2023高考數學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C． D．2．已知角的終邊經過點,則A． B．C． D．3．若，則函數在區間內單調遞增的概率是（）A．B．C．D．4．函數與的圖象上存在關于直線對稱的點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.16．設，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．7．設i是虛數單位，若復數（）是純虛數，則m的值為（）A． B． C．1 D．38．已知為虛數單位，復數，則其共軛復數（）A． B． C． D．9．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．10．已知拋物線的焦點為，若拋物線上的點關于直線對稱的點恰好在射線上，則直線被截得的弦長為（）A． B． C． D．11．執行如圖的程序框圖，若輸出的結果，則輸入的值為()A． B．C．3或 D．或12．若復數（）是純虛數，則復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若變量x，y滿足：，且滿足，則參數t的取值范圍為_______.14．某班星期一共八節課（上午、下午各四節，其中下午最后兩節為社團活動），排課要求為：語文、數學、外語、物理、化學各排一節，從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節.若數學必須安排在上午且與外語不相鄰（上午第四節和下午第一節不算相鄰），則不同的排法有__________種.15．如圖，是圓的直徑，弦的延長線相交于點垂直的延長線于點．求證：16．已知橢圓Г：，F1、F2是橢圓Г的左、右焦點，A為橢圓Г的上頂點，延長AF2交橢圓Г于點B，若為等腰三角形，則橢圓Г的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量.18．（12分）已知數列中，a1=1，其前n項和為，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）記，若數列為遞增數列，求λ的取值范圍．19．（12分）班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班24名女同學，18名男同學中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析.（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結果）（2）如果隨機抽取的7名同學的數學，物理成績（單位：分）對應如下表：學生序號1234567數學成績60657075858790物理成績70778085908693①若規定85分以上（包括85分）為優秀，從這7名同學中抽取3名同學，記3名同學中數學和物理成績均為優秀的人數為，求的分布列和數學期望；②根據上表數據，求物理成績關于數學成績的線性回歸方程（系數精確到0.01）；若班上某位同學的數學成績為96分，預測該同學的物理成績為多少分？附：線性回歸方程，其中，.768381252620．（12分）已知.（1）若是上的增函數，求的取值范圍；（2）若函數有兩個極值點，判斷函數零點的個數.21．（12分）橢圓：（）的離心率為，它的四個頂點構成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設是直線上任意一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，求證：直線恒過一個定點.22．（10分）已知函數，當時，有極大值3；（1）求，的值；（2）求函數的極小值及單調區間.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【答案解析】

作出不等式對應的平面區域，由目標函數的幾何意義，通過平移即可求z的最大值．【題目詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內平移當過點時，取得最大值.由得：，故選：D【答案點睛】本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決線性規劃題目的常用方法，屬于基礎題.2．D【答案解析】因為角的終邊經過點,所以,則,即.故選D．3．B【答案解析】函數在區間內單調遞增，，在恒成立，在恒成立，，函數在區間內單調遞增的概率是，故選B.4．C【答案解析】

由題可知，曲線與有公共點，即方程有解，可得有解，令，則，對分類討論，得出時，取得極大值，也即為最大值，進而得出結論.【題目詳解】解：由題可知，曲線與有公共點，即方程有解，即有解，令，則，則當時，；當時，，故時，取得極大值，也即為最大值，當趨近于時，趨近于，所以滿足條件．故選：C.【答案點睛】本題主要考查利用導數研究函數性質的基本方法，考查化歸與轉化等數學思想，考查抽象概括、運算求解等數學能力，屬于難題．5．A【答案解析】

由題意得到關于的等式，結合對數的運算法則可得亮度的比值.【題目詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【答案點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數對數運算.6．C【答案解析】

根據表示出線段長度，由勾股定理，解出每條線段的長度，再由勾股定理構造出關系，求出離心率.【題目詳解】設，則由橢圓的定義，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，故選C項.【答案點睛】本題考查幾何法求橢圓離心率，是求橢圓離心率的一個常用方法，通過幾何關系，構造出關系，得到離心率.屬于中檔題.7．A【答案解析】

根據復數除法運算化簡，結合純虛數定義即可求得m的值.【題目詳解】由復數的除法運算化簡可得，因為是純虛數，所以，∴，故選：A.【答案點睛】本題考查了復數的概念和除法運算，屬于基礎題.8．B【答案解析】

先根據復數的乘法計算出，然后再根據共軛復數的概念直接寫出即可.【題目詳解】由，所以其共軛復數.故選：B.【答案點睛】本題考查復數的乘法運算以及共軛復數的概念，難度較易.9．D【答案解析】

可求出集合，，然后進行并集的運算即可．【題目詳解】解：，；．故選．【答案點睛】考查描述法、區間的定義，對數函數的單調性，以及并集的運算．10．B【答案解析】

由焦點得拋物線方程，設點的坐標為，根據對稱可求出點的坐標，寫出直線方程，聯立拋物線求交點，計算弦長即可.【題目詳解】拋物線的焦點為，則，即，設點的坐標為，點的坐標為，如圖：∴，解得，或(舍去)，∴∴直線的方程為，設直線與拋物線的另一個交點為，由，解得或，∴，∴，故直線被截得的弦長為．故選：B．【答案點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程，簡單幾何性質，點關于直線對稱，屬于中檔題.11．D【答案解析】

根據逆運算，倒推回求x的值，根據x的范圍取舍即可得選項.【題目詳解】因為,所以當，解得

，所以3是輸入的x的值；當時，解得，所以是輸入的x的值，所以輸入的x的值為

或3，故選：D.【答案點睛】本題考查了程序框圖的簡單應用，通過結果反求輸入的值，屬于基礎題.12．B【答案解析】

化簡復數，由它是純虛數，求得，從而確定對應的點的坐標．【題目詳解】是純虛數，則，，，對應點為，在第二象限．故選：B．【答案點睛】本題考查復數的除法運算，考查復數的概念與幾何意義．本題屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

根據變量x，y滿足：，畫出可行域，由，解得直線過定點，直線繞定點旋轉與可行域有交點即可，再結合圖象利用斜率求解.【題目詳解】由變量x，y滿足：，畫出可行域如圖所示陰影部分，由，整理得，由，解得，所以直線過定點，由，解得，由，解得，要使，則與可行域有交點，當時，滿足條件，當時，直線得斜率應該不小于AC，而不大于AB，即或，解得，且，綜上：參數t的取值范圍為.故答案為：【答案點睛】本題主要考查線性規劃的應用，還考查了轉化運算求解的能力，屬于中檔題.14．1344【答案解析】

分四種情況討論即可【題目詳解】解：數學排在第一節時有：數學排在第二節時有：數學排在第三節時有：數學排在第四節時有：所以共有1344種故答案為：1344【答案點睛】考查排列、組合的應用，注意分類討論，做到不重不漏；基礎題.15．證明見解析．【答案解析】試題分析：四點共圓，所以，又△∽△，所以，即，得證．試題解析：A．連接，因為為圓的直徑，所以，又，則四點共圓，所以．又△∽△，所以，即，∴．16．【答案解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊，設，由題可得的長，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的關系，從而求出橢圓的離心率【題目詳解】如圖，若為等腰三角形，則|BF1|=|AB|.設|BF2|=t，則|BF1|=2a?t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，設∠BAO=θ，則∠BAF1=2θ，所以Г的離心率e=，結合余弦定理，易得在中，，所以，即e==，故答案為：.【答案點睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡單應用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．另一個特征值為，對應的一個特征向量【答案解析】

根據特征多項式的一個零點為3，可得，再回代到方程即可解出另一個特征值為，最后利用求特征向量的一般步驟，可求出其對應的一個特征向量.【題目詳解】矩陣的特征多項式為：，是方程的一個根，，解得，即方程即，，可得另一個特征值為：，設對應的一個特征向量為：則由，得得，令，則，所以矩陣另一個特征值為，對應的一個特征向量【答案點睛】本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項式的計算形式，屬于基礎題.18．（1）（2）【答案解析】

（1）項和轉換可得，繼而得到，可得解；（2）代入可得，由數列為遞增數列可得，，令，可證明為遞增數列，即，即得解【題目詳解】（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．（2）．=2·-λ（2n+1）．∵數列為遞增數列，∴，即．令，即．∴為遞增數列，∴，即的取值范圍為．【答案點睛】本題考查了數列綜合問題，考查了項和轉換，數列的單調性，最值等知識點，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于較難題.19．（1）不同的樣本的個數為.（2）①分布列見解析，.②線性回歸方程為.可預測該同學的物理成績為96分.【答案解析】

（1）按比例抽取即可，再用乘法原理計算不同的樣本數.（2）名學生中物理和數學都優秀的有3名學生，任取3名學生，都優秀的學生人數服從超幾何分布，故可得其概率分布列及其數學期望.而線性回歸方程的計算可用給出的公式計算，并利用得到的回歸方程預測該同學的物理成績.【題目詳解】（1）依據分層抽樣的方法，24名女同學中應抽取的人數為名，18名男同學中應抽取的人數為名，故不同的樣本的個數為.（2）①∵7名同學中數學和物理成績均為優秀的人數為3名，∴的取值為0，1，2，3.∴，，，.∴的分布列為0123∴.②∵，.∴線性回歸方程為.當時，.可預測該同學的物理成績為96分.【答案點睛】在計算離散型隨機變量的概率時，注意利用常見的概率分布列來簡化計算（如二項分布、超幾何分布等）．20．(1)(2)三個零點【答案解析】

(1)由題意知恒成立,構造函數，對函數求導，求得函數最值，進而得到結果；（2）當時先對函數求導研究函數的單調性可得到函數有兩個極值點，再證，.【題目詳解】（1）由得，由題意知恒成立，即，設，，時，遞減，時，，遞增；故，即，故的取值范圍是.（2）當時，單調，無極值；當時，，一方面，，且在遞減，所以在區間有一個零點.另一方面，，設，則，從而在遞增，則，即，又在遞增，所以在區間有一個零點.因此，當時在和各有一個零點，將這兩個零點記為，，當時，即；當時，即；當時，即：從而在遞增，在遞減，在遞增；于是是函數的極大值點，是函數的極小值點.下面證明：，由得，即，由得，令，則，①當時，遞減，則，而，故；②當時，遞減，則，而，故；一方面，因為，又，且在遞增，所以在上有一個零點，即在上有一個零點.另一方面，根據得，則有：，又，且在遞增，故在上有一個零點，故在上有一個零點.又，故有三個零點.【答案點睛】本題考查函數的零點，導數的綜合應用．在研究函數零點時，有一種方法是