交通工程學（第4章交通流理論）

交通工程學4.1概述（了解）4.2交通流的統計分布特性（熟練掌握）4.3排隊論模型（熟練掌握）4.4跟馳模型（熟練掌握）4.5流體模型（熟練掌握）第4章交通流理論4.1概述（了解）第4章交通流理論交通流理論是交通工程學的基本理論，是借助于物理、數學的定律與方法來闡明交通流基本特性的一種理論。4.1概述交通流理論是交通工程學的基本理論，歷史沿革:誕生于20世紀30年代的概率論的方法.50年代以后成為交通工程的專題研究研究內容宏觀穩態的交通流基本參數模型交通流統計分布特性交通流理論的模擬與仿真交通流模型的理論與方法:排隊論、跟馳理論、流體力學理論、細胞源動機理論歷史沿革:誕生于20世紀30年代的概率論的方法.50年代以后交通模型：描述交通流狀態變量隨時間與空間而變化的分布規律及其與交通控制變量之間關系的方程。參數模型：交通流參數之間的關系宏觀模型：描述車隊的運動規律微觀模型：描述單個車輛的運動規律靜態模型：不隨時間改變的穩恒交通流隨空間分布的規律動態模型：時間改變的穩恒交通流隨空間分布的規律交通模型：描述交通流狀態變量隨時間與空間而變化的分布規律及其4.2.1交通流統計分布的含義4.2.2離散型分布4.2.3連續性分布4.2交通流的統計分布特性4.2.1交通流統計分布的含義4.2交通流的統計分布特性車輛的到達在某種程度上具有隨機性，描述這種隨機性的統計規律的方法稱為交通流的統計分布。離散型分布：考察在一段固定長度的時間內到達某場所的交通數量或一定距離內分布的交通數量的波動性。

信號周期內到達的車輛數。連續型分布：描述事件之間時間間隔的連續型分布為工具，研究事件發生的間隔時間或距離的統計分布特性。車頭時距分布、速度分布和可穿越空檔分布。

4.2.1交通流統計分布的含義車輛的到達在某種程度上具有隨機性，描述這種隨機4.2.2離散型分布4.2.2.1泊松分布4.2.2.2二項分布4.2.2離散型分布4.2.2.1泊松分布4.2.2.24.2.2.1泊松分布（1）基本公式，k＝0，1，2，…

Pk—在計數間隔t內到達k輛車或k個人的概率；λ—單位時間間隔的平均到達率（輛/s或人/s）；t—每個計數間隔持續的時間（s）。若令m=λt為計數間隔t內平均到達的車輛（人）數，則，當m為已知時，可求出在計數間隔t內恰好有k輛車（人）到達的概率。4.2.2.1泊松分布（1）基本公式第4章交通流理論課件第4章交通流理論課件4.2.2.1泊松分布（續）（2）遞推公式：，（3）適用條件：車流密度不大，車輛間相互影響較弱，其他外界干擾因素基本上不存在，即車流是隨機的。（4）泊松分布的均值M和方差D都等于λt，而觀測數據的均值m和方差S2均為無偏估計，因此，當觀測數據表明S2/m顯著地不等于1.0時，就是泊松分布不合適的表示。m—在某一給定時間間隔周期內到達車輛的平均數；S2—各車輛到達數與均值之差的平方和的平均數。4.2.2.1泊松分布（續）（2）遞推公式：（3）適用條件4.2.2.1泊松分布（續）例4-1某路段每小時有120輛車通過，假設車輛到達服從泊松分布，問在指定的某一分鐘內有3輛車通過的概率是多大，而一分鐘內不超過3輛車的概率又是多大。（5）應用舉例例4-2某信號燈交叉口的周期C=97s,有效綠燈時間g=44s,在有效綠燈時間內排隊的車流以S=900（輛/h）的交通量通過交叉口，在有效綠燈時間外到達的車輛要停車排隊。設信號燈交叉口上游車輛的到達率q=369（輛/h），服從泊松分布公式中，求到達車輛不致二次排隊的周期數占周期總數的最大百分率。4.2.2.1泊松分布（續）例4-1某路段每小時有1204.2.2.1泊松分布（續）例4－2解：一個周期內能通過的最大車輛數A＝gS＝900×44/3600＝11輛，當某周期到達的車輛數N?11輛時，則最后到達的（N-11）輛車就不能在本周期內通過而發生二次排隊。在泊松分布中，一個周期內平均到達的車輛數m=λt＝369×97/3600＝9.9輛。則可能到達車輛數大于11輛的周期出現的概率為即到達車輛不致兩次排隊的周期數最多占71％。4.2.2.1泊松分布（續）例4－2即到達車輛不致兩次排隊4.2.2.2二項分布（1）基本公式：，k＝0，1，2，…Pk—在計數間隔t內到達k輛車或k個人的概率；λ—單位時間間隔的平均到達率（輛/s或人/s）；t—每個計數間隔持續的時間（s）或距離（m）；n—觀測次數，正整數。通常記，則二項分布為：4.2.2.2二項分布（1）基本公式：通常記4.1.2.2二項分布（續）（2）遞推公式：（3）適用條件：車輛比較擁擠、自由行駛機會不多的車流。（4）分布的均值M和方差D分別為M=np，D=np(1-p)，顯然有M>D。用觀測數據計算出來的樣本均值m和方差S2代替M和D，因此，S2/m應當小于1。當S2/m顯著大于1.0時，就是二項分布不適的表示。4.1.2.2二項分布（續）（2）遞推公式：（3）適用條件4.2.2.3負二項分布基本公式：4.2.2.3負二項分布基本公式：適用條件：車流受到干擾。車輛到達起伏幅度比較大的車流，而計數周期比較短的高方差分布分布的均值M和方差D分別為M=kp/p，D=kp/p2，顯然有M＜D。用觀測數據計算出來的樣本均值m和方差S2代替M和D，所以負二項分布的S2/m應當大于1，當S2/m顯著小于1.0時，就是負二項分布不適的表示。適用條件：車流受到干擾。車輛到達起伏幅度比較大的車流，而計數4.2.3連續型分布4.2.3.1負指數分布4.2.3.2移位負指數分布4.2.3連續型分布4.2.3.1負指數分布4.2.3.1負指數分布（1）

基本公式：P(h>t)——到達的車頭時距h大于t秒的概率；λ——車流的平均到達率(輛/s)。推導：由可知，在計數間隔t內沒有車輛（k＝0）到達的概率，這表明，在具體的時間間隔t內，無車輛到達，則上次車到達和下次車到達之間，車頭時距至少有t，即。4.2.3.1負指數分布（1）基本公式：推導：由4.2.3.1負指數分布（續）（2）負指數分布的均值M和方差D分別為M=1/λ，D=1/λ2，用樣本均值m代替M、樣本的方差S2代替D，既可算出負指數分布的參數λ

。（3）適用條件：用于描述有充分超車機會的單列車流和密度不大的多列車流的車頭時距分布，它常與計數的泊松分布相對應。（4）負指數分布的概率密度函數是單降的，車頭時距越短，其出現的概率越大，但車頭時距至少有一個車長，所以車頭時距必有一個大于零的最小值τ。4.2.3.1負指數分布（續）（2）負指數分布的均值M和方負指數分布負指數分布4.2.3.1負指數分布（續）（5）應用舉例例4－3某交通流屬泊松分布，已知交通量為1200輛/h，求：a)車頭時距t＞

5s的概率；b）在1小時內，車頭時距t＞5s所出現的次數；

4.2.3.1負指數分布（續）（5）應用舉例在次要車流通行能力研究中的應用在次要車流通行能力研究中的應用4.2.3.2移位負指數分布（1）基本公式為克服負指數分布的車頭時距趨近于零其頻率出現愈大這一缺點，可將負指數分布曲線從原點O沿t向右移一個最小間隔長度τ，得到移位負指數分布曲線：τ—大于零的一個最小車頭時距，一般在1.0～1.5s之間。（2）移位負指數分布的均值M和方差D分別為M=1/λ+τ

，D=1/λ2，用樣本均值m代替M、樣本的方差S2代替D，則可算出移位負指數分布的參數λ和τ。4.2.3.2移位負指數分布（1）基本公式τ—大于零的一個4.2.3.2移位負指數分布（續）（3）適用條件用于描述不能超車的單列車流的車頭時距分布和車流量低的車流的車頭時距分布。（4）移位負指數分布的局限移位負指數分布的概率密度函數曲線是隨t-τ單調遞降的，車頭時距愈接近τ，其出現的可能性愈大。這在一般情況下是不符合駕駛員的心理習慣和行車特點的。從統計角度看，車頭時距分布的概率密度曲線一般總是先升后降的。4.2.3.2移位負指數分布（續）（3）適用條件其他常用分布形式愛爾蘭分布：T:觀測時間間隔的平均值T:車頭時距（s）H:車頭時距的觀測值當k＝1時，為負指數分布當k＞1時，為愛爾蘭分布K：確定分布曲線形狀的參數K值4舍5入，取整數其他常用分布形式愛爾蘭分布：K：確定分布曲線形狀的參數K值4對數正態分布：對數正態分布：分布檢驗在實際觀測中，不可能對觀測值的全部取值的概率進行反復觀測，往往是以局部觀測數列的分析和觀測值的算術平均值或方差為依據，推斷其符合某種分布規律為了運用局部觀測資料，即用樣本推算總體的分布，需要先對總體的分布概率進行假設，然后用局部觀測的數據來驗證其符合程度擬合度檢驗：實際樣本與理論樣本之間總存在差異，且隨機取樣也存在樣本之波動，其差異與變化程度究竟如何，即擬合度如何，只能通過擬合度檢驗來鑒別。常用的檢驗為x2檢驗（Chiquaretest）分布檢驗在實際觀測中，不可能對觀測值的全部取值的概率進行反復檢驗的原理：首先假設觀測數列具有某種分布特性，于是建立實際頻率與理論頻率之間的差異,此差異用計算值X2表示。在確定的顯著水平的條件下確定臨界值x2。當計算值x2小于臨界值x2時，假設分布被接受，否則，重新假設分布，重新進行計算檢驗的原理：首先假設觀測數列具有某種分布特性，于是建立實際頻檢驗計算過程：1、建立原假設H0計算p1、p2、p3。。。。。Pn計算F1、F2、F3………….Fn、2、選取統計量：檢驗計算過程：1、建立原假設H03、確定臨界值：由顯著水平與自由度DF確定DF=c-a-1由表4-2查出臨界值x24、求統計檢驗結論：X2計算≤X2臨界，假設成立，分布被接受否則，重新假設其分布，重新進行檢驗3、確定臨界值：常用統計分布中的a值與DF值分布aDF泊松分布1C-2二項分布2C-3負二項分布2C-3正態分布2C-3均勻分布0C-1常用統計分布中的a值與DF值分布aDF泊松分布1C-2二項分X2檢驗中需要注意的事項：樣本量較大，N≥50分組數應該連續，以7－9組為宜，一般不小于5組各組的理論頻數不得小于5，如Ej=5，則應該將相鄰的組項合并，直至Ej≥5為止。這時應以合并后的組數作為計算自由度的c值X2檢驗中需要注意的事項：樣本量較大，N≥50例：下表為某觀測現場的車流量數據，時間間隔為1min，試檢驗其分布規律是否服從泊松分布？顯著水平為5％組序號每分鐘到達的車輛數xi頻數fi累計車輛數100021993261243927541144659457653087179≥800＝50＝174例：下表為某觀測現場的車流量數據，時間間隔為1min，試檢驗解：1、根據泊松分布計算Pi2、計算理論頻數Ej解：1、根據泊松分布計算Pi2、計算理論頻數Ej組號fiPinFj100.0310501.550.57290.1079505.43260.1877509.391.234390.21775010.890.3354110.1894509.470.246590.1318506.590.87750.0765503.830.07810.0380501.90900.0196500.981503.31960.13890.13457.0716組號fiPinFj100.0310501.550.572903、確定DF＝c－a－1=6-1-1=4查表的：4、判斷分布是否成立：所以原假設成立，分布服從泊松分布3、確定4.3.1基本概念4.3.2基本原理4.3.3排隊系統的表示4.3排隊論模型4.3.1基本概念4.3排隊論模型第4章交通流理論課件（1）排隊論：是研究“服務”系統因“需求”擁擠而產生等待行列(即排隊)的現象，以及合理協調“需求”與“服務”關系的一種數學理論。（2）排隊：單指等待服務的車輛，不包括正在被服務的車輛。（3）排隊系統：既包括了等待服務的，又包括了正在被服務的車輛。（4）排隊論的應用：電話自動交換機；車輛延誤、通行能力、信號燈配時以及停車場、加油站等交通設施的設計與管理；收費亭的延誤估計。4.3.1基本概念（1）排隊論：是研究“服務”系統因“需求”擁擠而產生等待行列（1）排隊系統的3個組成部分輸入過程：各種類型的“顧客(車輛或行人)”按怎樣的規律到達。（到達時距符合什么樣的分布）如定長輸入D；泊松輸入M；愛爾郎輸入EK

排隊規則：指到達的顧客按怎樣的次序接受服務。如損失制；等待制；混合制。等待制:先到先服務:FIFO后到先服務:LIFO隨機服務：SIRO4.3.2基本原理（1）排隊系統的3個組成部分4.3.2基本原理服務方式：指同一時刻多少服務臺可接納顧客，每一顧客服務了多少時間。服務臺：個數、排列方式（平行排列、成串排列）服務時間服從何種分布形式：如定長分布D；負指數分布M；愛爾朗分布Ek。服務方式：指同一時刻多少服務臺可接納顧客，每一顧客服務了多少（2）排隊系統的主要數量指標隊長和排隊長：若排隊系統中的顧客數為n，排隊顧客數為q，正在被服務的顧客數位s，則n=q+s。隊長是排隊系統提供的服務水平的一種衡量。逗留時間和等待時間：逗留時間是指一個顧客逗留在排隊系統中的總時間。等待時間是指從顧客到達時起到他開始接受服務時止這段時間。忙期和閑期：忙期是指服務臺連續繁忙的時期，相對應的是閑期，這關系到服務臺的工作強度。4.3.2基本原理（續）（2）排隊系統的主要數量指標4.3.2基本原理（續）4.3.3排隊系統的表示類別輸入分布服務方式服務臺數量符號含義M—泊松或負指數分布M—負指數分布1D—定長D—定長NEk—愛爾朗分布Ek—愛爾朗分布M/M/N——泊松輸入、負指數分布服務、N個服務臺M/D/1——泊松輸入、定長服務、單個服務臺a/b/c(L/Disc):a:車輛到達的分布b：服務時間分布c：服務臺個數L：允許排隊長度Disc：排隊規則4.3.3排隊系統的表示類別輸入分布服務方式服務臺數量符號M/M/1系統參數判別指標：顧客的平均到達率：系統的服務率：系統不穩定，隊伍越來越長（或一直不消散）排隊消散，系統穩定M/M/1系統參數判別指標：顧客的平均到達率：系統的服務率：M/M/1系統參數計算M/M/1系統參數計算M/M/1系統參數計算M/M/1系統參數計算M/M/N系統的計算公式判別指標：多路排隊多通道系統：相當于N個M/M/1系統M/M/N系統的計算公式判別指標：多路排隊多通道系統：相當于M/M/N系統的計算公式單路排隊多通道服務系統：系統中沒有車輛的概率：系統中有n輛車的概率：系統的平均車輛數：系統中排隊的平均長度：系統中的平均消耗時間：系統中排隊的平均等待時間：M/M/N系統的計算公式單路排隊多通道服務系統：系統中沒有車4.4.1車輛跟馳特性分析4.4.2線形跟馳模型4.4跟馳模型4.4.1車輛跟馳特性分析4.4跟馳模型4.3跟馳理論用動力學方法描述車隊后車跟隨前車行駛狀態，通過描述車輛之間的行駛關聯性描述交通流能夠準確交通服務水平廣泛應用于交通模擬與仿真4.3跟馳理論用動力學方法描述車隊后車跟隨前車行駛狀態，通（1）跟馳理論的定義：運用動力學的方法，研究在無法超車的單一車道上車輛列隊行駛時，后車跟隨前車的行駛狀態的一種理論。（2）車輛跟馳特性分析（非自由行駛狀態的車隊）

制約性：后車緊隨前車前進。延遲性（滯后性）：后車運行狀態的改變在前車之后。傳遞性：前車的運行狀態制約著后車的運行狀態。4.4.1車輛跟馳特性分析車速條件距離條件（1）跟馳理論的定義：運用動力學的方法，研究在無法超車的單一4.4.2線形跟馳模型在t時刻，由于前車n的減速造成后車n+1的減速，由于車輛跟馳的延遲性，后車的減速滯后了T（駕駛員的反應時間）。在t時刻，前車和后車的位置分別為xn(t)和xn+1(t)，兩車此時的距離為S(t)=xn(t)-xn+1(t)。后車在反應時間T內行駛的距離。表示第i輛車在時刻t的速度。4.4.2線形跟馳模型在t時刻，由于前車n4.3.2線性跟馳模型微分方程：4.3.2線性跟馳模型微分方程：4.4.2線形跟馳模型（續）其中為后車在時刻（t＋T）的加速度，稱為后車的反應；為敏感度；為時刻t的刺激。所以：反應＝敏感度×刺激。假定d2＝d3，要使在時刻t兩車的間距能保證在突然剎車事件中不發生碰撞，則有：即對t微分得：或4.4.2線形跟馳模型（續）其中非線性跟車理論稱為靈敏度m和L為常數當m=0，L=0，即為線形模型非線性跟車理論稱為靈敏度m和L為常數當m=0，L=0，即為線4.3.3跟馳模型的討論4.3.3跟馳模型的討論4.3.3跟馳模型的討論4.3.3跟馳模型的討論4.3.3跟馳模型的討論4.3.3跟馳模型的討論4.3.3跟馳模型的討論4.3.3跟馳模型的討論4.5.1理論概述4.5.2車流連續性方程4.5.3波動理論4.5.4交通波理論的應用舉例4.5流體模型4.5.1理論概述4.5流體模型1955年，英國學者萊脫希爾和惠特漢提出。車流波動理論的定義：通過分析車流波的傳播速度，以尋求車流流量和密度、速度之間的關系，并描述車流的擁擠——消散過程。適用條件：流體力學模擬理論假定在車流中各個單個車輛的行駛狀態與它前面的車輛完全一樣，這與實際不符，因此該模型運用于車輛擁擠路段較為合適。4.5.1理論概述1955年，英國學者萊脫希爾和惠特漢提出。4.5.1理論概交通流與流體流特性對比物理特性流體動力學系統交通流系統連續體形態單向不可壓縮流體單車道不可壓縮車流離散元素分子車輛運動方向一向性單方向變量質量m密度K速度V車速V壓力P流量Q動量mVkm狀態方程Q=km連續性方程運動方程交通流與流體流特性對比物理特性流體動力學系統交通流系統連續體假設車輛順次通過斷面Ⅰ和Ⅱ的時間間隔為dt，兩斷面的間距為dx。同時，車流在斷面Ⅰ的流入量為q，密度為K。車流在斷面Ⅱ的流出量為（q+△q），密度為（K-△K）。4.5.2車流連續性方程根據物質守恒定律，流入量－流出量＝△x內車輛數的變化：

或取極限得：當車流量隨距離而降低時，車流密度隨時間而增大。

又因為q=Kv，交通流的運動方程為假設車輛順次通過斷面Ⅰ和Ⅱ的時間間隔為dt，兩斷面的間距為d車流的波動：車流中兩種不同密度的分界面經過一輛輛車向后部傳播的現象。波速：車流波動沿道路移動的速度。前進波：沿道路前進的波，波速為正。后退波；沿道路后退的波，波速為負。集結波：波陣面過后，車流密度變大。疏散波：波陣面過后，車流密度變小。集散波：包括集結波和疏散波。4.5.3車流波動理論（1）基本概念車流的波動：車流中兩種不同密度的分界面經過一輛輛車向后部傳播車隊從速度Vl、密度K1(對應于車間距離l1)轉變到速度V2，密度K2(對應于車間距離l2)。O為第一輛車的變速點，A為第二輛車的變速點、虛線OA的斜率就是集散波的波速。4.5.3車流波動理論（續）一個車隊中前三輛車運行的時間-空間軌跡（2）交通波的基本方程車隊從速度Vl、密度K1(對應于車間設變速點A的時刻為t，位置為x，則在時刻0到時刻t之間，兩車車間距的變化為l2－l1，第一輛車行駛的距離為tV2，第二輛車行駛的距離為tV1，則l2－l1＝tV2－tV1，t＝（l2－l1）/（V2－V1）又因x=－l1+tV1，則可得波速公式：4.5.3車流波動理論（續）如果車流前后兩行駛狀態的流量和密度非常接近，則上式叫可演化為，這個公式是微弱波的波速公式，即車流中傳播小紊流的速度公式。（2）交通波的基本方程設變速點A的時刻為t，位置為x，則在時刻0到4.5.3車流波動理論（續）設有一個交通波以速度w沿車道穩定地向右傳播，波陣面s前車流密度為k1，速度為u1，波傳過后車流密度變為k2，速度為u2。以波陣面s為界面，將看到的原車流以w—u1的速度向左流過波陣面，而以w—u2的速度從波陣面流出。假設為單車道，根據質量守恒定律，在波穩定傳播的條件下，時間t內從波陣面右側流入的車輛數應等于從左側流出的車輛數，得到：（3）交通波的基本方程(簡單證明)4.5.3車流波動理論（續）設有一個交通波以速度w沿車道穩4.5.3車流波動理論（續）集散波總是從前車向后車傳播的，把單位時間內集散波所掠過的車輛數稱為波流量。通常意義下的流量總是相對于道路的一個固定斷面而言，而波流量則是相對于移動的波界面來計算的。可以證明，波流量的公式為Qw——車流波W的波流量；V2、V1——前后兩種車流狀態的車速；K2、K1——前后兩種密度。（4）波流量4.5.3車流波動理論（續）集散波總是從前4.5.3車流波動理論（續）①k2>k1，且q2>q1——集結波、前進波相當于以較大的間距行駛的車隊，后車催促前車依次不斷加速逐步縮小間距的情況。②k2>k1，且q2<q1——集結波、后退波相當于車隊中的頭車減速或剎車，跟隨車輛依次采取同樣行為的情況，如車隊駛進信號燈控制的交叉口而紅燈啟亮的情況。③k2<k1，且q2>q1——發散波、后退波相當于停在停車線后的車隊，綠燈啟亮后逐漸啟動的情形。④k2<k1，且q2<q1——發散波、前進波相當于以較小間距行駛的車隊，從隊尾起，各車輛依次減速，逐步拉大車距的情況（5）波速公式的分析4.5.3車流波動理論（續）①k2>k1，且q2>q1—4.5.4交通波理論的應用舉例例4-4車流在一條6車道的公路上暢通行駛，其速度為V=80km/h。路上有座4車道的橋，每車道的通行能力為1940輛/h，高峰時流量為4200輛/h（單向）。在過渡段的車速降至22km/h，這樣持續了1.69h，然后車流量減到1956輛/h（單向）。試估計橋前車輛的排隊長度和阻塞時間。（1）分析道路上瓶頸地段的車流狀況（2）低速車插入高速車流產生的影響（3）車隊在信號等交叉口處的排隊長度4.5.4交通波理論的應用舉例例4-4車流在一條6車