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2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線:(,)的右焦點(diǎn)與圓:的圓心重合,且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.32.中,點(diǎn)在邊上,平分,若,,,,則()A. B. C. D.3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.4.設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在雙曲線的右支上,且點(diǎn)不共線.若的周長(zhǎng)的最小值為,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.5.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.6.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.7.網(wǎng)絡(luò)是一種先進(jìn)的高頻傳輸技術(shù),我國(guó)的技術(shù)發(fā)展迅速,已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機(jī),現(xiàn)調(diào)查得到該款手機(jī)上市時(shí)間和市場(chǎng)占有率(單位:%)的幾組相關(guān)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).如圖所示的折線圖中,橫軸1代表2019年8月,2代表2019年9月……,5代表2019年12月,根據(jù)數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預(yù)測(cè)該款手機(jī)市場(chǎng)占有率的變化趨勢(shì),則最早何時(shí)該款手機(jī)市場(chǎng)占有率能超過0.5%(精確到月)()A.2020年6月 B.2020年7月 C.2020年8月 D.2020年9月8.在中,,,,點(diǎn)滿足,則等于()A.10 B.9 C.8 D.79.下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是(1)對(duì)于命題使得,則都有;(2)已知,則(3)已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),則回歸直線方程為;(4)“”是“”的充分不必要條件.A.1 B.2 C.3 D.410.2019年末,武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎()疫情,并快速席卷我國(guó)其他地區(qū),傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株,所以目前沒有特異治療方法,防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早,感染人員最多,防控壓力最大,武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員,強(qiáng)化網(wǎng)格化管理,不落一戶、不漏一人.在排查期間,一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”,這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測(cè),若出現(xiàn)陽性,則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽性的概率均為()且相互獨(dú)立,該家庭至少檢測(cè)了5個(gè)人才能確定為“感染高危戶”的概率為,當(dāng)時(shí),最大,則()A. B. C. D.11.設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),前項(xiàng)和為,,且,則()A.128 B.65 C.64 D.6312.已知拋物線的焦點(diǎn)為,為拋物線上一點(diǎn),,當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí),所在直線的斜率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的答題活動(dòng),要從4道題中隨機(jī)抽取2道作答,小李會(huì)其中的三道題,則抽到的2道題小李都會(huì)的概率為_____.14.已知F為雙曲線的右焦點(diǎn),過F作C的漸近線的垂線FD,D為垂足,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則C的離心率為________.15.已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為,則______.16.某種牛肉干每袋的質(zhì)量服從正態(tài)分布,質(zhì)檢部門的檢測(cè)數(shù)據(jù)顯示:該正態(tài)分布為,.某旅游團(tuán)游客共購買這種牛肉干100袋,估計(jì)其中質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是_____袋.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|+|x|(a>0).(1)若不等式f(x)﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1},求實(shí)數(shù)a的值;(2)證明:f(x).18.(12分)如圖所示,在四棱錐中,平面,底面ABCD滿足AD∥BC,,,E為AD的中點(diǎn),AC與BE的交點(diǎn)為O.(1)設(shè)H是線段BE上的動(dòng)點(diǎn),證明:三棱錐的體積是定值;(2)求四棱錐的體積;(3)求直線BC與平面PBD所成角的余弦值.19.(12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1Sn}的前20.(12分)已知拋物線E:y2=2px(p>0),焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3,拋物線E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2且x1+x2=1.線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線E的方程;(2)求△ABC面積的最大值.21.(12分)《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定:從2017年秋季高中入學(xué)的新生開始,不分文理科;2020年開始,高考總成績(jī)由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為、、、、、、、共8個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則,確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、.選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí),將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī),依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級(jí)成績(jī).某校高一年級(jí)共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試,其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布.(1)求物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機(jī)抽取3人,記表示這3人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附:若隨機(jī)變量,則,,)22.(10分)已知函數(shù),.(1)求證:在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且;(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
由已知,圓心M到漸近線的距離為,可得,又,解方程即可.【詳解】由已知,,漸近線方程為,因?yàn)閳A被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為,所以圓心M到漸近線的距離為,故,所以離心率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的問題,涉及到直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道容易題.2.B【解析】
由平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,再根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算即得答案.【詳解】平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,又,,,,..故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征,然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體為邊長(zhǎng)為正方體挖去一個(gè)以為球心以為半徑球體的,如圖,故其表面積為,故選:B.【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積,關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治觯瑥娜晥D中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面,計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.4.A【解析】
依題意可得即可得到,從而求出雙曲線的離心率的取值范圍;【詳解】解:依題意可得如下圖象,所以則所以所以所以,即故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于中檔題.5.B【解析】
三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體,利用割補(bǔ)法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示,它是一個(gè)圓柱截去上面一塊幾何體,把該幾何體補(bǔ)成如下圖所示的圓柱,其體積為,故原幾何體的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積,復(fù)原幾何體時(shí)注意三視圖中的點(diǎn)線關(guān)系與幾何體中的點(diǎn)、線、面的對(duì)應(yīng)關(guān)系,另外,不規(guī)則幾何體的體積可用割補(bǔ)法來求其體積,本題屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】
根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
根據(jù)圖形,計(jì)算出,然后解不等式即可.【詳解】解:,點(diǎn)在直線上,令因?yàn)闄M軸1代表2019年8月,所以橫軸13代表2020年8月,故選:C【點(diǎn)睛】考查如何確定線性回歸直線中的系數(shù)以及線性回歸方程的實(shí)際應(yīng)用,基礎(chǔ)題.8.D【解析】
利用已知條件,表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積.【詳解】在中,,,,點(diǎn)滿足,可得則==【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算,關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量.9.C【解析】
由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,即可判定是正確的;(2)中,根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì),即可判定是正確的;(3)中,由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程,即可判定是正確;(4)中,基本不等式和充要條件的判定方法,即可判定.【詳解】由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,可知命題使得,則都有,是錯(cuò)誤的;(2)中,已知,正態(tài)分布曲線的性質(zhì),可知其對(duì)稱軸的方程為,所以是正確的;(3)中,回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程,可得回歸直線方程為是正確;(4)中,當(dāng)時(shí),可得成立,當(dāng)時(shí),只需滿足,所以“”是“”成立的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用,其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì),以及基本不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】
根據(jù)題意分別求出事件A:檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B:檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達(dá)式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事件A:檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶”,事件B:檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶”,∴,.即設(shè),則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),即.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計(jì)算,涉及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對(duì)題意的理解和事件的分解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力,屬于較難題.11.D【解析】
根據(jù),得到,即,由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列,然后再利用前n項(xiàng)和公式求.【詳解】因?yàn)椋裕裕詳?shù)列是等比數(shù)列,又因?yàn)椋裕?故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.12.A【解析】
本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長(zhǎng)最小時(shí)A,P位于同一水平線上,計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo),計(jì)算斜率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪制圖像要計(jì)算三角形PAF周長(zhǎng)最小值,即計(jì)算PA+PF最小值,結(jié)合拋物線性質(zhì)可知,PF=PN,所以,故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)處,三角形周長(zhǎng)最小,故此時(shí)M的坐標(biāo)為,所以斜率為,故選A.【點(diǎn)睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì),難度中等.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
從四道題中隨機(jī)抽取兩道共6種情況,抽到的兩道全都會(huì)的情況有3種,即可得到概率.【詳解】由題:從從4道題中隨機(jī)抽取2道作答,共有種,小李會(huì)其中的三道題,則抽到的2道題小李都會(huì)的情況共有種,所以其概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)古典概型求概率,關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個(gè)數(shù).14.2【解析】
求出焦點(diǎn)到漸近線的距離就可得到的等式,從而可求得離心率.【詳解】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,由得,∴,,∴.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是求出焦點(diǎn)到漸近線的距離,從而得出一個(gè)關(guān)于的等式.15.【解析】
先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),再根據(jù)圖象在(0,f(0))處切線的斜率為﹣4,得f′(0)=﹣4,由此可求a的值.【詳解】由函數(shù)得,∵函數(shù)f(x)的圖象在(0,f(0))處切線的斜率為﹣4,,.故答案為4【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)曲線上在某點(diǎn)切線方程的斜率求參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.16.1【解析】
根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性,求得質(zhì)量低于的袋數(shù)的估計(jì)值.【詳解】由于,所以,所以袋牛肉干中,質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是袋.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查正態(tài)分布對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)a=1;(2)見解析【解析】
(1)由題意可得|x﹣a|≥4x,分類討論去掉絕對(duì)值,分別求得x的范圍即可求出a的值.(2)由條件利用絕對(duì)值三角不等式,基本不等式證得f(x)≥2..【詳解】(1)由f(x)﹣|x|≥4x,可得|x﹣a|≥4x,(a>0),當(dāng)x≥a時(shí),x﹣a≥4x,解得x,這與x≥a>0矛盾,故不成立,當(dāng)x<a時(shí),a﹣x≥4x,解得x,又不等式的解集是{x|x≤1},故1,解得a=1.(2)證明:f(x)=|x﹣a|+|x||x﹣a﹣(x)|=|a|,∵a>0,∴|a|=a22,當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取等號(hào),故f(x).【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值三角不等式,基本不等式,絕對(duì)值不等式的解法,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.18.(1)證明見解析(2)(3)【解析】
(1)因?yàn)榈酌鍭BCD為梯形,且,所以四邊形BCDE為平行四邊形,則BE∥CD,又平面,平面,所以平面,又因?yàn)镠為線段BE上的動(dòng)點(diǎn),的面積是定值,從而三棱錐的體積是定值.(2)因?yàn)槠矫妫裕Y(jié)合BE∥CD,所以,又因?yàn)椋褽為AD的中點(diǎn),所以四邊形ABCE為正方形,所以,結(jié)合,則平面,連接,則,因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)椋允堑妊苯侨切危琌為斜邊AC上的中點(diǎn),所以,且,所以平面,所以PO是四棱錐的高,又因?yàn)樘菪蜛BCD的面積為,在中,,所以.(3)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B(,0,0),C(0,,0),D(,,0),P(0,0,),則,設(shè)平面PBD的法向量為,則即則,令,得到,設(shè)BC與平面PBD所成的角為,則,所以,所以直線BC與平面PBD所成角的余弦值為.19.(1)an=2n【解析】
(1)先設(shè)出數(shù)列的公差為d,結(jié)合題中條件,求出首項(xiàng)和公差,即可得出結(jié)果.(2)利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和.【詳解】解:(1)設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}且a1+a則有:a1解得:a1=3,所以:a(2)由于:an所以:Sn則:1S則:Tn=1【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.20.(1)y2=6x(2).【解析】
(1)根據(jù)拋物線定義,寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,列方程即可得解;(2)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)表示出|AB|和點(diǎn)到直線的距離,得出面積,利用均值不等式求解最大值.【詳解】(1)拋物線E:y2=2px(p>0),焦點(diǎn)F(,0)到準(zhǔn)線x的距離為3,可得p=3,即有拋物線方程為y2=6x;(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則,y0,kAB,則線段AB的垂直平分線方程為y﹣y0(x﹣2),①可得x=5,y=0是①的一個(gè)解,所以AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)C為定點(diǎn),且點(diǎn)C(5,0),由①可得直線AB的方程為y﹣y0(x﹣2),即x(y﹣y0)+2②代入y2=6x可得y2=2y0(y﹣y0)+12,即y2﹣2y0y+2y02=0③,由題意y1,y2是方程③的兩個(gè)實(shí)根,且y1≠y2,所以△=1y02﹣1(2y02﹣12)=﹣1y02+18>0,解得﹣2y0<2,|AB|,又C(5,0)到線段AB的距離h=|CM|,所以S△ABC|AB|h?,當(dāng)且僅當(dāng)9+y02=21﹣2y02,即y0=±,A(,),B(,),或A(,),B(,)時(shí)等號(hào)成立,所以S△ABC的最大值為.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線關(guān)系求拋物線方程,根據(jù)直線與拋物線位置關(guān)系求解三角形面積的最值,表示三角形的面積關(guān)系常涉及韋達(dá)定理整體代入,拋物線中需要考慮設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的技巧,處理最值問題常用函數(shù)單調(diào)性求解或均值不等式求最值.21.(Ⅰ)1636人;(Ⅱ)見解析.【解
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