第第頁???點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為€2+^6.TaTa+歲a=6+&解得a=2．注本題旋轉△AEB'bBEC也都可以，但都必須繞著定點旋轉，讀者不妨一試.例2（2009年北京中考題）如圖4,在平面直角坐標系xOy中，△ABC三個頂點的坐標分別為A（-6,0）,B（6,0）,CC,4J3）,延長AC到點D,使CD=2AC，過點D作DE^AB交BC的延長線于點E.（1）求D點的坐標；（2）作C點關于直線DE的對稱點F,分別連結DF、EF,若過B點的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；（3）設G為y軸上一點，點P從直線y=kx+b與y軸的交點出發，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短.分析和解：（1）D點的坐標（3,6込）（過程略）.（2）直線BM的解析式為y二-爲x+6、：'3（過程略）.圖4（3）如何確定點G的位置是本題的難點也是關健所在.設Q點為y軸上一點，P在y軸上運動的速MQAQ1度為v,則P沿M—Q—A運動的時間為+,使P點到達A點所用的時間最短，就是三MQ+AQ2vv2最小，或MQ+2AQ最小.解法1?/BQ=AQ,AMQ+2AQ最小就是MQ+AQ+BQ最小，就是在直線MO上找點G使他到A、B、M三點的距離和最小.至此，再次發現這又是一個費爾馬問題的變形，注意到題目中等邊三角形的信息，考慮作旋轉變換.把AMQB繞點B順時針旋轉60°,得到△MQB,連接QQ\MM（圖5）,可知△QQB△MMB都是等邊三角形，則QQ'=BQ.又MQ=MQ，.??MQ+AQ+BQ=M'Q'+QQ'+AQ.??點A、M，為定點，所以當Q、Q，兩點在線段AM，上時，MQ+AQ+BQ最小.由條件可證明Q點總在AM上，所以AM與OM的交點就是所要的G點（圖6）.可證OG=§MG.圖5圖6圖7解法2考慮2MQ+AQ最小，過Q作BM的垂線交BM于K,由OB=6,OM=6爲,可得ZBMO1=30°，所以QK=2MQ.1要使2MQ+AQ最小，只需使AQ+QK最小，根據“垂線段最短”可推出當點A、Q、K在一條直線上時，AQ+QK最小，并且此時的QK垂直于BM,此時的點Q即為所求的點G（圖7）.過A點作AH丄BM于H,則AH與y軸的交點為所求的G點.由OB=6，OM=6、；3，可得ZOBM=60°，.\ZBAH=30°在Rt^OAG中，OG=AO?tanZBAH=23???G點的坐標為（0,2^3）（G點為線段OC的中點）.例3（2009年湖州中考題）若點P為AABC所在平面上一點，且ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,則點P叫做△ABC的費馬點.（1）若P為銳角△ABC的費馬點，且ZABC=60°,PA=3,PC=4,則PB的值為；（2）如圖8,在銳角△ABC的外側作等邊△ACB'，連結BB'.求證：BB'過AABC的費馬點P,且BB'=PA+PB+PC.圖8解：（1）利用相似三角形可求PB的值為2朽.（2）設點P為銳角△ABC的費馬點，即ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°如圖8,把AACP繞點C順時針旋轉60。到△BCE,連結PE,貝JAEPC為正三角形.VZBEC=ZAPC=120°,ZPEC=60°?ZBEC+ZPEC=180°即P、E、B'三點在同一直線上?.?ZBPC=120。，ZCPE=60°,?ZBPC+ZCPE=180°，即B、P、E三點在同一直線上???B、P、E、B'四點在同一直線上，即BB過AABC的費馬點P.又PE=PC,B'E=PA,??BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC.注通過旋轉變換，可以改變線段的位置，優化圖形的結構.在使用這一方法解題時需注意圖形旋轉變換的基礎，即存在相等的線段，一般地，當題目出現等腰三角形（等邊三角形）、正方形條件時，可將圖形作旋轉6