第四章數學中的公理化方法

與結構方法

公理化方法在近代數學的發展中起著基本的作用，它的思想對各門現代數學理論的系統形成有著深刻的影響，而數學結構方法則是全面整理和分析數學的一種十分合理的方法，其觀點曾導致一場幾乎席卷世界的數學教學改革運動，即“新數學”運動。兩種方法均是用來構建數學理論體系的，一個是局部，一個是整體。本章將概括介紹這兩種思想方法，從中領略數學理論構建的一般思想方法。第四章數學中的公理化方法

與結構方法公理化方法在近§4.1公理化方法的歷史概述

公理化方法的基本思想數學是撇開現實世界的具體內容來研究其量性特征形式與關系的。其結果只有經過證明才可信，而數學證明采用的是邏輯推理方法，根據邏輯推理的規則，每步推理都要有個大前提，我們不難想象到，最初的那個大前提是不可能再由另外的大前提導出的，既是說，我們的逆推過程總有個“盡頭”，同樣，概念需要定義，新概念由前此概念定義，必也出現這樣的情況最原始的概念無法定義。§4.1公理化方法的歷史概述公理化方法的基本思想§4.1公理化方法的歷史概述

因此，我們要想建立一門科學的嚴格的理論體系，只能采取如下方法：讓該門學科的某些概念以及與之有關的某些關系作為不加定義的原始概念與公設或公理，而以后的全部概念及其性質要求均由原始概念與公設或公理經過精確定義與邏輯推理的方法演繹出來，這種從盡可能少的一組原始概念和公設或公理出發，運用邏輯推理原則，建立科學體系的方法叫做公理化方法。§4.1公理化方法的歷史概述因此，我們要想建立一§4.1公理化方法的歷史概述

公理化方法的歷史考察眾所周知，在長達一千多年的光輝燦爛的希臘文化中，哲學、邏輯學、幾何學得到了很大的發展，特別是哲學家和邏輯學家亞里斯多德，總結了前人所發現和創立的邏輯知識，以完全三段論作為出發點，用演繹的方法推導出其余十九個不同格式的所有三段論，創立了人類歷史上第一個公理化方法，即邏輯公理化方法，從而為數學公理化方法創造了條件。

亞里斯多德的思想方法深深地影響了公元前3世紀的希臘數學家歐幾里德，后者把形式邏輯的公理演繹方法應用于幾何學，從而完成了數學史上重要著作《幾何原本》。§4.1公理化方法的歷史概述公理化方法的歷史考察§4.1公理化方法的歷史概述

歐幾里德《幾何原本》是有史以來用公理化思想方法建立起來的第一門演繹數學，而且成為以后很長時期嚴格證明的典范。《幾何原本》在數學發展史上樹立了一座不朽的豐碑，對數學的發展起了巨大的作用，基本上完善了初等幾何體系。當然，現在看來由于受當時整個科學水平的限制，這種公理化方法還是很原始的，其公理體系還是不完備的。所以，稱這一階段為公理化方法的初期階段。§4.1公理化方法的歷史概述歐幾里德《幾何原本》是§4.1公理化方法的歷史概述

歐幾里德《幾何原本》孕育了一種理性精神，成為展示人類智慧和認識能力的一個光輝典范。歐幾里德的《原本》所表述的數學觀是：⑴幾何理論是封閉的演繹體系。《原本》成功地將零散的數學理論編為一個以基本假設到最復雜結論的整體結構。從邏輯結構來看，《原本》是一個最早形成的演繹體系，除所用的邏輯規則外，具備了其理論推導的所有前提，從理論發展形勢來看是一個封閉的理論演繹體系。§4.1公理化方法的歷史概述歐幾里德《幾何原本》孕§4.1公理化方法的歷史概述⑵抽象化的內容。《原本》中涉及的都是一般的、抽象的概念，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關系，由一些給定的概念和命題推演出另一些概念和命題。它不考慮這些概念和命題與社會具體生活的關系，也不研究這些數學“模型”所由之產生的那些顯示原型。如在《原本》中研究了“所有的”矩形（即抽象的矩形概念）的性質，但不研究任何一個具體的矩形的實物大小；《原本》中研究了自然數的若干性質，但卻一點也不涉及具體的自然數的計算及應用。§4.1公理化方法的歷史概述⑵抽象化的內容。《§4.1公理化方法的歷史概述

⑶公理化方法。《原本》的基本結構是由少數不定義的概念（如點、線、面等）和少量不證自明的命題（五個公設和五個公理）出發，定義出該體系中的所有其他概念，推演出所有其他的命題（定理）。《原本》就是用這種公理化方法建立起了幾何學的邏輯體系，從而成為其后所有數學的范本。在公理化方法的初期階段，它的“嚴格性”也只是相對當時的情況而言的。譬如，有些基本概念的定義不夠妥當，有些證明只不過是借助于直觀等等。§4.1公理化方法的歷史概述⑶公理化方法。《原

§4.1公理化方法的歷史概述

特別是《原本》中第五公設的陳述從字面上看很不自明，所以人們從兩個方面對它產生了懷疑：第一，第五公設是否正確地反映了空間的性質；其二、它本身很可能是一個定理。對于這兩個問題，人們從以下幾個方面進行了探討：一是它能否從其他公理推出；二是換一個與它等價而本身卻又是很自明的公設；三是換一個與它相反的公設。

§4.1公理化方法的歷史概述

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通過很多第一流的數學家近兩千年的大量工作，第一方案尚未成功。到了十八世紀中葉，意大利數學家薩克利吸取了前人正面直接證明而失敗的教訓，反其道而行之，改用反證法來證明（將第五公設換成它的否定，然后推出矛盾，那么就可以證明第五公設就是一個定理，即不獨立于其它公理），并于1733年公布了他的證明，但隨后不久數學家們發現他的證明有問題。

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薩克利最先使用歸謬法來證明第五公設。他在一本名叫《歐幾里得無懈可擊》（1733年）的書中，從著名的“薩克利四邊形”出發來證明平行公設。

薩克利四邊形是一個等腰雙直角四邊形，如圖，其中且為直角。

薩克利指出，頂角具有三種可能性并分別將它們命名為：

§4.1公理化方法的歷史概述1、直角假設：和是直角；3、銳角假設：和是銳角；2、鈍角假設：和是鈍角；可以證明，直角假設與第五公設等價。薩克利的計劃是證明后兩個假設可以導致矛盾，根據歸謬法就只剩下第一個假設成立。這樣就證明了第五公設。

薩克利在假定直線為無限長的情況下，首先由鈍角假設推出了矛盾，然后考慮銳角假設，在這一過程中他獲得了一系列新奇有趣的結果，如三角形三內角之和小于兩直角；過給定直線外一給定點，有無數多條直線不與該直線相交，等等。雖然這些結果實際上并不包含任何矛盾，但薩克利認為它們太不合情理，便以為自己導出了矛盾而判定銳角假設是不真實的。1、直角假設：和是直角；3

§4.1公理化方法的歷史概述

數學家們從薩克利的錯誤中得到了啟發，銳角假設（三角形內角和小于180°）尚未導致矛盾，因而它與其他公理可能是協調的。

雖然薩克利的證明是錯誤的，但他提出的反證法及其所得的結果卻起了他始終所未料到的作用，即兩種幾何并存的可能性。也就是說，除了歐幾里德幾何外，還有非歐幾何。

§4.1公理化方法的歷史概述

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一直到十九世紀，由高斯、羅巴切夫斯基、包耶等許多杰出的數學家作了大量的推導工作都沒有發現矛盾，于是采用銳角假設（三角形內角和小于180°）的羅巴切夫斯基幾何系統就產生了。從此也就沖破了歐幾里德幾何“一統天下”的舊觀念對人們的束縛，使人們意識到邏輯上無矛盾并不只限于一種幾何。

§4.1公理化方法的歷史概述

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在1854年又發現了鈍角假設（三角形內角和大于180°）也成立的黎曼幾何系統，后來人們稱這兩種幾何為非歐幾何。非歐幾何產生后，還有兩方面的問題有待進一步解決。從邏輯方面看，這種邏輯無矛盾性還有待于從理論上得到嚴格證明；從實踐方面看，非歐幾何的客觀原型是什么？人們還不清楚。也就是說，非歐幾何到底反映了哪種空間形式也沒有得到具體的解釋。

§4.1公理化方法的歷史概述在1854年又發現了

§4.1公理化方法的歷史概述

到了十九世紀五十年代，隨著微分幾何、射影幾何的進一步發展，為非歐幾何尋找模型提供了條件。意大利的貝特拉米于1869年在其論文《非歐幾何的實際解釋》中提出了用歐氏球面作為黎曼幾何的一個解釋（歐氏球面的部分大圓被解釋成黎曼幾何的直線，球面上的點被解釋成黎曼幾何的點）。

§4.1公理化方法的歷史概述到了十九世紀五十年代

§4.1公理化方法的歷史概述

德國數學家克萊因于1870年在歐氏平面上用不包括圓周的圓內部構造了一個羅氏幾何模型，人們稱它為羅氏平面，在此平面上給羅氏幾何一個解釋，即把歐氏幾何的直線解釋成羅氏平面上的直線，歐氏幾何的點解釋成羅氏平面上的點。由于非歐幾何在歐氏幾何中找到了它的模型，因此非歐幾何的無矛盾性就轉化為歐氏幾何的無矛盾性，也就是說倘若歐氏幾何無矛盾，則非歐幾何也無矛盾。

§4.1公理化方法的歷史概述德國數學家克萊因于1

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隨后不僅人們找到了非歐幾何在天文學與相對論中的解釋和應用，而且相繼發現歐氏幾何的每條公理在羅氏空間的極限球上得以全部成立。于是，反過來歐氏幾何的相容性可借助非歐幾何協調性給以保證。從而就證明了兩種幾何是互相協調的，第五公設的獨立性問題得到解決。非歐幾何的確立促進了公理化方法及幾何基礎研究的進展。

§4.1公理化方法的歷史概述隨后不僅人們找到了非

§4.1公理化方法的歷史概述

在創立非歐幾何的過程中，公理化方法得到了如下發展：⑴非歐幾何誕生的第一步就在于認識到：平行公設不能在其他九條公設和公理的基礎上證明。它是獨立的命題，所以可以采用一個與之相反的公理并發展成為全新的幾何。這就是說，在一個公理系統中，我們可以把一個具有獨立性的公理換成另外的公理而得到一個全新的公理系統，這種方法是現代的一個重要的公理化方法。⑵非歐幾何的創立深刻地啟示人們，可以證明“在一個給定的公理系統中某些命題不可能證明”。

§4.1公理化方法的歷史概述在創立非歐幾何的過

§4.1公理化方法的歷史概述⑶非歐幾何系統已經不是像《原本》那樣依賴于感性直觀的實質性公理系統。非歐幾何的建立標志著從實質性公理化方法向形式公理化方法的過渡，這表明人們的認識已從直觀空間上升到抽象空間。⑷非歐幾何的創立，為公理化方法可以推廣和建立新的理論提供了依據，大大提高了公理化方法。非歐幾何的創立，還產生了如下重大影響：⑴非歐幾何的誕生標志著歐氏幾何統治的終結，歐氏幾何統治的終結則標志著所有絕對真理的終結。

§4.1公理化方法的歷史概述⑶非歐幾何系統已

§4.1公理化方法的歷史概述⑵非歐幾何的創立，使人們開始認識到數學空間與物理空間之間有著本質的區別。數學確實是人的思想產物，而不是獨立于人的永恒世界的東西。⑶非歐幾何的創立使數學喪失了真理性，但卻使數學獲得了自由。數學家能夠而且應該探索任何可能的問題，探索任何可能的公理系統，只要這種研究具有一定的意義。⑷非歐幾何為數學提供了一個不受實用性左右，只受抽象思想和邏輯思維支配的范例，提供了一個理性的智慧摒棄感覺經驗的范例。

§4.1公理化方法的歷史概述⑵非歐幾何的創立

§4.1公理化方法的歷史概述

當然，非歐幾何并非毫無實用性。例如，1916年愛因斯坦發現的廣義相對論的研究中，必須用一種非歐幾何來描述這樣的物理空間，這種非歐幾何便是黎曼幾何。又如，由1947年對視空間（從正常的有雙目視覺的人心理上觀察到的空間）所作的研究得出結論：這樣的空間最好用羅巴切夫斯基非歐幾何來描述。這些事實說明：數學對人類文明發展的作用是何等重大。

非歐幾何的創立，標志著公理化方法進入到其完善階段。

§4.1公理化方法的歷史概述當然，非歐幾何并

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在非歐幾何創立之后，以希爾伯特為代表的數學家掀起了對幾何基礎的研究，同時也促進了康托、維爾斯托拉斯、戴德金等為代表的數學家對數學分析基礎的實數理論的研究。從而導致了“分析算術化”方向的出現，使數學分析基礎立足于實數理論之上，取代了直觀的幾何說明。由于對實數理論的研究，又推動了代數的重大變化，即由代數方程的求解導致了群論的產生，從而使代數的研究對象發生了質的變化，逐漸變成一門研究各種代數運算系統形式結構的科學。

§4.1公理化方法的歷史概述在非歐幾何創立之后，

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由于形式公理化方法在分析、代數領域中取得了成功，反過來又將幾何公理化方法的研究推向一個新的階段，即形式公理化階段。希爾伯特在1899年出版的名著《幾何基礎》就是這個時期研究成果的突出代表。所謂形式公理化方法，是指在一個公理系統中，基本概念規定為不加定義的原始概念，它的涵義、特征和范圍不是先于公理而確定，而是由公理組隱含確定。

§4.1公理化方法的歷史概述由于形式公理化方法在

§4.1公理化方法的歷史概述

希爾伯特在他的《幾何基礎》中，放棄了歐幾里德《幾何原本》中公理的直觀顯然性，把那些在對空間直觀進行邏輯分析時無關重要的內容加以拼棄，著眼于對象之間的聯系，強調了邏輯推理，第一次提出了一個簡明、完整、邏輯嚴謹的形式化公理系統。從此公理化方法不僅是數學中一個重要方法，而且已被其他學科領域所采用。所以人們稱它為公理化方法發展史上的一個里程碑。

§4.1公理化方法的歷史概述希爾伯特在他的《幾何

§4.1公理化方法的歷史概述

雖然希爾伯特幾何公理系統從本質上講是一個形式化的公理系統，但它畢竟沒有完全擺脫幾何所研究的內容范圍。為了使形式公理系統更形式化，涵蓋的模型更多，就必須使形式化公理系統來自具體模型而又要擺脫具體模型過多的條條框框的束縛，于是人們需要研究更復雜的邏輯結構，從而就導致了現代數理邏輯的形成和發展。現代數理邏輯出現后，至少在下列兩個方面發揮了巨大作用。

§4.1公理化方法的歷史概述雖然希爾伯特幾何公理

§4.1公理化方法的歷史概述

其一，本世紀初以希爾伯特、哥德爾為代表的數學家和邏輯學家掀起了以數理邏輯為工具來研究整個數學基礎的高潮，又因數學基礎進一步發展的需要，反過來又促使現代數理邏輯的發展，從而也就導致了證明論（或元數學）、模型論、遞歸函數論的出現。特別是英國大哲學家、數學家、和邏輯學家羅素于1902年發現集合論的悖論，震動了整個數學界，從而更促進了公理化集合論的形成和發展。集合論的公理化系統的出現及現代數理邏輯出現，將形式公理化方法推向一個更高的階段——純形式公理化階段。

希爾伯特建立的元數學是以形式系統為研究對象的一門新數學，它包括對形式系統的描述、定義、也包括對形式系統性質的研究。簡言之，元數學是以整個理論而不是以它的某一部分作為數學研究的對象。元數學等的創立把形式公理化方法向前推進了一大步。

§4.1公理化方法的歷史概述其一，本世紀初以希爾§4.1公理化方法的歷史概述

純形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系統的基本概念、基本關系用抽象的符號表示，命題由符號組成的公式表示，命題的證明用一個公式串表達。一個符號化的形式系統只有在解釋之后才有意義。公理化方法的具體形態有三種：實體性公理化方法、形式公理化方法和純形式公理化方法，用它們建構起來的理論體系分別為《幾何原本》、《幾何基礎》和ZFC公理系統。§4.1公理化方法的歷史概述純形式公理化方法的特征是

§4.1公理化方法的歷史概述

其二，為數學應用于現代科學技術開辟了前景。電子計算機的出現就是突出的一例，這是因為電子計算機的設計需要研究如何用基本的邏輯運算去表示和構造復雜的邏輯結構和運算，這正是現代數理邏輯研究的一個基本課題。由于電子計算機的出現導致了機器證明及數學機械化方向的產生，從而使現代純形式公理化方法又獲得了一個新的用場。公理化方法本身及其在數學理論和實踐應用中的巨大作用，隨著科學技術的發展還在繼續向前發展。

§4.1公理化方法的歷史概述

其二，為數學應用于§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

一、公理化方法的邏輯特征公理化方法的作用在于從一組公理出發，以邏輯推理為工具，把某一范圍系統內的真命題推演出來，從而使系統成為演繹體系.

對于所選公理，我們一方面要求能從公理組推出該系統內的全部真命題，另一方面又要求從公理組不能推出邏輯矛盾，再就是希望所選公理個數最少.

這三個方面構成了公理化方法的邏輯要求，此也是判別一個公理系統是否科學合理的準則。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用一、公理化方§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

（1）無矛盾性（相容性或協調性）無矛盾性要求在一個公理系統中，公理之間不能自相矛盾，由公理系推出的結果也不能矛盾，即不能同時推出命題A與其否定命題，顯然，這是對公理系統的最基本的要求。如何證明給定的公理系統的無矛盾性呢？若想通過“由這一公理系作出全部可能的推論并指出其中沒有矛盾”來證明是不可能的。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用（1）無矛盾

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

為此，人們創造了一種特殊方法即解釋法或作模型法。其基本思想如下：將公理系的每一不定義的概念與對象的某一集合相對應，而且要求對應于不同概念的集合沒有公共元素，然后，使公理系T的每一關系對應著對應集合元素間的某一確定的關系。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

為此，

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

這樣所得的集合與關系的全體叫做解釋域，公理系T的每一命題可以用自然的方法對應于解釋域中相應的命題。如果所得的命題為真，那么就稱公理系T的命題在這個解釋下是真的，如果假，則在這個解釋下是假的，如果公理系T的全部公理在這個解釋下均為真，那么這個解釋稱為所給公理系的模型。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

這

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

解釋域及其性質常常是另一數學理論的研究對象，本身同樣可以是公理化的，所以說，用解釋法能證明公理系的相對相容性，即能作出“如果相容，即么也相容”的判斷。

解釋法實質上是將一個公理系系統的無矛盾性證明化歸為另一個公理系統的無矛盾性的證明，是一種間接證明。

克萊因就是采用這種方法將羅氏幾何的無矛盾性化歸為歐氏幾何的無矛盾性的。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

解

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

正是由于羅氏幾何的相容性要由歐氏幾何的相容性來得證，本來并無疑問的歐氏幾何相容性問題也引起了人們的懷疑，迫使人們再去尋找歐氏幾何相容性的證明，由于解析幾何可以看成是實數系統中歐氏幾何的一個解釋模型，于是歐氏幾何相容性證明轉化為實數系統的無矛盾性的證明，而實數系統可建立在ZFC公理化集合論的基礎上，因此，實數系統的無矛盾性又化歸為集合論的無矛盾性證明，而后者經過幾代數學家們的努力，至今尚未得到徹底解決。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

正是由

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

（2）獨立性獨立性要求在一個公理系統中，被選定的公理組中任何一個公理都不能由其他公理推出。獨立性其實要求的是公理組中公理之間不能有依從關系，若某一公理被其余公理推出，那它實質上就是一個定理，在公理組中就是多余的，所以，獨立性要求公理組中公理數目最少。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

（2）獨立

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

利用解釋法同樣可以證明所給公理系的獨立性問題，所謂公理系T中公理A的獨立性無非是指A由其他公理既不能證實，也不能否定。

建立一個新的公理系，就是將公理換成它的否定，而其他公理保持不變，只要能證明新的公理系是相容的，就可斷言在公理系T中獨立，從而將獨立性問題化歸為相容性證明問題，而新公理系相容性證明可用解釋法。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

利

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

（3）完備性完備性要求在一個公理系統中，公理組的選取能保證由公理組推出該系統的全部真命題，所以，公理不能過少，否則就推不出某些真命題，這是關于完備性的古典定義。現代數學常借助模型的同構給公理系的完備性下定義，即如果公理系T的所有模型或解釋都彼此同構，就稱這個公理系是完備的。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

（3）完備性

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

所謂模型的同構是指這個公理系的兩個模型（X，R）與（Y，S）（這是為簡便計，假設給定的公理系中只有一個不定義的概念和一個不定義的關系。X與Y是某兩個集合，R與S分別是這兩個集合中的關系）間存在一個雙射

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

所謂模

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

在上述公理化方法的三個特征中，無矛盾性是最重要而又是非有不可的。獨立性從理論上講，從完美簡煉上講，應該要求，因為公理和定理在整個系統中處的地位不同，公理是出發點，定理是推出的，不能混在一塊。但是，獨立性要求有時可降低。現行中學幾何體系就放棄了這一要求。至于完備性，要求就大大放寬了；而且“從研究完備的公理系確定的對象轉向研究其公理系不完備的對象”被認為是現代數學的特征之一。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

在上述

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

二、公理化方法的意義和作用對于公理化方法的作用和意義，希爾伯特曾評論道：“不管在哪個領域，對于任何嚴肅的研究精神來說，公理化方法都是并且始終是一個合適的不可缺少的手段；它在邏輯上是無懈可擊的，同時也是富有成果的；因此，它保證了研究的完全自由。在這個意義上，用公理化方法進行研究就等于用已掌握了的東西進行思考。早年沒有公理化方法的時候，人們只能樸素地把某些關系作為信條來遵守，公理化的研究方法則可以去掉這種樸素性而使信仰得到利益”。“能夠成為數學的思考對象的任何事物，在一個理論的建立一旦成熟時，就開始服從于公理化方法，從而進入了數學。通過突進到公理的更深層次……我們能夠獲得科學思維的更深入的洞察力，并弄清我們的知識的統一性。特別是，得力于公理化方法，數學似乎就被請來在一切學問中起領導的作用”。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

二、公理化

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

公理化方法對數學的發展起到了巨大作用，如在對公理化方法邏輯特征的研究中，產生了許多新的數學分支理論，非歐幾何是由研究歐氏幾何公理系統的獨立性產生的，元數學理論或證明論是由研究公理系統相容性產生的，等等。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

公

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

具體地說，公理化方法的意義和作用可以概括為以下幾點：表述和總結科學理論公理化方法使有關的理論系統化，把它們按照某種邏輯順序構建成一個系統，因而便于人們系統地理解知識體系，便于掌握理論的本質。它是應用演繹推理的基本方法，它為認識世界提供了演繹推理的模式，提供了一種理性證明的手段，它是表述科學理論一種比較完善的方法，它為各門科學提供了一種思想方法上的示范和有效的表述手段，有利于促進理論的完善和嚴格化。它賦與數學內在的統一性，有助于人們了解數學各分支、各部門之間的本質聯系。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

具體

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

完善和創新理論公理化方法的應用要求一門科學的充分成熟：積累了一定數量的基礎知識，進行了一定的系統分析和研究，對該門學科知識結構有了較深入的理解。因此，實現公理化的過程也是深入研究理論體系的過程。采用公理化方法還可以發現和補充理論系統中的缺陷和漏洞。從而有利于完善已有理論，創建新的理論。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

完

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

培養和熏陶人們的邏輯思維能力數學學習，重要的不在于只是記住概念、公式、定理和法則，而在于學會如何去獲得這些知識，即學會正確地進行數學思維，邏輯思維正是數學思維的核心成分之一。邏輯思維能力是一種重要的數學能力。而公理化方法使邏輯思維在數學中的作用得以充分發揮，大大提高了數學教育的成效，實現高度的思維經濟，這無疑對培養和熏陶學生的邏輯思維能力有其十分重要的作用和意義。此外，由于公理化方法可以揭示一個數學系統和分支的內在規律性，從而使它系統化，這也無疑有利于人們學習和掌握。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

培

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

中學數學中的幾何體系就是按照公理化方法的思想編排的，這使中學幾何成為大家公認為最有利于培養邏輯思維能力的科目。但正如蘇聯數學教育家斯托利亞爾所言：“在學校中普通能夠實現的，只是有實際內容的公理體系”。現行幾何教材正是這樣做的：通過采用擴大公理系統的方法，而其他概念、性質和定理則采用推理和直觀相結合的方法演澤出來，即在學生可接受的情況下，充分體現公理化方法思想。中學幾何課本中的公理系統是一個擴大的公理系統，只滿足相容性，不滿足獨立性和完備性。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

中學數

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

平面幾何公理七條：⑴經過兩點有一條直線，并且只有一條直線。⑵在所有連接兩點的直線中，線段最短。⑶平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線和該直線平行。⑷兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么，這兩條直線平行。⑸邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。⑹角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。⑺矩形的面積等于它的長與寬的積。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

平面幾何

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

立體幾何公理六條：⑴如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內。⑵如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過該點的公共直線。⑶經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。⑷平行于同一條直線的兩條直線互相平行。⑸長方體的體積等于其長、寬、高的積。⑹夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

立體幾何§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

三、初等函數的公理化定義

1、冪函數的公理化定義對于x和y的一切正實數值滿足方程

的唯一不恒等于零的連續函數§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用三、初等函數的2、指數函數的公理化定義對于x和y的一切正實數值滿足方程§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用的唯一不等于零的連續函數2、指數函數的公理化定義§4.2公理化方法的邏輯§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

3、對數函數的公理化定義對于x和y的一切正實數值滿足方程的唯一不等于零的連續函數§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用3、對§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用4、正弦函數、余弦函數的公理化定義

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用4、正§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用下面我們僅證明其中的定理3與定理4。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用下面我們僅證明其中的數學中的公理化方法課件數學中的公理化方法課件§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用（1）結合律成立，即對G中任意元素a，b，c都有（2）G中有元素e，叫做G的左單位元，它對G中每一個元素a都有

下面我們再來看看群的公理化定義

令G是一個非空集合，是它的一個代數運算，如果滿足以下條件：§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用（1）結合律成立，即§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用則稱G對代數運算作成一個群。（3）對G中每個元素a，在G中都有元素，叫做a的左逆元，使§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用則稱G對代數運算§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

四、公理化方法的局限性

1、每一個數學分支都要按公理化方法的三條標準去實現它的公理化是不可能的。我們知道，在公理化方法及現代數理邏輯取得重大成就的基礎上，為了避免數學中產生悖論，使整個數學建立在一個嚴格化的基礎上，以希爾伯特為代表的數學家試圖將所有數學分支都按公理化方法三條標準實現它的公理化，哥德爾不完全定理表明希爾伯特等人的計劃要全部實現是不可能的。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用四、公理1931年，奧地利數學家哥德爾發表了題為《論〈數學原理〉及有關系統中的形式不可判定命題》的論文，其中證明了一條定理：

任一足以包含自然數算術的形式系統，如果是相容的，則它一定存在有一個不可判定命題，即存在某一命題A使A的否定在該系統皆不可證。

這一定理被稱為哥德爾第一不完全性定理。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用1931年，奧地利數學家哥德爾發表了題為《論〈

第一不完全性定理表明：任何形式系統都不能完全刻畫數學理論，總有某些問題從形式系統的公理出發不能解答。在第一不完全性定理的基礎上，哥德爾進一步證明了：

在真的但不能由公理來證明的命題中，包括了這些公理是相容的（無矛盾性）這一論斷本身。也就是說，如果一個足以包含自然數算術的公理系統是相容的，那么這種相容性在該系統內是不可證明的。

這就是所謂哥德爾第二不完全性定理。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第一不完全性定理表明：任何形式系統都不能完全刻

第一不完全性定理和第二不完全性定理合稱“哥德爾不完全性定理”

哥德爾不完全性定理是屬于某種否定性的結果，但這項否定性結果卻帶來了數學基礎研究的劃時代變革。其對數學基礎產生的巨大影響而在20世紀數學史上寫下了濃重的一筆。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第一不完全性定理和第二不完全性定理合稱“哥德

首先，哥德爾不完全性定理破天荒地第一次分清了數學中的“真”與“可證”是兩個不同的概念，可證明的命題固然是真的，但真的命題不一定是可證明的。對于形式系統來說，“可證”是可以機械地實現的，“真”則需要進一步的思想能動性以及超窮工具。這一切突破了人們對數學真理的傳統理解，將對數學真理的認識推向了嶄新的層次。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用首先，哥德爾不完全性定理破天荒地第一次分清了數

其次，哥德爾不完全性定理的證明中提出的“原始遞歸函數”概念，成為算法理論或可計算理論的起點，特別是它引導圖靈提出了理想計算機概念，為電子計算機的研制提供了理論基礎。

另外，雖然哥德爾不完全性定理指出了形式化數學的局限性，但這并不意味著公理化方法的消亡，相反，哥德爾的結果極大地促進了數學方法論的發展，解決了一批證明論問題，使數理邏輯在新的起點上獲得了新的發展。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用其次，哥德爾不完全性定理的證明中提出的“原始遞

哥德爾定理的意義在于，不僅是數學的全部，甚至任何一個有意義的科學體系也不能用一個合理系統概括起來，因為這樣的合理系統是不可能完備的。還須指出的是，哥德爾的理論改變了數學發展的進程，觸動了人類思維的深層結構，它又滲透到音樂、藝術、生物、計算機和人工智能等領域。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用哥德爾定理的意義在于，不僅是數學的全部，甚至任何一個§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

2、公理化方法一般地講只能運用于一個數學分支發展到一定的成熟階段，否則就有可能對數學的發展起束縛作用。我們知道公理化方法的優點之一是可以使它的內容系統化、條理化、邏輯化。但是，我們還要指出一般來說只有在一個數學分支發展到一定的階段才有可能運用公理化方法揭示它的內在規律，從而使它系統化。如果一個新的數學分支剛剛誕生就要強調它的邏輯嚴密性、系統性，不但沒有好處，反而對它的發展可能起到束縛作用。例如，微積分的產生、發展直至完善所經歷的道路就是一個突出的例證。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用2§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用3、由于公理化方法主要突出了邏輯思維，而且它主要用于“回顧”性的“總結”，對“探索”性的“展望”作用較少。公理化方法若不與實驗方法相結合，則不會更好地解決問題；若不與其它的科學方法相結合，也不會更好地發現問題。所以對公理化方法的作用和意義估價要恰當。否則不論是從認識論還是從方法論來講都有束縛作用。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

§4.3幾個典型公理系統簡介

一、希爾伯特《幾何基礎》的公理系統

§4.3幾個典型公理系統簡介

一、希爾伯特《幾何基礎》的

§4.3幾個典型公理系統簡介

一、希爾伯特《幾何基礎》的公理系統

基本對象幾何基礎公理系統

基本關系

基本公理

點、線、面

結合關系、順序關系合同關系、連續關系平行關系

結合公理、順序公理合同公理、連續公理平行公理

§4.3幾個典型公理系統簡介

一、希爾伯特《幾何基礎》的§4.3幾個典型公理系統簡介

希爾伯特公理體系中的基本概念共有八個（其中基本對象三個、基本關系五個），對基本概念的唯一要求是適合五組公理。公理組共有18條公理（其中結合公理6條、順序公理4條、合同公理5條、平行公理1條、連續公理2條）。這里要指出的是，希爾伯特公理體系對歐幾里德公理體系的最重要的補充是順序公理中的點與線的順序公理及連續公理。

這部分的詳細內容可參見傅秀章先生著《幾何基礎》（北師大出版社）。§4.3幾個典型公理系統簡介希爾伯特公理體系中的基本§4.3幾個典型公理系統簡介

希爾伯特的這個公理體系已被世界上一些數學家看作經典作品。希爾伯特在《幾何基礎》中所采用的是形式公理化方法，即對象的直觀背景完全被舍棄了他所從事的已不再是某種特定的對象的研究，而只是由給定的公理（更準確地說是假設）出發去進行演繹。因為幾何學所研究的只是由什么樣的前提出發能推出什么樣的結論，而對所討論的對象是什么事不關心的。

§4.3幾個典型公理系統簡介希爾伯特的這個公理體系已§4.3幾個典型公理系統簡介

簡言之，《原本》是實質性公理系統，即“對象－公理－演繹”系統；《幾何基礎》是形式化公理系統，即“假設－演繹”。這里我們要特別指出的是，若將希爾伯特公理體系中的平行公理換成相反的公理，我們就得到羅氏幾何的公理體系。這也是希爾伯特公理體系的一個美妙的特點。在這里，我們又一次看見了公理化方法的巨大力量。

§4.3幾個典型公理系統簡介簡言之，《原本》是實質性

§4.3幾個典型公理系統簡介

二、集合論公理系統——ZFC公理系統

1、ZFC公理系統形成簡介自從集合論中的羅素悖論出現后，很多邏輯學家和數學家致力于集合論的改進工作，特別突出的是著名德國數學家策梅羅，他于1908年首先提出他的改進方案，即策梅羅集合論公理系統。后經費蘭克爾、斯克朗等人的改進，于1921-1923年間逐漸形成了一個嚴格的形式化集合論公理系統，這就是著名的ZF公理系統。在ZF公理系統中加上選擇公理，便是今天的ZFC公理系統。

§4.3幾個典型公理系統簡介

二、集合論公理系統——ZF

§4.3幾個典型公理系統簡介

二、集合論公理系統——ZFC公理系統

1、ZFC公理系統形成簡介策梅羅(德,1871-1953)費蘭克爾(德,1891-1965)斯克朗(挪,1887-1963)

§4.3幾個典型公理系統簡介

二、集合論公理系統——ZF

§4.3幾個典型公理系統簡介

2、ZFC公理系統結構框圖

集合論公理系統

基本公理

基本關系

基本對象“集”及其“元素”“集”及它的“元素”的隸屬關系“”外延公理、空集公理對偶公理、并集公理子集公理、冪集公理無窮公理、正則公理代換公理、選擇公理

§4.3幾個典型公理系統簡介

2、ZFC公理系統結構框

§4.3幾個典型公理系統簡介

3、ZFC公理系統的特點、意義和作用

首先，ZFC公理系統是一個完全形式化的抽象公理系統，也就是說它的結構表達形式完全已符號化。例如，外延公理：

其次，ZFC十條公理可概括為三類：即外延原則，它的主要作用是保證集合的唯一性；概括原則，它的主要作用是解決的構造集合的問題；選擇原則，它的主要作用是解決選擇集合的問題。

即:如果兩個集合A與B包含有完全相同的元素，則它們必相等.

§4.3幾個典型公理系統簡介

3、ZFC公理系統的特點

§4.3幾個典型公理系統簡介

最后，ZFC公理系統為分析學奠定了嚴格地理論基礎。例如在無窮公理和并集公理的基礎上可以嚴格的建立自然數、自然數集合及自然數理論；在冪集公理基礎上可以引出實數系；在子集公理基礎上可以討論實數的任何子集及其性質等。由此可見，只要ZFC公理系統無矛盾，那么實數理論也就無矛盾。然而，盡管至今ZFC公理系統尚未發現矛盾，但這種無矛盾性還沒有得到嚴格的理論證明。而且根據哥德爾不完全性定理，ZFC公理系統本身不可能證明自己是無矛盾的，即它的無矛盾性只有借助外系統來證明。

§4.3幾個典型公理系統簡介

最后，ZFC公理系統

§4.3幾個典型公理系統簡介

三、自然數公理系統

1、自然數公理化的提出數學顧名思義是一門研究數的科學，人們皆知自然數來自實踐，而且是數學的起步點。然而，由自然數的產生直到十九世紀末，在這個漫長的歷史時期卻很少有人對自然數的理論奠基工作進行過專門的研究。只有到了近代，由于公理化相容性的研究及數學中悖論的出現，才迫使人們反過頭來進一步研究數學的起點，即自然數的理論奠基工作，尋求建立自然數的公理化方法。

§4.3幾個典型公理系統簡介

三、自然數公理系統

§4.3幾個典型公理系統簡介

自然數公理化方法的建立有幾種類型，其中最著名的是意大利數學家皮亞諾在他1889年發表的《算術原理：新的論述方法》中所提出的公理化方法。皮亞諾(意,1858-1932)

§4.3幾個典型公理系統簡介

自然數公理化方法的

§4.3幾個典型公理系統簡介

自然數公理化方法的建立有幾種類型，其中最著名的是意大利數學家皮亞諾在他1889年發表的《算術原理：新的論述方法》中所提出的公理化方法。

2、皮亞諾自然數公理系統（1）原始（或基本）概念。（i）原始對象：自然數1、自然數集。（ii）原始關系：后繼數（例如3是2的后繼數）或后繼函數。

§4.3幾個典型公理系統簡介

自然數公理化方法的

§4.3幾個典型公理系統簡介

（2）公理組

（i）每個自然數x都有直接后繼它的數。即

這條公理表明，自然數具有離散性，此性質是自然數的一個重要特征。

（ii）1不是任何自然數的后繼數。即

這條公理保證了自然數集有首元素，即自然數集是一個良序集。

§4.3幾個典型公理系統簡介

（2）公理組這條§4.3幾個典型公理系統簡介

（iii）每一個自然數不存在多于一個直接后繼它的自然數。即

（iv）每一個自然數都不直接后繼多于一個自然數，即§4.3幾個典型公理系統簡介（iii）每一個自然數不

§4.3幾個典型公理系統簡介

此公理稱為歸納公理，它是數學歸納法的基礎和根據。建立在自然數歸納公理基礎上的數學歸納法的主要邏輯特征是，將一個無窮歸納過程轉化為一個有限步驟的演繹過程.（v）任何一個自然數集，若具有性質：a）；b）如果，那么則自然數集包含了所有的自然數。也就是說自然數集與自然數集相等。

§4.3幾個典型公理系統簡介

此公理稱為歸納公理，§4.3幾個典型公理系統簡介

3、對皮亞諾公理系統邏輯特征的補充說明

前面我們曾提到過哥德爾不完備性定理，從理論上證明了皮亞諾公理系統是一個不完備的公理系統，最近英國青年數學家巴黎斯等人，在組合論中發現了皮亞諾公理系統中既不能肯定又不能否定的一個純粹組合問題，從而也就為哥德爾不完全備定理找到了一個具體實例。哥德爾不完全定理還告訴我們，皮亞諾算術公理系統的相容性在本系統內通過有限步驟是無法證明的。但是，數理邏輯學家甘岑在放寬條件下，即在皮亞諾公理系統外，依據超窮歸納法用超窮步驟證明了皮亞諾公理系統的相容性。

§4.3幾個典型公理系統簡介3、對皮亞諾公理系統邏

§4.4數學結構方法一、結構方法簡述

19世紀至20世紀初，數學得到了前所未有的高速發展，研究領域越來越廣，數學這棵生長樹越長越茂密，樹岔越分越細，從而數學顯得越來越龐雜無序，使得即便是造詣高深的數學家也無法全局把握、透視，面對這種發展趨勢，于是數學界一個有意義的課題就應運而生，那就是，用統一的觀點去處理這“龐雜”的內容，使之“有序”。

§4.4數學結構方法一、結構方法簡述

§4.4數學結構方法

對于數學的局部內容，這個想法是可以實現的，如希爾伯特的《幾何基礎》、范德瓦爾登的《近世代數》的出版；ZFC的集合論公理系統的問世；德國數學家克萊茵利用“群論”觀點統一處理了各種幾何學（此即愛爾朗根綱領），美國數學家伯克霍夫用“格”的概念統一處理了代數系統的理論。那么，對于整個數學而言，能否采用某種統一觀點將其重新整理呢？

§4.4數學結構方法對于數學的局部內容，這個想

§4.4數學結構方法20世紀初，法國一批杰出的年輕數學家在愛爾朗根計劃的啟示下，于1933年成立了以尼古拉?布爾巴基為名的數學家集體，其行動目標就是從整個數學全局出發，以集合論為基礎，運用形式公理化方法，重新整理各個數學分支，從內容結構上給以徹底改造。其基本出發點是：數學是研究形式結構的科學，數學各分支應能按結構性質來統一分割和歸類。

§4.4數學結構方法20世紀初，法國一批杰出的

§4.4數學結構方法

數學大師A.博雷爾(ArmandBorel)在回顧參與布爾巴基活動的往事時說：“布爾巴基并沒有實現他的所有夢想，達成全部的目標。在我看來，這已經足夠了。在培植數學的整體觀念、數學基礎的統一性、敘述風格、符號選擇等等方面，對數學發展產生了持久的影響。”“在我心中永遠保留的回憶是，數學家們多年的無私合作，各不相同的個性能朝向共同的目標，在數學史上也許是絕無僅有的。”

§4.4數學結構方法數學大師A.博雷爾(A

§4.4數學結構方法

那些流淌著的青春的學術的激情，那些靈光四射的智慧的火焰，真理在“瘋子們”的激辯中蕩漾著七彩的光芒……這種學術上的原生態狀況，使布爾巴基學派在很長時間里保持著旺盛的創造力，培育了眾多泰斗級的數學精英，主要成員中不斷有人獲得沃爾夫數學獎和菲爾茲獎——其主要成員先后有讓·迪多內、安德列·韋伊和亨利·嘉當（以上兩人為沃爾夫數學獎得主），克勞德·謝瓦萊、勞倫特·施瓦茲、亞利山大·格羅申第克和讓—皮埃爾·塞爾（后三人均曾獲菲爾茲獎）等……

§4.4數學結構方法那些流淌著的青春的學術H.嘉當(法,1904-)布爾巴基學派(法,1935-)迪多內(法,1906-1992)謝瓦萊(法,1909-1984)德爾薩特(法,1903-1968)韋伊(法,1906-1998)H.嘉當(法,1904-)布爾巴基學派(法,193

§4.4數學結構方法

這個集體不僅要求正式成員數學素質要好，善于創新，而且年齡不能超過50歲，他們經常組織討論班和研究會，集思廣益，協作探索，1936年正式向法國政府申請科學基金，并以布爾巴基名義發表眾多成果和出版系列專著《數學原理》，他們著作的獨特觀點和風格贏得了布爾巴基學派稱號，其思想即是結構主義，是用結構方法處理數學。具體說來就是，利用形式公理法化方法抽象出各種數學分支各種結構，找出各數學分支之間的結構差異，從而獲得各數學分支間內在關聯的清晰圖象。

§4.4數學結構方法這個集體不僅要求正式成員數

§4.4數學結構方法

顯然，結構主義可以看作是現代形式公理方法的一種發展，因為，形式公理化方法是著眼于某一門數學的形式公理化或者結構化；結構主義的思想方法則是以現代形式公理化方法為工具，著眼于整個數學全局去看待各個數學分支，即不僅要在數學大范圍內分析研究每一門數學的結構，而且還要分析研究各數學分支之間結構的差異及其內在聯系。

§4.4數學結構方法顯然，結構主義可以看作是現

§4.4數學結構方法

布爾巴基學派在集合論的基礎上,首先通過抽象分析法，建立了三種基本結構，也稱母結構，即代數結構、序結構和拓樸結構，然后以這三個母結構為基礎，按照結構之間的“不同”關系，交叉產生新結構，從而，使得數學由一個分支結構轉移到另一個分支結構，有層次地一直延伸出去，形成整個數學。

§4.4數學結構方法布爾巴基學派在集合論的基礎§4.4數學結構方法集合論代數結構序結構拓撲結構布爾代數結構分析結構序拓撲結構……………

結構層次框圖如下:…§4.4數學結構方法集合論代數結構序結構拓撲結構布爾代數結

§4.4數學結構方法

正如他們所說：“數學好比一座大城市，城市中心有些巨大建筑物，就好比是一個個已經建成的數學理論體系，城市的郊區正在不斷地并且多少有點雜亂無章地向外伸展，他們就好像是一些尚未發育成型的正在成長著的數學分支，與此同加時，市中心又在時時重建，每次都是根據構思更清晰的計劃和更加合理的布局，在拆毀掉舊的迷宮似的斷街小巷的同時，將修筑起新的更直、更寬、更加方便的林蔭大道通向四方，……”。

§4.4數學結構方法正如他們所說：“數學好比一

§4.4數學結構方法

二、數學結構簡介一個抽象的集合不過是一組元素而已，無所謂結構。但引進了運算和變換，就形成了結構。結構中必須包含元素間的關系，這些關系通常是由運算或變換聯系著的。

1、數學結構的具體實例下面以抽象群理論來具體說明結構是怎樣產生和如何確定一個結構。

§4.4數學結構方法二、數學結構簡介

§4.4數學結構方法首先讓我們考察三種運算：（1）實數的加法：實數的和按通常的方法確定。

（2）整數“按模素數”的乘法：兩數的“乘積”定義為兩數通常的乘積除以的余數。

（3）在三維歐氏空間中的位移“合成”：兩個位移（按這個順序）的“合成”（或“乘積”）定義為執行第一個位移后再執行第二個位移所得到的位移。

§4.4數學結構方法首先讓我們考察三種運算：（2）

§4.4數學結構方法

在三種不同的運算中，用統一符號“

”表示運算，用表示兩個元素通過運算后確定的第三個元素，那么具體分析這三種不同運算的“運算性質”，會發現它們之間具有一種“明顯的平行性”（即類似性、對應性）。從中可以選出互相獨立的少數幾個性質作為這三種運算的“共同性質”。如

§4.4數學結構方法在三種不同的運算中，用

§4.4數學結構方法（i）對于所有的元素有(ii)存在一個元素，使得對于每一個元素，有(iii)對應于每一元素，存在一個元素，使得

§4.4數學結構方法（i）對于所有的元素

§4.4數學結構方法

由此看出記號可以用相同的方式表達它們，對這三種不同的運算，借助于統一的之間的“平行的”運算性質。這種表達的優點在于，在推理的過程中不必考慮元素的性質，唯一需要關心的是，元素的運算具有性質“(i)、(ii)、(iii)”這個前提。這樣，就可以引出相應的運算結構。

§4.4數學結構方法由此看出記號

§4.4數學結構方法

群結構就是在某一集合中確定了某種運算，且具有三個性質(i)、(ii)、(iii)的一種結構。其中性質(i)、(ii)、(iii)叫做群結構的公理，展開這些公理的推論就構成群的理論。顯然，群理論較之“實數加”、“整數模”、“位移合成”等理論概括得多，它適合于這三者中任一個。這就是研究結構意義之所在。由上述分析看出，具體而言結構是集合中元素間滿足一定條件（公理）的某種關系，一個抽象的集合只不過是一組元素而已，無所謂結構，但引進了關系，就形成了結構。因此，關系是重要的，它就代表一種結構。

§4.4數學結構方法群結構就是在某一集合中確定了

§4.4數學結構方法例如，是表為，還是這沒有區別。但對于積集合，這些元素就互相有區別了。

§4.4數學結構方法例如，是表為，還是這沒有區別。但對

§4.4數學結構方法2、三種基本數學結構簡介(1)

代數結構

所謂非空集X中的n元代數運算指到的一個映射其中n叫做運算的階。最常用的代數運算是二元代數運算，也即習慣上的代數運算。

§4.4數學結構方法2、三種基本數學結構簡介(1)

§4.4數學結構方法

序對在代數運算下的象記作，顯然，中的二元代數運算給出了中的一個三元關系：

當且僅當時，三元序組滿足這個關系。而三元序組的集合是笛卡爾積的子集，故二元運算可以視為一種結構。

若非空集中的代數運算記為，則序對就稱為一個代數，即定義了運算的集合。

§4.4數學結構方法序對在代

§4.4數學結構方法

代數的例子很多，如果再給代數加上一定的公理，那它就構成各種不同的代數結構。如加上群公理、環公理、域公理等就分別構成群、環、域等常見代數結構。再以群為例具體說明之；

§4.4數學結構方法代數的例子很多，如果再給代

§4.4數學結構方法例、群結構

二元序對稱為群，是指它滿足如下公理：（1）中的元素關于代數運算滿足結合律，即，有（2）中存單位元：即,使，有

（3）中每一個元素，都在中存在逆元，即

§4.4數學結構方法例、群結構（1）中的元素關于代數

可見，群也就是在其上定義了滿足上述公理的二元代數運算的非空集合。代數結構是由離散性的對象、運算關系及其公理組所構成的結構系統。（2）序結構常見的序結構有兩種：半序結構和全序結構，建立了這兩種序結構的集分別稱為半序集和全序集（也稱半序結構和全序結構）。

§4.4數學結構方法可見，群也就是在其上定義了滿足上述公理的二元代數運算的

§4.4數學結構方法

半序集：如果Ａ的元素之間定義了一個關系“＜”，它滿足如下公理：

（i）自反性，對Ａ中的一切元素,有(ii)

反對稱性，若則

（iii）傳遞性，若則則稱Ａ為半序集，這個關系為半序關系。

§4.4數學結構方法半序集：如果Ａ的元素之間

§4.4數學結構方法

例如自然數集中的整除關系是半序關系，因為n能被自身整除；若n能整除m,m能整除n,則m=n;若n能整除m,m能整除r,則n也能整除r,故自然數集是一種半序結構。

全序集：滿足下列可比性條件（iv）的半序集稱為全序集；(iv)Ａ中的任意兩個元素或至少有一個成立。

§4.4數學結構方法例如自然數集中的整除

§4.4數學結構方法

例如一冪集中的包含關系不具有可比性，故不是全序集。

又如不難驗證，數集，關于整除關系構成一全序結構。但自然數集Ｎ關于整除關系不構成全序結構。

又如自然數集Ｎ關于“≤”關系構成一全序結構。

可見，序結構是由對象集、次序關系及其公理組所構成的結構系統。

§4.4數學結構方法例如一冪集中的包含關

§4.4數學結構方法（３）拓撲結構

為了在一般意義下引進拓撲概念，一種比較直觀而較簡單的辦法是引進鄰域和鄰域結構，即鄰域公理系統。

Ｘ的一些子集組成的集族稱為鄰域族，若此集族滿足如下鄰域公理，此時，就稱為

X的一個拓撲結構；

§4.4數學結構方法（３）拓撲結構為了在一

§4.4數學結構方法（i）Ｘ中的任一元素在Ｂ中有一個，使。（ii）Ｘ中的任一元素，若在Ｂ中有、使且，則。（iv）Ｘ中的元素，對中任一含的，若有，則必存在，使，且。即X中每一點至少有一鄰域。即X中一個點的兩個鄰域的交仍為其鄰域。(iii)若是的一個子集，而Ｘ中元素則也是的一個鄰域。

§4.4數學結構方法（i）Ｘ中的任一元素在Ｂ中有

§4.4數學結構方法

根據上述四條公理,特別是公理(ii)與公理(iv)能保證在數學分析的論域內任一點,能選取一連串越來越小的鄰域，使之點為極限。由此可見,鄰域公理系統可以導致極限概念。也正是因為鄰域公理系統能描述極限和連續，而拓撲變換是研究一種比較廣泛的，即僅保持連續性不變的那種變換，所以，拓樸結構常被說成是能夠描述極限的那種數學結構。

注公理(iv)保證了X中的每個點至少有一個這樣的鄰域，在該鄰域內所有的點都有鄰域。顯然，實數域的開區間都具有這個性質。

§4.4數學結構方法根據上述四條公理,特別

從三種基本結構出發，通過增加一個或幾個新公理，就可以得到許許多多的特殊結構。例如，從一般的群論出發，加上群的元素是有限的這一公理，就得到有限群結構。母結構的有機結合也可產生多重結構。又如，實數結構就是在全體實數集的基礎上由代數結構、序結構及拓撲結構三個母結構交叉產生的一個綜合性的子結構，也是一個完備的阿基米德全序域。這樣，遵循從一般到特殊，從簡單到復雜的原則，一層一層地構造下去，就可得到許許多多獨特的結構及其理論。從而，可把古典數學作某種統一，給整個數學一種概括。

§4.4數學結構方法從三種基本結構出發，通過增加一個或幾個新公理，就可以

結構的意義還在于它可以使數學家實現一種重要的“思維經濟”，以往數學家為了解決一個具體的數學問題，必須根據具體問題的特性，為之探索適合于該問題的工具。今天，有了公理化方法，有了結構概念以后，數學家一旦在他所研究的元素之間認識到滿足某個已知類型公理的關系時，就可以自由地支配屬于該類結構的整個定理庫。換言之，以前是一種方法解決一個問題，現在是一種方法解決一類問題，從某種意義上來說公理方法和結構方法，把數學工具標準化了。

§4.4數學結構方法結構的意義還在于它可以使數學家實現一種重要的“思維經

從結構的觀點出發來分析問題，同構的概念是一個非常重要的概念。這是因為凡具有同構性質的一些結構，在本質上都可看成是同一結構；在研究問題時當然只須抓住一種結構進行分析即可。而無需浪費重復性的勞動。三、同構、同態及其方法論意義

我們通常要研究賦予一定結構的集合到賦予同類結構的集合內的映射，如具有某種結構的代數到具有同類結構的代數的映射，有序集到有序集的映射，拓撲空間到拓撲空間內的映射等。同構、同態就是代數到同類代數的特殊映射。

代數與代數的同構是指雙射并且對于中任意的,有

代數到其自身的同構映射叫做這個代數的自同構。從結構的觀點出發來分析問題，同構的概念是一個非常

§4.4數學結構方法

§4.4數學結構方法

§4.4數學結構方法

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§4.4數學結構方法

§4.4數學結構方法

由上可以看到，同構具有兩層含義，一是在對象集與之間存在雙射，二是雙射保持與之間的運算關系。

因此，對于具有同構關系的代數結構，我們可由一個結構中的某些性質推知另一結構中也具有相應性質，在此意義上可以說，對于同構的數學結構我們只需研究透一個就夠了，或干脆看成一個結構（同構意義下），或者將某個結構中不易研究的性質拿到與之同構的另一個結構中去研究，等等。

§4.4數學結構方法由上可以看到，同構具有

§4.4數學結構方法

因此，同構在數學中具有重要的方法論意義。

同樣，同態作為同構的一種弱化，也具有兩層含義，一是存在一個滿射，二是滿射單方保持關系，即代數結構中的某一性質可以通過同態映射傳到中，但反之不一定能行。所以，我們可以通過前者把握后者的部分性質，同態同樣具有方法論意義。

§4.4數學結構方法因此，同構在數學中具有

正如前述，從結構主義觀點出發來分析問題和解決問題，凡是具有同構關系的一些結構，在本質上都可以看成是同一種結構，于是，可以利用同構關系對代數結構進行比較和分類，在同一類中只要對其中一個結構的性質搞清楚了，那么，只須經過一個簡單的符號“翻譯”就可獲得另一個結構的有關性質，同樣，對于一個數學結構，我們也可以根據不同的需要采用不同的形式來表達，只須要求這些不同形式之間滿足同構關系。

§4.4數學結構方法正如前述，從結構主義觀點出發來分析問題和解決問題，

另一方面，對一個數學結構為了某種需要和方便可以采用不同的形式來表述，只要這些不同形式之間滿足同構關系就行了。例如，我們熟悉的復數域結構就有幾種不同的表述形式，常見的有以下三種：

§4.4數學結構方法另一方面，對一個數學結構為了某種需要和方便可以采用不

§4.4數學結構方法

§4.4數學結構方法互為同構。

§4.4數學結構方法互為同構。

§4.4數學結構方法其實