第二節(jié)期權(quán)價(jià)值限分析一、期權(quán)價(jià)格的上、下限（一）期權(quán)價(jià)格的上限

1.看漲期權(quán)價(jià)格的上限對于美式和歐式看漲期權(quán)來說，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格就是看漲期權(quán)價(jià)格的上限：其中，c和C分別代表歐式和美式看漲期權(quán)價(jià)格，S代表標(biāo)的現(xiàn)期資產(chǎn)價(jià)格。

2.看跌期權(quán)價(jià)格的上限

美式看跌期權(quán)價(jià)格上限為：歐式看跌期權(quán)價(jià)格上限為：其中，r代表T時(shí)刻到期的無風(fēng)險(xiǎn)利率，t代表現(xiàn)在時(shí)刻。1

（二）期權(quán)價(jià)格的下限1.歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限（1）無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限我們考慮如下兩個(gè)組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)在T時(shí)刻，組合A的價(jià)值為：組合B的價(jià)值為ST。由于，因此，在t時(shí)刻組合A的價(jià)值也應(yīng)大于等于組合B，即:由于期權(quán)的價(jià)值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格下限為：2

（2）有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限

我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為，其中D為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值，并經(jīng)過類似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限為3

2.歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限（1）無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限

考慮以下兩種組合：組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合D：金額為的現(xiàn)金在T時(shí)刻，組合C的價(jià)值為：max（ST，X），組合D的價(jià)值為X：由于組合C的價(jià)值在T時(shí)刻大于等于組合D，因此組合C的價(jià)值在t時(shí)刻也應(yīng)大于等于組合D，即：由于期權(quán)價(jià)值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格限為：

4

我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限為：

可見，歐式期權(quán)的下限實(shí)際上就是其內(nèi)在價(jià)值。（2）有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限5二、提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性（一）提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性

1.無收益美式看漲期權(quán)考慮如下兩個(gè)組合：組合A：一份美式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)

CASE1:不提前執(zhí)行期權(quán)（即到期執(zhí)行）在T時(shí)刻，組合A的現(xiàn)金變?yōu)閄，組合A的價(jià)值為max（ST，X）。而組合B的價(jià)值為ST，可見，組合A在T時(shí)刻的價(jià)值一定大于等于組合B。這意味著，如果不提前執(zhí)行，組合A的價(jià)值一定大于等于組合B。6

CASE2:提前執(zhí)行期權(quán)（在期執(zhí)行）若在時(shí)刻提前執(zhí)行，則提前執(zhí)行看漲期權(quán)所得盈利等于，此時(shí)現(xiàn)金金額變?yōu)椋渲斜硎綯-時(shí)段的遠(yuǎn)期利率。因此，若提前執(zhí)行的話，在時(shí)刻組合A的價(jià)值為：，而組合B的價(jià)值為。由于，因此。這就是說,若提前執(zhí)行美式期權(quán)的話，組合A的價(jià)值將小于組合B。0tτTrlrs7

比較CASE1和CASE2，得出如下結(jié)論：無收益資產(chǎn)條件下，提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)并不體現(xiàn)優(yōu)勢。因此，同一種無收益標(biāo)的資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)和歐式看漲期權(quán)的價(jià)值是相同的，即：

C=c

根據(jù)上式，我們可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價(jià)格的下限：

82.無收益美式看跌期權(quán)我們考察如下兩種組合：組合A：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合B：金額為的現(xiàn)金若不提前執(zhí)行，則到T時(shí)刻，組合A的價(jià)值為max（X，ST），組合B的價(jià)值為X，因此組合A的價(jià)值大于等于組合B。若在時(shí)刻提前執(zhí)行，則組合A的價(jià)值為X（X－Sτ＋Sτ

），組合B的價(jià)值為，因此組合A的價(jià)值也高于組合B。9由上分析可知，若不提前執(zhí)行，當(dāng)看跌期權(quán)到期時(shí)：是實(shí)值狀態(tài)時(shí)（ST

<X

），A組合價(jià)值＝X＝

B組合價(jià)值。是虛值狀態(tài)時(shí)（ST>X

）,ST

＝A組合價(jià)值>B組合價(jià)值＝

X

。若提前執(zhí)行，總有X

＝A組合價(jià)值>B組合價(jià)值＝結(jié)論：是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)，主要取決于期權(quán)的實(shí)值額（X-S）、無風(fēng)險(xiǎn)利率水平等因素。如果預(yù)期期權(quán)到期可能為實(shí)值狀態(tài)即當(dāng)S<<X時(shí)要考慮提前執(zhí)行，反之，則應(yīng)持有到期。另外若預(yù)期遠(yuǎn)期利率r上升，根據(jù)前面提前執(zhí)行情況分析，應(yīng)當(dāng)考慮提前執(zhí)行該無收益美式看跌期權(quán)。美式期權(quán)的下限為：10（二）提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性1.看漲期權(quán)

由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)可較早獲得標(biāo)的資產(chǎn)，從而獲得現(xiàn)金收益，而現(xiàn)金收益可以派生利息，因此在一定條件下，提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)有可能是合理的。我們假設(shè)在期權(quán)到期前：標(biāo)的資產(chǎn)有n個(gè)除權(quán)日，t1，t2……，tn為除權(quán)前的瞬時(shí)時(shí)刻；在這些時(shí)刻之后的收益分別為D1，D2，……，Dn，在這些時(shí)刻的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格分別為S1，S2，……Sn。11由于在無收益的情況下，不應(yīng)提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)，我們可以據(jù)此得到一個(gè)推論：在有收益情況下，只有在除權(quán)前的瞬時(shí)時(shí)刻提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)方有可能是最優(yōu)的。因此我們只需推導(dǎo)在每個(gè)除權(quán)日前提前執(zhí)行的可能性。我們先來考察在最后一個(gè)除權(quán)日（tn）提前執(zhí)行的條件。如果在tn時(shí)刻提前執(zhí)行期權(quán)，則期權(quán)多方獲得Sn-X的收益。若不提前執(zhí)行，則標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格將由于除權(quán)降到Sn-Dn。12根據(jù)前式，在tn時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值（Cn）:因此，如果：即：,則在tn提前執(zhí)行是不明智的。相反，如果,則在tn提前執(zhí)行有可能是合理的。同樣，對于任意在ti時(shí)刻不能提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)條件是：提前執(zhí)行期權(quán)13上式等價(jià)于假定現(xiàn)行股票價(jià)格與X很接近，要使上式不滿足即（可以提前執(zhí)行），股票紅利收益率必須高于或近似于無風(fēng)險(xiǎn)利率，但實(shí)際情況并不總是如此。因此：在大多數(shù)情況下，只用考慮最后除權(quán)日tn的提前執(zhí)行可能性。實(shí)際上，只有當(dāng)tn時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格足夠大時(shí)，提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)才是合理的。由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價(jià)值大于等于歐式看漲期權(quán)，其下限為：142.看跌期權(quán)由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán)，因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。通過同樣的分析，我們可以得出美式看跌期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是：由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為：15三、期權(quán)價(jià)格曲線的形狀

（一）看漲期權(quán)價(jià)格曲線我們先看無收益資產(chǎn)的情況。看漲期權(quán)價(jià)格的上限為S，下限為。期權(quán)價(jià)格下限就是期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值。當(dāng)內(nèi)在價(jià)值等于零時(shí)，期權(quán)價(jià)格就等于時(shí)間價(jià)值。時(shí)間價(jià)值在時(shí)最大；當(dāng)S趨于0和時(shí)，時(shí)間價(jià)值也趨于0，此時(shí)看漲期權(quán)價(jià)值分別趨于0和。特別地，當(dāng)S=0時(shí)，C=c=0。16此外，r越高、期權(quán)期限越長、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動率越大，則期權(quán)價(jià)格曲線以0點(diǎn)為中心，越往右上方旋轉(zhuǎn)，但基本形狀不變，而且不會超過上限，如下圖所示：

期權(quán)價(jià)格線時(shí)間價(jià)值17（二）看跌期權(quán)價(jià)格曲線1.歐式看跌期權(quán)價(jià)格曲線

我們先看無收益資產(chǎn)看跌期權(quán)的情形。歐式看跌期權(quán)的上限為，下限為。當(dāng)時(shí)，它就是歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值，也是其價(jià)格下限，當(dāng)時(shí)，歐式看跌期權(quán)內(nèi)在價(jià)值為0，其期權(quán)價(jià)格等于時(shí)間價(jià)值。當(dāng)S=時(shí)，時(shí)間價(jià)值最大。當(dāng)S趨于0和時(shí)，期權(quán)價(jià)格分別趨于和0。特別地，當(dāng)S=0時(shí)，。

18r越低、期權(quán)期限越長、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動率越高，看跌期權(quán)價(jià)值以0為中心越往右上方旋轉(zhuǎn)，但不能超過上限，如下圖所示：看跌期權(quán)價(jià)格

Xe-r(T-t)

上限

歐式看跌期權(quán)價(jià)格

下限、內(nèi)在價(jià)值

時(shí)間價(jià)值

0Xe-r(T-t)S192.美式看跌期權(quán)價(jià)格曲線對于無收益標(biāo)的資產(chǎn)來說，美式看跌期權(quán)上限為X，下限為X－S。但當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格足夠低時(shí)，提前執(zhí)行是明智的，此時(shí)期權(quán)的價(jià)值為X－S。因此當(dāng)S較小時(shí)，看跌期權(quán)的曲線與其下限或者說內(nèi)在價(jià)值X－S是重合的。當(dāng)S=X時(shí)，期權(quán)時(shí)間價(jià)值最大。其它情況與歐式看跌期權(quán)類似，如下圖所示。20美式看跌期權(quán)價(jià)格曲線

x上限

美式看跌期權(quán)價(jià)格下限、

內(nèi)在價(jià)值時(shí)間價(jià)值

0xs21四、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系

（一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系

1.無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)

考慮如下兩個(gè)組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合B：一份有效期和協(xié)議價(jià)格與看漲期權(quán)相同的

歐式看跌期權(quán)+一單位標(biāo)的資產(chǎn)22在期權(quán)到期時(shí)，兩個(gè)組合的價(jià)值均為max(ST,X)。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時(shí)刻t必須具有相等的價(jià)值，即：（1）這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系（Parity）。如果式（1）不成立，則存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會。套利活動將最終促使式（1）成立。232.有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)在標(biāo)的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為，我們就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系：

(2)24（二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系1.無收益資產(chǎn)美式期權(quán)

由于P>p,從式（1）中我們可得：