第14章勾股定理14.1勾股定理（課時(shí)1）第14章勾股定理1華東師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第14章勾股定理課件22002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ＩＣＭ２００２）。在那個(gè)大會(huì)上，到處可以看到一個(gè)簡(jiǎn)潔優(yōu)美、遠(yuǎn)看像旋轉(zhuǎn)的紙風(fēng)車的圖案就是大會(huì)的會(huì)標(biāo)．2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ＩＣＭ２００２）。在那3

那是采用了1700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖．那是采用了1700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾4ABCabc邊的表示直角邊：斜邊：BC和ACAB直角邊：斜邊：a和bcABCabc邊直角邊：斜邊：BC和ACAB直角邊：斜5探索直角三角形三邊的關(guān)系A(chǔ)BCabc探索直角三角形三邊的關(guān)系A(chǔ)BCabc6如圖是正方形瓷磚拼成的地面，觀察圖中用陰影畫出的三個(gè)正方形，兩個(gè)小正方形P、Q的面積之和與大正方形R的面積有什么關(guān)系?（1）三個(gè)正方形的面積關(guān)系：+=AC2BC2AB2+=（2）等腰直角三角形的三邊關(guān)系：(直角邊)2(斜邊)2+=(直角邊)2想一想如圖是正方形瓷磚拼成的地面，觀察圖中用陰影畫出的三個(gè)正方形，7（圖中每一格代表一平方厘米）（1）正方形P的面積是

平方厘米；（2）正方形Q的面積是

平方厘米；（3）正方形R的面積是

平方厘米.121SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？Sp=AC2SQ=BC2SR=AB2上面三個(gè)正方形的面積之間有什么關(guān)系？觀察正方形瓷磚鋪成的地面.試一試（圖中每一格代表一平方厘米）（1）正方形P的面積是8

分別以5cm、12cm為直角三角形的直角邊作出一個(gè)直角三角形ABC，測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，然后驗(yàn)證上述關(guān)系對(duì)這個(gè)直角三角形是否成立.13512ABC做一做分別以5cm、12cm為直角三角形的直角邊作出一9

由上面的探索可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有a2+b2=c2勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.幾何語(yǔ)言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.aABCbc∟勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系.概括由上面的探索可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的直角三角形，如果它的10

我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.“弦圖”最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的.它標(biāo)注著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就.圖1-1是2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM-2002)的會(huì)標(biāo)，其圖案正是由“弦圖”演變而來.

弦勾圖1-1股讀一讀弦勾圖1-1股讀一讀11溫馨提示：上述這種驗(yàn)證勾股定理的方法是用面積法“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.因?yàn)椋@個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽.abcS大正方形＝c2S小正方形＝(b-a)2S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形趙爽弦圖證明：b-a溫馨提示：上述這種驗(yàn)證勾股定理的方法是用面積法12aaaabbbbcccc方法小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，再進(jìn)行整式運(yùn)算，從理論上驗(yàn)證了勾股定理．大正方形的面積可以表示為;也可以表示為:(a+b)2c2+4?ab/2∵(a+b)2=

c2+4?ab/2a2+2ab+b2=

c2+2ab∴a2+b2=c2

用四個(gè)全等的直角三角形，還可以拼成如圖所示的圖形，你能否根據(jù)這一圖形，證明勾股定理.做一做aaaabbbbcccc方法小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的13在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求AC的長(zhǎng).例：解：根據(jù)勾股定理，可得所以在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求14飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂上方4km處，過了15s，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5km.這一過程中飛機(jī)飛過的距離是多少千米？4554CBA解：在Rt△ABC中，答：飛機(jī)飛過的距離是3km.練一練飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂上15如圖，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，

AC=12，BC=9，求：CD的長(zhǎng).BACD解：在三角形ABC中AC=12，BC=9由勾股定理得：AB2=122+92所以AB=25由三角形ABC的面積=AC*BC/2=AB*CD/2即：12*9=25*CD所以CD=4.32如圖，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，BACD16認(rèn)識(shí)勾股定理如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c

，那么a2+b2=c2

利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算課堂小結(jié)認(rèn)識(shí)勾股定理如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為17第14章勾股定理14.1勾股定理（課時(shí)2）第14章勾股定理18

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么.a2+b2=c2如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，19(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)你想知道這是什么道理嗎?

據(jù)說,古埃及人曾用下面的方法畫直角：

他們用13個(gè)等距離的結(jié)把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，就會(huì)得到一個(gè)直角三角形,其直角在第4個(gè)結(jié)處.問題：同學(xué)們你們知道古埃及人用什么方法得到直角?想一想(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(1020問題：試畫出三邊長(zhǎng)度分別為如下數(shù)據(jù)的三角形，看看它們是一些什么樣的三角形：(1)a=3,b=4,c=5;(2)a=4,b=6,c=8;(3)a=6,b=8,c=10.

可以發(fā)現(xiàn)，按（1）（3）所畫的三角形都是直角三角形，最長(zhǎng)邊所對(duì)的角是直角；按（2）所畫的三角形不是直角三角形.試一試問題：試畫出三邊長(zhǎng)度分別為如下數(shù)據(jù)的三角形，看看它們是一些什21這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？

在這三組數(shù)據(jù)中，（1）（3）兩組數(shù)據(jù)恰好都滿足a2+b2=c2.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，且邊c所對(duì)的角為直角.

對(duì)于直角三角形的判定，有一般的結(jié)論：這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？在這三組數(shù)據(jù)中，22B′C′

例1

已知：如圖，在△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b，a2+b2=c2，求證：∠C=90°.ABCA′證明：如圖，作△A'B′C′,使∠C′=90°,A′C′=b，B′C′=a，則A′B′2=a2+b2=c2，即A′B′=c.在△ABC和△A′B′C′中，∵BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′，

∴△ABC≌△A′B′C′.∴∠C=∠C′=90°.(1)(2)B′C′例1已知：如圖，在△ABC中，AB=c231.判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15,b＝8,

c＝17(2)a＝13,b＝15,

c＝14分析：由勾股定理的逆定理，判斷三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方.解：∵152＋82＝225＋64＝289＝172∴這個(gè)三角形是直角三角形練一練1.判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：(2)a24(3)a=1b=2c=_________;2.下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是是∠A=900∠B=900∠C=900

像25,20,15,能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).(3)a=1b=2c=25

例2

已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1（n為大于1的正整數(shù)）.試問△ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對(duì)的角是直角？請(qǐng)說明理由.解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=AC2，∴△ABC直角三角形，邊AC所對(duì)的角是直角.先確定AB、BC、AC、的大小例2已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n226能夠成為直角三角形三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).例如3,4,5；6,8,10；n2-1,2n,n2+1(n為大于1的正整數(shù))等都是勾股數(shù).勾股數(shù)能夠成為直角三角形三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).例27如果△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整數(shù),那么△ABC是直角三角形.

解：∵a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整數(shù)）∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2∴△ABC是直角三角形.試一試如果△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且a=m2-n2,b28觀察下列表格：列舉猜想3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+25…………13、b、c132=b+c能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)請(qǐng)你結(jié)合該表格及相關(guān)知識(shí)，求出b、c的值.即b=

，c=

8485觀察下列表格：列舉猜想3、4、532=4+55、12、135291.滿足下列條件△ABC,不是直角三角形的是()A.b2=a2-c2B.a:b:c=3:4:5C.∠C=∠A-∠BD.∠A:∠B:∠C=3:4:5D2.下列各組線段中,能組成直角三角形的是()A.5,6,7B.32,42,52

C.5,11,12D.5,12,13D隨堂練習(xí)1.滿足下列條件△ABC,不是直角三角形的是()303.如圖：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，且CE=BC，則AF⊥EF，試說明理由.解：連接AE.∵ABCD是正方形，邊長(zhǎng)是4，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，EC=1/4BC∴根據(jù)勾股定理，在Rt△ADF中，AF2=AD2+DF2=20在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2=5在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=25∴AD=4，DF=2，F(xiàn)C=2，EC=1∴AE2=EF2+AF2∴∠AEF=90°，即AF⊥EF3.如圖：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，且CE31一定是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)課堂小結(jié)一定是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,32第14章勾股定理14.1勾股定理（課時(shí)3）第14章勾股定理33路邊苦李

王戎7歲時(shí),與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動(dòng).王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下果然是苦李.

王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運(yùn)用了怎樣的推理方法?小故事路邊苦李王戎7歲時(shí),與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李34這與事實(shí)矛盾。說明李子是甜的這個(gè)假設(shè)是錯(cuò)的還是對(duì)的？假設(shè)李子不是苦的，即李子是甜的，那么這長(zhǎng)在人來人往的大路邊的李子會(huì)不會(huì)被過路人摘去解渴呢？那么，樹上的李子還會(huì)這么多嗎？所以，李子是苦的這與事實(shí)矛盾。說明李子是甜的這個(gè)假設(shè)是錯(cuò)的還是對(duì)的？假設(shè)35甲：在五一長(zhǎng)假里，我和爸爸、媽媽去新加坡玩了整整6天，真是太高興了.乙：這不可能，5月4號(hào)上午還看見你和丙在“步行街”逛街呢！丙：是啊,5月4號(hào)我確實(shí)和甲在“步行街”逛街！甲：在五一長(zhǎng)假里，我和爸爸、媽媽去新加坡玩了整整6天，真是太36假設(shè)甲去新加坡玩了6天，乙：甲沒有去新加坡玩了6天.那么甲從5月1號(hào)至6號(hào)或是2號(hào)至7號(hào)在新加坡，即5月4號(hào)甲在新加坡，這與“5月4號(hào)甲在桂陽(yáng)的“步行街””矛盾,所以假設(shè)“甲去新加坡玩了6天”不正確,于是“甲沒有去新加坡玩了6天”正確.假設(shè)甲去新加坡玩了6天，乙：甲沒有去新加坡玩了6天.那么甲從37在古希臘時(shí),有三個(gè)哲學(xué)家，由于爭(zhēng)論和天氣的炎熱感到疲倦，于是就在花園里的一棵大樹下躺下休息睡著了.這時(shí)一個(gè)愛開玩笑的人用炭涂黑了他們的前額,當(dāng)他們醒過來后，彼此相看時(shí)都笑了.一會(huì)兒其中有一個(gè)人卻突然不笑了，他是覺察到什么了？

他運(yùn)用了怎樣的推理方法？在古希臘時(shí),有三個(gè)哲學(xué)家，由于爭(zhēng)論和天氣的炎熱感到疲倦，于是38我們知道，當(dāng)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c（a≤b≤c）有關(guān)系時(shí)，若a2+b2≠c2（a≤b≤c）,則這個(gè)三角形是否一定不是直角三角形？

若∠C是直角，則a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，這是不可能的，即△ABC不是直角三角形.我們知道，當(dāng)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c（a≤b39反證法

若將上面的條件改為“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b（a≤b≤c）,a2+b2≠

c2”，請(qǐng)問這個(gè)三角形是否一定不是直角三角形呢？請(qǐng)說明理由.cabACB

探究：

（1）假設(shè)它是一個(gè)直角三角形;（2）由勾股定理，一定有a2+b2＝c2，與已知條件a2+b2≠

c2矛盾；（3）因此假設(shè)不成立，即它不是一個(gè)直角三角形.問題探究反證法若將上面的條件改為“在△ABC中，AB=c，B40

這種證明方法與前面的證明方法不同，其步驟為：(1)先假設(shè)結(jié)論的反面是正確的;(2)然后通過邏輯推理，得出與基本事實(shí)、已證的定理、定義或已知條件相矛盾；(3)從而說明假設(shè)不成立，進(jìn)而得出原結(jié)論正確.像這樣的證明方法叫“反證法”.探究發(fā)現(xiàn)這種證明方法與前面的證明方法不同，其步驟為：(1)先假41例1

求證：兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).已知：兩條相交直線l1與l2.求證：l1與l2只有一個(gè)交點(diǎn).分析:想從已知條件“兩條相交直線l1與l2”出發(fā)，經(jīng)過推理，得出結(jié)論“l(fā)1與l2只有一個(gè)交點(diǎn)”是很困難的，因此可以考慮用反證法.例1求證：兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).42

證明：假設(shè)兩條相交直線l1與l2不止一個(gè)交點(diǎn)，不妨假設(shè)l1與l2有兩個(gè)交點(diǎn)A和B.這樣過點(diǎn)A和點(diǎn)B就有兩條直線l1與l2.這與兩點(diǎn)確定一條直線，即經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線只有一條的基本事實(shí)矛盾.所以假設(shè)不成立，因此兩條直線香蕉只有一個(gè)交點(diǎn).證明：假設(shè)兩條相交直線l1與l2不止一個(gè)交點(diǎn)，不妨假43古希臘哲學(xué)家亞里士多德有一個(gè)著名論點(diǎn):輕重不同的兩個(gè)物體從同一高度自由下落時(shí),一定是重的物體先落地.在意大利物理學(xué)家伽利略提出反對(duì)觀點(diǎn)以前的一千多年里人們對(duì)亞里士多德的說法深信不疑.伽利略為了證明自己的觀點(diǎn)是正確的,在意大利的比薩斜塔上,讓一個(gè)中1磅和重100磅的兩個(gè)鐵球同時(shí)從高空自由下落,果然是同時(shí)著地.這是科學(xué)史上一個(gè)極其有名的實(shí)驗(yàn),它否定了亞里士多德的錯(cuò)誤觀點(diǎn).你能用今天所學(xué)的知識(shí)來否定亞里士多德的錯(cuò)誤觀點(diǎn)嗎?試一試古希臘哲學(xué)家亞里士多德有一個(gè)著名論點(diǎn):輕重不同的兩個(gè)物體從同44

例2

求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°.已知:△ABC.求證:△ABC至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°.例2求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或45證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即：∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°,則∠A+∠B+∠C＞180°.這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾.所以假設(shè)不成立，所求證的結(jié)論成立.證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即：461、試說出下列命題的反面：（1）a是實(shí)數(shù).

（2)a大于2.（3）a小于2.

（4）至少有2個(gè)（5）最多有一個(gè)（6）兩條直線平行.

a不是實(shí)數(shù)

a小于或等于２

a大于或等于２沒有兩個(gè)一個(gè)也沒有兩直線相交隨堂練習(xí)1、試說出下列命題的反面：a不是實(shí)數(shù)a小于或等于２a大472、用反證法證明“若a2≠b2,則a≠b”的第一步是

。3、用反證法證明“如果一個(gè)三角形沒有兩個(gè)相等的角，那么這個(gè)三角形不是等腰三角形”的第一步

。假設(shè)a=b假設(shè)這個(gè)三角形是等腰三角形2、用反證法證明“若a2≠b2,則a≠b”的第一步是484.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC.求證：PB≠PC.ABCP證明：假設(shè)PB=PC。在△ABP與△ACP中

AB=AC(已知）,AP=AP（公共邊）,

PB=PC（已知）∴△ABP≌△ACP（S.S.S)∴∠APB=∠APC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）這與已知條件∠APB≠∠APC矛盾，假設(shè)不成立.∴PB≠PC4.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC49反證法概念反證法證明的思路：假設(shè)命題不成立→正確的推理,得出矛盾→肯定待定命題的結(jié)論.證明步驟課堂總結(jié)反證法概念反證法證明的思路：假設(shè)命題不成立→正確的推理,得出50第14章勾股定理14.2勾股定理的應(yīng)用第14章勾股定理51

1．什么是勾股定理？

2．什么是勾股定理逆定理？

復(fù)習(xí)1．什么是勾股定理？復(fù)習(xí)52例1：如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高AB為4cm，BC是上底面的直徑．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程（精確到0.01cm）想一想

例題例1：如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高AB為想一想53

分析：螞蟻實(shí)際上是在圓柱的半個(gè)側(cè)面內(nèi)爬行，如果將這半個(gè)側(cè)面展開（如圖），得到矩ABCD，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，所求的最短路程就是側(cè)面展開圖矩形對(duì)角線AC之長(zhǎng)．

講解分析：螞蟻實(shí)際上是在圓柱的半個(gè)側(cè)面內(nèi)爬行，講54

思考：若該只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的表面爬行到點(diǎn)C，那它爬行的最短路程還是約為10.77cm嗎？想一想

講解思考：若該只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的表面爬想一想55

例2：一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如下圖的某工廠．問這輛卡車能否通過該工廠的廠門（廠門上方為半圓形拱門）?動(dòng)動(dòng)腦！

例題例2：一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，56

分析：由于廠門寬度足夠，所以卡車能否通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于CH．如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處，且CD⊥AB，與地面交于點(diǎn)H．

講解分析：由于廠門寬度足夠，所以卡車能否通過，只要看當(dāng)卡57還有一種解法你會(huì)嗎？

講解還有一種解法你會(huì)嗎？講解581．求下列陰影部分的面積：

演練1．求下列陰影部分的面積：演練592．試判斷下列三角形是否是直角三角形

演練2．試判斷下列三角形是否是直角三角形演練60例3

如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，請(qǐng)?jiān)诮o定網(wǎng)格中按下列要求畫出圖形：

（1）從點(diǎn)A出發(fā)畫一條線段

AB，使它的另一個(gè)端點(diǎn)Ｂ在格點(diǎn)上，且長(zhǎng)度為2；

例題例3如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊61例3

如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，請(qǐng)?jiān)诮o定網(wǎng)格中按下列要求畫出圖形：（2）畫出所有的以AB為邊的等腰三角形，使另一個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且另兩邊的長(zhǎng)度都是無理數(shù)．

例題例3如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊62例4

已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求圖中陰影部分的面積．解：在Rt△ADC中，∵AC2＝AD2＋CD2＝62＋82＝100∴AC＝10．∵AC2＋BC2＝102＋242＝676＝AB2，∴△ACB為直角三角形∴S△ACB

＝1/2×10×24－1/2×6×8＝96（m2）．

例題例4已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90631．若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2、4、x，試求出x的所有可能值．2．利用勾股定理，試分別畫出長(zhǎng)度為厘米和厘米的線段．

演練1．若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2、4、x，264今天你有哪些收獲？你還有哪困惑？那些你將進(jìn)一步研究的問題是什么？

小結(jié)今天你有哪些收獲？小結(jié)65第14章勾股定理14.1勾股定理（課時(shí)1）第14章勾股定理66華東師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第14章勾股定理課件672002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ＩＣＭ２００２）。在那個(gè)大會(huì)上，到處可以看到一個(gè)簡(jiǎn)潔優(yōu)美、遠(yuǎn)看像旋轉(zhuǎn)的紙風(fēng)車的圖案就是大會(huì)的會(huì)標(biāo)．2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ＩＣＭ２００２）。在那68

那是采用了1700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖．那是采用了1700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾69ABCabc邊的表示直角邊：斜邊：BC和ACAB直角邊：斜邊：a和bcABCabc邊直角邊：斜邊：BC和ACAB直角邊：斜70探索直角三角形三邊的關(guān)系A(chǔ)BCabc探索直角三角形三邊的關(guān)系A(chǔ)BCabc71如圖是正方形瓷磚拼成的地面，觀察圖中用陰影畫出的三個(gè)正方形，兩個(gè)小正方形P、Q的面積之和與大正方形R的面積有什么關(guān)系?（1）三個(gè)正方形的面積關(guān)系：+=AC2BC2AB2+=（2）等腰直角三角形的三邊關(guān)系：(直角邊)2(斜邊)2+=(直角邊)2想一想如圖是正方形瓷磚拼成的地面，觀察圖中用陰影畫出的三個(gè)正方形，72（圖中每一格代表一平方厘米）（1）正方形P的面積是

平方厘米；（2）正方形Q的面積是

平方厘米；（3）正方形R的面積是

平方厘米.121SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？Sp=AC2SQ=BC2SR=AB2上面三個(gè)正方形的面積之間有什么關(guān)系？觀察正方形瓷磚鋪成的地面.試一試（圖中每一格代表一平方厘米）（1）正方形P的面積是73

分別以5cm、12cm為直角三角形的直角邊作出一個(gè)直角三角形ABC，測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，然后驗(yàn)證上述關(guān)系對(duì)這個(gè)直角三角形是否成立.13512ABC做一做分別以5cm、12cm為直角三角形的直角邊作出一74

由上面的探索可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有a2+b2=c2勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.幾何語(yǔ)言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.aABCbc∟勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系.概括由上面的探索可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的直角三角形，如果它的75

我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.“弦圖”最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的.它標(biāo)注著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就.圖1-1是2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM-2002)的會(huì)標(biāo)，其圖案正是由“弦圖”演變而來.

弦勾圖1-1股讀一讀弦勾圖1-1股讀一讀76溫馨提示：上述這種驗(yàn)證勾股定理的方法是用面積法“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.因?yàn)椋@個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽.abcS大正方形＝c2S小正方形＝(b-a)2S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形趙爽弦圖證明：b-a溫馨提示：上述這種驗(yàn)證勾股定理的方法是用面積法77aaaabbbbcccc方法小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，再進(jìn)行整式運(yùn)算，從理論上驗(yàn)證了勾股定理．大正方形的面積可以表示為;也可以表示為:(a+b)2c2+4?ab/2∵(a+b)2=

c2+4?ab/2a2+2ab+b2=

c2+2ab∴a2+b2=c2

用四個(gè)全等的直角三角形，還可以拼成如圖所示的圖形，你能否根據(jù)這一圖形，證明勾股定理.做一做aaaabbbbcccc方法小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的78在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求AC的長(zhǎng).例：解：根據(jù)勾股定理，可得所以在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求79飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂上方4km處，過了15s，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5km.這一過程中飛機(jī)飛過的距離是多少千米？4554CBA解：在Rt△ABC中，答：飛機(jī)飛過的距離是3km.練一練飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂上80如圖，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，

AC=12，BC=9，求：CD的長(zhǎng).BACD解：在三角形ABC中AC=12，BC=9由勾股定理得：AB2=122+92所以AB=25由三角形ABC的面積=AC*BC/2=AB*CD/2即：12*9=25*CD所以CD=4.32如圖，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，BACD81認(rèn)識(shí)勾股定理如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c

，那么a2+b2=c2

利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算課堂小結(jié)認(rèn)識(shí)勾股定理如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為82第14章勾股定理14.1勾股定理（課時(shí)2）第14章勾股定理83

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么.a2+b2=c2如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，84(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)你想知道這是什么道理嗎?

據(jù)說,古埃及人曾用下面的方法畫直角：

他們用13個(gè)等距離的結(jié)把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，就會(huì)得到一個(gè)直角三角形,其直角在第4個(gè)結(jié)處.問題：同學(xué)們你們知道古埃及人用什么方法得到直角?想一想(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(1085問題：試畫出三邊長(zhǎng)度分別為如下數(shù)據(jù)的三角形，看看它們是一些什么樣的三角形：(1)a=3,b=4,c=5;(2)a=4,b=6,c=8;(3)a=6,b=8,c=10.

可以發(fā)現(xiàn)，按（1）（3）所畫的三角形都是直角三角形，最長(zhǎng)邊所對(duì)的角是直角；按（2）所畫的三角形不是直角三角形.試一試問題：試畫出三邊長(zhǎng)度分別為如下數(shù)據(jù)的三角形，看看它們是一些什86這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？

在這三組數(shù)據(jù)中，（1）（3）兩組數(shù)據(jù)恰好都滿足a2+b2=c2.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，且邊c所對(duì)的角為直角.

對(duì)于直角三角形的判定，有一般的結(jié)論：這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？在這三組數(shù)據(jù)中，87B′C′

例1

已知：如圖，在△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b，a2+b2=c2，求證：∠C=90°.ABCA′證明：如圖，作△A'B′C′,使∠C′=90°,A′C′=b，B′C′=a，則A′B′2=a2+b2=c2，即A′B′=c.在△ABC和△A′B′C′中，∵BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′，

∴△ABC≌△A′B′C′.∴∠C=∠C′=90°.(1)(2)B′C′例1已知：如圖，在△ABC中，AB=c881.判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15,b＝8,

c＝17(2)a＝13,b＝15,

c＝14分析：由勾股定理的逆定理，判斷三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方.解：∵152＋82＝225＋64＝289＝172∴這個(gè)三角形是直角三角形練一練1.判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：(2)a89(3)a=1b=2c=_________;2.下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是是∠A=900∠B=900∠C=900

像25,20,15,能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).(3)a=1b=2c=90

例2

已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1（n為大于1的正整數(shù)）.試問△ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對(duì)的角是直角？請(qǐng)說明理由.解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=AC2，∴△ABC直角三角形，邊AC所對(duì)的角是直角.先確定AB、BC、AC、的大小例2已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n291能夠成為直角三角形三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).例如3,4,5；6,8,10；n2-1,2n,n2+1(n為大于1的正整數(shù))等都是勾股數(shù).勾股數(shù)能夠成為直角三角形三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).例92如果△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整數(shù),那么△ABC是直角三角形.

解：∵a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整數(shù)）∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2∴△ABC是直角三角形.試一試如果△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且a=m2-n2,b93觀察下列表格：列舉猜想3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+25…………13、b、c132=b+c能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)請(qǐng)你結(jié)合該表格及相關(guān)知識(shí)，求出b、c的值.即b=

，c=

8485觀察下列表格：列舉猜想3、4、532=4+55、12、135941.滿足下列條件△ABC,不是直角三角形的是()A.b2=a2-c2B.a:b:c=3:4:5C.∠C=∠A-∠BD.∠A:∠B:∠C=3:4:5D2.下列各組線段中,能組成直角三角形的是()A.5,6,7B.32,42,52

C.5,11,12D.5,12,13D隨堂練習(xí)1.滿足下列條件△ABC,不是直角三角形的是()953.如圖：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，且CE=BC，則AF⊥EF，試說明理由.解：連接AE.∵ABCD是正方形，邊長(zhǎng)是4，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，EC=1/4BC∴根據(jù)勾股定理，在Rt△ADF中，AF2=AD2+DF2=20在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2=5在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=25∴AD=4，DF=2，F(xiàn)C=2，EC=1∴AE2=EF2+AF2∴∠AEF=90°，即AF⊥EF3.如圖：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，且CE96一定是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)課堂小結(jié)一定是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,97第14章勾股定理14.1勾股定理（課時(shí)3）第14章勾股定理98路邊苦李

王戎7歲時(shí),與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動(dòng).王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下果然是苦李.

王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運(yùn)用了怎樣的推理方法?小故事路邊苦李王戎7歲時(shí),與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李99這與事實(shí)矛盾。說明李子是甜的這個(gè)假設(shè)是錯(cuò)的還是對(duì)的？假設(shè)李子不是苦的，即李子是甜的，那么這長(zhǎng)在人來人往的大路邊的李子會(huì)不會(huì)被過路人摘去解渴呢？那么，樹上的李子還會(huì)這么多嗎？所以，李子是苦的這與事實(shí)矛盾。說明李子是甜的這個(gè)假設(shè)是錯(cuò)的還是對(duì)的？假設(shè)100甲：在五一長(zhǎng)假里，我和爸爸、媽媽去新加坡玩了整整6天，真是太高興了.乙：這不可能，5月4號(hào)上午還看見你和丙在“步行街”逛街呢！丙：是啊,5月4號(hào)我確實(shí)和甲在“步行街”逛街！甲：在五一長(zhǎng)假里，我和爸爸、媽媽去新加坡玩了整整6天，真是太101假設(shè)甲去新加坡玩了6天，乙：甲沒有去新加坡玩了6天.那么甲從5月1號(hào)至6號(hào)或是2號(hào)至7號(hào)在新加坡，即5月4號(hào)甲在新加坡，這與“5月4號(hào)甲在桂陽(yáng)的“步行街””矛盾,所以假設(shè)“甲去新加坡玩了6天”不正確,于是“甲沒有去新加坡玩了6天”正確.假設(shè)甲去新加坡玩了6天，乙：甲沒有去新加坡玩了6天.那么甲從102在古希臘時(shí),有三個(gè)哲學(xué)家，由于爭(zhēng)論和天氣的炎熱感到疲倦，于是就在花園里的一棵大樹下躺下休息睡著了.這時(shí)一個(gè)愛開玩笑的人用炭涂黑了他們的前額,當(dāng)他們醒過來后，彼此相看時(shí)都笑了.一會(huì)兒其中有一個(gè)人卻突然不笑了，他是覺察到什么了？

他運(yùn)用了怎樣的推理方法？在古希臘時(shí),有三個(gè)哲學(xué)家，由于爭(zhēng)論和天氣的炎熱感到疲倦，于是103我們知道，當(dāng)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c（a≤b≤c）有關(guān)系時(shí)，若a2+b2≠c2（a≤b≤c）,則這個(gè)三角形是否一定不是直角三角形？

若∠C是直角，則a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，這是不可能的，即△ABC不是直角三角形.我們知道，當(dāng)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c（a≤b104反證法

若將上面的條件改為“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b（a≤b≤c）,a2+b2≠

c2”，請(qǐng)問這個(gè)三角形是否一定不是直角三角形呢？請(qǐng)說明理由.cabACB

探究：

（1）假設(shè)它是一個(gè)直角三角形;（2）由勾股定理，一定有a2+b2＝c2，與已知條件a2+b2≠

c2矛盾；（3）因此假設(shè)不成立，即它不是一個(gè)直角三角形.問題探究反證法若將上面的條件改為“在△ABC中，AB=c，B105

這種證明方法與前面的證明方法不同，其步驟為：(1)先假設(shè)結(jié)論的反面是正確的;(2)然后通過邏輯推理，得出與基本事實(shí)、已證的定理、定義或已知條件相矛盾；(3)從而說明假設(shè)不成立，進(jìn)而得出原結(jié)論正確.像這樣的證明方法叫“反證法”.探究發(fā)現(xiàn)這種證明方法與前面的證明方法不同，其步驟為：(1)先假106例1

求證：兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).已知：兩條相交直線l1與l2.求證：l1與l2只有一個(gè)交點(diǎn).分析:想從已知條件“兩條相交直線l1與l2”出發(fā)，經(jīng)過推理，得出結(jié)論“l(fā)1與l2只有一個(gè)交點(diǎn)”是很困難的，因此可以考慮用反證法.例1求證：兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).107

證明：假設(shè)兩條相交直線l1與l2不止一個(gè)交點(diǎn)，不妨假設(shè)l1與l2有兩個(gè)交點(diǎn)A和B.這樣過點(diǎn)A和點(diǎn)B就有兩條直線l1與l2.這與兩點(diǎn)確定一條直線，即經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線只有一條的基本事實(shí)矛盾.所以假設(shè)不成立，因此兩條直線香蕉只有一個(gè)交點(diǎn).證明：假設(shè)兩條相交直線l1與l2不止一個(gè)交點(diǎn)，不妨假108古希臘哲學(xué)家亞里士多德有一個(gè)著名論點(diǎn):輕重不同的兩個(gè)物體從同一高度自由下落時(shí),一定是重的物體先落地.在意大利物理學(xué)家伽利略提出反對(duì)觀點(diǎn)以前的一千多年里人們對(duì)亞里士多德的說法深信不疑.伽利略為了證明自己的觀點(diǎn)是正確的,在意大利的比薩斜塔上,讓一個(gè)中1磅和重100磅的兩個(gè)鐵球同時(shí)從高空自由下落,果然是同時(shí)著地.這是科學(xué)史上一個(gè)極其有名的實(shí)驗(yàn),它否定了亞里士多德的錯(cuò)誤觀點(diǎn).你能用今天所學(xué)的知識(shí)來否定亞里士多德的錯(cuò)誤觀點(diǎn)嗎?試一試古希臘哲學(xué)家亞里士多德有一個(gè)著名論點(diǎn):輕重不同的兩個(gè)物體從同109

例2

求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°.已知:△ABC.求證:△ABC至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°.例2求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或110證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即：∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°,則∠A+∠B+∠C＞180°.這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾.所以假設(shè)不成立，所求證的結(jié)論成立.證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即：1111、試說出下列命題的反面：（1）a是實(shí)數(shù).

（2)a大于2.（3）a小于2.

（4）至少有2個(gè)（5）最多有一個(gè)（6）兩條直線平行.

a不是實(shí)數(shù)

a小于或等于２

a大于或等于２沒有兩個(gè)一個(gè)也沒有兩直線相交隨堂練習(xí)1、試說出下列命題的反面：a不是實(shí)數(shù)a小于或等于２a大1122、用反證法證明“若a2≠b2,則a≠b”的第一步是

。3、用反證法證明“如果一個(gè)三角形沒有兩個(gè)相等的角，那么這個(gè)三角形不是等腰三角形”的第一步

。假設(shè)a=b假設(shè)這個(gè)三角形是等腰三角形2、用反證法證明“若a2≠b2,則a≠b”的第一步是1134.已知：如圖，在△A