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文檔簡介

第二節(jié)期權(quán)價(jià)值限分析一、期權(quán)價(jià)格的上、下限(一)期權(quán)價(jià)格的上限

1.看漲期權(quán)價(jià)格的上限對于美式和歐式看漲期權(quán)來說,標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格就是看漲期權(quán)價(jià)格的上限:其中,c和C分別代表歐式和美式看漲期權(quán)價(jià)格,S代表標(biāo)的現(xiàn)期資產(chǎn)價(jià)格。

2.看跌期權(quán)價(jià)格的上限

美式看跌期權(quán)價(jià)格上限為:歐式看跌期權(quán)價(jià)格上限為:其中,r代表T時(shí)刻到期的無風(fēng)險(xiǎn)利率,t代表現(xiàn)在時(shí)刻。1

(二)期權(quán)價(jià)格的下限1.歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限(1)無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限我們考慮如下兩個(gè)組合:組合A:一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合B:一單位標(biāo)的資產(chǎn)在T時(shí)刻,組合A的價(jià)值為:組合B的價(jià)值為ST。由于,因此,在t時(shí)刻組合A的價(jià)值也應(yīng)大于等于組合B,即:由于期權(quán)的價(jià)值一定為正,因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格下限為:2

(2)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限

我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為,其中D為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值,并經(jīng)過類似的推導(dǎo),就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限為3

2.歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限(1)無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限

考慮以下兩種組合:組合C:一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合D:金額為的現(xiàn)金在T時(shí)刻,組合C的價(jià)值為:max(ST,X),組合D的價(jià)值為X:由于組合C的價(jià)值在T時(shí)刻大于等于組合D,因此組合C的價(jià)值在t時(shí)刻也應(yīng)大于等于組合D,即:由于期權(quán)價(jià)值一定為正,因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格限為:

4

我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限為:

可見,歐式期權(quán)的下限實(shí)際上就是其內(nèi)在價(jià)值。(2)有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限5二、提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性(一)提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性

1.無收益美式看漲期權(quán)考慮如下兩個(gè)組合:組合A:一份美式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合B:一單位標(biāo)的資產(chǎn)

CASE1:不提前執(zhí)行期權(quán)(即到期執(zhí)行)在T時(shí)刻,組合A的現(xiàn)金變?yōu)閄,組合A的價(jià)值為max(ST,X)。而組合B的價(jià)值為ST,可見,組合A在T時(shí)刻的價(jià)值一定大于等于組合B。這意味著,如果不提前執(zhí)行,組合A的價(jià)值一定大于等于組合B。6

CASE2:提前執(zhí)行期權(quán)(在期執(zhí)行)若在時(shí)刻提前執(zhí)行,則提前執(zhí)行看漲期權(quán)所得盈利等于,此時(shí)現(xiàn)金金額變?yōu)椋渲斜硎綯-時(shí)段的遠(yuǎn)期利率。因此,若提前執(zhí)行的話,在時(shí)刻組合A的價(jià)值為:,而組合B的價(jià)值為。由于,因此。這就是說,若提前執(zhí)行美式期權(quán)的話,組合A的價(jià)值將小于組合B。0tτTrlrs7

比較CASE1和CASE2,得出如下結(jié)論:無收益資產(chǎn)條件下,提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)并不體現(xiàn)優(yōu)勢。因此,同一種無收益標(biāo)的資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)和歐式看漲期權(quán)的價(jià)值是相同的,即:

C=c

根據(jù)上式,我們可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價(jià)格的下限:

82.無收益美式看跌期權(quán)我們考察如下兩種組合:組合A:一份美式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合B:金額為的現(xiàn)金若不提前執(zhí)行,則到T時(shí)刻,組合A的價(jià)值為max(X,ST),組合B的價(jià)值為X,因此組合A的價(jià)值大于等于組合B。若在時(shí)刻提前執(zhí)行,則組合A的價(jià)值為X(X-Sτ+Sτ

),組合B的價(jià)值為,因此組合A的價(jià)值也高于組合B。9由上分析可知,若不提前執(zhí)行,當(dāng)看跌期權(quán)到期時(shí):是實(shí)值狀態(tài)時(shí)(ST

<X

),A組合價(jià)值=X=

B組合價(jià)值。是虛值狀態(tài)時(shí)(ST>X

),ST

=A組合價(jià)值>B組合價(jià)值=

X

。若提前執(zhí)行,總有X

=A組合價(jià)值>B組合價(jià)值=結(jié)論:是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán),主要取決于期權(quán)的實(shí)值額(X-S)、無風(fēng)險(xiǎn)利率水平等因素。如果預(yù)期期權(quán)到期可能為實(shí)值狀態(tài)即當(dāng)S<<X時(shí)要考慮提前執(zhí)行,反之,則應(yīng)持有到期。另外若預(yù)期遠(yuǎn)期利率r上升,根據(jù)前面提前執(zhí)行情況分析,應(yīng)當(dāng)考慮提前執(zhí)行該無收益美式看跌期權(quán)。美式期權(quán)的下限為:10(二)提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性1.看漲期權(quán)

由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)可較早獲得標(biāo)的資產(chǎn),從而獲得現(xiàn)金收益,而現(xiàn)金收益可以派生利息,因此在一定條件下,提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)有可能是合理的。我們假設(shè)在期權(quán)到期前:標(biāo)的資產(chǎn)有n個(gè)除權(quán)日,t1,t2……,tn為除權(quán)前的瞬時(shí)時(shí)刻;在這些時(shí)刻之后的收益分別為D1,D2,……,Dn,在這些時(shí)刻的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格分別為S1,S2,……Sn。11由于在無收益的情況下,不應(yīng)提前執(zhí)行美式看漲期權(quán),我們可以據(jù)此得到一個(gè)推論:在有收益情況下,只有在除權(quán)前的瞬時(shí)時(shí)刻提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)方有可能是最優(yōu)的。因此我們只需推導(dǎo)在每個(gè)除權(quán)日前提前執(zhí)行的可能性。我們先來考察在最后一個(gè)除權(quán)日(tn)提前執(zhí)行的條件。如果在tn時(shí)刻提前執(zhí)行期權(quán),則期權(quán)多方獲得Sn-X的收益。若不提前執(zhí)行,則標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格將由于除權(quán)降到Sn-Dn。12根據(jù)前式,在tn時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值(Cn):因此,如果:即:,則在tn提前執(zhí)行是不明智的。相反,如果,則在tn提前執(zhí)行有可能是合理的。同樣,對于任意在ti時(shí)刻不能提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)條件是:提前執(zhí)行期權(quán)13上式等價(jià)于假定現(xiàn)行股票價(jià)格與X很接近,要使上式不滿足即(可以提前執(zhí)行),股票紅利收益率必須高于或近似于無風(fēng)險(xiǎn)利率,但實(shí)際情況并不總是如此。因此:在大多數(shù)情況下,只用考慮最后除權(quán)日tn的提前執(zhí)行可能性。實(shí)際上,只有當(dāng)tn時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格足夠大時(shí),提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)才是合理的。由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性,有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價(jià)值大于等于歐式看漲期權(quán),其下限為:142.看跌期權(quán)由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán),因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小,但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。通過同樣的分析,我們可以得出美式看跌期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是:由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性,因此其下限為:15三、期權(quán)價(jià)格曲線的形狀

(一)看漲期權(quán)價(jià)格曲線我們先看無收益資產(chǎn)的情況。看漲期權(quán)價(jià)格的上限為S,下限為。期權(quán)價(jià)格下限就是期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值。當(dāng)內(nèi)在價(jià)值等于零時(shí),期權(quán)價(jià)格就等于時(shí)間價(jià)值。時(shí)間價(jià)值在時(shí)最大;當(dāng)S趨于0和時(shí),時(shí)間價(jià)值也趨于0,此時(shí)看漲期權(quán)價(jià)值分別趨于0和。特別地,當(dāng)S=0時(shí),C=c=0。16此外,r越高、期權(quán)期限越長、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動率越大,則期權(quán)價(jià)格曲線以0點(diǎn)為中心,越往右上方旋轉(zhuǎn),但基本形狀不變,而且不會超過上限,如下圖所示:

期權(quán)價(jià)格線時(shí)間價(jià)值17(二)看跌期權(quán)價(jià)格曲線1.歐式看跌期權(quán)價(jià)格曲線

我們先看無收益資產(chǎn)看跌期權(quán)的情形。歐式看跌期權(quán)的上限為,下限為。當(dāng)時(shí),它就是歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值,也是其價(jià)格下限,當(dāng)時(shí),歐式看跌期權(quán)內(nèi)在價(jià)值為0,其期權(quán)價(jià)格等于時(shí)間價(jià)值。當(dāng)S=時(shí),時(shí)間價(jià)值最大。當(dāng)S趨于0和時(shí),期權(quán)價(jià)格分別趨于和0。特別地,當(dāng)S=0時(shí),。

18r越低、期權(quán)期限越長、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動率越高,看跌期權(quán)價(jià)值以0為中心越往右上方旋轉(zhuǎn),但不能超過上限,如下圖所示:看跌期權(quán)價(jià)格

Xe-r(T-t)

上限

歐式看跌期權(quán)價(jià)格

下限、內(nèi)在價(jià)值

時(shí)間價(jià)值

0Xe-r(T-t)S192.美式看跌期權(quán)價(jià)格曲線對于無收益標(biāo)的資產(chǎn)來說,美式看跌期權(quán)上限為X,下限為X-S。但當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格足夠低時(shí),提前執(zhí)行是明智的,此時(shí)期權(quán)的價(jià)值為X-S。因此當(dāng)S較小時(shí),看跌期權(quán)的曲線與其下限或者說內(nèi)在價(jià)值X-S是重合的。當(dāng)S=X時(shí),期權(quán)時(shí)間價(jià)值最大。其它情況與歐式看跌期權(quán)類似,如下圖所示。20美式看跌期權(quán)價(jià)格曲線

x上限

美式看跌期權(quán)價(jià)格下限、

內(nèi)在價(jià)值時(shí)間價(jià)值

0xs21四、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系

(一)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系

1.無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)

考慮如下兩個(gè)組合:組合A:一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合B:一份有效期和協(xié)議價(jià)格與看漲期權(quán)相同的

歐式看跌期權(quán)+一單位標(biāo)的資產(chǎn)22在期權(quán)到期時(shí),兩個(gè)組合的價(jià)值均為max(ST,X)。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行,因此兩組合在時(shí)刻t必須具有相等的價(jià)值,即:(1)這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系(Parity)。如果式(1)不成立,則存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會。套利活動將最終促使式(1)成立。232.有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)在標(biāo)的資產(chǎn)有收益的情況下,我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為,我們就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系:

(2)24(二)美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系1.無收益資產(chǎn)美式期權(quán)

由于P>p,從式(1)中我們可得:

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