第三章離散傅里葉變換

時間函數頻率函數

連續時間、連續頻率—傅里葉變換

連續時間、離散頻率—傅里葉級數離散時間、連續頻率—序列的傅里葉變換離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換第三章離散傅里葉變換時間函數13.1離散傅里葉級數(DFS)周期序列的Z變換無意義.

3.1.1離散傅里葉級數離散傅里葉級數定義為周期為N的周期序列表示成N個正弦序列或復指數序列之和的形式,只有N個獨立分量，這是因為，周期為N的周期序列雖然無限長，但它實質上只有N個獨立信息。

3.1離散傅里葉級數(DFS)周期序列的Z變換無意義2[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件3[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件4周期序列傅里葉級數變換周期序列傅里葉級數變換53.1.2離散傅里葉級數的性質

1.

線性特性2.

序列位移特性

3.1.2離散傅里葉級數的性質2.序列位移特性6證明：根據定義證明：根據定義7[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件83.周期卷積特性周期卷積特性又稱周期卷積定理。3.周期卷積特性9[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件10證明：證明：11[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件12同理同理13由于求和僅在一個周期內進行，因此稱之為周期卷積。它與第1章介紹的線性卷積主要區別在于線性卷積求和區間是從負無窮到正無窮。頻域周期卷積特性如下由于求和僅在一個周期內進行，因此稱之為周14

對以N為周期的周期序列,任取一個周期求得的傅里葉級數，與在主值區求得的傅里葉級數相同。對于兩個周期為N的周期序列，任取一個周期進行周期卷積，卷積結果與在主值區內進行的周期卷積結果相同。因此周期卷積也可以用反褶、平移、相乘、取和的幾何法求解。對以N為周期的周期序列,任取一個周期求得15例3.3已知周期序列如圖所示，求(1)序列傅里葉級數系數的幅度特性和相位特性。(2)在周期序列上任意截取一個周期求其傅里葉級數。例3.3已知周期序列如圖所示，求16解：(1)周期序列周期為10,解：(1)周期序列周期為10,17所以所以18(2)設

求得的傅里葉級數系數與(1)中結果相同。(2)設求得的傅里葉級數系數與(1)中結果相同。193.2離散傅里葉變換(DFT)

周期序列雖然是無限長序列，但是它只含有N個獨立信息。因此，周期序列與有限長序列有著本質的聯系，這正是由離散傅里葉級數向離散傅里葉變換過渡的關鍵所在。3.2離散傅里葉變換(DFT)周期序列雖然20有限長序列的長度為N,周期序列的周期為N,有限長序列的長度為N,周期序列的周期為N,21有限長序列是周期序列的主值序列周期序列是有限長序列以N為周期的周期延拓是余數運算表達式

有限長序列是周期序列的主值序列是余數運算表達式22

離散傅里葉變換的定義設有限長序列長為N，其離散傅里葉變換是一個長為N的頻域有限長序列，其正、反變換如下離散傅里葉變換的定義23

離散傅里葉變換的實質是：把有限長序列當作周期序列的主值序列進行變換離散傅里葉變換的實質是：把有限長序列當作周24

離散傅里葉變換在時域、頻域都是離散的、有限長的，所以可以很方便地利用計算機完成它們之間的變換，這是離散傅里葉變換的最大優點之一。雖然離散傅里葉變換是兩個有限長序列之間的變換，但它們是利用DFS關系推導出來的，因而隱含著周期性。離散傅里葉變換DFT是頻譜在主值區的N點均勻抽樣，是其頻譜的一個近似。離散傅里葉變換在時域、頻域都是離散的、有限長25例3.6

已知有限長序列求其離散傅里葉變換

例3.6已知有限長序列求其離散傅里葉變換26解：根據定義解：根據定義27[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件28[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件29抽樣點N=8抽樣點N=16頻譜抽樣點N=8抽樣點N=16頻譜303.3離散傅里葉變換的性質

3.3.1線性特性3.3離散傅里葉變換的性質3.3.1線性特性31

序列長度及DFT點數均為N。若不等，設分別為N1，N2，則需補零使兩序列長度相等，均為N，且序列長度及DFT點數均為N。若不等，設分別為N1，N2323.3.2圓周位移特性1.圓周位移定義有限長序列的圓周位移定義為3.3.2圓周位移特性33[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件34

首先將有限長序列延拓成周期序列,然后將周期序列向右移位，最后截取其主值對圖中的主值區進行觀察，發現移出主值區的樣值，等于移入主值區的樣值。這種移位可以想象成序列排列在一個N等分的圓周上，N個樣值點首尾相接，沿圓周順移m位，(表示在圓周上旋轉m位)，因此得名“圓周位移”或者叫“循環位移”。首先將有限長序列延拓成周期序列,然后將周期352.圓周位移定理2.圓周位移定理36證明：證明：37定理表明：時域里圓周移位僅使頻域信號產生相移，而幅度頻譜不發生變化。即

定理表明：時域里圓周移位僅使頻域信號產生相移，而幅度38

根據時域、頻域對偶關系，不難證明，在頻域中若則

上式說明：時域序列進行復調制，其結果使整個頻譜產生搬移。根據時域、頻域對偶關系，不難證明，在頻域中393.3.3循環卷積特性1.循環卷積定義兩個長為N的有限長序列的循環卷積定義為：把有限長序列分別延拓成以N為周期的周期序列，求這兩個序列的周期卷積，然后截取主值序列，記為*3.3.3循環卷積特性*40可見有限長序列的循環卷積與周期卷積之間的關系類似于DFT與DFS之間的關系。它們在主值區的結果是相同的。因此可采用把有限長序列延拓成周期序列，進行周期卷積，然后取主值的辦法計算循環卷積。

簡化的計算方法是：把序列x(n)順時針分布在N等分的圓周上，而序列h(n)按時間軸與x(n)相反方向分布在另一個同心圓上，每當兩個圓停留在一定相對位置上，兩個序列相乘取和，即得到卷積序列中的一個值，依次在不同位置上相乘、取和，就得到全部卷積結果。因此循環卷積也叫圓周卷積。可見有限長序列的循環卷積與周期卷積之間的41[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件42[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件432.循環卷積定理對于長為N的有限長序列、，若2.循環卷積定理44證明：證明：45根據圓周位移定理所以同理可證根據圓周位移定理所以同理可證463.3.4對稱特性

由于實際問題中遇到的序列絕大多數是實序列，因此本節重點介紹實序列離散傅里葉變換的兩條對稱特性。1.實序列的離散傅里葉變換為復數，其實部為偶函數，虛部為奇函數。3.3.4對稱特性47[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件482.實序列的離散傅里葉變換，在區間內，對于點呈對稱分布。是偶對稱，是奇對稱[注意：認為]。2.實序列的離散傅里葉變換，在區間49

表3-1DFT的奇偶虛實特性x(n)

X(k)實函數實部為偶、虛部為奇

實偶函數實偶函數

實奇函數虛奇函數虛函數實部為奇、虛部為偶

虛偶函數虛偶函數虛奇函數實奇函數表3-1DFT的奇偶虛實特性x(n)503.3.5相關特性1.離散相關函數對于兩個離散序列

3.3.5相關特性51互相關函數式與線性卷積表達式之間關系是：

互相關函數式與線性卷積表達式之間關系是：52[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件532.循環相關定理若兩序列都是長為N的實序列，則2.循環相關定理543.3.6帕斯瓦爾定理(ParsevalTheory)3.3.6帕斯瓦爾定理(ParsevalTheory)55

3.4離散傅里葉變換與其它變換之間的關系3.4.1離散傅里葉變換與Z變換之間的關系

有限長序列的Z變換為如果在單位圓上收斂，則令3.4離散傅里葉變換與其它變換之間的關系如果56那么

那么57所以，離散傅里葉變換與Z變換關系為上式說明，有限長序列的離散傅里葉變換等于它的Z變換在單位圓上每隔弧度的均勻抽樣。所以，離散傅里葉變換與Z變換關系為上式說明，有限長序列的離583.4.2用有限長序列表示有限長序列的Z變換為由離散傅里葉反變換得到3.4.2用有限長序列表示由離散傅里葉反變59將代入得將代入得60設上式成為

式中，為內插函數，它是Z的連續函數。設上式成為式中，為內插函數，它是Z的連續函數61

上式說明，長為N的序列的Z變換可由N個內插函數乘以加權系數疊加而成。3.4.3用離散傅里葉變換表示序列的傅里葉變換

上式說明，長為N的序列的Z變換可由N個內插函數乘以加權62[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件63設設64代入得代入得65比較得

上式說明，整個是由N個內插函數乘上加權值疊加而成。每個抽樣點上的值就等于該點上的，抽樣點間的值則由各個內插函數疊加而成。比較得上式說明，整個是由N個內插函數66

3.5線性卷積與線性相關的DFT算法3.5.1計算循環卷積和線性卷積

循環卷積和線性卷積都是兩個序列在時域中的運算。根據時域和頻域的對應關系，它們也可以先變換到頻域進行相應運算后，再將結果變換到時域。1循環卷積的快速計算3.5線性卷積與線性相關的DFT算法67循環卷積的定義式為循環卷積的定義式為68根據循環卷積定理，可以用以下方法計算兩序列x1(n)和x2(n)的循環卷積：根據循環卷積定理，可以用以下方法計算兩序列x1(n)和x2(692線性卷積與循環卷積的關系設x(n)是長為N的序列，h(n)是長為M的序列，其線性卷積為將x(n)和h(n)分別補零延長到L。當L≥N+M-1時

將x(n)和h(n)分別補零延長到L。當L≥N+M-1時703.線性卷積的快速計算實際應用往往利用循環卷積定理來計算線性卷積，其步驟如下：(1)將原序列補零延拓到長為得

（2）3.線性卷積的快速計算（2）71（3）（4）上述結論適用于兩序列長度比較接近或者相等的情況。如果長度相差較多，例如為某濾波器的單位沖激響應，長度有限，用它來處理一個很長的信號,按上述方法需后補許多零才能再進行計算，這時運算時間可能不但不會減少，反而會增加。（3）（4）上述結論適用于兩序列長度比較72設、均為因果序列，長為N1，長為N，且N1>>N。將分成若干小段，每段為M，如圖所示，設表示第i段序列n為其他4.重疊相加法

設、均為因果序列，73則則74將、補零使其長度為L=N+M-1。這樣值得注意的是，長為N+M-1，而的有效長度為M，故相鄰的必有N-1長度重疊。因此，=是對重疊部分相加再和不重疊部分共同構成輸出。值得注意的是，長為N+75[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件76

因此，重疊相加法用DFT計算需要以下五步：因此，重疊相加法用DFT計算需要以下五步：773.5.2計算循環相關和線性相關

1.循環相關的快速計算根據循環相關定理,若x1(n)、x2(n)是長為N的實序列，則3.5.2計算循環相關和線性相關78可用以下方法計算兩序列x1(n)和x2(n)的循環相關：

可用以下方法計算兩序列x1(n)和x2(n)的循環相關：792.線性相關的快速計算與用循環卷積計算線性卷積類似，當、長度分別為N、M時，將、補零延長到L，則當L≥N+M-1時，x1(n)、x2(n)的循環相關等于線性相關，即2.線性相關的快速計算與用循環卷積計算線性卷積類似，當80因此，可用以下方法計算x1(n)和x2(n)的線性相關：因此，可用以下方法計算x1(n)和x2(n)的線性相關：813.6信號的描述方法1.拉普拉斯變換時域：連續實數時間變量的非周期函數s域：連續復數頻率變量的非周期函數變換關系如下：3.6信號的描述方法822.z變換時域：離散整型時間變量的非周期函數z域：連續復數頻率變量的非周期函數變換關系如下：=2.z變換=833.連續時間的傅里葉變換時域：連續實數時間變量的非周期函數頻域：連續復數頻率變量的非周期函數變換關系如下：3.連續時間的傅里葉變換844.離散時間的傅里葉變換時域：離散整型時間變量的非周期函數頻域：連續復數頻率變量的周期函數變換關系如下：4.離散時間的傅里葉變換85５．傅里葉級數時域：連續實數時間變量的周期函數頻域：離散整型頻率變量的非周期函數變換關系如下：５．傅里葉級數86６．離散傅里葉級數時域：離散整型時間變量的周期函數頻域：離散整型頻率變量的周期函數變換關系如下：６．離散傅里葉級數877．離散傅里葉變換時域：離散整型時間變量的非周期函數頻域：離散整型頻率變量的非周期函數變換關系如下：7．離散傅里葉變換88第三章離散傅里葉變換

時間函數頻率函數

連續時間、連續頻率—傅里葉變換

連續時間、離散頻率—傅里葉級數離散時間、連續頻率—序列的傅里葉變換離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換第三章離散傅里葉變換時間函數893.1離散傅里葉級數(DFS)周期序列的Z變換無意義.

3.1.1離散傅里葉級數離散傅里葉級數定義為周期為N的周期序列表示成N個正弦序列或復指數序列之和的形式,只有N個獨立分量，這是因為，周期為N的周期序列雖然無限長，但它實質上只有N個獨立信息。

3.1離散傅里葉級數(DFS)周期序列的Z變換無意義90[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件91[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件92周期序列傅里葉級數變換周期序列傅里葉級數變換933.1.2離散傅里葉級數的性質

1.

線性特性2.

序列位移特性

3.1.2離散傅里葉級數的性質2.序列位移特性94證明：根據定義證明：根據定義95[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件963.周期卷積特性周期卷積特性又稱周期卷積定理。3.周期卷積特性97[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件98證明：證明：99[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件100同理同理101由于求和僅在一個周期內進行，因此稱之為周期卷積。它與第1章介紹的線性卷積主要區別在于線性卷積求和區間是從負無窮到正無窮。頻域周期卷積特性如下由于求和僅在一個周期內進行，因此稱之為周102

對以N為周期的周期序列,任取一個周期求得的傅里葉級數，與在主值區求得的傅里葉級數相同。對于兩個周期為N的周期序列，任取一個周期進行周期卷積，卷積結果與在主值區內進行的周期卷積結果相同。因此周期卷積也可以用反褶、平移、相乘、取和的幾何法求解。對以N為周期的周期序列,任取一個周期求得103例3.3已知周期序列如圖所示，求(1)序列傅里葉級數系數的幅度特性和相位特性。(2)在周期序列上任意截取一個周期求其傅里葉級數。例3.3已知周期序列如圖所示，求104解：(1)周期序列周期為10,解：(1)周期序列周期為10,105所以所以106(2)設

求得的傅里葉級數系數與(1)中結果相同。(2)設求得的傅里葉級數系數與(1)中結果相同。1073.2離散傅里葉變換(DFT)

周期序列雖然是無限長序列，但是它只含有N個獨立信息。因此，周期序列與有限長序列有著本質的聯系，這正是由離散傅里葉級數向離散傅里葉變換過渡的關鍵所在。3.2離散傅里葉變換(DFT)周期序列雖然108有限長序列的長度為N,周期序列的周期為N,有限長序列的長度為N,周期序列的周期為N,109有限長序列是周期序列的主值序列周期序列是有限長序列以N為周期的周期延拓是余數運算表達式

有限長序列是周期序列的主值序列是余數運算表達式110

離散傅里葉變換的定義設有限長序列長為N，其離散傅里葉變換是一個長為N的頻域有限長序列，其正、反變換如下離散傅里葉變換的定義111

離散傅里葉變換的實質是：把有限長序列當作周期序列的主值序列進行變換離散傅里葉變換的實質是：把有限長序列當作周112

離散傅里葉變換在時域、頻域都是離散的、有限長的，所以可以很方便地利用計算機完成它們之間的變換，這是離散傅里葉變換的最大優點之一。雖然離散傅里葉變換是兩個有限長序列之間的變換，但它們是利用DFS關系推導出來的，因而隱含著周期性。離散傅里葉變換DFT是頻譜在主值區的N點均勻抽樣，是其頻譜的一個近似。離散傅里葉變換在時域、頻域都是離散的、有限長113例3.6

已知有限長序列求其離散傅里葉變換

例3.6已知有限長序列求其離散傅里葉變換114解：根據定義解：根據定義115[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件116[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件117抽樣點N=8抽樣點N=16頻譜抽樣點N=8抽樣點N=16頻譜1183.3離散傅里葉變換的性質

3.3.1線性特性3.3離散傅里葉變換的性質3.3.1線性特性119

序列長度及DFT點數均為N。若不等，設分別為N1，N2，則需補零使兩序列長度相等，均為N，且序列長度及DFT點數均為N。若不等，設分別為N1，N21203.3.2圓周位移特性1.圓周位移定義有限長序列的圓周位移定義為3.3.2圓周位移特性121[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件122

首先將有限長序列延拓成周期序列,然后將周期序列向右移位，最后截取其主值對圖中的主值區進行觀察，發現移出主值區的樣值，等于移入主值區的樣值。這種移位可以想象成序列排列在一個N等分的圓周上，N個樣值點首尾相接，沿圓周順移m位，(表示在圓周上旋轉m位)，因此得名“圓周位移”或者叫“循環位移”。首先將有限長序列延拓成周期序列,然后將周期1232.圓周位移定理2.圓周位移定理124證明：證明：125定理表明：時域里圓周移位僅使頻域信號產生相移，而幅度頻譜不發生變化。即

定理表明：時域里圓周移位僅使頻域信號產生相移，而幅度126

根據時域、頻域對偶關系，不難證明，在頻域中若則

上式說明：時域序列進行復調制，其結果使整個頻譜產生搬移。根據時域、頻域對偶關系，不難證明，在頻域中1273.3.3循環卷積特性1.循環卷積定義兩個長為N的有限長序列的循環卷積定義為：把有限長序列分別延拓成以N為周期的周期序列，求這兩個序列的周期卷積，然后截取主值序列，記為*3.3.3循環卷積特性*128可見有限長序列的循環卷積與周期卷積之間的關系類似于DFT與DFS之間的關系。它們在主值區的結果是相同的。因此可采用把有限長序列延拓成周期序列，進行周期卷積，然后取主值的辦法計算循環卷積。

簡化的計算方法是：把序列x(n)順時針分布在N等分的圓周上，而序列h(n)按時間軸與x(n)相反方向分布在另一個同心圓上，每當兩個圓停留在一定相對位置上，兩個序列相乘取和，即得到卷積序列中的一個值，依次在不同位置上相乘、取和，就得到全部卷積結果。因此循環卷積也叫圓周卷積。可見有限長序列的循環卷積與周期卷積之間的129[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件130[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件1312.循環卷積定理對于長為N的有限長序列、，若2.循環卷積定理132證明：證明：133根據圓周位移定理所以同理可證根據圓周位移定理所以同理可證1343.3.4對稱特性

由于實際問題中遇到的序列絕大多數是實序列，因此本節重點介紹實序列離散傅里葉變換的兩條對稱特性。1.實序列的離散傅里葉變換為復數，其實部為偶函數，虛部為奇函數。3.3.4對稱特性135[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件1362.實序列的離散傅里葉變換，在區間內，對于點呈對稱分布。是偶對稱，是奇對稱[注意：認為]。2.實序列的離散傅里葉變換，在區間137

表3-1DFT的奇偶虛實特性x(n)

X(k)實函數實部為偶、虛部為奇

實偶函數實偶函數

實奇函數虛奇函數虛函數實部為奇、虛部為偶

虛偶函數虛偶函數虛奇函數實奇函數表3-1DFT的奇偶虛實特性x(n)1383.3.5相關特性1.離散相關函數對于兩個離散序列

3.3.5相關特性139互相關函數式與線性卷積表達式之間關系是：

互相關函數式與線性卷積表達式之間關系是：140[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件1412.循環相關定理若兩序列都是長為N的實序列，則2.循環相關定理1423.3.6帕斯瓦爾定理(ParsevalTheory)3.3.6帕斯瓦爾定理(ParsevalTheory)143

3.4離散傅里葉變換與其它變換之間的關系3.4.1離散傅里葉變換與Z變換之間的關系

有限長序列的Z變換為如果在單位圓上收斂，則令3.4離散傅里葉變換與其它變換之間的關系如果144那么

那么145所以，離散傅里葉變換與Z變換關系為上式說明，有限長序列的離散傅里葉變換等于它的Z變換在單位圓上每隔弧度的均勻抽樣。所以，離散傅里葉變換與Z變換關系為上式說明，有限長序列的離1463.4.2用有限長序列表示有限長序列的Z變換為由離散傅里葉反變換得到3.4.2用有限長序列表示由離散傅里葉反變147將代入得將代入得148設上式成為

式中，為內插函數，它是Z的連續函數。設上式成為式中，為內插函數，它是Z的連續函數149

上式說明，長為N的序列的Z變換可由N個內插函數乘以加權系數疊加而成。3.4.3用離散傅里葉變換表示序列的傅里葉變換

上式說明，長為N的序列的Z變換可由N個內插函數乘以加權150[數學]數字信號處理3離散傅里葉變換課件151設設152代入得代入得153比較得

上式說明，整個是由N個內插函數乘上加權值疊加而成。每個抽樣點上的值就等于該點上的，抽樣點間的值則由各個內插函數疊加而成。比較得上式說明，整個是由N個內插函數154

3.5線性卷積與線性相關的DFT算法3.5.1計算循環卷積和線性卷積

循環卷積和線性卷積都是兩個序列在時域中的運算。根據時域和頻域的對應關系，它們也可以先變換到頻域進行相應運算后，再將結果變換到時域。1循環卷積的快速計算3.5線性卷積與線性相關的DFT算法155循環卷積的定義式為循環卷積的定義式為156根據循環卷積定理，可以用以下方法計算兩序列x1(n)和x2(n)的循環卷積：根據循環卷積定理，可以用以下方法計算兩序列x1(n)和x2(1572線性卷積與循環卷積的關系設x(n)是長為N的序列，h(n)是長為M的序列，其線性卷積為將x(n)和h(n)分別補零延長到L。當L≥N+M-1時

將x(n)和h(n)分別補零延長到L。當L≥N+M-1時1583.線性卷積的快速計算實際應用往往利用循環卷積定理來計算線性卷積，其步驟如下：(1)將原序列補零延拓到長為得

（2）3.線性卷積的快速計算（2）159（3）（4）上述結論適用于兩序列長度比較接近或者相等的情況。如果長度相差較多，例如為某濾波器的單位沖激響應，長度有限，用它來處理一個很長的信號,按上述方法需后補許多零才能再進行計算，這時運算時間可能不但不會減少，反而會增加。（3）（4）上述結論適用于兩序列長度比較160設、均為因果序列，長為N1，長為N，且N1>>N。將分成若干小段，每段為M，如圖所示，設