習題課曲線積分2022/11/26習題課曲線積分2022/11/221本習題課重點1.計算；

(二類積分計算極為重要)2.Green公式；3.與路徑無關2022/11/26本習題課重點1.計算；

(二類積分計算極為重要)2一、曲線積分的計算法1.基本方法曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標)(1)統一積分變量轉化定積分用參數方程用直角坐標方程用極坐標方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終機動目錄上頁下頁返回結束2022/11/26一、曲線積分的計算法1.基本方法曲線積分第一類(對弧長3(1)利用對稱性及重心公式簡化計算;(2)利用積分與路徑無關的等價條件;(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用兩類曲線積分的聯系公式.2.基本技巧機動目錄上頁下頁返回結束2022/11/26(1)利用對稱性及重心公式簡化計算;(2)利用積分與路4公式與性質復習1.第一類曲線積分：2022/11/26公式與性質復習1.第一類曲線積分：2022/11/2252.第二類曲線積分：2022/11/262.第二類曲線積分：2022/11/2263.Green公式：4.兩類曲線積分的關系：α、β的求法：2022/11/263.Green公式：4.兩類曲線積分的關系：α、β的求法75.Green公式：6.利用對稱性2022/11/265.Green公式：6.利用對稱性2022/11/228練習一——一型曲線積分習題1——對嗎？即：重積分不能直接帶入！2022/11/26練習一——一型曲線積分習題1——對嗎？即：重積分不能直接帶入9習題2-aaa-a——簡單！——復雜！2022/11/26習題2-aaa-a——簡單！——復雜！2022/11/2210習題32022/11/26習題32022/11/2211習題42022/11/26習題42022/11/2212習題4這里用到了

“輪換對稱

性”，即：

將被積函數

與積分曲線

中的自變量

分別依次輪

換而曲線和

被積函數保

持不變。2022/11/26習題4這里用到了

“輪換對稱

性”，即：

將被積函數

與積分13例5.計算其中為曲線解:

利用輪換對稱性,有利用重心公式知(的重心在原點)機動目錄上頁下頁返回結束2022/11/26例5.計算其中為曲線解:利用輪換對稱性,有利用14練習二——

二型曲線積分習題1原積分是否與路徑無關？否！因為閉曲線為負向！(否！有關)A(-R,0)xyLB(R,0)問題1:(1)用參數法?(2)用Green公式?(3)與路徑無關?問題2:問題3:用Green公式?

(否！曲線不封閉)問題4:L12022/11/26練習二——

二型曲線積分習題1原積分是否與路徑無關？否15練習二——

二型曲線積分習題1A(-R,0)xyLB(R,0)L12022/11/26練習二——

二型曲線積分習題1A(-R,0)xyLB(162022/11/262022/11/2217習題2oL2022/11/26習題2oL2022/11/2218習題2看似可以，但實際上是錯的。因為有點在L的外面。oLl1l22022/11/26習題2看似可以，但實際上是錯的。因為有點在L的外面。oLl19習題2oLl2022/11/26習題2oLl2022/11/2220習題3L11xyo(1,0)2022/11/26習題3L11xyo(1,0)2022/11/2221習題322-2-2L2l2022/11/26習題322-2-2L2l2022/11/2222習題3L2oyx(1,0)l2022/11/26習題3L2oyx(1,0)l2022/11/2223習題32022/11/26習題32022/11/2224練習4xy2022/11/26練習4xy2022/11/2225練習四——空間曲線二型積分2zyx2022/11/26練習四——空間曲線二型積分2zyx2022/11/2226練習五2022/11/26練習五2022/11/2227練習五—綜合題2022/11/26練習五—綜合題2022/11/2228練習五—綜合題圖10-15計算，其中L為圓上從點(R,0)依逆時針方向到點(0,R)的一段弧（圖10-15）。解:解法一，，用格林公式，2022/11/26練習五—綜合題圖10-15計算，其中L為圓上從點(R,029

原積分圖10-152022/11/26 原積分圖10-152022/130解法二原積分

圖10-152022/11/26解法二原積分 圖10-152031計算曲線積分：其中L為自點沿至的弧段；LB(2,3)yx0A(-1,0)C(-1,-1)解: 2022/11/26計算曲線積分：其中L為自點沿至的弧段；32解此題時選路徑：1）折線，行嗎？（2）折線，對嗎？LB(2,3)yx0A(-1,0)F(-1,3)E(2,-1)C(-1,-1)2022/11/26解此題時選路徑：1）折線，行33確定a的值，使曲線積分與路徑無關，并求A,B分別為(0,0),(1,2)時曲線積分的值。I與路徑無關的條件為，由此知把代入，并計算。

解

2022/11/26確定a的值，使曲線積分與路徑無關，并求A,B分別為(0,34練習五—綜合題22022/11/26練習五—綜合題22022/11/22352022/11/262022/11/2236曲線積分的應用一.一型曲線積分1.曲線弧段的弧長；2.曲線弧段的質量；3.曲線弧段的重心坐標；4.曲線弧段對各坐標軸的轉動慣量；2022/11/26曲線積分的應用一.一型曲線積分1.曲線弧段的弧長；2.曲線弧37二.二型曲線積分.變力2022/11/26二.二型曲線積分.變力2022/11/2238二.二型曲線積分.變力AMxMB(0,2)O2022/11/26二.二型曲線積分.變力AMxMB(0,2)O2022/11392022/11/262022/11/2240返回主頁（RETURN）本習題課結束2022/11/26返回主頁（RETURN）本習題課結束2022/11/2241習題課曲線積分2022/11/26習題課曲線積分2022/11/2242本習題課重點1.計算；

(二類積分計算極為重要)2.Green公式；3.與路徑無關2022/11/26本習題課重點1.計算；

(二類積分計算極為重要)43一、曲線積分的計算法1.基本方法曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標)(1)統一積分變量轉化定積分用參數方程用直角坐標方程用極坐標方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終機動目錄上頁下頁返回結束2022/11/26一、曲線積分的計算法1.基本方法曲線積分第一類(對弧長44(1)利用對稱性及重心公式簡化計算;(2)利用積分與路徑無關的等價條件;(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用兩類曲線積分的聯系公式.2.基本技巧機動目錄上頁下頁返回結束2022/11/26(1)利用對稱性及重心公式簡化計算;(2)利用積分與路45公式與性質復習1.第一類曲線積分：2022/11/26公式與性質復習1.第一類曲線積分：2022/11/22462.第二類曲線積分：2022/11/262.第二類曲線積分：2022/11/22473.Green公式：4.兩類曲線積分的關系：α、β的求法：2022/11/263.Green公式：4.兩類曲線積分的關系：α、β的求法485.Green公式：6.利用對稱性2022/11/265.Green公式：6.利用對稱性2022/11/2249練習一——一型曲線積分習題1——對嗎？即：重積分不能直接帶入！2022/11/26練習一——一型曲線積分習題1——對嗎？即：重積分不能直接帶入50習題2-aaa-a——簡單！——復雜！2022/11/26習題2-aaa-a——簡單！——復雜！2022/11/2251習題32022/11/26習題32022/11/2252習題42022/11/26習題42022/11/2253習題4這里用到了

“輪換對稱

性”，即：

將被積函數

與積分曲線

中的自變量

分別依次輪

換而曲線和

被積函數保

持不變。2022/11/26習題4這里用到了

“輪換對稱

性”，即：

將被積函數

與積分54例5.計算其中為曲線解:

利用輪換對稱性,有利用重心公式知(的重心在原點)機動目錄上頁下頁返回結束2022/11/26例5.計算其中為曲線解:利用輪換對稱性,有利用55練習二——

二型曲線積分習題1原積分是否與路徑無關？否！因為閉曲線為負向！(否！有關)A(-R,0)xyLB(R,0)問題1:(1)用參數法?(2)用Green公式?(3)與路徑無關?問題2:問題3:用Green公式?

(否！曲線不封閉)問題4:L12022/11/26練習二——

二型曲線積分習題1原積分是否與路徑無關？否56練習二——

二型曲線積分習題1A(-R,0)xyLB(R,0)L12022/11/26練習二——

二型曲線積分習題1A(-R,0)xyLB(572022/11/262022/11/2258習題2oL2022/11/26習題2oL2022/11/2259習題2看似可以，但實際上是錯的。因為有點在L的外面。oLl1l22022/11/26習題2看似可以，但實際上是錯的。因為有點在L的外面。oLl60習題2oLl2022/11/26習題2oLl2022/11/2261習題3L11xyo(1,0)2022/11/26習題3L11xyo(1,0)2022/11/2262習題322-2-2L2l2022/11/26習題322-2-2L2l2022/11/2263習題3L2oyx(1,0)l2022/11/26習題3L2oyx(1,0)l2022/11/2264習題32022/11/26習題32022/11/2265練習4xy2022/11/26練習4xy2022/11/2266練習四——空間曲線二型積分2zyx2022/11/26練習四——空間曲線二型積分2zyx2022/11/2267練習五2022/11/26練習五2022/11/2268練習五—綜合題2022/11/26練習五—綜合題2022/11/2269練習五—綜合題圖10-15計算，其中L為圓上從點(R,0)依逆時針方向到點(0,R)的一段弧（圖10-15）。解:解法一，，用格林公式，2022/11/26練習五—綜合題圖10-15計算，其中L為圓上從點(R,070

原積分圖10-152022/11/26 原積分圖10-152022/171解法二原積分

圖10-152022/11/26解法二原積分 圖10-152072計算曲線積分：其中L為自點沿至的弧段；LB(2,3)yx0A(-1,0)C(-1,-1)解: 2022/11/26計算曲線積分：其中L為自點沿至的弧段；73解此題時選路徑：1）折線，行嗎？（2）折線，