A的程度越小；越接近于1,表示x隸屬于A的程度越大；＝0.5,最具有模糊性，過渡點2022年12月1日14模糊子集由隸屬函數2022年12月1日15模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法這里表示對模糊集A的隸屬度是。如“將一1,2,3,4組成一個小數的集合”可表示為可省略模糊集合及其運算2022年12月1日15模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有2022年12月1日16表示方法1的說明不是分式求和，只是一個符號“分母”是論域X的元素“分子”是相應元素的隸屬度當隸屬度為0時，該項可以不寫入2022年12月1日16表示方法1的說明不是分式求和，只是一2022年12月1日17（3）向量表示法（2）序偶表示法若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：模糊集合及其運算2022年12月1日17（3）向量表示法（2）序偶表示法若論2022年12月1日18例1.

有100名消費者，對5種商品評價，結果為：81人認為x1質量好，53人認為x2質量好，所有人認為x3質量好，沒有人認為x4質量好，24人認為x5質量好則模糊集A（質量好）2022年12月1日18例1.有100名消費者，對5種商品2022年12月1日19

例2：考慮年齡集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一個年齡集，u=20?O，40呢？…札德給出了“年老”集函數刻畫:10U501002022年12月1日19例2：考慮年齡集U=[0,1002022年12月1日20再如，Y=“年輕”也是U的一個子集，只是不同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，札德給出它的隸屬函數：

102550UB（u）2022年12月1日20再如，Y=“年輕”也是U的一個子集2022年12月1日21則模糊集O（年老）模糊集Y（年輕）2022年12月1日21則模糊集O（年老）模糊集Y（年輕）2022年12月1日222、模糊集的運算定義：設A，B是論域U的兩個模糊子集，定義相等：包含：并：交：余：

表示取大；表示取小。模糊集合及其運算2022年12月1日222、模糊集的運算定義：設A，B是論域2022年12月1日23例3.模糊集合及其運算則：0.30.910.80.60.20.10.80.30.52022年12月1日23例3.模糊集合及其運算則：0.30.2022年12月1日24模糊集合及其運算并交余計算的性質1.冪等律2.交換律3.結合律4.吸收律2022年12月1日24模糊集合及其運算并交余計算的性質1.2022年12月1日25模糊集合及其運算6.0-1律7.還原律8.對偶律5.分配律2022年12月1日25模糊集合及其運算6.0-1律7.2022年12月1日26幾個常用的算子：（1）Zadeh算子（2）取大、乘積算子（3）環和、乘積算子模糊集合及其運算2022年12月1日26幾個常用的算子：（1）Zadeh算子2022年12月1日27（4）有界和、取小算子（5）有界和、乘積算子（6）Einstain算子模糊集合及其運算2022年12月1日27（4）有界和、取小算子（5）有界和、2022年12月1日28三、隸屬函數的確定1、模糊統計法模糊統計試驗的四個要素：（1）論域U；（2）U中的一個固定元素（3）U中的一個隨機運動集合（4）U中的一個以作為彈性邊界的模糊子集A，制約著的運動。可以覆蓋也可以不覆蓋致使對A的隸屬關系是不確定的。模糊集合及其運算2022年12月1日28三、隸屬函數的確定1、模糊統計法模糊2022年12月1日29特點：在各次試驗中，是固定的，而在隨機變動。模糊統計試驗過程：（1）做n次試驗，計算出（2）隨著n的增大，頻率呈現穩定，此穩定值即為對A的隸屬度：模糊集合及其運算2022年12月1日29特點：在各次試驗中，是固定的，而2022年12月1日30模糊集合及其運算對129人進行調查,讓他們給出“青年人”的年齡區間，18-2517-3017-2818-2516-3514-2518-3018-3518-3516-2515-3018-3517-3018-2518-35┅┅┅┅┅15-3018-3017-2518-2918-28問年齡27屬于模糊集A（青年人）的隸屬度。2022年12月1日30模糊集合及其運算對129人進行調查,2022年12月1日31對年齡27作出如下的統計處理：A(27)=0.78(變動的圈是否蓋住不動的點)n10203040506070隸屬次數6142331394753隸屬頻率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隸屬次數6268768595101

隸屬頻率0.780.760.760.750.790.78

2022年12月1日31對年齡27作出如下的統計處理：A(22022年12月1日322、指派方法這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據問題的性質套用現成的某些形式的模糊分布，然后根據測量數據確定分布中所含的參數。模糊集合及其運算

一般會有一些大致的選擇方向：偏大型，偏小型，中間型。例如：在論域中，確定A=“靠近5的數”的隸屬函數中間型2022年12月1日322、指派方法這是一種主觀的方法，但也2022年12月1日33模糊集合及其運算可以選取柯西分布中間類型的隸屬函數先確定一個簡單的，比如此時有不太合理，故改變α2022年12月1日33模糊集合及其運算可以選取柯西分布中間2022年12月1日34模糊集合及其運算取此時有有所改善。2022年12月1日34模糊集合及其運算取此時有有所改善。2022年12月1日353、其它方法德爾菲法：專家評分法；二元對比排序法：把事物兩兩相比，從而確定順序，由此決定隸屬函數的大致形狀。主要有以下方法：相對比較法、擇優比較法和對比平均法等。模糊集合及其運算2022年12月1日353、其它方法德爾菲法：專家評分法；二2022年12月1日36模糊集合及其運算四、模糊矩陣定義：設稱R為模糊矩陣。當只取0或1時，稱R為布爾（Boole）矩陣。當模糊方陣的對角線上的元素都為1時，稱R為模糊單位矩陣。例如：2022年12月1日36模糊集合及其運算四、模糊矩陣定義：設2022年12月1日37（1）模糊矩陣間的關系及運算定義：設都是模糊矩陣，定義相等：包含：模糊集合及其運算并：交：余：2022年12月1日37（1）模糊矩陣間的關系及運算定義：設2022年12月1日38例4：模糊集合及其運算2022年12月1日38例4：模糊集合及其運算2022年12月1日39（2）模糊矩陣的合成定義：設稱模糊矩陣為A與B的合成，其中。模糊集合及其運算即：定義：設A為階，則模糊方陣的冪定義為2022年12月1日39（2）模糊矩陣的合成定義：設2022年12月1日40例5：模糊集合及其運算2022年12月1日40例5：模糊集合及其運算2022年12月1日41（3）模糊矩陣的轉置定義：設稱為A的轉置矩陣，其中。模糊集合及其運算性質：2022年12月1日41（3）模糊矩陣的轉置定義：設2022年12月1日42（4）模糊矩陣的截矩陣定義：設對任意的稱為模糊矩陣A的截矩陣，其中顯然，截矩陣為Boole矩陣。模糊集合及其運算2022年12月1日42（4）模糊矩陣的截矩陣2022年12月1日43例6：模糊集合及其運算2022年12月1日43例6：模糊集合及其運算2022年12月1日44截矩陣的性質：性質1.性質2.性質3.性質4.模糊集合及其運算2022年12月1日44截矩陣的性質：性質1.性質2.性質32022年12月1日45（5）特殊的模糊矩陣定義：若模糊方陣滿足則稱A為自反矩陣。例如是模糊自反矩陣。定義：若模糊方陣滿足則稱A為對稱矩陣。例如是模糊對稱矩陣。模糊集合及其運算2022年12月1日45（5）特殊的模糊矩陣定義：若模糊方陣2022年12月1日46模糊集合及其運算定義：若模糊方陣滿足則稱A為模糊傳遞矩陣。例如是模糊傳遞矩陣。2022年12月1日46模糊集合及其運算定義：若模糊方陣滿足2022年12月1日47模糊集合及其運算定義：若模糊方陣Q，S，A滿足則稱S為A的傳遞閉包，記為t(A)。2022年12月1日47模糊集合及其運算定義：若模糊方陣Q，2022年12月1日48模糊聚類分析一、基本概念及定理2022年12月1日48模糊聚類分析一、基本概念及定理2022年12月1日49模糊聚類分析定理：R是n階模糊等價矩陣是等價的Boole矩陣。意義：將模糊等價矩陣轉化為等價的Boole矩陣，可以得到有限論域上的普通等價關系，而等價關系是可以分類的。因此，當λ在[0,1]上變動時，由得到不同的分類。2022年12月1日49模糊聚類分析定理：R是n階模糊等價矩2022年12月1日50模糊聚類分析2022年12月1日50模糊聚類分析2022年12月1日51例6：設對于模糊等價矩陣模糊聚類分析2022年12月1日51例6：設對于模糊2022年12月1日52模糊聚類分析畫出動態聚類圖如下：0.80.60.50.412022年12月1日52模糊聚類分析畫出動態聚類圖如下：0.2022年12月1日53模糊聚類分析2022年12月1日53模糊聚類分析2022年12月1日54例7：設有模糊相似矩陣模糊聚類分析2022年12月1日54例7：設有模糊相似矩陣模糊聚類分析2022年12月1日55二、模糊聚類的一般步驟１、建立數據矩陣模糊聚類分析2022年12月1日55二、模糊聚類的一般步驟１、建立數據矩2022年12月1日56（1）標準差標準化模糊聚類分析2022年12月1日56（1）標準差標準化模糊聚類分析2022年12月1日57（2）極差正規化（3）極差標準化（4）最大值規格化其中：模糊聚類分析2022年12月1日57（2）極差正規化（3）極差標準化（42022年12月1日58２、建立模糊相似矩陣（標定）（1）相似系數法①夾角余弦法②相關系數法模糊聚類分析2022年12月1日58２、建立模糊相似矩陣（標定）（1）相2022年12月1日59（2）距離法①Hamming距離②Euclid距離③Chebyshev距離模糊聚類分析2022年12月1日59（2）距離法①Hamming距離②E2022年12月1日60（3）貼近度法①最大最小法②算術平均最小法③幾何平均最小法模糊聚類分析2022年12月1日60（3）貼近度法①最大最小法②算術平均2022年12月1日613、聚類并畫出動態聚類圖（1）模糊傳遞閉包法步驟：模糊聚類分析（2）boole矩陣法（略）2022年12月1日613、聚類并畫出動態聚類圖（1）模糊傳2022年12月1日62（3）直接聚類法模糊聚類分析①取作相似類當不同相似類出現公共元素時，將公共元素所在類合并。②取找出的元素對將對應于的等價分類中所在類與所在類合并，所有情況合并后得到相應于的等價分類。③依次類推，直到合并到U成為一類為止。（4）最大樹法（5）編網法2022年12月1日62（3）直接聚類法模糊聚類分析①取作相2022年12月1日63模糊聚類分析2022年12月1日63模糊聚類分析2022年12月1日64解：由題設知特性指標矩陣為采用最大值規格化法將數據規格化為模糊聚類分析2022年12月1日64解：由題設知特性指標矩陣為采用最大值2022年12月1日65用最大最小法構造模糊相似矩陣得到模糊聚類分析2022年12月1日65用最大最小法構造模糊聚類分析2022年12月1日66用平方法合成傳遞閉包2022年12月1日66用平方法合2022年12月1日67取，得模糊聚類分析2022年12月1日67取，得模糊聚類分析2022年12月1日68取，得取，得模糊聚類分析2022年12月1日68取，得取2022年12月1日69取，得取，得模糊聚類分析2022年12月1日69取，得取2022年12月1日70畫出動態聚類圖如下：0.70.630.620.531模糊聚類分析2022年12月1日70畫出動態聚類圖如下：0.70.6302022年12月1日71若利用直接聚類法模糊相似矩陣取λ＝1,此時為單位矩陣，故分類自然為{x1}，{x2}，{x3}，{x4}，{x5}。取λ＝0.70,此時2022年12月1日71若利用直接聚類法模糊相似矩陣取λ＝12022年12月1日72故分類應為{x1}，{x3}，{x2,x4}，{x5}。{x2,x4}為相似類取λ＝0.63,此時{x2,x4}，{x1,x4}為相似類，有公共元素x4的相似類為{x1,x2,x4}故分類應為{x1,

x2,x4}，{x3}，{x5}。2022年12月1日72故分類應為{x1}，{x3}，{2022年12月1日73取λ＝0.62,此時{x2,x4},{x1,x4},{x1,x3}為相似類，有公共元素x4的相似類為{x1,x2,x3,x4}故分類應為{x1,x2,x3,x4}，{x5}。2022年12月1日73取λ＝0.62,此時{x2,x42022年12月1日74取λ＝0.53,此時故分類應為{x1,x2,x3,x4,x5}

。2022年12月1日74取λ＝0.53,此時故分類應為{x2022年12月1日75模糊聚類分析的簡要流程:YN2022年12月1日75模糊聚類分析的簡要流程:YN2022年12月1日764、最佳閾值的確定模糊聚類分析（1）按實際需要，調整λ

的值，或者是專家給值。（2）用F

-

統計量確定最佳λ值。針對原始矩陣X，得到其中，設對應于λ

的分類數為r,第j類的樣本數為nj,第j類的樣本記為：2022年12月1日764、最佳閾值的確定模糊聚類分析（1）2022年12月1日77則第j類的聚類中心為向量：其中，為第k個特征的平均值作F

-

統計量模糊聚類分析2022年12月1日77則第j類的聚類中心為向量：其中，2022年12月1日78模糊聚類分析若是則由數理統計理論知道類與類之間的差異顯著若滿足不等式的F值不止一個，則可進一步考察差值的大小，從較大者中選擇一個即可。其中2022年12月1日78模糊聚類分析若是則由數理統計理論知道2022年12月1日79模糊模式識別模式識別的本質特征：一是事先已知若干標準模式，稱為標準模式庫；二是有待識別的對象。所謂模糊模式識別，是指在模式識別中，模式是模糊的，或說標準模式庫中提供的模式是模糊的。2022年12月1日79模糊模式識別模式識別的本質特征：一是2022年12月1日80

模式識別是科學、工程、經濟、社會以至生活中經常遇到并要處理的基本問題。這一問題的數學模式就是在已知各種標準類型(數學形式化了的類型)的前提下，判斷識別對象屬于哪個類型？對象也要數學形式化，有時數學形式化不能做到完整，或者形式化帶有模糊性質，此時識別就要運用模糊數學方法。模糊模式識別2022年12月1日80模式識別是科學、工程2022年12月1日81

在科學分析與決策中，我們往往需要將搜集到的歷史資料歸納整理，分成若干類型，以便使用管理。當我們取到一個新的樣本時，把它歸于哪一類呢？或者它是不是一個新的類型呢？這就是所謂的模式識別問題。在經濟分析，預測與決策中，在知識工程與人工智能領域中，也常常遇到這類問題。本節介紹兩類模式識別的模糊方法。一類是元素對標準模糊集的識別問題——

點對集；另一類是模糊集對標準模糊集的識別問題——

集對集。模糊模式識別2022年12月1日81在科學分析與決策中，我們往往2022年12月1日82例1.

蘋果的分級問題設論域X={若干蘋果}。蘋果被摘下來后要分級。一般按照蘋果的大小、色澤、有無損傷等特征來分級。于是可以將蘋果分級的標準模型庫規定為={Ⅰ級，Ⅱ級，Ⅲ級，Ⅳ級}，顯然，模型Ⅰ級，Ⅱ級，Ⅲ級，Ⅳ級是模糊的。當果農拿到一個蘋果

x0

后，到底應將它放到哪個等級的筐里，這就是一個元素（點）對標準模糊集的識別問題。模糊模式識別2022年12月1日82例1.蘋果的分級問題模糊模式識別2022年12月1日83例2.

醫生給病人的診斷過程實際上是模糊模型識別過程。設論域X={各種疾病的癥候}(稱為癥候群空間)。各種疾病都有典型的癥狀，由長期臨床積累的經驗可得標準模型庫={心臟病，胃潰瘍，感冒，…}，顯然，這些模型(疾病)都是模糊的。病人向醫生訴說癥狀(也是模糊的)，由醫生將病人的癥狀與標準模型庫的模型作比較后下診斷。這是一個模糊識別過程，也是一個模糊集對標準模糊集的識別問題。模糊模式識別2022年12月1日83例2.醫生給病人的診斷過程實際上2022年12月1日84點對集——1.問題的數學模型

(1)第一類模型：設在論域X上有若干模糊集：A1，A2，…，AnF(X)，將這些模糊集視為n個標準模式，x0X是待識別的對象，問x0應屬于哪個標準模式Ai(i=1，2，…，

n)?(2)第二類模型：設AF(X)為標準模式，x1,x2,…,xnX為n個待選擇的對象，問最優錄選對象是哪一個xi(i=1，2，…，

n)?模糊模式識別2022年12月1日84點對集——1.問題的數學模型2022年12月1日85一最大隸屬原則最大隸屬原則Ⅰ：最大隸屬原則Ⅱ：模糊模式識別2022年12月1日85一最大隸屬原則最大隸屬原則Ⅰ：最大隸2022年12月1日86按最大隸屬原則，該人屬于老年。解：模糊模式識別2022年12月1日86按最大隸屬原則，解：模糊模式識別2022年12月1日87例選擇優秀考生。設考試的科目有六門x1：政治x2：語文x3：數學x4：理、化x5：史、地x6：外語考生為y1，y2，…，yn，組成問題的論域Y={y1,y2,…,yn}。設A=“優秀”，是Y上的模糊集，A(yi)是第

i個學生隸屬于優秀的程度。給定A(yi)的計算方法如下：模糊模式識別2022年12月1日87例選擇優秀考生。設考試的科目有六門2022年12月1日88式中i=1,2,…,n是考生的編號，j=1,2,…,6是考試科目的編號，j是第j個考試科目的權重系數。按照最大隸屬度原則Ⅱ，就可根據計算出的各考生隸屬于“優秀”的程度（隸屬度）來排序。例如若令1=2=3=1，4=5=0.8，6=0.7,有四個考生y1,y2,y3,y4，其考試成績分別如表3.4模糊模式識別2022年12月1日88式中i=1,2,…,n2022年12月1日89表3.4

考生成績表yix1x2x3x4x5x6y1y2y3y4718563926382688982639561908494638591628770827081模糊模式識別2022年12月1日89yix1x2x3x4x5x6y1712022年12月1日90則可以計算出于是這四個考生在“優秀”模糊集中的排序為：y2,y4,y1,y3.模糊模式識別2022年12月1日90則可以計算出模糊模式識別2022年12月1日91閾值原則：模糊模式識別有時我們要識別的問題，并非是已知若干模糊集求論域中的元素最大隸屬于哪個模糊集（第一類模型），也不是已知一個模糊集，對論域中的若干元素選擇最佳隸屬元素（第二類模型），而是已知一個模糊集，問論域中的元素，能否在某個閾值的限制下隸屬于該模糊集對應的概念或事物，這就是閾值原則，該原則的數學描述如下：2022年12月1日91閾值原則：模糊模式識別有時我們要識別2022年12月1日92模糊模式識別2022年12月1日92模糊模式識別2022年12月1日93例如

已知“青年人”模糊集Y，其隸屬度規定為對于x1=27歲及x2=30歲的人來說，若取閾值模糊模式識別2022年12月1日93例如已知“青年人”模糊集2022年12月1日941=0.7，模糊模式識別故認為27歲和30歲的人都屬于“青年人”范疇。則因

Y(27)=0.862>1，而

Y(30)=0.5<1，故認為27歲的人尚屬于“青年人”，而30歲人的則不屬于“青年人”。

若取閾值2=0.5，則因

Y(27)=0.862>2,而

Y(30)=0.5=2，2022年12月1日941=0.7，模糊模式識別故認為2022年12月1日95模糊模式識別集對集——例如：論域為“茶葉”，標準有5種待識別茶葉為B，反映茶葉質量的6個指標為：條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味，確定B屬于哪種茶A1A2A3A4A5B條索0.50.30.2000.4色澤0.40.20.20.10.10.2凈度0.30.20.20.20.10.1湯色0.60.10.10.10.10.4香氣0.50.20.10.10.10.5滋味0.40.20.20.10.10.32022年12月1日95模糊模式識別集對集——例如：論域為“2022年12月1日96在實際問題中，我們常常要比較兩個模糊集的模糊距離或模糊貼近度，前者反映兩個模糊集的差異程度，后者則表示兩個模糊集相互接近的程度，這是一個事情的兩個方面。如果待識別的對象不是論域X中的元素x，而是模糊集A，已知的模糊集是A1,A2,…,An，那么問A屬于哪個Ai(i=1,2,…,n)？就是另一類模糊模式識別問題—集對集。解決這個問題，就必須先了解模糊集之間的距離或貼近度。2022年12月1日96在實際問題中，我們常常要比較兩個模糊2022年12月1日971.距離判別分析定義

設A、BF(X)。稱如下定義的dP(A,B)為A與B的Minkowski(閔可夫斯基)距離

(P≥1)：

ⅰ)當X={x1,x2,…,xn}時，

ⅱ)當X=[a,b]時，模糊模式識別2022年12月1日971.距離判別分析模糊模式識別2022年12月1日98特別地，p=1時，稱d

1(A,B)為A與B的Hamming(海明)距離。p=2時，稱d2(A,B)為A與B的Euclid(歐幾里德)距離。有時為了方便起見，須限制模糊集的距離在[0,1]中，因此定義模糊集的相對距離dp’(A,B)，相應有

(1)相對Minkowski距離模糊模式識別2022年12月1日98特別地，模糊模式識別2022年12月1日99

(2)相對Hamming距離模糊模式識別2022年12月1日99模糊模式識別2022年12月1日100(3)相對Euclid距離模糊模式識別2022年12月1日100(3)相對Euclid距2022年12月1日101

有時對于論域中的元素的隸屬度的差別還要考慮到權重W(x)≥0，此時就有加權的模糊集距離。一般權重函數滿足下述條件：當X={x1，x2，…，xn}時，有當X=[a,b]時，有加權Minkowski距離定義為模糊模式識別2022年12月1日101有時對于論域中的元2022年12月1日102加權Hamming距離定義為加權Euclid距離定義為模糊模式識別2022年12月1日102加權Hamming距離定義為模2022年12月1日103例

欲將在A地生長良好的某農作物移植到B地或C地，問B、C兩地哪里最適宜？氣溫、濕度、土壤是農作物生長的必要條件，因而A、B、C三地的情況可以表示為論域

X={x1(氣溫)，x2(濕度)，x3(土壤)}上的模糊集，經測定，得三個模糊集為模糊模式識別2022年12月1日103例欲將在A地生長良好的某農作2022年12月1日104由于dw1(A,B)<dw1(A,C)，說明A，B環境比較相似，該農作物宜于移植B地。模糊模式識別

設權重系數為W=(0.5,0.23,0.27)。計算A與B及A與C的加權Hamming距離，得2022年12月1日104由于dw1(A,B)<2022年12月1日1052、貼近度模糊模式識別按上述定義可知，模糊集的內積與外積是兩個實數。A⊙B=定義設A，B

F(U)，稱為A與B的內積，稱為A與B的外積。2022年12月1日1052、貼近度模糊模式識別按上述定義可2022年12月1日106比較，可以看出A°B與a·b十分相似，只要把經典數學中的內積運算的加“+”與乘“?”換成取大“”與取小“”運算，就得到A°B。模糊模式識別

若X={x1,x2,…xn}，記A(xi)=ai，B(xi)=bi，則與經典數學中的向量a={a1,a2,…an}與向量b={b1,b2,…bn}的內積2022年12月1日106比較，可以看出A°B與a·2022年12月1日107例

設X={x1,x2,x3,x4,x5,x6},則

A⊙

B模糊模式識別2022年12月1日107例設X={x1,x2,x2022年12月1日108例

設A，BF(R)，A、B均為正態型模糊集，其隸屬函數如圖3.33ABCDE0ax*bx圖3.33正態型模糊集A、Bμ模糊模式識別2022年12月1日108例設A，BF(R)，A、B2022年12月1日109由定義知A°B應為max(A∩B)

，隸屬度曲線CDE部分的峰值，即曲線A(x)與B(x)的交點x*處的縱坐標。為求x*，令解得于是類似地，由于故A⊙B=0。模糊模式識別2022年12月1日109由定義知A°B應為max(A2022年12月1日110模糊模式識別表示兩個模糊集A，B之間的貼近程度。或σL(A，B)=(A°B)(A⊙

B)C2022年12月1日110模糊模式識別表示兩個模糊集A，B之2022年12月1日111⊙C=⊙C=故B比A更貼近于Ｃ.模糊模式識別2022年12月1日111⊙C=⊙C=故B比A更貼近于Ｃ2022年12月1日112模糊模式識別2022年12月1日112模糊模式識別2022年12月1日113模糊模式識別2022年12月1日113模糊模式識別2022年12月1日114二、擇近原則模糊模式識別2022年12月1日114二、擇近原則模糊模式識別2022年12月1日115模糊模式識別例如：論域為“茶葉”，標準有5種待識別茶葉為B，反映茶葉質量的6個指標為：條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味，確定B屬于哪種茶A1A2A3A4A5B條索0.50.30.2000.4色澤0.40.20.20.10.10.2凈度0.30.20.20.20.10.1湯色0.60.10.10.10.10.4香氣0.50.20.10.10.10.5滋味0.40.20.20.10.10.3⊙B)]，

2022年12月1日115模糊模式識別例如：論域為“茶葉”，2022年12月1日116模糊模式識別計算得故茶葉B為A1型茶葉。2022年12月1日116模糊模式識別計算得故茶葉B為2022年12月1日117模糊綜合評判一、一級模糊綜合評判2022年12月1日117模糊綜合評判一、一級模糊綜合評判2022年12月1日118模糊綜合評判2022年12月1日118模糊綜合評判2022年12月1日119模糊綜合評判2022年12月1日119模糊綜合評判2022年12月1日120模糊綜合評判2022年12月1日120模糊綜合評判2022年12月1日121模糊綜合評判2022年12月1日121模糊綜合評判2022年12月1日122根據運算的不同定義，可得到以下不同模型：模糊綜合評判2022年12月1日122根據運算的不同定義，可得到以下不2022年12月1日123例如有單因素評判矩陣則B＝(0.18,0.18,0.18,0.18)2022年12月1日123例如有單因素評判矩陣則B＝(0.12022年12月1日124模糊綜合評判2022年12月1日124模糊綜合評判2022年12月1日125模糊綜合評判2022年12月1日125模糊綜合評判2022年12月1日126其中：模糊綜合評判2022年12月1日126其中：模糊綜合評判2022年12月1日127實例：某平原產糧區進行耕作制度改革，制定了甲(三種三收)乙(兩茬平作),丙(兩年三熟)3種方案,主要評價指標有：糧食畝產量，農產品質量，每畝用工量，每畝純收入和對生態平衡影響程度共5項，根據當地實際情況，這5個因素的權重分別為0.2,0.1,0.15,0.3,0.25,其評價等級如下表分數畝產量/kg產品質量/級畝用工量/工日畝純收入/元生態平衡影響程度/級5550-600120以下130以上14500-550220-30110-13023450-500330-4090-11032400-450440-5070-9041350-400550-6050-7050350以下660以上50以下62022年12月1日127實例：某平原產糧區進行耕作制度改革2022年12月1日128經過典型調查，并應用各種參數進行謀算預測，發現3種方案的5項指標可達到下表中的數字，問究竟應該選擇哪種方案。方案甲乙丙畝產量/kg592.5529412產品質量/級321畝用工量/工日553832畝純收入/元7210585生態平衡影響程度/級532過程：因素集權重A＝（0.2,0.1,0.15,0.3,0.25）評判集2022年12月1日128經過典型調查，并應用各種參數進行謀2022年12月1日129建立單因素評判矩陣：因素與方案之間的關系可以通過建立隸屬函數，用模糊關系矩陣來表示。2022年12月1日129建立單因素評判矩陣：因素與方案之間2022年12月1日1302022年12月1日1302022年12月1日1312022年12月1日1312022年12月1日1322022年12月1日1322022年12月1日1332022年12月1日1332022年12月1日134二、多級模糊綜合評判（以二級為例）問題：對高等學校的評估可以考慮如下方面模糊綜合評判2022年12月1日134二、多級模糊綜合評判（以二級為例）2022年12月1日135二級模糊綜合評判的步驟：模糊綜合評判2022年12月1日135二級模糊綜合評判的步驟：模糊綜合評2022年12月1日136模糊綜合評判2022年12月1日136模糊綜合評判2022年12月1日137模糊綜合評判2022年12月1日137模糊綜合評判2022年12月1日138模糊綜合評判2022年12月1日138模糊綜合評判2022年12月1日139模糊綜合評判2022年12月1日139模糊綜合評判2022年12月1日140模糊綜合評判2022年12月1日140模糊綜合評判2022年12月1日141模糊綜合評判2022年12月1日141模糊綜合評判2022年12月1日142模糊綜合評判2022年12月1日142模糊綜合評判2022年12月1日143模糊線性規劃一、模糊約束條件下的極值問題例：某人想買一件大衣，提出如下標準：式樣一般，質量好，尺寸較全身，價格盡量便宜，設有5件大衣X＝{x1,x2,x3,x4,x5}供選擇，經調查結果如表大衣x1x2x3x4X5式樣過時較陳舊時髦較新一般質量好較好好較差一般尺寸合身較合身合身合身較合身價格40801008575問他應該購買哪一件大衣？2022年12月1日143模糊線性規劃一、模糊約束條件下的極2022年12月1日144模糊線性規劃該類問題的解題過程：2.目標函數f(x)模糊化1.將語言真值(評價結果)轉化為各模糊約束集的隸屬度3.定義模糊判決：加權型：對稱型：4.由最大隸屬原則求出x*,則x*為模糊條件極大值點。2022年12月1日144模糊線性規劃該類問題的解題過程：22022年12月1日145解：將式樣，質量，尺寸化為三個模糊約束A1,A2,A3,價格化為模糊目標G：大衣x1x2x3x4X5A100.70.50.81A210.810.40.6A310.8110.8G10.3300.250.5將表中的評價結果轉化為各模糊約束集的隸屬度其中模糊目標2022年12月1日145解：將式樣，質量，尺寸化為三個模糊2022年12月1日146總約束集模糊目標集約束與目標對等時，用對稱型模糊判決由最大隸屬原則，應該買x5.2022年12月1日146總約束集模糊目標集約束與目標對等時2022年12月1日147如果要求價格更便宜，則放松約束，令a=0.4,b=0.6加權型判決為由最大隸屬原則，應該買x1.2022年12月1日147如果要求價格更便宜，則放松約束，令2022年12月1日148模糊線性規劃實例：采區巷道布置是礦井開拓中的重要內容，其目的就是建立完善的礦井生產系統，實現采區合理集中生產，改善技術經濟指標.因此，合理地選擇最優巷道布置方案，對于礦井生產具有十分重要的意義.根據煤礦開采的特點和采區在礦井生產的作用，在選擇最優巷道布置方案時，要求達到下列標準：(1)生產集中程度高；(2)采煤機械化程度高；(3)采區生產系統十分完善；(4)安全生產可靠性好；(5)煤炭損失率低；(6)巷道掘進費用盡可能低.上述問題,實際上就是一個模糊約束下的條件極值問題，我們可以把(1)～(5)作為模糊約束，而把(6)作為目標函數.設某礦井的采區巷道布置有六種方案可供選擇，即=｛(方案Ⅰ),(方案Ⅱ),(方案Ⅲ),(方案Ⅳ),(方案Ⅴ),(方案Ⅵ)｝.2022年12月1日148模糊線性規劃實例：=｛(方案Ⅰ),2022年12月1日149模糊線性規劃經過對六種方案進行審議，評價后，將其結果列于表163.6044.2034.5078.8069.1059.40G：巷道掘進費用(萬元)很低一般一般一般較高高:煤炭損失率低高一般高較低一般較低:安全生產可靠度高較高高很高較低較低一級:采區生產系統完善高很高高較高較高高:采煤機械化程度高較高較高很高較高高較低:生產集中程度高

方案評價項目略2022年12月1日149模糊線性規劃經過對六種方案進行審議2022年12月1日150普通線性規劃的一般形式為

目標函數約束條件矩陣表達形式模糊線性規劃二、模糊線性規劃問題(1)2022年12月1日150普通線性規劃的一般形式為目標2022年12月1日151模糊線性規劃是將約束條件和目標函數模糊化，引入隸屬函數，從而導出一個新的線性規劃問題，它的最優解稱為原問題的模糊最優解.普通線性規劃其約束條件和目標函數都是確定的，但在一些實際問題中，約束條件可能帶有彈性，目標函數可能不是單一的，可以借助模糊集的方法來處理.2022年12月1日151模糊線性規劃是將約束條件和目標函數2022年12月1日152模糊線性規劃，其模型為為了體現這個近似小于等于，我們引入伸縮指標di,2022年12月1日152模糊線性規劃，其模型為為了體現這個2022年12月1日153模型又可寫成當時，

當取內某一值。

（2）2022年12月1日153模型又可寫成當時，當取2022年12月1日154模糊線性規劃2022年12月1日154模糊線性規劃2022年12月1日155模糊線性規劃2022年12月1日155模糊線性規劃2022年12月1日156模糊線性規劃2022年12月1日156模糊線性規劃2022年12月1日157模糊線性規劃2022年12月1日157模糊線性規劃2022年12月1日158模糊線性規劃2022年12月1日158模糊線性規劃2022年12月1日159模糊線性規劃2022年12月1日159模糊線性規劃2022年12月1日160模糊線性規劃2022年12月1日160模糊線性規劃2022年12月1日161實例1：飲料配方問題某種飲料含有三種主要成份A1,A2,A3,每瓶含量分別為75±5mg,120±5mg,138±5mg,這三種成份主要來自于五種原料B1,B2,B3,B4,B5.各種原料每千克所含成分與單價如下表所示，若生產此種飲料一萬瓶，如何選擇原料成本最小？原料B1B2B3B4B5A1/mg856012080120A2/mg801509016060A3/mg100120150120200單價/元1.31.51.61.71.82022年12月1日161實例1：飲料配方問題某種飲料含有三2022年12月1日162多目標線性規劃

在相同的條件下,要求多個目標函數都得到最好的滿足,這便是多目標規劃.若目標函數和約束條件都是線性的,則為多目標線性規劃.

一般來說,多個目標函數不可能同時達到其最優值,因此只能求使各個目標都比較“滿意”的模糊最優解.模糊線性規劃2022年12月1日162多目標線性規劃在相同的條2022年12月1日163例2

解多目標線性規劃問題模糊線性規劃2022年12月1日163例2解多目標線性規劃問題模糊線性2022年12月1日164⑴解普通線性規劃問題：

得最優解為x1=0,x2=2,x3=2,最優值為2，此時

f2=8.模糊線性規劃2022年12月1日164⑴解普通線性規劃問題：得2022年12月1日165⑵解普通線性規劃問題：

得最優解為x1=10,x2=0,x3=0,最優值為20，此時f1=10.模糊線性規劃2022年12月1日165⑵解普通線性規劃問題：得2022年12月1日166⑴的最優解為x1=0,x2=2,x3=2,最優值為2,此時f2=8.⑵的最優解為x1=10,x2=0,x3=0,最優值為20，此時f1=10.

同時考慮兩個目標，合理的方案是使f1∈[2,10],f2∈[8,20],

可取伸縮指標分別為d1=10-2=8,d2=20-8=12.

如果認為目標

f1更重要,可單獨縮小d1;

如果認為目標

f2更重要，可單獨縮小d2.2022年12月1日166⑴的最優解為x1=0,x22022年12月1日167⑶再分別將兩個目標函數模糊化,變為解普通線性規劃問題：

得最優解為x1=6.29,x2=0.29,x3=1.43,

=0.57.此時f1=5.43,f2=14.86.2022年12月1日167⑶再分別將兩個目標函數模糊2022年12月1日168實例2：風險投資問題某人計劃將自己的資金的20%±3%作為機動資金，其余用于投資5種證券：A1,A2,A3,A4,A5,已知它們的投資收益率和風險損失率如下表，問如何投資才能使收益最大，風險最小。證券A1/%A2/%A3/%A4/%A5/%收益率510203040風險率35816182022年12月1日168實例2：風險投資問題某人計劃將自己2022年12月1日169(1)

偏大型(S型)：這種類型的隸屬函數隨x的增大而增大，隨所選函數的形式不同又分為：

1）升半矩形分布（圖3.7）

2）升半分布（圖3.8）

3）升半正態分布（圖3.9）

4）升半柯西分布（圖3.10）

5）升半梯形分布（圖3.11）

6）升嶺形分布（圖3.12）2022年12月1日169(1)偏大型(S型)：這2022年12月1日170(2)

偏小型(Z型)：這種類型的隸屬函數隨x的增大而減小，隨所選函數的形式又可分為：

1）降半矩形分布（圖3.13）

2）降半分布（圖3.14）

3）降半正態分布（圖3.15）

4）降半柯西分布（圖3.16）

5）降半梯形分布（圖3.17）

6）降嶺形分布（圖3.18）2022年12月1日170(2)偏小型(Z型)：2022年12月1日171(3)

中間型(

型)：這種類型的隸屬函數在(－，a)上為偏大型，在(a，+)為偏小型，所以稱為中間型，隨所選函數的形式又可分為:1）矩形分布（圖3.19）

2）尖分布（圖3.20）

3）正態分布（圖3.21）

4）柯西分布（圖3.22）

5）梯形分布（圖3.23）

6）嶺形分布（圖3.24）2022年12月1日171(3)中間型(型)：2022年12月1日172(1)

偏大型（S型）：這種類型的隸屬函數隨x的增大而增大，隨所選函數的形式不同又分為：1）升半矩形分布（圖3.7）10axA(x)2022年12月1日172(1)偏大型2022年12月1日1732）升半分布（圖3.8）10axA(x)a+1/k圖

3.82022年12月1日1732）升半分布（圖3.8）10a2022年12月1日1743）升半正態分布（圖3.9）10axA(x)圖3.92022年12月1日1743）升半正態分布（圖3.9）10a2022年12月1日1754）升半柯西分布（圖3.10）10axA(x)圖

3.102022年12月1日1754）升半柯西分布（圖3.10）102022年12月1日1765）升半梯形分布（圖3.11）10a1xA(x)a2圖

3.112022年12月1日1765）升半梯形分布（圖3.11）102022年12月1日1776）升嶺形分布（圖3.12）10a1xA(x)a2圖

3.12(a1+a2)/22022年12月1日1776）升嶺形分布（圖3.12）10a2022年12月1日178(2)

偏小型

(Z型)：這種類型的隸屬函數隨x的增大而減小，又可分為：1）降半矩形分布（圖3.13）01axA(x)圖3.13降半矩形分布2022年12月1日178(2)偏小型(Z型)：這2022年12月1日1792）降半分布（圖3.14）01aa+1/kxA(x)圖3.14降半分布2022年12月1日1792）降半分布（圖3.14）012022年12月1日1803）降半正態分布（圖3.15）

01axA(x)圖3.15降半正態分布2022年12月1日1803）降半正態分布（圖3.15）012022年12月1日1814）降半柯西分布（圖3.16）

A(x)01ax圖3.16降半柯西分布2022年12月1日1814）降半柯西分布（圖3.16）A(2022年12月1日1825）降半梯形分布（圖3.17）

A(x)01a1xa22022年12月1日1825）降半梯形分布（圖3.17）A(2022年12月1日1836）降嶺形分布（圖3.18）01/21a1a2xA(x)2022年12月1日1836）降嶺形分布（圖3.18）01/2022年12月1日184(3)

中間型（型）：這種類型的隸屬函數在(－，a)上為偏大型，在(a,+)為偏小型，所以稱為中間型，又可分為:1）矩形分布（圖3.19）01A(x)a-baa+bx2022年12月1日184(3)中間型（型）：這種類2022年12月1日1852）尖分布（圖3.20）01A(x)a-1/kaa+1/kx2022年12月1日1852）尖分布（圖3.20）2022年12月1日1863）正態分布（圖3.21）

0ax1A(x)2022年12月1日1863）正態分布（圖3.21）2022年12月1日1874）柯西分布（圖3.22）

0ax1A(x)返回2022年12月1日1874）柯西分布（圖3.22）2022年12月1日1885）梯形分布（圖3.23）

01A(x)a-a1aa+a2xa-a2a+a12022年12月1日1885）梯形分布（圖3.23）01A(2022年12月1日1896）嶺形分布（圖3.24）01A(x)a1a2-a1-a2x2022年12月1日1896）嶺形分布（圖3.24）01A2022年12月1日190模糊數學緒論用數學的眼光看世界，可把我們身邊的現象劃分為：1.確定性現象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現象的規律性靠經典數學去刻畫；2.隨機現象：如擲篩子，觀看那一面向上，這種現象的規律性靠概率統計去刻畫;3.模糊現象：如“今天天氣很熱”，“小伙子很高”，…等等。此話準確嗎？有多大的水分？靠模糊數學去刻畫。2022年12月1日1模糊數學緒論用數學的眼光看世界，可把我2022年12月1日191年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、長、短、貴、賤、強、弱、軟、硬、陰天、多云、暴雨、清晨、禮品。共同特點：模糊概念的外延不清楚。模糊概念導致模糊現象模糊數學——研究和揭示模糊現象的定量處理方法。模糊數學緒論2022年12月1日2年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、2022年12月1日192產生1965年，L.A.Zadeh（扎德）發表了文章《模糊集》

(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)基本思想用屬于程度代替屬于或不屬于。某個人屬于高個子的程度為0.8,另一個人屬于高個子的程度為0.3等.模糊數學緒論2022年12月1日3產生1965年，L.A.Zadeh（2022年12月1日193模糊代數，模糊拓撲，模糊邏輯，模糊分析，模糊概率，模糊圖論，模糊優化等模糊數學分支

涉及學科分類、識別、評判、預測、控制、排序、選擇；

模糊產品洗衣機、攝象機、照相機、電飯鍋、空調、電梯人工智能、控制、決策、專家系統、醫學、土木、農業、氣象、信息、經濟、文學、音樂模糊數學緒論2022年12月1日4模糊代數，模糊拓撲，模糊邏輯，模糊分析2022年12月1日194模糊數學緒論

課堂主要內容一、基本概念二、主要應用1.模糊聚類分析——對所研究的事物按一定標準進行分類模糊集，隸屬函數，模糊關系與模糊矩陣例如，給出不同地方的土壤，根據土壤中氮磷以及有機質含量，PH值，顏色，厚薄等不同的性狀，對土壤進行分類。2022年12月1日5模糊數學緒論課堂主要內容一、基本概念2022年12月1日1952.模糊模式識別——已知某類事物的若干標準模型，給出一個具體的對象，確定把它歸于哪一類模型。模糊數學緒論例如：蘋果分級問題蘋果，有{I級，II級，III級，IV級}四個等級。現有一個具體的蘋果，如何判斷它的級別。2022年12月1日62.模糊模式識別——