2022/12/2數學的基本結構序結構：數的大小，次序拓撲結構：平面幾何，立體幾何（歐氏空間）代數結構：群2022/12/1數學的基本結構序結構：數的大小，次序2022/12/2Chapter4AlgebraSystem2022/12/1Chapter4Algebra2022/12/2§4.1代數系統的引入

(1)

一個代數系統需要滿足下面三個條件：（1）有一個非空集合S；（2）有一些建立在S上的運算；（3）這些運算在集合S上是封閉的。2022/12/1§4.1代數系統的引入2022/12/2§4.2運算

(1)

4.2.1運算的概念定義

假設A是一個集合，AA到A的映射稱為A上的二元運算。一般地，An到A的映射稱為A上的n元運算。2022/12/1§4.2運算2022/12/2§4.2運算

(2)

4.2.2運算的性質（1）封閉性

如果

SA，對任意的

a,bS，有a*bS，則稱

S對運算*是封閉的。假設*,+都是集合A上的運算2022/12/1§4.2運算2022/12/2§4.2運算

(3)

4.2.2運算的性質（2）交換律

如果對任意的a,bA，都有a*b=b*a，則稱運算*是可交換的。（3）結合律

如果對任意的a,b,cA，都有(a*b)*c=a*(b*c)，則稱運算*是可結合的。2022/12/1§4.2運算2022/12/2§4.2運算

(4)

（4）分配律

如果對任意的a,b,cA，都有a*(b+c)=(a*b)+(a*c)

則稱*對+運算滿足左分配；如果對任意的a,b,cA，都有(b+c)*a=(b*a)+(c*a)

則稱*對+運算滿足右分配。如果運算*對+既滿足左分配又滿足右分配，則稱運算*對+滿足分配律。2022/12/1§4.2運算2022/12/2§4.2運算

(5)

（5）消去律

如果對任意的a,b,cA，當a*b=a*c，必有b=c，則稱運算*滿足左消去律；如果對任意的a,b,cA，當b*a=c*a，必有b=c，則稱運算*滿足右消去律；如果運算*既滿足左消去律又滿足右消去律，則稱運算*滿足消去律。2022/12/1§4.2運算2022/12/2§4.2運算

(6)

（6）吸收律

如果對任意的a,bA，都有a*(a+b)=a，則稱運算*關于運算+滿足吸收律。

（7）等冪律

如果對任意的aA，都有a*a=a，則稱運算*滿足等冪律。

2022/12/1§4.2運算2022/12/2§4.2運算

(7)

2022/12/1§4.2運算2022/12/2§4.3代數系統

(1)

4.3.1代數系統的概念定義

假設A是一個非空集合，f1,f2,…,fn

是

A上的運算（運算的元素可以是不相同的），則稱A

在運算f1,f2,…,fn

下構成一個代數系統，記為：<A,f1,f2,…,fn>

2022/12/1§4.3代數系統2022/12/2§4.3代數系統

(2)

4.3.1代數系統的概念定義

假設<A,*>

是一個代數系統，SA，如果S

對*是封閉的，則稱<S,*>

為<A,*>的子代數系統。2022/12/1§4.3代數系統2022/12/2§4.3代數系統

(3)

4.3.2代數系統中的特殊元素（1）單位元（幺元）

假設<A,*>

是一個代數系統，如果eLA,對于任意元素xA，都有eL*x=x,則稱

eL為A

中關于運算*的左單位元;

如果erA,對于任意元素xA，都有x*er=x,則稱er為A

中關于運算*的右單位元;

如果A

中一個元素e

既是左單位元又是右單位元，則稱

e

為A

中關于運算*的單位元。2022/12/1§4.3代數系統2022/12/2§4.3代數系統

(4)

2022/12/1§4.3代數系統2022/12/2§4.3代數系統

(5)

4.3.2代數系統中的特殊元素（1）單位元（幺元）

定理

假設<A,*>

是代數系統，并且A

關于運算*有左單位元eL和右單位元er，則eL=er=e

并且單位元唯一。2022/12/1§4.3代數系統2022/12/2§4.3代數系統

(6)

4.3.2代數系統中的特殊元素（2）零元

假設<A,*>

是一個代數系統，如果LA,對于任意元素xA，都有L*x=L,則稱L為A

中關于運算*的左零元;

如果rA,對于任意元素xA，都有x*r=r,則稱r

為A

中關于運算*的右零元;

如果A

中一個元素既是左零元又是右零元，則稱為A

中關于運算*的零元。2022/12/1§4.3代數系統2022/12/2§4.3代數系統

(7)

2022/12/1§4.3代數系統2022/12/2§4.3代數系統

(8)

4.3.2代數系統中的特殊元素（2）零元

定理

假設<A,*>

是代數系統，并且A

關于運算*有左零元L

和右零元r，則L=r=

并且零元唯一。2022/12/1§4.3代數系統2022/12/2§4.3代數系統

(9)

4.3.2代數系統中的特殊元素（3）逆元

假設<A,*>

是一個代數系統，e

是<A,*>的單位元。對于元素aA，如果存在bA，使得b*a=e，則稱a為左可逆的，b

為a

的左逆元；如果存在cA，使得

a*c=e，則稱元素a

是右可逆的，c

為a

的右逆元。如果存在a’A，使得a’*a=a*a’=e，則稱a是可逆的，a’

為a

的逆元。a的逆元記為：a-1。2022/12/1§4.3代數系統2022/12/2§4.3代數系統

(10)

2022/12/1§4.3代數系統2022/12/2§4.3代數系統

(11)

4.3.2代數系統中的特殊元素（3）逆元

定理

設<A,*>

是一個代數系統，且

A

中存在單位元e，每個元素都存在左逆元。如果運算*是可結合的，那么，任何一個元素的左逆元也一定是該元素的右逆元，且每個元素的逆元唯一。2022/12/1§4.3代數系統2022/12/2§4.3代數系統

(12)

4.3.2代數系統中的特殊元素（4）冪等元

定義：在代數系統<A,*>中，如果元素a滿足a*a=a，那么稱a是A中的冪等元。2022/12/1§4.3代數系統2022/12/2§4.3代數系統

(12)

2022/12/1§4.3代數系統2022/12/2§4.4同態與同構

(1)

4.4.1基本概念定義

設<A,*>

和<B,>

是代數系統，f:AB,

如果f

保持運算，即對x,yA,有f(x*y)=f(x)f(y)。稱f為代數系統<A,*>

到<B,>的同態映射，簡稱同態。也稱之為兩代數系統同態。2022/12/1§4.4同態與同構2022/12/2§4.4同態與同構

(2)

4.4.1基本概念定義設<A,*>

和<B,>

是代數系統，f

是A

到B

的同態。如果f

是單射的，稱f

為單同態；如果f是滿射的，稱

f

為滿同態；如果f是雙射的，稱f

為同構映射，簡稱為同構。2022/12/1§4.4同態與同構2022/12/2§4.4同態與同構

(3)

4.4.1基本概念定義

設<A,*>

是代數系統，若存在函數f:AA,并且對x,yA,有f(x*y)=f(x)*f(y)。稱f為<A,*>

的自同態；如果f是雙射的，則稱f為<A,*>

的自同構。2022/12/1§4.4同態與同構2022/12/2§4.4同態與同構

(4)

4.4.2同態、同構的性質（1）如果兩函數是同態、同構的，則復合函數也是同態、同構的。

定理

假設

f

是<A,*>

到<B,>的同態，g是<B,>到<C,>

的同態，則gf是<A,*>

到<C,>的同態；如果f

和g

是單同態、滿同態、同構時，則gf也是單同態、滿同態和同構。

2022/12/1§4.4同態與同構2022/12/2§4.4同態與同構

(5)

4.4.2同態、同構的性質（2）滿同態保持結合律

定理

假設f

是<A,*>

到<B,>的滿同態。如果*運算滿足結合律，則運算也滿足結合律，即滿同態保持結合律。（3）滿同態保持交換律

2022/12/1§4.4同態與同構2022/12/2§4.4同態與同構

(6)

4.4.2同態、同構的性質定理

假設

f是<A,*>

到<B,>的滿同態。e

是<A,*>

的單位元，則f(e)

是<B,>的單位元。（4）滿同態保持單位元

2022/12/1§4.4同態與同構2022/12/2§4.4同態與同構

(7)

4.4.2同態、同構的性質定理

假設f是<A,*>到<B,>的滿同態。eA和eB分別是<A,*>和<B,>的單位元，如果A

中元素x和x’互逆，則B中元素f(x)和f(x’)也互逆。（5）滿同態保持逆元

2022/12/1§4.4同態與同構2022/12/2§4.4同態與同構

(8)

4.4.2同態、同構的性質定理

假設f

是<A,*>

到<B,>的滿同態。是<A,*>

的零元，則f()

是<B,>的零元。（6）滿同態保持零元

2022/12/1§4.4同態與同構2022/12/2§4.4同態與同構

(9)

4.4.2同態、同構的性質定理

假設f

是<A,*>到<B,>的滿同態。并且xA是<A,*>的冪等元，則f(x)B是<B,>的冪等元。（7）滿同態保持冪等元

2022/12/1§4.4同態與同構2022/12/2§4.4同態與同構

(10)

4.4.2同態、同構的性質定理

假設

f

是<A,*>

到<B,>的同構映射。則

f-1是<B,>

到<A,*>

的同構映射。（8）同構映射運算性質雙向保持

2022/12/1§4.4同態與同構2022/12/2§4.5同余關系與商代數

選講4.5.1同余關系定義

假設<A,*>

是一個代數系統，E

是A上的等價關系。如果對x1,x2,y1,y2A，當x1Ex2,y1Ey2時，必有(x1*y1)E(x2*y2)，則稱E是A上的同余關系。2022/12/1§4.5同余關系與商代數選講4.2022/12/2§4.6直積

(1)

定義：

設<A,*>

和<B,>

為兩個代數系統，<AB,>

稱為兩代數系統的直積。其中AB

是A

和B

的笛卡爾乘積，定義如下：對任意的<x,y>,<u,v>AB，<x,y><u,v>=<x*u,yv>。

2022/12/1§4.6直積2022/12/2§4.6直積

(2)

定理：

假設<A,*>

和<B,>

為兩個代數系統，且分別有單位元eA,eB，在兩代數系統的直積<AB,>中存在子代數系統S,T，使得

<A,*><S,>，<B,><T,>。2022/12/1§4.6直積2022/12/2Chapter5Grouptheory2022/12/1Chapter5Group2022/12/2§5.1半群

(1)

5.1.1半群的定義定義：

設<S,*>

是一個代數系統，如果*運算滿足結合律，則稱<S,*>

是一個半群。2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(2)

例：假設S={a,b,c}，在S上定義運算，如運算表給出。證明<S,>是半群。

2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(3)

5.1.1半群的定義定義：

假設<S,*>

是一個半群，aS，n

是正整數，則an

表示n

個a的計算結果，即an=a*a*…*a。對任意的正整數m,n，

am*an=am+n，(am)n=amn。2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(4)

5.1.2交換半群

定義：

如果半群<S,*>

中的*運算滿足交換律，則稱<S,*>

為交換半群。

在交換半群<S,*>

中，若a,bS，n

是任意正整數，則(a*b)n=an*bn

2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(5)

5.1.3獨異點（含幺半群）

定義：

假設<S,*>

是一個半群，如果<S,*>

中有單位元，則稱<S,*>

是獨異點，或含幺半群。2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(6)

5.1.3獨異點（含幺半群）

定理：

假設<S,*>

是獨異點，如果a,bS，并且a,b

有逆元

a-1,b-1存在，則：（1）(a-1)-1=a；（2）(a*b)-1=b-1*a-1。2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(7)

5.1.4子半群

定義：

假設<S,*>

是一個半群，若TS，且在*運算下也構成半群，則稱<T,*>

是<S,*>

的子半群。2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(8)

假設A={a,b}，<P(A),>

是一個含幺半群。若B={a}則P(B)P(A)并且<P(B),>構成半群，是<P(A),>的子半群。2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(9)

5.1.4子半群

定義：

設<S,*>

是含幺半群，若<T,*>

是它的子半群，并且<S,*>

的單位元e

也是<T,*>單位元，則稱<T,*>

是<S,*>

的子含幺半群。2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(10)

例：設<S,*>是可交換的含幺半群，T={a|aS，且a*a=a}，則<T,*>是<S,*>的子含幺半群。

2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.2群的概念及其性質

(1)

5.2.1群的基本概念

定義：

設<G,*>

是一代數系統，如果滿足以下幾點：

(1)

運算是可結合的；

(2)

存在單位元e；

(3)

對任意元素a

都存在逆元a-1；則稱<G,*>

是一個群。2022/12/1§5.2群的概念及其性質2022/12/2§5.2群的概念及其性質

(2)

例：假設R={0,60,120,180,240,300}表示平面幾何上圖形繞形心順時針旋轉的角度集合。*是定義在R上的運算。定義如下：對任意的a,bR，a*b表示圖形順時針旋轉a角度，再順時針旋轉b角度得到的總旋轉度數。并規定旋轉360度等于原來的狀態，即該運算是模360的。整個運算可以用運算表表示。2022/12/1§5.2群的概念及其性質2022/12/2§5.2群的概念及其性質

(3)

2022/12/1§5.2群的概念及其性質2022/12/2§5.2群的概念及其性質

(4)

5.2.1群的基本概念

一個群如果運算滿足交換律，則稱該群為交換群，或Abel群。2022/12/1§5.2群的概念及其性質2022/12/2§5.2群的概念及其性質

(5)

5.2.2群的性質

(1)任何群都沒有零元。(2)設<G,*>

是群，則G

中消去律成立。(3)設<G,*>是群，單位元是G中的唯一等冪元。

2022/12/1§5.2群的概念及其性質2022/12/2§5.2群的概念及其性質

(6)

5.2.2群的性質

(4)

設<G,*>,<H,>是群，f是G到H

的同態，若e為<G,*>的單位元，則f(e)是<H,>的單位元，并且對任意aG，有f(a-1)=f(a)-1。

(5)

設<G,*>是群，<H,>是任意代數系統，若存在

G到H的滿同態映射，則<H,>必是群。2022/12/1§5.2群的概念及其性質2022/12/2§5.2群的概念及其性質

(7)

5.2.3半群與群

(1)

假設<G,*>是半群，并且①<G,*>中有一左單位元e，使得對任意的aG，有e*a=a；②<G,*>中任意元素a

都有“左逆元”a-1，使得a-1*a=e。則<G,*>

是群。2022/12/1§5.2群的概念及其性質2022/12/2§5.2群的概念及其性質

(8)

5.2.3半群與群

(2)

假設<G,*>

是半群，對任意的a,bG，方程a*x=b，y*a=b

都在G

中有解。則<G,*>

是群。

(3)

有限半群，如果消去律成立，則必為群。2022/12/1§5.2群的概念及其性質2022/12/2§5.2群的概念及其性質

(9)

5.2.4有限群的性質

定理：

設<G,*>

是一個n

階有限群，它的運算表中的每一行（每一列）都是G

中元素的一個全排列。2022/12/1§5.2群的概念及其性質2022/12/2§5.2群的概念及其性質

(10)

5.2.4有限群的性質

2022/12/1§5.2群的概念及其性質2022/12/2§5.2群的概念及其性質

(11)

5.2.4有限群的性質

2022/12/1§5.2群的概念及其性質2022/12/2§5.2群的概念及其性質

(12)

例：假設<G,*>是一個二階群，則<GG,*>是一個Klein群。2022/12/1§5.2群的概念及其性質2022/12/2§5.3子群與元素周期

(1)

5.3.1子群定義：

設<G,*>

是一個群，非空集合HG。如果H

在G

的運算下也構成群，則稱<H,*>是<G,*>

的子群。2022/12/1§5.3子群與元素周期2022/12/2§5.3子群與元素周期2022/12/1§5.3子群與元素周期2022/12/2§5.3子群與元素周期

(2)

5.3.1子群定理：

設<H,*>

是<G,*>

的子群，則

(1)<H,*>

的單位元eH

一定是<G,*>

的單位元，即eH=eG。

(2)

對aH，a

在H中的逆元a’，一定是

a在

G

中的逆元。2022/12/1§5.3子群與元素周期2022/12/2§5.3子群與元素周期

(3)

5.3.2由子集構成子群的條件(1)

設H

是群<G,*>

中G

的非空子集，則H構成<G,*>

子群的充要條件是：①對a,bH，有a*bH；②對aH，有a-1H。2022/12/1§5.3子群與元素周期2022/12/2§5.3子群與元素周期

(4)

5.3.2由子集構成子群的條件(2)推論

假設<G,*>

是群，H

是G的非空子集，則<H,*>

是<G,*>

子群的充要條件是：對a,bH，有a*b-1H。2022/12/1§5.3子群與元素周期2022/12/2§5.3子群與元素周期

(5)

5.3.2由子集構成子群的條件(3)

假設<G,*>

是一個群，H

是G

的非空有限子集，則<H,*>

是

<G,*>

子群的充要條件是：對a,bH，有a*bH。2022/12/1§5.3子群與元素周期2022/12/2§5.3子群與元素周期

(6)

5.3.3元素的周期（1）群中元素的冪運算

假設<G,*>

是一個群，aG。則a0=e；ai+1=ai*a；

a-i=(a-1)i(i0)；

am*an=am+n；

(am)n=amn

（m,n為整數）。2022/12/1§5.3子群與元素周期2022/12/2§5.3子群與元素周期

(7)

5.3.3元素的周期（2）元素的周期

定義：設<G,*>是一個群，aG。若存在正整數n，使得an=e，則將滿足該條件的最小正整數n

稱為元素a

的周期或階。若這樣的

n

不存在，則稱元素a

的周期無限。元素a

的周期記為：|a|。2022/12/1§5.3子群與元素周期2022/12/2§5.3子群與元素周期例3：<Z4,+4>是一個群，其中Z4={[0],[1],[2],[3]}，其運算表如右圖。[0]=[0]|[0]|=1[1]4=[0]|[1]|=4[2]2=[0]|[2]|=2

[3]4=[0]

|[3]|=42022/12/1§5.3子群與元素周期例3：<Z4,2022/12/2§5.3子群與元素周期

(8)

5.3.3元素的周期（3）元素周期的性質設<G,*>是一個群，aG。①a

的周期等于a生成的循環子群(a)的階。即|a|=|(a)|；②若a

的周期為n，則am=e

的充分必要條件是

n|m。2022/12/1§5.3子群與元素周期2022/12/2§5.3子群與元素周期

(9)

5.3.3元素的周期（3）元素周期的性質推論：

設<G,*>

是一個群，aG。若a的周期為n，則

(a)={a0,a1,...,an-1}。

2022/12/1§5.3子群與元素周期2022/12/2§5.4循環群

(1)

5.4.1定義

設<G,*>

是一個群，若在G

中存在一個元素

a，使得G

中任意元素都由a

的冪組成，即G=(a)={ai|iZ}，則稱該群為循環群，元素a

稱為循環群的生成元。2022/12/1§5.4循環群2022/12/2§5.4循環群

(2)

5.4.2循環群的性質（1）設<G,*>是一個循環群。

①若<G,*>

是n

階有限群，則

<G,*><Zn,+n>；②若<G,*>

是無限群，則

<G,*><Z,+>。2022/12/1§5.4循環群2022/12/2§5.4循環群

(3)

5.4.2循環群的性質（2）循環群的子群必為循環群（3）設<G,*>是n階循環群，m是正整數，并且m|n，則G中存在唯一一個

m階子群。2022/12/1§5.4循環群2022/12/2§5.4循環群

(3)

設有一個由a生成的循環群,則我們有⑴若a的周期無限,則與<I,+>同構。⑵若a的周期為m,則與同構。2022/12/1§5.4循環群2022/12/2§5.5置換群

(1)

5.5.1置換及其運算

（1）有限集S

到其自身的雙射稱為S上的一個置換。當|S|=n

時，S

上的置換稱為n

次置換。2022/12/1§5.5置換群2022/12/2§5.5置換群

(2)

5.5.1置換及其運算

（2）定義：設S上有如下置換

稱該置換為循環置換，記為(a1,a2,…,ai)，i為循環長度。當i=2

時稱為對換。單位置換，即恒等映射也視為循環置換，記為（1）或（n）。2022/12/1§5.5置換群2022/12/2§5.5置換群

(3)

5.5.2置換群

（1）定義：一個階為n的有限集合S上所有的置換所組成的集合Sn及其復合運算構成群,稱<Sn,>

為n

次對稱群(Symmetricgroupofdegreen)，而<Sn,>

的任意子群稱為n

次置換群。n

次對稱群的階？|Sn|=？2022/12/1§5.5置換群2022/12/2§5.5置換群

(4)

5.5.2置換群例1：假設S={1,2,3}，寫出S

的

3

次對稱群和所有的3

次置換群。

解：S3={f1,f2,f3,f4,f5,f6}，并且

f1=(1),f2=(1,2),f3=(1,3),f4=(2,3),f5=(1,2,3),f6=(1,3,2)2022/12/1§5.5置換群2022/12/22022/12/12022/12/2f1是單位元，（f1）=｛f1｝f2，f3，f4，的階是2，（f2）=｛f2，｝=｛f1，f2｝（f3）=｛f3，｝=｛f1，f3｝（f4）=｛f4，｝=｛f1，f4｝f5，f6的階是3,（f5）=｛f5，,｝=｛f1，f5,f6｝（f6）=｛f6，,｝=｛f1，f5,f6｝

｛f1｝,｛f1，f2｝,｛f1，f3｝,｛f1，f4｝｛f1，f5,f6｝是子群，即3次置換群2022/12/1f1是單位元，（f1）=｛f1｝2022/12/2例：有那些對稱群是可交換群（ABEL群）？2022/12/1例：有那些對稱群是可交換群（ABEL群）？2022/12/2§5.5置換群

(6)

5.5.2置換群

（2）性質：（Cayley凱利定理）

任意n

階群必同構于一個

n

次置換群。例2：給定一個正四邊形，如圖所示。四個頂點的集合為S={1,2,3,4}。2022/12/1§5.5置換群2022/12/2§5.6陪集

(1)

5.6.1左同余關系（左陪集關系）定義：

設<G,*>是一個群，<H,*>是其子群。利用

H在G

上定義關系：

RH={<a,b>|a,bG,b-1*aH}

R’H={<a,b>|a,bG,a*b-1H}則稱RH為G

上的模H左同余關系（左陪集關系）；R’H為G上的模H

右同余關系（右陪集關系）。2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(2)

5.6.1左同余關系（左陪集關系）定理：

設<H,*>

是<G,*>

的一個子群，則G

中模H

左同余關系是等價關系。2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(3)

5.6.2左陪集定義：

設<H,*>

是<G,*>

的一個子群，則aG

為代表元的模H

同余關系的等價類[a]={a*h|hH}，稱為H

在G

內由a

確定的左陪集。簡記為：aH=[a]。2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(4)

5.6.2左陪集定理：

設<H,*>

是<G,*>

的一個子群，則：(1)eH=H；(2)對a,bH，aH=bHb-1*aH(3)對aG，aH=HaH2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(5)

5.6.2左陪集例：G={e,a,b,c,d,e,f}。1、寫出子群（a）2、證明（a）*c=c*（a）3、找出所有兩個元素的子群4、求（d）的有陪集2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(5)

5.6.2左陪集例：設<Z6,+6>是一個群，Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]},試寫出<Z6,+6>中每個子群及相應的左陪集。

2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(6)

5.6.3左商集和右商集定義：

設<H,*>

是<G,*>

的一個子群，由H

所確定的G

上所有元素的左陪集構成的集合稱為G對H

的左商集，記為:SL={aH|aG};

所有右陪集構成的集合稱為G

對H

的右商集，記為:SR={Ha|aG}。2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集設<H,*>

是群<G,*>

的子群。（1）利用H定義G上的關系

RH={<a,b>|a,bG,b-1*aH}

R’H={<a,b>|a,bG,a*b-1H}

則稱RH

和R’H分別為G

上的模H

左同余關系（左陪集關系）和右同余關系（右陪集關系）。（2）H

在G內由a

確定的左、右陪集簡記為：

aH=[a]={a*h|hH}={ah|hH}

Ha=[a]={h*a|hH}={ha|hH}

（3）左、右商集SL={aH|aG}、SR={Ha|aG}2022/12/1§5.6陪集設<H,*>是群<2022/12/2§5.6陪集

(7)

5.6.3左商集和右商集定理：

設<H,*>

是任意群<G,*>

的子群，則G

關于H的左、右商集必等勢。定義映射f:SLSR,

對aG，f(aH)=Ha-12022/12/1§5.6陪集2022/12/2例：設<Z6,+6>是一個群，Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]},運算表如下：<{[0]},+6

><{[0][3]},+6

><{[0][2][4]},+6

><Z6,+6>

群<Z6,+6>的子群§5.6陪集2022/12/1例：設<Z6,+6>是一個群，Z6={[2022/12/2<{[0]},+6

>,H1={[0]},SL={[0]H1,[1]H1,

[2]H1,[3]H1,[4]H1,[5]H1}SR={H1[0],H1[1],H1[2],H1[3],H1[4],H1[5]}<{[0],[3]},+6

>,H2={[0],[3]},SL={[0]H2,[1]H2,[2]H2}SR={H2[0],H2[1],H2[2]}

所以SL與SR等勢§5.6陪集2022/12/1<{[0]},+6>,H1={[0]}2022/12/2§5.6陪集

(8)

5.6.3左商集和右商集定義：

設<H,*>

是群<G,*>

的子群，SL的基數稱為H

在G

內的指數。記為：[G:H]=|SL|。2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(9)

5.6.3左商集和右商集定理：

設<H,*>

是群<G,*>

的子群，H

的任意左陪集（右陪集）與H等勢。2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(10)

5.6.4Lagrange

定理定理：

假設<G,*>

是有限群，<H,*>

是<G,*>

的子群，則

H的階必整除G

的階，并且|G|=[G:H]|H|。n階群的子群的階一定是

n的因子。

2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(11)

5.6.4Lagrange

定理（1）任何素數階的群不可能有非平凡的子群。（2）素數階的群必為循環群。（3）假設<G,*>是n

階有限群，則對

aG,|a||

n（形象表示？？）。（4）假設<G,*>是n

階有限群，則對

aG,an=e。2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.7正規子群

(1)

5.7.1正規子群的定義

設<H,*>

是群<G,*>

的子群，如果對aG

有aH=Ha，則稱<H,*>

是<G,*>

的正規子群（不變子群）。2022/12/1§5.7正規子群2022/12/2§5.7正規子群

(2)

例：假設S={1,2,3},S3={f1,f2,..,f6}2022/12/1§5.7正規子群2022/12/2§5.7正規子群

(3)

<{f1},>,<{f1,f2},>,<{f1,f3},>,<{f1,f4},>,<{f1,f5,f6},>,<S3,

>是三次置換群，是三次對稱群的子群，是否為正規子群？2022/12/1§5.7正規子群2022/12/2§5.7正規子群

(3)

H1={f1},aS3

是否都有aH1=H1af1{f1,f2}={f1,f2}=f2{f1,f2},

{f1,f2}f1={f1,f2}={f1,f2}f2f3{f1,f2}={f3,f5}=f5{f1,f2},

{f1,f2}f3={f3,f6}={f1,f2}f6f4{f1,f2}={f4,f6}=f6{f1,f2},

{f1,f2}f4={f4,f5}={f1,f2}f52022/12/1§5.7正規子群2022/12/2§5.7正規子群

(4)

5.7.2判定正規子群的條件定理：

設<H,*>是群<G,*>的一個子群，則以下條件滿足：

(1)對aG,aH=Ha(2)對aG,hH,必存在h’H,使

h*a=a*h’(3)對aG,hH,a*h*a-1H，或者

a-1*h*aH。2022/12/1§5.7正規子群2022/12/2§5.7正規子群

(3)

5.7.2判定正規子群的條件定理：

群<G,*>

的子群<H,*>

是正規子群的充要條件是：對aG，hH

有a*h*a-1H，或者a-1*h*aH。2022/12/1§5.7正規子群2022/12/2§5.7正規子群

(3)

5.7.3商群定義：子群<H,*>是群<G,*>

的正規子群在G/H上定義新的運算：對a,bG，有aHbH=(a*b)H，稱為G對H的商群。2022/12/1§5.7正規子群2022/12/2§5.7正規子群

(4)

5.7.3商群例：N6,+6,

H={0,2,4}，H為N6的正規子群，故有商群

N6/H={0H,1H},*

(0H=H;1H={1,3,5}),其運算如下:(0H)*(0H)=0H;(1H)*(1H)=2H=0H;(0H)*(1H)=(1H)*(0H)=1H;(0H)-1=0-1H=0H;(1H)-1=1-1H=5H=1H.2022/12/1§5.7正規子群2022/12/2§5.7正規子群

(5)

5.7.4子集的乘積

假設<G,*>

是一個群，A,B是G的子集，集合

{ab|aA,bB}

稱為A,B的乘積，記為A*B或AB。（1）定義2022/12/1§5.7正規子群2022/12/2§5.7正規子群

(6)

5.7.4子集的乘積（I）子集的乘積滿足結合律。即

(A*B)*C=A*(B*C)（2）性質（II）在子集的運算下，任何子群都為冪等元，即HH=H。2022/12/1§5.7正規子群2022/12/2§5.7正規子群

(7)

5.7.4子集的乘積定理：設<H,*>是群<G,*>的正規子群，則對a,bG，aH*bH=(a*b)H2022/12/1§5.7正規子群2022/12/2RingandFieldsChapter62022/12/1RingChapter62022/12/2§6.1定義及基本性質

(1)

6.1.1環

假設<A,,*>

是一個代數系統，其中，和*都是集合A

上的二元運算，如果滿足：（1）<A,>

是交換群（Abel群）；（2）<A,*>

是半群；（3）*對

是可分配的；則稱<A,,*>

是一個環。2022/12/1§6.1定義及基本性質2022/12/2§6.1定義及基本性質

(2)

6.1.2環的性質

假設<A,,*>

是一個環。（1）因為<A,>是Abel群，所以滿足結合性、交換性、消去律，<A,>中有單位元。2022/12/1§6.1定義及基本性質2022/12/2

約定：an=aa…a=na；對a,bA,(ab)n=nanb;am+n=aman=(m+n)a;amn=(am)n=n(ma)。§6.1定義及基本性質

(3)

6.1.2環的性質2022/12/1約定：an=aa…a=na2022/12/2§6.1定義及基本性質

(4)

6.1.2環的性質（2）假設

e是<A,>的單位元，對a,b,cA有：①e*a=a*e=e②a*b-1=a-1*b=(a*b)-1③a-1*b-1=a*b④a*(bc-1)=(a*b)(a*c)-1⑤(b

c-1)*a=(b*a)(c*a)-12022/12/1§6.1定義及基本性質2022/12/2§6.1定義及基本性質

(5)

6.1.3由*運算確定的幾種環（1）在環<A,,*>

中，如果<A,*>

是含幺半群，并且e’

是單位元，則稱e’

為環的單位元。這時稱

A

為有單位元的環（有1環）。如果元素a

在<A,*>

中有逆元，則在含有單位元的環中，該元素的逆也稱為環中元素的逆。2022/12/1§6.1定義及基本性質2022/12/2§6.1定義及基本性質

(6)

6.1.3由*運算確定的幾種環（2）如果環中只含有一個元素，此時該元素應該是

<A,>中的單位元，當然也是

<A,*>中的單位元和零元，所以這種環稱為零環。

（3）設

<A,,*>是環，當

<A,*>是可交換半群時，稱

<A,,*>是可交換環。2022/12/1§6.1定義及基本性質2022/12/2§5.2群的概念及其性質

(12)

例1：假設<G,*>是一個二階群，則<GG,*>是一個Klein群。2022/12/1§5.2群的概念及其性質2022/12/2§6.1定義及基本性質

(6)

<K,*>是Klein四元群。K={e,a,b,c};“.”運算定義如下，則<K,*，.>是環。

2022/12/1§6.1定義及基本性質2022/12/2§6.1定義及基本性質

(6)

例2：s是集合，P(s)是冪集，在P(s)上定義二元運算和*，則<K,，*>是環。

AB={x|xS(xAxB)xAB}A*B=ABA，BP(s)2022/12/1§6.1定義及基本性質2022/12/2§6.1定義及基本性質

(6)

例3：全體整數按普通加法和普通乘法構成有單位元的環。全體偶數按普通加法和普通乘法構成環，但無單位元。m是整數,摸m的全體剩余類構成什么環？如：<Z4,+4,4>是一個環；<Z5,+5,5>是一個環。實系數多項式全體按普通加法和普通乘法構成什么環？全體n階方陣按矩陣的加法和乘法構成什么環？2022/12/1§6.1定義及基本性質2022/12/2§6.2整環、除環和域

(1)

6.2.1零因子

設<A,,*>

是環，如果存在a,bA，這里a

，b

，但a*b=，則稱a

為A

中的左零因子，b為A

中的右零因子，左、右零因子統稱為零因子。2022/12/1§6.2整環、除環和域2022/12/2§6.2整環、除環和域

(2)

6.2.1零因子例如：<Z4,+4,4>是一個環。其中,+4,4

的運算表如下：2022/12/1§6.2整環、除環和域2022/12/2§6.2整環、除環和域

(2)

6.2.1零因子例如<Z5,+5,5>是一個環。其中,+5,5

的運算表如下：2022/12/1§6.2整環、除環和域2022/12/2§6.2整環、除環和域

(3)

6.2.1零因子

當一個環中不含有零因子時，稱它為無零因子環。即對任意的a,bA，若a*b=，則必有a=

或

b=。定理：設<A,,*>

是無零因子的環，則*在A

上消去律成立。a*c=b*c或c*a=c*b得a=b;反之亦然。2022/12/1§6.2整環、除環和域2022/12/2§6.2整環、除環和域

(3)

6.2.2整環

設<A,,*>

是無零因子環，并且是可交換的含幺環，則稱它為整環。即<A,,*>

是環，并且<A,*>

有單位元，*運算可交換，對a,bA，若a*b=，則必有a=

或

b=。2022/12/1§6.2整環、除環和域2022/12/2§6.1定義及基本性質

(6)

例4：全體有理數（實數、復數）按普通加法和普通乘法構成無零因子的環，所以是整環。2022/12/1§6.1定義及基本性質2022/12/2§6.2整環、除環和域

(4)

6.2.3除環、域

設<A,,*>

是一個含幺環，其單位元是e’，如果A-{e}，并且<A-{e},*>是一個群，則稱它為除環，可交換的除環是域。即<A-{e},*>是一個Abel群2022/12/1§6.2整環、除環和域2022/12/2§6.1定義及基本性質

(1)

除環

假設<A,,*>

是一個代數系統，其中，和*都是集合A

上的二元運算，如果滿足：（1）<A,>

是交換群（Abel群）；（2）<A-{e},>是群；（3）*對

是可分配的；則稱<A,,*>

是一個除環。2022/12/1§6.1定義及基本性質2022/12/2§6.1定義及基本性質

(1)

域

假設<A,,*>

是一個代數系統，其中，和*都是集合A

上的二元運算，如果滿足：（1）<A,>

是交換群（Abel群）；（2）<A-{e},>也是交換群（Abel群）；（3）*對

是可分配的；則稱<A,,*>

是一個域。2022/12/1§6.1定義及基本性質2022/12/2§6.2整環、除環和域

(5)

6.2.3除環、域域一定是整環，但整環不一定是域。有限整環必為域。

假設

<A,,*>是一個無零因子的有限環，并且|A|2，則<A,,*>一定是除環。2022/12/1§6.2整環、除環和域2022/12/2數學的基本結構序結構：數的大小，次序拓撲結構：平面幾何，立體幾何（歐氏空間）代數結構：群2022/12/1數學的基本結構序結構：數的大小，次序2022/12/2Chapter4AlgebraSystem2022/12/1Chapter4Algebra2022/12/2§4.1代數系統的引入

(1)

一個代數系統需要滿足下面三個條件：（1）有一個非空集合S；（2）有一些建立在S上的運算；（3）這些運算在集合S上是封閉的。2022/12/1§4.1代數系統的引入2022/12/2§4.2運算

(1)

4.2.1運算的概念定義

假設A是一個集合，AA到A的映射稱為A上的二元運算。一般地，An到A的映射稱為A上的n元