若1.p(z),q(z)均在圓盤內解析;(常點)定理5.1(解唯一性定理)對二階線性齊次常微分方程：第五章常微分方程的級數解和特殊函數§5.1常點鄰域方程的級數解勒讓德多項式和厄米多項式則方程有唯一的解,且在圓盤內單值解析。(*)一.常點鄰域方程級數解的理論基礎2.方程的解滿足“初始”條件：若1.p(z),q(z)均在圓盤第一步設其解形式為代入方程，可得系數之間的遞推關系。且該遞推關系應為比例關系(因方程齊次)。常點鄰域方程的級數解的求解思路(略)在z0點鄰域求解方程，第二步

結合“初始”條件，確定待定系數，給出方程的解。Tips:常微分方程的階數決定了所需初始條件的個數。第一步設其解形式為常點鄰域方程的級數解的求二.勒讓德方程的求解在x=0的鄰域求解l階勒讓德方程：解：令則二.勒讓德方程的求解在x=0的鄰域求解l階勒讓德方上式恒成立,則的系數恒為0代入勒讓德方程，并比較的系數，因為x為

0的鄰域內的

任意點，得展開系數的比例遞推公式：特別的，上式恒成立,則的系數恒為0代入勒讓德方程，并若給定a0和a1(初始條件)

，則利用遞推公式，則可得各階系數：因此，方程的通解為：若給定a0和a1(初始條件)，則利用遞推公式，則可其中收斂半徑：收斂區域：其中收斂半徑：收斂區域：三.勒讓德多項式考慮邊界點,為使得有限l為奇數2n+1時,y1(x)被截斷,函數為多項式形式。同樣,l為偶數2n時,y0(x)變為多項式。取a1=0再取“初始”條件a0=0,則與l奇偶性不同的項均為0：三.勒讓德多項式考慮邊界點,總之,l為整數時,方程在[-1,1]存在有界非零解.解中最高冪次為l,且只有與l奇偶性相同的冪次。若給定l次冪的系數al為則由遞推公式反向遞推得到各階系數。(“初始”條件)稱整數l,是勒讓德方程滿足條件“y|x=±1值有限”

的

本征值,相應的解稱為勒讓德方程的本征解。總之,l為整數時,方程在[-1,1]存在有界由數學歸納法可證：由此，得勒讓德多項式：由數學歸納法可證：由此，得勒讓德多項式：比例遞推公式：常點鄰域常微分方程的級數解“初始”條件a0,a1

各階系數ak級數解：比例遞推公式：邊界條件:值有限①本征值:

l為整數,

②“初始”條件,使

“初始”條件:本征解:勒讓德方程求解流程圖邊界條件:值有限①本征值:l為0~4階勒讓德多項式0~4階勒讓德多項式1.由圖中可見：l階的勒讓德多項式,最高冪次為l,共有l個零點.四.勒讓德多項式的性質2.勒讓德多項式的零點分布Pl'(x)共l-1個零點,且與Pl(x)的零點交錯分布.1.由圖中可見：l階的勒讓德多項式,最高冪次為l,x的冪、多項式可用勒讓德多項式來表示：勒讓德多項式為定義在[-1,1]上的正交多項式See：第9章x的冪、多項式可用勒讓德多項式來表示：勒讓德多項式為勒讓德多項式級數表達式：勒讓德多項式的微分表達式(Rodrigues)：勒讓德多項式的積分表達式(Schl?fli)：其中c為包圍點z=x的任一圍線。勒讓德多項式級數表達式：勒讓德多項式的微分表達式(Rodri令積分式中，得Laplace表達式：令x=cosθ，令積分式中，得Laplace表達式：令x=cosθ若z0是p(z)不高于一階的極點,且z0是q(z)不高于二階的極點(稱z0為正則奇點)，則方程在z0的去心鄰域內，至少存在一個形如的廣義冪級數解。其中s為某個常數，a0≠0。定理5.2(解存在性定理)二階線性齊次常微分方程：§5.2正則奇點鄰域方程的級數解貝塞爾、諾依曼函數一.正則奇點鄰域方程級數解的理論基礎(*)若z0是p(z)不高于一階的極點,且z0是q二.貝塞爾方程的求解在x=0的去心鄰域求解m階貝塞爾方程：解：令則代入方程，并比較同次冪的系數：(a0

≠0)二.貝塞爾方程的求解在x=0的去心鄰域求解m階貝塞指標方程：…因此，2m為整數時，可能有k±2m=0。將代入遞推公式:遞推公式化為a1

==0?指標方程：…因此，2m為整數時，可能有k±2m=01.若2m非整數,對正整數k,有k±2m≠0

由向上遞推比例關系1.若2m非整數,對正整數k,有k±2m取“初始”條件又取“初始”條件又得兩個線性無關的解：m階第一類貝塞爾函數－m

階第一類貝塞爾函數2.若為奇數,則因此，同樣可得非零解s=m時得兩個線性無關的解：m階第一類貝塞爾函數－m階第一類貝當時,由此時若再取“初始”條件ap=0

,則有ap+2n=0(n>0)s=－m時，由因此，同樣可得非零解由1.(2m為非整數)和2.(2m為奇數p)知，

m不為整數時，貝塞爾方程的通解寫為：當時,由此時若2.若2m為偶數,即m為非負整數,則∵x=0或非負整數時，發散，此時J-m與Jm線性相關。(令n=m+k)2.若2m為偶數,即m為非負整數,則∵x為求另一線性無關的解,由常微分方程理論，令代入方程，解得另一線性無關的解:Nm(x)稱為m階第二類貝塞爾函數,或諾依曼函數為求另一線性無關的解,由常微分方程理論，令代入方程，解得另Jm(x)和Nm(x)恒可構成貝塞爾方程的兩個線性無關解；貝塞爾方程的通解均可記為：m為整數時，貝塞爾方程的通解寫為：諾依曼函數還可寫為：(m為整數)即，J-m(x)可由Nm(x)和Jm(x)線性表示.Jm(x)和Nm(x)恒可構成貝塞爾方程2m＝偶數Jm(x),Nm(x)指標方程：?ak

==02m≠整數Jm(x),J-m(x)2m＝奇數p

Jm(x),J-m(x)(取ap=0)

?a1

==0

貝塞爾方程求解流程圖s=m2m＝偶數Jm(x),Nm(x貝塞爾方程的求解結論m不為整數時，貝塞爾方程的通解寫為：貝塞爾方程的通解總是可記為：m階和–m階貝塞爾函數v階諾依曼函數貝塞爾方程的求解結論m不為整數時，貝塞爾方程的通解寫為：貝塞三.貝塞爾函數的性質由遞推公式不含負冪項，x→0時,Jm(x)收斂.含負冪項,x→0時，J—m(x)→∞,發散.由定義,x→0,Nm(x)→∞,也發散.2.貝塞爾方程在x=0的鄰域的有界解為Jm(x)1.收斂半徑：R=∞三.貝塞爾函數的性質由遞推公式不含負冪項，含負冪項,x→J0(x)和J1(x)N0(x)和N1(x)5.m為非負整數時,3.貝塞爾函數是衰減振蕩的函數4.貝塞爾函數的零點：無窮多個零點,交錯分布.J0(x)和J1(x)N0(x)和N1(x)5.m為非例.半奇數階貝塞爾函數和球貝塞爾函數半奇數階Bessel方程其線性無關解為：半奇數階Bessel函數，可以用初等函數表示：Tips:例.半奇數階貝塞爾函數和球貝塞爾函數半奇數階Bessel方球貝塞爾函數定義為：n-1(x)和n0(x)j-1(x)和j0(x)

球貝塞爾函數定義為：n-1(x)和n0(x)j-1(x)虛宗量貝塞爾函數稱為虛宗量貝塞爾方程.取初始條件：可得虛宗量貝塞爾函數Im(x)和I－m(x)虛宗量貝塞爾函數稱為虛宗量貝塞爾方程.取初始條件：可得虛宗量特殊函數的應用：2.球坐標系下，亥姆霍茲方程分離變量后，關于角向坐標θ的方程為(締合)勒讓德方程;3.柱坐標系下，亥姆霍茲方程分離變量后，關于坐標ρ的方程為(虛宗量)貝塞爾方程.4.一維諧振子波函數的薛定諤方程可化為厄密方程.氫原子徑向波函數滿足(締合)拉蓋爾方程.1.圓孔衍射的光強分布可由J1(x)表示.關于徑向坐標r

的方程為球貝塞爾方程.特殊函數的應用：2.球坐標系下，亥姆霍茲方程分離變量后，1.常微分方程的常點,及常點鄰域的冪級數解3.了解勒讓德多項式的不同表達式6.熟悉貝塞爾方程的求解過程本章知識點總結2.熟悉勒讓德方程的求解過程6.熟悉第一類、第二類貝塞爾函數遞推公式、收斂半徑、邊界條件、l的本征值、“初始”條件、級數解.級數表達式、微分表達式、復積分表達式4.熟悉勒讓德多項式的性質P0(x)、P1(x)、Pl(1)、取值范圍、奇偶性，零點等1.常微分方程的常點,及常點鄰域的冪級數解3.了解勒讓5.正則奇點，及其去心鄰域的廣義冪級數解.6.了解貝塞爾方程的求解過程指標方程、遞推公式、“初始”條件、線性無關解7.了解不同類型的貝塞爾函數8.熟悉貝塞爾函數的性質收斂半徑、x=0處的有界解、奇偶性(m為整數)、衰減振蕩、零點分布9.了解特殊函數的相關應用.求解常微分方程、數值計算等5.正則奇點，及其去心鄰域的廣義冪級數解.6.了解貝塞Page77習題5.1第4題解：①l=0時，②l=2(n+1)時,由微分表達式得(1)Page77習題5.1第4題解：①l=0時，②當,即時,為0次冪項因此，I=0.③l=2n+1時,仍由微分表達式計算，但是：當,即(2)解：由微分表達式，分部積分得：(2)解：由微分表達式，分部積分得：②l=2n時,由微分表達式①l=2n+1時,與1類似，得I=0當,即時,為0次冪項②l=2n時,由微分表達式①l=2n+1時(3)解：①n<l時,由微分表達式，分部積分得：(分部積分n次)(3)解：①n<l時,由微分表達式，分部積分得：(②n－l為奇數時,xn與Pl(x)奇偶性相反故被積函數為奇函數.因此，I=0.③n－l為偶數時,設n－l=2m,m為正整數其中：(分部積分l次)②n－l為奇數時,xn與Pl(x)奇偶性相反其中：(分部積分m次)其中：(分部積分m次)(分部積分l+m次)(分部積分l+m次)第五章常微分方程的級數解和特殊函數課件第五章常微分方程的級數解和特殊函數課件若1.p(z),q(z)均在圓盤內解析;(常點)定理5.1(解唯一性定理)對二階線性齊次常微分方程：第五章常微分方程的級數解和特殊函數§5.1常點鄰域方程的級數解勒讓德多項式和厄米多項式則方程有唯一的解,且在圓盤內單值解析。(*)一.常點鄰域方程級數解的理論基礎2.方程的解滿足“初始”條件：若1.p(z),q(z)均在圓盤第一步設其解形式為代入方程，可得系數之間的遞推關系。且該遞推關系應為比例關系(因方程齊次)。常點鄰域方程的級數解的求解思路(略)在z0點鄰域求解方程，第二步

結合“初始”條件，確定待定系數，給出方程的解。Tips:常微分方程的階數決定了所需初始條件的個數。第一步設其解形式為常點鄰域方程的級數解的求二.勒讓德方程的求解在x=0的鄰域求解l階勒讓德方程：解：令則二.勒讓德方程的求解在x=0的鄰域求解l階勒讓德方上式恒成立,則的系數恒為0代入勒讓德方程，并比較的系數，因為x為

0的鄰域內的

任意點，得展開系數的比例遞推公式：特別的，上式恒成立,則的系數恒為0代入勒讓德方程，并若給定a0和a1(初始條件)

，則利用遞推公式，則可得各階系數：因此，方程的通解為：若給定a0和a1(初始條件)，則利用遞推公式，則可其中收斂半徑：收斂區域：其中收斂半徑：收斂區域：三.勒讓德多項式考慮邊界點,為使得有限l為奇數2n+1時,y1(x)被截斷,函數為多項式形式。同樣,l為偶數2n時,y0(x)變為多項式。取a1=0再取“初始”條件a0=0,則與l奇偶性不同的項均為0：三.勒讓德多項式考慮邊界點,總之,l為整數時,方程在[-1,1]存在有界非零解.解中最高冪次為l,且只有與l奇偶性相同的冪次。若給定l次冪的系數al為則由遞推公式反向遞推得到各階系數。(“初始”條件)稱整數l,是勒讓德方程滿足條件“y|x=±1值有限”

的

本征值,相應的解稱為勒讓德方程的本征解。總之,l為整數時,方程在[-1,1]存在有界由數學歸納法可證：由此，得勒讓德多項式：由數學歸納法可證：由此，得勒讓德多項式：比例遞推公式：常點鄰域常微分方程的級數解“初始”條件a0,a1

各階系數ak級數解：比例遞推公式：邊界條件:值有限①本征值:

l為整數,

②“初始”條件,使

“初始”條件:本征解:勒讓德方程求解流程圖邊界條件:值有限①本征值:l為0~4階勒讓德多項式0~4階勒讓德多項式1.由圖中可見：l階的勒讓德多項式,最高冪次為l,共有l個零點.四.勒讓德多項式的性質2.勒讓德多項式的零點分布Pl'(x)共l-1個零點,且與Pl(x)的零點交錯分布.1.由圖中可見：l階的勒讓德多項式,最高冪次為l,x的冪、多項式可用勒讓德多項式來表示：勒讓德多項式為定義在[-1,1]上的正交多項式See：第9章x的冪、多項式可用勒讓德多項式來表示：勒讓德多項式為勒讓德多項式級數表達式：勒讓德多項式的微分表達式(Rodrigues)：勒讓德多項式的積分表達式(Schl?fli)：其中c為包圍點z=x的任一圍線。勒讓德多項式級數表達式：勒讓德多項式的微分表達式(Rodri令積分式中，得Laplace表達式：令x=cosθ，令積分式中，得Laplace表達式：令x=cosθ若z0是p(z)不高于一階的極點,且z0是q(z)不高于二階的極點(稱z0為正則奇點)，則方程在z0的去心鄰域內，至少存在一個形如的廣義冪級數解。其中s為某個常數，a0≠0。定理5.2(解存在性定理)二階線性齊次常微分方程：§5.2正則奇點鄰域方程的級數解貝塞爾、諾依曼函數一.正則奇點鄰域方程級數解的理論基礎(*)若z0是p(z)不高于一階的極點,且z0是q二.貝塞爾方程的求解在x=0的去心鄰域求解m階貝塞爾方程：解：令則代入方程，并比較同次冪的系數：(a0

≠0)二.貝塞爾方程的求解在x=0的去心鄰域求解m階貝塞指標方程：…因此，2m為整數時，可能有k±2m=0。將代入遞推公式:遞推公式化為a1

==0?指標方程：…因此，2m為整數時，可能有k±2m=01.若2m非整數,對正整數k,有k±2m≠0

由向上遞推比例關系1.若2m非整數,對正整數k,有k±2m取“初始”條件又取“初始”條件又得兩個線性無關的解：m階第一類貝塞爾函數－m

階第一類貝塞爾函數2.若為奇數,則因此，同樣可得非零解s=m時得兩個線性無關的解：m階第一類貝塞爾函數－m階第一類貝當時,由此時若再取“初始”條件ap=0

,則有ap+2n=0(n>0)s=－m時，由因此，同樣可得非零解由1.(2m為非整數)和2.(2m為奇數p)知，

m不為整數時，貝塞爾方程的通解寫為：當時,由此時若2.若2m為偶數,即m為非負整數,則∵x=0或非負整數時，發散，此時J-m與Jm線性相關。(令n=m+k)2.若2m為偶數,即m為非負整數,則∵x為求另一線性無關的解,由常微分方程理論，令代入方程，解得另一線性無關的解:Nm(x)稱為m階第二類貝塞爾函數,或諾依曼函數為求另一線性無關的解,由常微分方程理論，令代入方程，解得另Jm(x)和Nm(x)恒可構成貝塞爾方程的兩個線性無關解；貝塞爾方程的通解均可記為：m為整數時，貝塞爾方程的通解寫為：諾依曼函數還可寫為：(m為整數)即，J-m(x)可由Nm(x)和Jm(x)線性表示.Jm(x)和Nm(x)恒可構成貝塞爾方程2m＝偶數Jm(x),Nm(x)指標方程：?ak

==02m≠整數Jm(x),J-m(x)2m＝奇數p

Jm(x),J-m(x)(取ap=0)

?a1

==0

貝塞爾方程求解流程圖s=m2m＝偶數Jm(x),Nm(x貝塞爾方程的求解結論m不為整數時，貝塞爾方程的通解寫為：貝塞爾方程的通解總是可記為：m階和–m階貝塞爾函數v階諾依曼函數貝塞爾方程的求解結論m不為整數時，貝塞爾方程的通解寫為：貝塞三.貝塞爾函數的性質由遞推公式不含負冪項，x→0時,Jm(x)收斂.含負冪項,x→0時，J—m(x)→∞,發散.由定義,x→0,Nm(x)→∞,也發散.2.貝塞爾方程在x=0的鄰域的有界解為Jm(x)1.收斂半徑：R=∞三.貝塞爾函數的性質由遞推公式不含負冪項，含負冪項,x→J0(x)和J1(x)N0(x)和N1(x)5.m為非負整數時,3.貝塞爾函數是衰減振蕩的函數4.貝塞爾函數的零點：無窮多個零點,交錯分布.J0(x)和J1(x)N0(x)和N1(x)5.m為非例.半奇數階貝塞爾函數和球貝塞爾函數半奇數階Bessel方程其線性無關解為：半奇數階Bessel函數，可以用初等函數表示：Tips:例.半奇數階貝塞爾函數和球貝塞爾函數半奇數階Bessel方球貝塞爾函數定義為：n-1(x)和n0(x)j-1(x)和j0(x)

球貝塞爾函數定義為：n-1(x)和n0(x)j-1(x)虛宗量貝塞爾函數稱為虛宗量貝塞爾方程.取初始條件：可得虛宗量貝塞爾函數Im(x)和I－m(x)虛宗量貝塞爾函數稱為虛宗量貝塞爾方程.取初始條件：可得虛宗量特殊函數的應用：2.球坐標系下，亥姆霍茲方程分離變量后，關于角向坐標θ的方程為(締合)勒讓德方程;3.柱坐標系下，亥姆霍茲方程分離變量后，關于坐標ρ的方程為(虛宗量)貝塞爾方程.4.一維諧振子波函數的薛定諤方程可化為厄密方程.氫原子徑向波函數滿足(締合)拉蓋爾方程.1.圓孔衍射的光強分布可由J1(x)表示.關于徑向坐標r

的方程為球貝塞爾方程.特殊函數的應用：2.球坐標系下，亥姆霍茲方程分離變量后，1.常微分方程的常點,及常點鄰域的冪級數解3.了解勒讓德多項式的不同表