第二節期權價值限分析一、期權價格的上、下限（一）期權價格的上限

1.看漲期權價格的上限對于美式和歐式看漲期權來說，標的資產價格就是看漲期權價格的上限：其中，c和C分別代表歐式和美式看漲期權價格，S代表標的現期資產價格。

2.看跌期權價格的上限

美式看跌期權價格上限為：歐式看跌期權價格上限為：其中，r代表T時刻到期的無風險利率，t代表現在時刻。1

（二）期權價格的下限1.歐式看漲期權價格的下限（1）無收益資產歐式看漲期權價格的下限我們考慮如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權加上金額為的現金組合B：一單位標的資產在T時刻，組合A的價值為：組合B的價值為ST。由于，因此，在t時刻組合A的價值也應大于等于組合B，即:由于期權的價值一定為正，因此無收益資產歐式看漲期權價格下限為：2

（2）有收益資產歐式看漲期權價格的下限

我們只要將上述組合A的現金改為，其中D為期權有效期內資產收益的現值，并經過類似的推導，就可得出有收益資產歐式看漲期權價格的下限為3

2.歐式看跌期權價格的下限（1）無收益資產歐式看跌期權價格的下限

考慮以下兩種組合：組合C：一份歐式看跌期權加上一單位標的資產組合D：金額為的現金在T時刻，組合C的價值為：max（ST，X），組合D的價值為X：由于組合C的價值在T時刻大于等于組合D，因此組合C的價值在t時刻也應大于等于組合D，即：由于期權價值一定為正，因此無收益資產歐式看跌期權價格限為：

4

我們只要將上述組合D的現金改為就可得到有收益資產歐式看跌期權價格的下限為：

可見，歐式期權的下限實際上就是其內在價值。（2）有收益資產歐式看跌期權價格的下限5二、提前執行美式期權的合理性（一）提前執行無收益資產美式期權的合理性

1.無收益美式看漲期權考慮如下兩個組合：組合A：一份美式看漲期權加上金額為的現金組合B：一單位標的資產

CASE1:不提前執行期權（即到期執行）在T時刻，組合A的現金變為X，組合A的價值為max（ST，X）。而組合B的價值為ST，可見，組合A在T時刻的價值一定大于等于組合B。這意味著，如果不提前執行，組合A的價值一定大于等于組合B。6

CASE2:提前執行期權（在期執行）若在時刻提前執行，則提前執行看漲期權所得盈利等于，此時現金金額變為，其中表示T-時段的遠期利率。因此，若提前執行的話，在時刻組合A的價值為：，而組合B的價值為。由于，因此。這就是說,若提前執行美式期權的話，組合A的價值將小于組合B。0tτTrlrs7

比較CASE1和CASE2，得出如下結論：無收益資產條件下，提前執行美式看漲期權并不體現優勢。因此，同一種無收益標的資產的美式看漲期權和歐式看漲期權的價值是相同的，即：

C=c

根據上式，我們可以得到無收益資產美式看漲期權價格的下限：

82.無收益美式看跌期權我們考察如下兩種組合：組合A：一份美式看跌期權加上一單位標的資產組合B：金額為的現金若不提前執行，則到T時刻，組合A的價值為max（X，ST），組合B的價值為X，因此組合A的價值大于等于組合B。若在時刻提前執行，則組合A的價值為X（X－Sτ＋Sτ

），組合B的價值為，因此組合A的價值也高于組合B。9由上分析可知，若不提前執行，當看跌期權到期時：是實值狀態時（ST

<X

），A組合價值＝X＝

B組合價值。是虛值狀態時（ST>X

）,ST

＝A組合價值>B組合價值＝

X

。若提前執行，總有X

＝A組合價值>B組合價值＝結論：是否提前執行無收益資產的美式看跌期權，主要取決于期權的實值額（X-S）、無風險利率水平等因素。如果預期期權到期可能為實值狀態即當S<<X時要考慮提前執行，反之，則應持有到期。另外若預期遠期利率r上升，根據前面提前執行情況分析，應當考慮提前執行該無收益美式看跌期權。美式期權的下限為：10（二）提前執行有收益資產美式期權的合理性1.看漲期權

由于提前執行有收益資產的美式期權可較早獲得標的資產，從而獲得現金收益，而現金收益可以派生利息，因此在一定條件下，提前執行有收益資產的美式看漲期權有可能是合理的。我們假設在期權到期前：標的資產有n個除權日，t1，t2……，tn為除權前的瞬時時刻；在這些時刻之后的收益分別為D1，D2，……，Dn，在這些時刻的標的資產價格分別為S1，S2，……Sn。11由于在無收益的情況下，不應提前執行美式看漲期權，我們可以據此得到一個推論：在有收益情況下，只有在除權前的瞬時時刻提前執行美式看漲期權方有可能是最優的。因此我們只需推導在每個除權日前提前執行的可能性。我們先來考察在最后一個除權日（tn）提前執行的條件。如果在tn時刻提前執行期權，則期權多方獲得Sn-X的收益。若不提前執行，則標的資產價格將由于除權降到Sn-Dn。12根據前式，在tn時刻期權的價值（Cn）:因此，如果：即：,則在tn提前執行是不明智的。相反，如果,則在tn提前執行有可能是合理的。同樣，對于任意在ti時刻不能提前執行有收益資產的美式看漲期權條件是：提前執行期權13上式等價于假定現行股票價格與X很接近，要使上式不滿足即（可以提前執行），股票紅利收益率必須高于或近似于無風險利率，但實際情況并不總是如此。因此：在大多數情況下，只用考慮最后除權日tn的提前執行可能性。實際上，只有當tn時刻標的資產價格足夠大時，提前執行美式看漲期權才是合理的。由于存在提前執行更有利的可能性，有收益資產的美式看漲期權價值大于等于歐式看漲期權，其下限為：142.看跌期權由于提前執行有收益資產的美式期權意味著自己放棄收益權，因此收益使美式看跌期權提前執行的可能性變小，但還不能排除提前執行的可能性。通過同樣的分析，我們可以得出美式看跌期權不能提前執行的條件是：由于美式看跌期權有提前執行的可能性，因此其下限為：15三、期權價格曲線的形狀

（一）看漲期權價格曲線我們先看無收益資產的情況。看漲期權價格的上限為S，下限為。期權價格下限就是期權的內在價值。當內在價值等于零時，期權價格就等于時間價值。時間價值在時最大；當S趨于0和時，時間價值也趨于0，此時看漲期權價值分別趨于0和。特別地，當S=0時，C=c=0。16此外，r越高、期權期限越長、標的資產價格波動率越大，則期權價格曲線以0點為中心，越往右上方旋轉，但基本形狀不變，而且不會超過上限，如下圖所示：

期權價格線時間價值17（二）看跌期權價格曲線1.歐式看跌期權價格曲線

我們先看無收益資產看跌期權的情形。歐式看跌期權的上限為，下限為。當時，它就是歐式看跌期權的內在價值，也是其價格下限，當時，歐式看跌期權內在價值為0，其期權價格等于時間價值。當S=時，時間價值最大。當S趨于0和時，期權價格分別趨于和0。特別地，當S=0時，。

18r越低、期權期限越長、標的資產價格波動率越高，看跌期權價值以0為中心越往右上方旋轉，但不能超過上限，如下圖所示：看跌期權價格

Xe-r(T-t)

上限

歐式看跌期權價格

下限、內在價值

時間價值

0Xe-r(T-t)S192.美式看跌期權價格曲線對于無收益標的資產來說，美式看跌期權上限為X，下限為X－S。但當標的資產價格足夠低時，提前執行是明智的，此時期權的價值為X－S。因此當S較小時，看跌期權的曲線與其下限或者說內在價值X－S是重合的。當S=X時，期權時間價值最大。其它情況與歐式看跌期權類似，如下圖所示。20美式看跌期權價格曲線

x上限

美式看跌期權價格下限、

內在價值時間價值

0xs21四、看漲期權與看跌期權之間的平價關系

（一）歐式看漲期權與看跌期權之間的平價關系

1.無收益資產的歐式期權

考慮如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權加上金額為的現金組合B：一份有效期和協議價格與看漲期權相同的

歐式看跌期權+一單位標的資產22在期權到期時，兩個組合的價值均為max(ST,X)。由于歐式期權不能提前執行，因此兩組合在時刻t必須具有相等的價值，即：（1）這就是無收益資產歐式看漲期權與看跌期權之間的平價關系（Parity）。如果式（1）不成立，則存在無風險套利機會。套利活動將最終促使式（1）成立。232.有收益資產歐式期權在標的資產有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現金改為，我們就可推導有收益資產歐式看漲期權和看跌期權的平價關系：

(2)24（二）美式看漲期權和看跌期權之間的關系1.無收益資產美式期權

由于P>p,從式（1）中我們可得：