本文格式為Word版，下載可任意編輯——洛書世界上最古老的幻方（上）

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一、什么是幻方

幻方又稱為魔方，宋代數(shù)學家楊輝稱之為縱橫圖。幻方的一般定義為：將從1到[n2]的自然數(shù)排列成縱橫各有[n]個數(shù)的方陣，使每行、每列及兩條對角線上的[n]個數(shù)的和都等于[n(n2+1)2]，這樣的方陣稱為[n]階幻方。從組合數(shù)學的角度來定義幻方是：將從[a0]開始的[n2]個復數(shù)分成[n]個數(shù)組（[n]為大于2的整數(shù)），假如在每一數(shù)組內(nèi)，相鄰兩元素之差均為[k]，各相鄰數(shù)組之間的首尾元素之差均為[t]（[a0]、[k]、[t]均為復數(shù)），采用這[n]個數(shù)構成的[n]階方陣，假如其每行、每列及兩條對角線上的[n]個元素之和均相等，為S，則稱該方陣為[n]階幻方，并稱S為該幻方的幻和。傳統(tǒng)的自然數(shù)幻方只是這種廣義幻方在[a0]、[k]、[t]均為1時的一個子集。

二、“洛書〞傳聞

洛書又稱龜書，是中國古代流傳下來的一幅神秘圖案，其結構是“載九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)〞（如圖1）。相傳，大禹治水時救下了一只大烏龜，并把它放入了洛河。不久，洛陽城大霧掩蓋，大禹率領手下到洛河岸邊觀察水情，突然洛河里升起五彩寶光，大霧煙消云散，原來寶光正是從烏龜背上的一塊玉版放出來的。大禹認為，烏龜是洛河之神，為了報答自己，特將此玉版獻上，因此稱這塊玉版為“洛書〞。

在洛書上有一幅奇異的圖案（如圖2），大禹不解其意，后來經(jīng)過反復揣摸，整理出九個方面的內(nèi)容，有歷法、種植谷物、制定法令等。

從數(shù)學的觀點來看，假如將洛書圖案中的點數(shù)寫成數(shù)字，便是一則標準的三階幻方（如圖3）。

三、“洛書〞的構造

“洛書〞是如何構造的呢？楊輝在他的著作《續(xù)古摘奇算法》中總結的方法如下：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。〞意思是：先把1-9九個數(shù)依次斜排（如圖4）；再把上1下9兩數(shù)對調(diào)，左7右3兩數(shù)對調(diào)（如圖5）；最終把周圍的2、4、6、8向外面挺出（如圖6），這樣“洛書〞就構造好了。

這一方法是我國古代數(shù)學研究的優(yōu)良成就。其實，還有一種構造法也值得我們借鑒：先把1、2、3、4、5、6、7、8、9依次寫下來（如圖7）；中間的5不動，其他八個數(shù)字分別按順時針挪動一個位置（如圖8）；再把上下兩數(shù)和左右兩數(shù)分別對調(diào)，也能構造出和圖3一樣的“洛書〞。

圖7圖8

“洛書〞是奇數(shù)階幻方，還可以按奇數(shù)階幻方的構造方法構造，口訣是：“1〞坐邊中間，斜著把數(shù)填；出邊填對面，遇數(shù)往下旋；出角僅一次，轉回下格間。即如圖9：①先在最上方的那條邊中間填第一個數(shù)1（其實填在哪條邊的中間都行）。②再填其次個數(shù)2，向右上方斜著填，出邊了，出邊就填在它的對面。③填3時，也向右上方斜著填，又出邊了，填在它的對面。④填4時，也向右上方斜著填，遇