角動量守恒定律教材：5.2與5.5節（學習角動量守恒定律主要是為了研究剛體的定軸轉動問題，注意剛體是特殊的質點系）作業：練習6一、概念：角動量、力矩、沖量矩、角量系統二、質點角動量定理三、質點系的角動量定理四、角動量守恒定律yzmo

質點的角動量守恒定律概念：剛體、定軸轉動角動量守恒定律教材：5.2與5.5節（學習角動量守恒定律主要1剛體定軸轉動定律角動量轉動慣量角動量時間變化率力矩角動量定理角動量守恒定律結構框圖：重要性：中學未接觸的新內容大到星系，小到基本粒子都有旋轉運動；微觀粒子的角動量具有量子化特征；角動量守恒定律與空間旋轉對稱性相對應。剛體定軸轉動定律角動量轉動慣量角動量時間變化率力矩角動量角動2【引入】為什么提出“角動量”概念？問題一：兩個質點如右圖，以不同半徑的軌道轉動，動量大小相等，位移方向相同時連動量方向也相同，該如何區別兩個質點？但是系統有機械運動，說明不宜使用動量來量度轉動物體的機械運動量。問題二：將一繞通過質心的固定軸轉動的圓盤視為一個質點系，系統總動量為CM*引入與動量對應的角量——角動量（動量矩）動量對參考點（或軸）求矩【引入】為什么提出“角動量”概念？問題一：兩個質點如右圖，以3一、相關概念

1.

質點的角動量(angularmomentum)定義：大小：方向：yzmo質點相對O點的矢徑一、相關概念定義：大小：方向：yzmo質點相對O點的矢徑4質點的角動量的方向

質點以角速度作半徑為

的圓運動，相對圓心的角動量

的方向符合右手法則。1）從位矢轉向速度2）夾角小于180度

注意四指代表質點相對于0點的轉動趨勢，則大拇指代表角動量的方向【特別】在圓軌跡運動時質點的角動量的方向質點以角速度作5直角坐標系中角動量的分量表示

注意*必須指明參考點，角動量才有實際意義。*質點對某參考點的角動量反映質點繞該參考點旋轉運動的強弱。直角坐標系中角動量的分量表示注意*必須指明參考點，角動量才62、力矩(momentofforce)

單位：牛·米（N·m）定義：力對定點的力矩大小：方向：

服從右手定則力矩

mo四指代表該力作用下質點相對于0點的轉動趨勢，則大拇指代表角動量的方向【特別】在圓軌跡運動時2、力矩(momentofforce)單位：牛·米（7例題、解：求角動量和力矩直角坐標系中力矩的分量式:例題、解：求角動量和力矩直角坐標系中力矩的分量式:8合力為零時，其合力矩是否一定為零？合力矩為零時，合力是否一定為零？例：不一定

作用力和反作用力對同一參考點合力矩為零。從而，質點系內力矩矢量和一定為零。討論合力為零時，其合力矩是否一定為零？例：不一定作用力和反作用9力矩為零的情況:（1）力等于零；（2）力的作用線與矢徑共線(即）即過0點的有心力有心力：物體所受的力始終指向（或背離）某一固定點討論

moh2h1力心按慣性定律知此時物體保持靜止或者勻速直線狀態力矩為零的情況:（1）力等于零；（2）力的10

作用于質點的合力對參考點O

的力矩，等于質點對該點O

的角動量隨時間的變化率.二、質點的角動量定理(theoremofangularmomentum)

作用于質點的合力對參考點O的力矩，等于11質點的角動量定理(theoremofangularmomentum)

質點角動量對時間的變化率等于作用于質點的力矩——質點角動量定理的微分形式。質點角動量的增量等于外力矩對質點的角沖量（沖量矩）——角動量定理的積分形式沖量矩質點的角動量定理(theoremofangularmo12

例一半徑為R

的光滑圓環置于豎直平面內.一質量為m

的小球穿在圓環上,并可在圓環上滑動.小球開始時靜止于圓環上的點A

(該點在通過環心O

的水平面上),然后從A點開始下滑.設小球與圓環間的摩擦略去不計.求小球滑到點B

時對環心O

的角動量和角速度.質點的角動量定理θABGR例一半徑為R的光滑圓環置于豎直平面內.一質13小球受重力和支持力作用,圓環的支持力為有心力，力矩為零；重力矩垂直紙面向里由質點的角動量定理質點的角動量定理θABGR

解

得小球受重力和支持力作用,圓環的支持力為有心力，力矩為零；重力14由題設條件積分上式

本題也可以用質點的功能原理求解。由題設條件積分上式本題也可以用質點的功能原理求解15因為三、質點的角動量守恒定律所以角動量守恒定律（2）力的作用線與矢徑共線，即過0點（即，有心力）力矩為零的情況（1）力等于零；h2h1討論這也是自然界普遍適用的一條基本規律。因為三、質點的角動量守恒定律所以角動量守恒定律（2）力16

如果作用于質點的合力矩不為零,而合力矩沿z軸的分量為零,則恒量

(當Mz=0時)當質點所受對z軸的力矩為零時,質點對該軸的角動量保持不變——質點對軸的角動量守恒定律。討論如果作用于質點的合力矩不為零,而合力矩沿z軸的分量為零17例、

已知：地球R=6378km（地球~均勻球體）衛星近地：h1=439kmv1=8.1km.s-1

遠地:h2=2384km

求：v2=?解：由于衛星是在地球的萬有引力——有心力作用下運動，故衛星

m

對地心o的角動量守恒h1h2R.o近地遠地例、已知：地球R=6378km（地球~均勻球體）解18

例：行星運動的開普勒第二定律認為,對于任一行星,由太陽到行星的徑矢在相等的時間內掃過相等的面積。試用角動量守恒定律證明之。解:將行星看為質點,在dt時間內以速度

完成的位移為

,矢徑

在dt

時間內掃過的面積為dS（圖中陰影）。根據質點角動量的定義om·則例：行星運動的開普勒第二定律認為,對于任一解:將行星看19矢徑在單位時間內掃過的面積（稱為掠面速度）

萬有引力屬于有心力,行星相對于太陽所在處的點O的角動量是守恒的,即

=恒矢量,故有恒量

行星對太陽所在點O的角動量守恒,不僅角動量的大小不隨時間變化,即掠面速度恒定,而且角動量的方向也是不隨時間變化的,即行星的軌道平面在空間的取向是恒定的。矢徑在單位時間內掃過的面積（稱為掠面速度）萬有引力屬于20

例：質量為m的小球系于細繩的一端,繩的另一端縛在一根豎直放置的細棒上,小球被放在水平桌面上內繞細棒旋轉,某時刻角速度為1，細繩的長度為r1。當旋轉了若干圈后,由于細繩纏繞在細棒上,繩長變為r2,求此時小球繞細棒旋轉的角速度2

。解：小球受力繩子的張力

,指向細棒；重力

，豎直向下；支撐力

,豎直向上。

與繩子平行,不產生力矩；

與平衡，力矩始終為零。所以,作用于小球的力對細棒的力矩始終等于零,故小球對細棒的角動量必定是守恒的。例：質量為m的小球系于細繩的一端,繩的另一解：小球受力21根據質點對軸的角動量守恒定律式中v1是半徑為r1時小球的線速度,v2是半徑為r2時小球的線速度。代入上式得解得

可見,由于細繩越轉越短,,小球的角速度必定越轉越大,即。而根據質點對軸的角動量守恒定律式中v1是半徑為r1時小球的線22

例：光滑的水平面上用一彈性繩（k）系一小球(m)。開始時，彈性繩自然伸長(L0)。今給小球與彈性繩垂直的初速度V0,試求當彈性繩轉過90度且伸長了L時，小球的速度大小與方向。v0vmL0L0+L習題訓練例：光滑的水平面上用一彈性繩（k）系一小球(m)。開始時，23

解由機械能守恒有：

如何求角度？

由于質點在有心力作用下運動，故角動量守恒。有：v0vmL0L0+L解由機械能守恒有：如何求角度？由于質點在有心24

例2

一質量

的登月飛船,在離月球表面高度

處繞月球作圓周運動.飛船采用如下登月方式:當飛船位于點A

時,它向外側短時間噴氣,使飛船與月球相切地到達點B

,且OA

與OB

垂直.飛船所噴氣體相對飛船的速度為

.已知月球半徑

;在飛船登月過程中,月球的重力加速度視為常量

.試問登月飛船在登月過程中所需消耗燃料的質量是多少?BhORA例2一質量25

解設飛船在點A的速度,月球質量mM,由萬有引力和牛頓定律BhORA已知求所需消耗燃料的質量.解設飛船在點A的速度,26得得當飛船在A點以相對速度u

向外噴氣的短時間里,飛船的質量減少了Δm

而為,并獲得速度的增量,使飛船的速度變為,其值為質量

在A點和B

點只受有心力作用,角動量守恒BhORA得得當飛船在A點以相對速度u向外噴氣的短時間里,27飛船在A點噴出氣體后,在到達月球的過程中,機械能守恒即于是而BhORA飛船在A點噴出氣體后,在到達月球的過程中,機械能守恒即28

例3

質量很小長度為l

的均勻細桿,可繞過其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動.當細桿靜止于水平位置時,有一只小蟲以速率

垂直落在距點O為

l/4

處,并背離點O

向細桿的端點A

爬行.設小蟲與細桿的質量均為m.問:欲使細桿以恒定的角速度轉動,小蟲應以多大速率向細桿端點爬行?

解小蟲與細桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統角動量守恒系統角動量守恒例3質量很小長度為l的均勻細桿,可繞29由角動量定理即考慮到由角動量定理即考慮到30

例4

一雜技演員M

由距水平蹺板高為h

處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員N

彈了起來.設蹺板是勻質的,長度為l,質量為

,蹺板可繞中部支撐點C

在豎直平面內轉動,演員的質量均為m.假定演員M落在蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問演員N可彈起多高?ll/2CABMNh

解碰撞前M

落在A點的速度

碰撞后的瞬間,M、N具有相同的線速度例4一雜技演員M由距水平蹺板高為31

把M、N和蹺板作為一個系統,角動量守恒解得演員N以u

起跳,達到的高度ll/2CABMNh把M、N和蹺板作為一個系統,角動量守恒解32角動量守恒定律教材：5.2與5.5節（學習角動量守恒定律主要是為了研究剛體的定軸轉動問題，注意剛體是特殊的質點系）作業：練習6一、概念：角動量、力矩、沖量矩、角量系統二、質點角動量定理三、質點系的角動量定理四、角動量守恒定律yzmo

質點的角動量守恒定律概念：剛體、定軸轉動角動量守恒定律教材：5.2與5.5節（學習角動量守恒定律主要33剛體定軸轉動定律角動量轉動慣量角動量時間變化率力矩角動量定理角動量守恒定律結構框圖：重要性：中學未接觸的新內容大到星系，小到基本粒子都有旋轉運動；微觀粒子的角動量具有量子化特征；角動量守恒定律與空間旋轉對稱性相對應。剛體定軸轉動定律角動量轉動慣量角動量時間變化率力矩角動量角動34【引入】為什么提出“角動量”概念？問題一：兩個質點如右圖，以不同半徑的軌道轉動，動量大小相等，位移方向相同時連動量方向也相同，該如何區別兩個質點？但是系統有機械運動，說明不宜使用動量來量度轉動物體的機械運動量。問題二：將一繞通過質心的固定軸轉動的圓盤視為一個質點系，系統總動量為CM*引入與動量對應的角量——角動量（動量矩）動量對參考點（或軸）求矩【引入】為什么提出“角動量”概念？問題一：兩個質點如右圖，以35一、相關概念

1.

質點的角動量(angularmomentum)定義：大小：方向：yzmo質點相對O點的矢徑一、相關概念定義：大小：方向：yzmo質點相對O點的矢徑36質點的角動量的方向

質點以角速度作半徑為

的圓運動，相對圓心的角動量

的方向符合右手法則。1）從位矢轉向速度2）夾角小于180度

注意四指代表質點相對于0點的轉動趨勢，則大拇指代表角動量的方向【特別】在圓軌跡運動時質點的角動量的方向質點以角速度作37直角坐標系中角動量的分量表示

注意*必須指明參考點，角動量才有實際意義。*質點對某參考點的角動量反映質點繞該參考點旋轉運動的強弱。直角坐標系中角動量的分量表示注意*必須指明參考點，角動量才382、力矩(momentofforce)

單位：牛·米（N·m）定義：力對定點的力矩大小：方向：

服從右手定則力矩

mo四指代表該力作用下質點相對于0點的轉動趨勢，則大拇指代表角動量的方向【特別】在圓軌跡運動時2、力矩(momentofforce)單位：牛·米（39例題、解：求角動量和力矩直角坐標系中力矩的分量式:例題、解：求角動量和力矩直角坐標系中力矩的分量式:40合力為零時，其合力矩是否一定為零？合力矩為零時，合力是否一定為零？例：不一定

作用力和反作用力對同一參考點合力矩為零。從而，質點系內力矩矢量和一定為零。討論合力為零時，其合力矩是否一定為零？例：不一定作用力和反作用41力矩為零的情況:（1）力等于零；（2）力的作用線與矢徑共線(即）即過0點的有心力有心力：物體所受的力始終指向（或背離）某一固定點討論

moh2h1力心按慣性定律知此時物體保持靜止或者勻速直線狀態力矩為零的情況:（1）力等于零；（2）力的42

作用于質點的合力對參考點O

的力矩，等于質點對該點O

的角動量隨時間的變化率.二、質點的角動量定理(theoremofangularmomentum)

作用于質點的合力對參考點O的力矩，等于43質點的角動量定理(theoremofangularmomentum)

質點角動量對時間的變化率等于作用于質點的力矩——質點角動量定理的微分形式。質點角動量的增量等于外力矩對質點的角沖量（沖量矩）——角動量定理的積分形式沖量矩質點的角動量定理(theoremofangularmo44

例一半徑為R

的光滑圓環置于豎直平面內.一質量為m

的小球穿在圓環上,并可在圓環上滑動.小球開始時靜止于圓環上的點A

(該點在通過環心O

的水平面上),然后從A點開始下滑.設小球與圓環間的摩擦略去不計.求小球滑到點B

時對環心O

的角動量和角速度.質點的角動量定理θABGR例一半徑為R的光滑圓環置于豎直平面內.一質45小球受重力和支持力作用,圓環的支持力為有心力，力矩為零；重力矩垂直紙面向里由質點的角動量定理質點的角動量定理θABGR

解

得小球受重力和支持力作用,圓環的支持力為有心力，力矩為零；重力46由題設條件積分上式

本題也可以用質點的功能原理求解。由題設條件積分上式本題也可以用質點的功能原理求解47因為三、質點的角動量守恒定律所以角動量守恒定律（2）力的作用線與矢徑共線，即過0點（即，有心力）力矩為零的情況（1）力等于零；h2h1討論這也是自然界普遍適用的一條基本規律。因為三、質點的角動量守恒定律所以角動量守恒定律（2）力48

如果作用于質點的合力矩不為零,而合力矩沿z軸的分量為零,則恒量

(當Mz=0時)當質點所受對z軸的力矩為零時,質點對該軸的角動量保持不變——質點對軸的角動量守恒定律。討論如果作用于質點的合力矩不為零,而合力矩沿z軸的分量為零49例、

已知：地球R=6378km（地球~均勻球體）衛星近地：h1=439kmv1=8.1km.s-1

遠地:h2=2384km

求：v2=?解：由于衛星是在地球的萬有引力——有心力作用下運動，故衛星

m

對地心o的角動量守恒h1h2R.o近地遠地例、已知：地球R=6378km（地球~均勻球體）解50

例：行星運動的開普勒第二定律認為,對于任一行星,由太陽到行星的徑矢在相等的時間內掃過相等的面積。試用角動量守恒定律證明之。解:將行星看為質點,在dt時間內以速度

完成的位移為

,矢徑

在dt

時間內掃過的面積為dS（圖中陰影）。根據質點角動量的定義om·則例：行星運動的開普勒第二定律認為,對于任一解:將行星看51矢徑在單位時間內掃過的面積（稱為掠面速度）

萬有引力屬于有心力,行星相對于太陽所在處的點O的角動量是守恒的,即

=恒矢量,故有恒量

行星對太陽所在點O的角動量守恒,不僅角動量的大小不隨時間變化,即掠面速度恒定,而且角動量的方向也是不隨時間變化的,即行星的軌道平面在空間的取向是恒定的。矢徑在單位時間內掃過的面積（稱為掠面速度）萬有引力屬于52

例：質量為m的小球系于細繩的一端,繩的另一端縛在一根豎直放置的細棒上,小球被放在水平桌面上內繞細棒旋轉,某時刻角速度為1，細繩的長度為r1。當旋轉了若干圈后,由于細繩纏繞在細棒上,繩長變為r2,求此時小球繞細棒旋轉的角速度2

。解：小球受力繩子的張力

,指向細棒；重力

，豎直向下；支撐力

,豎直向上。

與繩子平行,不產生力矩；

與平衡，力矩始終為零。所以,作用于小球的力對細棒的力矩始終等于零,故小球對細棒的角動量必定是守恒的。例：質量為m的小球系于細繩的一端,繩的另一解：小球受力53根據質點對軸的角動量守恒定律式中v1是半徑為r1時小球的線速度,v2是半徑為r2時小球的線速度。代入上式得解得

可見,由于細繩越轉越短,,小球的角速度必定越轉越大,即。而根據質點對軸的角動量守恒定律式中v1是半徑為r1時小球的線54

例：光滑的水平面上用一彈性繩（k）系一小球(m)。開始時，彈性繩自然伸長(L0)。今給小球與彈性繩垂直的初速度V0,試求當彈性繩轉過90度且伸長了L時，小球的速度大小與方向。v0vmL0L0+L習題訓練例：光滑的水平面上用一彈性繩（k）系一小球(m)。開始時，55

解由機械能守恒有：

如何求角度？

由于質點在有心力作用下運動，故角動量守恒。有：v0vmL0L0+L解由機械能守恒有：如何求角度？由于質點在有心56

例2

一質量

的登月飛船,在離月球表面高度

處繞月球作圓周運動.飛船采用如下登月方式:當飛船位于點A

時,它向外側短時間噴氣,使飛船與月球相切地到達點B

,且OA

與OB

垂直.飛船所噴氣體相對飛船的速度為

.已知月球半徑

;在飛船登月過程中,月球的重力加速度視為常量

.試問登月飛船在登月過程中所需消耗燃料的質量是多少?BhORA例2一質量57

解設飛船在點