1恒力的功:力的空間累積效應:功F）a

r

bodrrab

r

FdAF

dr為:變力的功：元d

r上力F

對質點所做的baabA

所做的總功:一般講，力對質點所做的功，不僅與始、末位置有關,

而且往往與路徑有關。功有正負,

且與參考系有關。A

F

r

F

|r

|cosbaF

dr

F

dr

cos2動能定理：單個質點的動能定理:212

212abab

Fdr

mv

mv即：

Aab(外)

Ekb

Eka

Ek質點系的動能定理：A外

A內

Ekb

Eka

Ek內力可以改變系統的總動能，但不改變其總動量。結論代數和矢量和功率：P

dA

F

vdt34例：速度大小為v0＝20m/s的風作用于面積為s＝25m2的船帆上，作用力F

asρ(v0

v)2

/

2

，其中a為無量綱常數，ρ為空氣密度，v為船速。(1)求風的功率最大時的條件；(2)如果a＝l，v＝15m/s，ρ

1.2kg/m3，求t＝60s內風力所做的功。

asρ(v

v)2

v

/

2解：PFv=FvdP0求最大值，令

0dv20ddvasρ(vv)

v/

2

0tt0A

Pdt02

0

dtt

asρ(v

v)2vasρ(v

v)2v

0

t23.38105

J0

d2(v

v)

v

0dv

02(v

v)v+(v

v)2

00

0v=v0

或者v

v3（2）特點：保守力做功的大小，只與運動物體的始、末位置有關，與物體的運動路徑無關。如：重力、萬有引力、彈性力根據做功的特點，可將力分為兩種：保守力非保守力特點：5非保守力做功的大小，不僅與物體的始、末位置有關，而且還與物體的運動路徑有關。如：摩擦力、粘滯力、流體阻力A

F

rbaAFdr幾種常見的保守力出發，分下面

從功的普遍定義別下述三種常見保守力做功的共同特點。重力的功彈性力的功萬有引力的功6見圖重力的功得給定，重力的功只與質點始末高度有關。質點m在重力作用下，經任一路徑從a到b，重力做功為：7彈彈彈彈性力的功bbxaxa-kxdxAdA18122b

aA(

kx2

kx2)在任意位置此關系都成立單位位矢得9在任意位置此關系都成立得單位位矢10萬有引力作負功萬有引力作正功近遠遠近11aAFdr重力的功

A

(mghb

mgha

)彈性力的功2

2b

aA

(

1

kx2

1

kx2

)1rb

ra萬有引力的功

A

[(

GMm

1

)-(

GMm)]保守力的功只取決于受力質點的始末位置，而與路徑無關

F非保dr

012保守力的歸納b1)]ra彈性力的功2

2b

aA

(

1

kx2

1

kx2

)萬有引力的功

A

[(

GMm

1

)-(

GMm勢能的概念保守力做正功，物體系的勢能減少；保守力做負功，物體系的勢能增加。即保守力的功等于系統勢能增量的負值rbA

(Epb

Epa

)

Ep末態勢能初態勢能13若物體間相互作用力為保守力，由物體間相對位置決定的能量，稱為物體系的勢能（或者位能）用Ep表示。重力的功

A

(mghb

mgha

)勢能性質保守性——只有在保守力場中才有。系統性——勢能屬于物體系所共有。相對性——勢能是相對量，與勢能零點選擇有關。bpbaA

F

dr=

(Epb

Epa

)

Epa

E取b點為勢能零點,Epb=0paa

E

F

dr勢能零點14原則上，勢能零點可以任意選擇。力的勢能paa根據E

F

dr

可得幾種常見的保守勢能零點重力勢能選地面為重力勢能零點Ep

0ph0E

mgdy

mgh彈性勢能12px0E

kxdx

kx2選無形變處為彈性勢能零點Ep

015力的勢能paa根據E

F

dr

可得幾種常見的保守勢能零點萬有引力勢能r1rdrEp

r

GMm

2

GMm選無窮遠處為勢能零點

Ep

016注意比較其空間變量的特點重力彈性力萬有引力保守力FEpmgkxrmgh1

kx22

GMmr2

GMmpbpaabA

F

dr=

(E

E

)dr

F

dEp17勢能曲線總能量動能勢能重力勢能曲線彈性勢能曲線萬有引力勢能曲線18彈性力

彈性勢能處于

狀態，彈性勢能為？1kx22kx2狀態

kx

mg

x

mgk1

2Ep

kx21

mg

2

k

k

2

2

1

m

g2

k421p

2

1

m2

g2k

1

m2

g22

k3E2

k1

m2

g

2kEp42Ep

32

2

1

m

gEp1

219o0rr例：已知雙原子分子的勢能曲線如下圖所示。圖中r為原子間距離或一原子相對于另一原子的位置矢量的大小。試分析此種分子內原子間相互作用力的規律。Ep解：保守力做功等于勢能增量的負值。P所以，dA

dEdA

F

drp

dE

F

dr

F

drdEp斜率所以，r

r0作用力為斥力作用力為零；作用力為r

r0r

r020機械能

E

kb

E

ka

A保內

A非保內功能原理：

A外

A非保內

Eb

Ea

EE

Ek

E

p質點系動能定理A外又A保內21

(

Epb

Epa

)

A外+A非保內

(Ekb

Eka

)+(Epb

(Ekb

+Epb

)

(Eka

Epa

)

Epa

)A外

A內

Ekb

Eka

Ek系統：地球、彈簧、木塊摩擦力動能彈性勢能應用功能原理求解

同時存在多種力

的問題時，注意分清

內力

和

外力。功能原理：

A外

A非保內

Eb

Ea

E22下壓上系統：地球、彈簧、木塊應用功能原理求解

同時存在多種力

的問題時，注意分清

內力

和

外力。下壓壓下壓下行及壓縮階段：上行階段：上壓上功能原理：

A外

A非保內

Eb

Ea

E23rf

mg

cos()運動定律法RNFfdsd

mgO極緩慢移動意味著無加速，四個力平衡作受力圖原長沿切向極緩慢拉OR始A末B光滑半球面C解法一0A

F

drF

N

mg

f

0

F

(N

mg

f

)沿切向有F

mg

cos

kR

)0(mg

cos

kR

)

Rd12

mgR

sin

kR2

224功能原理原長沿切向極緩慢拉OR始A末B光滑半球面C解法二2pBA

EpB

EpAE

mgR

sin

1

k(

R

)2EpA

0整個過程動能不變，拉力做功等于勢能的改變。選取A-C面為零勢能面1225k(

R

)2

A

mgR

sin

機械能守恒定律由上式，若A外功能原理：——機械能A外

A非保內

Eb

Ea

EE

Ek

E

p若某一過程中外力和非保守內力都不對系統做功，或這兩種力對系統做功的代數和為零，則系統的機械能在該過程中保持不變有E

026

A非保內

0滑光半球面球面任意點P

處由 開始證明:滾至Q

點處開始切向脫離球面27光滑半球面球面任意點P處由

開始滾至Q

點處開始切向脫離球面證明:v取系統：地球，質點；內力：重力；外力：支撐力，不做功故 在

P

—

Q

過程中機械能守恒···

(1)在Q

點處脫離球面時，質點動力學方程為···(2)···

(4)···(3)由

(1)

得由

(2)

得

···

(5)由(3)、(4)得即···(6)由(5)、(6)得

.28試分析一種“ ”表演：將上百斤重的大石塊平壓在仰臥于地上的人的胸上，用一數公斤重的鐵錘猛擊石塊，石塊裂開，而人安然無恙！(根據資料，通常人的肋骨平均能承受5000N的力，如果將肋骨壓下0.02m，肋骨就要斷裂。)解:首先估算欲使肋骨斷裂所需的能量E

.EFdr

50000.02100J再考慮石塊所獲得的能量的大小。設大石塊質量為M，鐵錘質量為m，從h高度下落到石塊上。m

M

v

mv

0

v

mv

0m

Mv0

2gh

2

gh

m

Fdt

dP可設鐵錘石塊后與石塊一起運動。則由動量守恒（理由?）m

M29試分析一種“ ”表演：將上百斤重的大石塊平壓在仰臥于地上的人的胸上，用一數公斤重的鐵錘猛擊石塊，石塊裂開，而人安然無恙！(根據資料，通常人的肋骨平均能承受5000N的力，如果將肋骨壓下0.02m，肋骨就要斷裂。)EFdr

50000.02100J解:首先估算欲使肋骨斷裂所需的能量E

.

v

2

gh

m

m2(m

M)22

22

1

M

2ghk石塊獲得的動能為E

1

MvmEk

M

gh(1

M)2即，此種情況下表演者的安全有保障。mv

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