2023高考數學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．寧波古圣王陽明的《傳習錄》專門講過易經八卦圖，下圖是易經八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“—”表示一根陽線，“——”表示一根陰線）．從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為（）A． B． C． D．2．已知為圓：上任意一點，，若線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為()A． B．C．（） D．（）3．設函數，若在上有且僅有5個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．為實現國民經濟新“三步走”的發展戰略目標，國家加大了扶貧攻堅的力度．某地區在2015年以前的年均脫貧率（脫離貧困的戶數占當年貧困戶總數的比）為．2015年開始，全面實施“精準扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其中2019年度實施的扶貧項目，各項目參加戶數占比（參加該項目戶數占2019年貧困戶總數的比）及該項目的脫貧率見下表：實施項目種植業養殖業工廠就業服務業參加用戶比脫貧率那么年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍5．設是虛數單位，則（）A． B． C． D．6．如圖是國家統計局公布的年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結論錯誤的是（）A．2014年我國入境游客萬人次最少B．后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C．這6年我國入境游客萬人次的中位數大于13340萬人次D．前3年我國入境游客萬人次數據的方差小于后3年我國入境游客萬人次數據的方差7．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．如圖，長方體中，，，點T在棱上，若平面.則（）A．1 B． C．2 D．9．的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為A．-40 B．-20 C．20 D．4010．若的二項式展開式中二項式系數的和為32，則正整數的值為（）A．7 B．6 C．5 D．411．直線x-3y+3=0經過橢圓x2a2+y2bA．3-1 B．3-12 C．12．已知函數，若，則的最小值為（）參考數據：A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點，MN與x軸相交于點R，若∠NRF=60°，則|FR|等于_____.14．已知是夾角為的兩個單位向量，若，，則與的夾角為______.15．在平面直角坐標系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個動點，P（異于原點O）為y軸上的一個定點．若以AB為直徑的圓與圓x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒為定值，則線段OP的長為_____．16．在中，已知是的中點，且，點滿足，則的取值范圍是_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）設，若存在兩個極值點，，且，求證：；（2）設，在不單調，且恒成立，求的取值范圍.（為自然對數的底數）.18．（12分）小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節假日期間的某一天，每名員工休假的概率都是，且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家無人休假，則調劑1人到該店維持營業，否則該店就停業.（1）求發生調劑現象的概率；（2）設營業店鋪數為X，求X的分布列和數學期望.19．（12分）已知函數存在一個極大值點和一個極小值點.（1）求實數a的取值范圍；（2）若函數的極大值點和極小值點分別為和，且，求實數a的取值范圍.（e是自然對數的底數）20．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）把曲線向下平移個單位，然后各點橫坐標變為原來的倍得到曲線（縱坐標不變），設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值.21．（12分）已知函數.（1）當時.①求函數在處的切線方程；②定義其中，求；（2）當時，設，(為自然對數的底數)，若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.22．（10分）已知數列滿足：對一切成立.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【答案解析】

根據古典概型的概率求法，先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數，再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數，代入公式求解.【題目詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數種，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數有6種，分別是（巽，坤），（兌，坤），（離，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選：B【答案點睛】本題主要考查古典概型的概率，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.2．B【答案解析】

如圖所示：連接，根據垂直平分線知，，故軌跡為雙曲線，計算得到答案.【題目詳解】如圖所示：連接，根據垂直平分線知，故，故軌跡為雙曲線，，，，故，故軌跡方程為.故選：.【答案點睛】本題考查了軌跡方程，確定軌跡方程為雙曲線是解題的關鍵.3．A【答案解析】

由求出范圍，結合正弦函數的圖象零點特征，建立不等量關系，即可求解.【題目詳解】當時，，∵在上有且僅有5個零點，∴，∴.故選:A.【答案點睛】本題考查正弦型函數的性質，整體代換是解題的關鍵，屬于基礎題.4．B【答案解析】

設貧困戶總數為，利用表中數據可得脫貧率，進而可求解.【題目詳解】設貧困戶總數為，脫貧率，所以.故年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的倍.故選：B【答案點睛】本題考查了概率與統計，考查了學生的數據處理能力，屬于基礎題.5．A【答案解析】

利用復數的乘法運算可求得結果.【題目詳解】由復數的乘法法則得.故選：A.【答案點睛】本題考查復數的乘法運算，考查計算能力，屬于基礎題.6．D【答案解析】

ABD可通過統計圖直接分析得出結論，C可通過計算中位數判斷選項是否正確.【題目詳解】A．由統計圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；B．由統計圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；C．入境游客萬人次的中位數應為與的平均數，大于萬次，故正確；D．由統計圖可知：前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大，所以對應的方差更大，故錯誤.故選：D.【答案點睛】本題考查統計圖表信息的讀取以及對中位數和方差的理解，難度較易.處理問題的關鍵是能通過所給統計圖，分析出對應的信息，對學生分析問題的能力有一定要求.7．C【答案解析】

根據線面平行的性質定理和判定定理判斷與的關系即可得到答案.【題目詳解】若，根據線面平行的性質定理，可得；若，根據線面平行的判定定理，可得.故選：C.【答案點睛】本題主要考查了線面平行的性質定理和判定定理，屬于基礎題.8．D【答案解析】

根據線面垂直的性質，可知；結合即可證明，進而求得.由線段關系及平面向量數量積定義即可求得.【題目詳解】長方體中，，點T在棱上，若平面.則，則，所以，則，所以，故選：D.【答案點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質應用，平面向量數量積的運算，屬于基礎題.9．D【答案解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應的常數項=80，由5-2r=-1得r=3,對應的常數項=-40，故所求的常數項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數項==-40+80=4010．C【答案解析】

由二項式系數性質，的展開式中所有二項式系數和為計算．【題目詳解】的二項展開式中二項式系數和為，．故選：C．【答案點睛】本題考查二項式系數的性質，掌握二項式系數性質是解題關鍵．11．A【答案解析】

由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點F，得到左焦點為再由FC=2CA，求得A3【題目詳解】由題意，直線x-3y+3=0經過橢圓的左焦點F，令所以c=3，即橢圓的左焦點為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1)，所以，OF=因為FC=2CA，所以FA=3又由點A在橢圓上，得3a由①②，可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【答案點睛】本題考查了橢圓的幾何性質——離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根據一個條件得到關于a,b,c的齊次式，轉化為a,c的齊次式，然后轉化為關于e的方程，即可得12．A【答案解析】

首先的單調性，由此判斷出，由求得的關系式.利用導數求得的最小值，由此求得的最小值.【題目詳解】由于函數，所以在上遞減，在上遞增.由于，，令，解得，所以，且，化簡得，所以，構造函數，.構造函數，，所以在區間上遞減，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在區間上遞增，在區間上遞減.而，所以在區間上的最小值為，也即的最小值為，所以的最小值為.故選：A【答案點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的最值，考查分段函數的圖像與性質，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2【答案解析】

由題意知：，，，.由∠NRF=60°，可得為等邊三角形，MF⊥PQ，可得F為HR的中點，即求.【題目詳解】不妨設點P在第一象限，如圖所示，連接MF，QF.∵拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點∴，.∵M，N分別為PQ，PF的中點，∴，∵PQ垂直l于點Q，∴PQ//OR，∵，∠NRF=60°，∴為等邊三角形，∴MF⊥PQ，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形，∴F為HR的中點，∴，故答案為：2.【答案點睛】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎題.14．【答案解析】

依題意可得，再根據求模，求數量積，最后根據夾角公式計算可得；【題目詳解】解：因為是夾角為的兩個單位向量所以，又，所以，，所以，因為所以；故答案為：【答案點睛】本題考查平面向量的數量積的運算律，以及夾角的計算，屬于基礎題.15．【答案解析】分析：設O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數），利用差角的正切公式，結合以AB為直徑的圓與圓x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長．詳解：設O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數），則∵∠APB的大小恒為定值，

∴t＝，∴|OP|=．故答案為點睛：本題考查圓與圓的位置關系，考查差角的正切公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．16．【答案解析】

由中點公式的向量形式可得，即有，設，有，再分別討論三點共線和不共線時的情況，找到的關系，即可根據函數知識求出范圍．【題目詳解】是的中點，∴，即設，于是(1)當共線時，因為，①若點在之間，則，此時，；②若點在的延長線上，則，此時，．(2)當不共線時，根據余弦定理可得，解得，由，解得．綜上，故答案為：．【答案點睛】本題主要考查學中點公式的向量形式和數量積的定義的應用，以及余弦定理的應用，涉及到函數思想和分類討論思想的應用，解題關鍵是建立函數關系式，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）.【答案解析】

（1）先求出，又由可判斷出在上單調遞減，故，令，記，利用導數求出的最小值即可；（2）由在上不單調轉化為在上有解，可得，令，分類討論求的最大值，再求解即可.【題目詳解】（1）已知，，由可得，又由,知在上單調遞減，令，記，則在上單調遞增；，在上單調遞增；，（2），，在上不單調，在上有正有負，在上有解，，，恒成立，記，則，記，，在上單調增，在上單調減.于是知（i）當即時，恒成立，在上單調增，，，.（ii）當時，，故不滿足題意.綜上所述，【答案點睛】本題主要考查了導數的綜合應用，考查了分類討論，轉化與化歸的思想，考查了學生的運算求解能力.18．（1）（2）見解析，【答案解析】

（1）根據題意設出事件，列出概率，運用公式求解；（2）由題得，X的所有可能取值為，根據（1）和變量對應的事件，可得變量對應的概率，即可得分布列和期望值.【題目詳解】（1）記2家小店分別為A，B，A店有i人休假記為事件（，1，2），B店有i人，休假記為事件（，1，2），發生調劑現象的概率為P.則，，.所以.答：發生調劑現象的概率為.（2）依題意，X的所有可能取值為0，1，2.則，，.所以X的分布表為：X012P所以.【答案點睛】本題是一道考查概率和期望的?？碱}型.19．（1）；（2）.【答案解析】

（1）首先對函數求導，根據函數存在一個極大值點和一個極小值點求出a的取值范圍；（2）首先求出的值，再根據求出實數a的取值范圍.【題目詳解】（1）函數的定義域為是，，若有兩個極值點，則方程一定有兩個不等的正根，設為和，且，所以解得，此時，當時，，當時，，當時，，故是極大值點，是極小值點，故實數a的取值范圍是；（2）由（1）知，，，則，，，由，得，即，令，考慮到，所以可化為，而，所以在上為增函數，由，得，故實數a的取值范圍是.【答案點睛】本題主要考查了利用導數研究函數的極值點和單調性，利用函數單調性證明不等式，屬于難題.20．（1），；（2）.【答案解析】

（1）在直線的參數方程中消去參數可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以得，進而可化簡得出曲線的直角坐標方程；（2）根據變換得出的普通方程為，可設點的坐標為，利用點到直線的距離公式結合正弦函數的有界性可得出結果.【題目詳解】（1）由（為參數），得，化簡得，故直線的普通方程為.由，得，又，，.所以的直角坐標方程為；（2）由（1）得曲線的直角坐標方程為，向下平移個單位得到，縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍得到曲線的方程為，所以曲線的參數方程為（為參數）.故點到直線的距離為，當時，最小為.【答案點睛】本題考查曲線的參數方程、極坐標方