數學分支之代數幾何數學分支之代數幾何數學分支之代數幾何V:1.0精細整理，僅供參考數學分支之代數幾何日期：20xx年X月數學分支之代數幾何幾何空間空間的概念復我們來說是熟悉的。我們生活的空間是包含在上下、前后、左右之中的。如果需要描述我們所處的空間中的某一位置，就需要用三個方向來表示，這個意思也就是說空間是“三維”的。在數學中經常用到“空間”這個概念，它指的范圍很廣，一般指某種對象（現象、狀況、圖形、函數等）的任意集合，灰渲興得髁SPANlang=EN-US“距離”或“鄰域”的概念就可以了。而所謂“維”的概念，如果我們所談到的只是簡單的幾何圖形，如點、線、三角形和多邊形……，那么理解維的概念并不困難：點的維數是零；一條線段的維數是一；一個三角形的維數是二；一個立方體內所有點的集合的是三維的。如果把維度的概念擴充到任意點集合上去的時候，維的概念就不那么容易理解了。比如，什么是四維空間呢關于四維空間，我國古代有一些說法是很有意思的。最典型的就是對于“宇宙”兩字的解釋，古人的說法是“四方上下曰宇，古往今來曰宙”，用現在的話說就是，四維空間是在三維空間的基礎上再加上時間維作為并列的第四個坐標。愛因斯坦認為每一瞬間三維空間中的所有實物在占有一定的位置就是四維的。比如我們所住的房子，就是由長度、寬度、高度、和時間制約的。所謂時間制約就是從蓋房的時候算起，直到最后房子倒塌為止。根據上邊的說法，幾何學和其它科學研究的n維空間的概念，就可以理解成由空間的點的n個坐標決定。這個空間的圖形就定義成滿足這個或那個條件的點的軌跡。一般來說，某個圖形由n個條件給出，那么這個圖形就是某個n維的點。至于這個圖形到底是什么形象，我們是否能想象得出來，對數學來說是無關緊要的。幾何學中的“維”的概念，實際上就是構成空間的基本元素，也就是點的活動的自由度，或者說是點的坐標。所謂n維空間，經常是用來表示超出通常的幾何直觀范圍的數學概念的一種幾何語言。從上面的介紹可以看出，幾何中的元素可用代數中的是數來表示，代數問題如果通過幾何的語言給與直觀的描述，有時候可以給代數問題提示適當的解法。比如解三元一次方程組，就可以認為是求解三個平面的交點問題。代數幾何學的內容用代數的方法研究幾何的思想，在繼出現解析幾何之后，又發展為幾何學的另一個分支，這就是代數幾何。代數幾何學研究的對象是平面的代數曲線、空間的代數曲線和代數曲面。代數幾何學的興起，主要是源于求解一般的多項式方程組，開展了由這種方程組的解答所構成的空間，也就是所謂代數簇的研究。解析幾何學的出發點是引進了坐標系來表示點的位置，同樣，對于任何一種代數簇也可以引進坐標，因此，坐標法就成為研究代數幾何學的一個有力的工具。代數幾何的研究是從19世紀上半葉關于三次或更高次的平面曲線的研究開始的。例如，阿貝爾在關于橢圓積分的研究中，發現了橢圓函數的雙周期性，從而奠定了橢圓曲線理論基礎。黎曼1857年引入并發展了代數函數論，從而使代數曲線的研究獲得了一個關鍵性的突破。黎曼把他的函數定義在復數平面的某種多層復迭平面上，從而引入了所謂黎曼曲面的概念。運用這個概念，黎曼定義了代數曲線的一個最重要的數值不變量：虧格。這也是代數幾何歷史上出現的第一個絕對不變量。在黎曼之后，德國數學家諾特等人用幾何方法獲得了代數曲線的許多深刻的性質。諾特還對代數曲面的性質進行了研究。他的成果給以后意大利學派的工作建立了基礎。從19世紀末開始，出現了以卡斯特爾諾沃、恩里奎斯和塞維里為代表的意大利學派以及以龐加萊、皮卡和萊夫謝茨為代表的法國學派。他們對復數域上的低維代數簇的分類作了許多非常重要的工作，特別是建立了被認為是代數幾何中最漂亮的理論之一的代數曲面分類理論。但是由于早期的代數幾何研究缺乏一個嚴格的理論基礎，這些工作中存在不少漏洞和錯誤，其中個別漏洞直到目前還沒有得到彌補。20世紀以來代數幾何最重要的進展之一是它在最一般情形下的理論基礎的建立。20世紀30年代，扎里斯基和范·德·瓦爾登等首先在代數幾何研究中引進了交換代數的方法。在此基礎上，韋伊在40年代利用抽象代數的方法建立了抽象域上的代數幾何理論，然后20世紀50年代中期，法國數學家塞爾把代數簇的理論建立在層的概念上，并建立了凝聚層的上同調理論，這個為格羅騰迪克隨后建立概型理論奠定了基礎。概型理論的建立使代數幾何的研究進入了一個全新的階段。代數幾何學中要證明的定理多半是純幾何的，在論證中雖然使用坐標法，但是采用坐標法多建立在射影坐標系的基礎上。在解析幾何中，主要是研究一次曲線和曲面、二次曲線和曲面。而在代數幾何中主要是研究三次、四次的曲線和曲面以及它們的分類，繼而過渡到研究任意的代數流形。代數幾何與數學的許多分支學科有著廣泛的聯系，如數論、解析幾何、微分幾何、交換代數、代數群、拓撲學等。代數幾何的發展和這些學科的發展起著相互促進的作用。同時，作為一門理論學科，代