§1.3變分原理與里茲法“最速落徑問題”---質量為m的小環從A處自由滑下，試選擇一條曲線使所需時間最短。（不計摩擦）ABXY設路徑為y=y（x）所需時間ay稱T為y（x）的泛函，y（x）為自變函數。即以函數作自變量以積分形式定義的函數為泛函。一.變分的一些基本概念§1.3變分原理與里茲法“最速落徑問題”---質量為m的小1XAY變分運算在形式上與微分運算相同。y=y（x）x+dxdyx稱為y（x）的變分，它是一個無窮小的任意函數。微分與變分運算次序可以交換。積分與變分運算次序也可以交換。XAY變分運算在形式上與微分運算相同。y=y（x）x+dxd2二.函數的定義和泛函的定義1.函數的定義：若對于自變量x域中的每一個值，y有一值與之對應，或數y對應于數x的關系成立。則稱變量y是變量x的函數，即：y=y(x)。二.函數的定義和泛函的定義1.函數的定義：32.泛函的定義：若對于某一類函數{y(x)}中的每一函數y(x)，有一值與之對應，或數對應于函數y(x)的關系成立。則稱變量是函數y(x)的泛函，即：

=(y(x))。2.泛函的定義：43.微分和變分微分:x的增量△x是指某兩值之差△x=x-x1.如果x的微分用dx表示，則dx也是增量的一種，即當這種增量很小很小時，dx=△x。3.微分和變分5變分:y(x)的增量在它很小時稱為變分，用y(x)或y表示，y(x)是指y(x)和與它相接近的y1(x)之差，即y(x)=y(x)-y1(x);這里：y(x)也是x的函數，只是y(x)在指定的x域中都是微量。（假定y(x)在接近y1(x)的一類函數中是任意改變的）。變分:y(x)的增量在它很小時稱為變分，用y(x)或y64.函數的微分和泛函的變分函數的微分:函數的增量△y=y(x+△x)-y(x)可以展開為線性項和非線性項△y=A(x)△x+(x,△x)△x，其中A(x)和△x無關，(x,△x)則和△x有關，而且△x0時，(x,△x)0，稱y(x)是可微的，其線性部分稱為函數的微分。即dy=A(x)△x=y’(x)△x。A(x)=y’(x)是函數的導數，而且4.函數的微分和泛函的變分7函數的微分:設為一小參數，并將y(x+△x)對求導數，即得：當趨近于零時證明y(x+△x)在=0處對的導數就等于y(x）在x處的微分。這個定義與拉格朗日處理變分的定義是相似的。函數的微分:設為一小參數，并將y(x+△x)對求導數，8泛函的變分:與函數的微分類似，泛函變分的定義也有兩個。

=[y(x)+y(x)]-[y(x)]=L[y(x)，y(x)]上式中L[y(x)，y(x)]就叫做泛函的變分，用表示。泛函的變分是泛函增量的主部，而且這個主部對于y(x)來說是線性的。泛函的變分:與函數的微分類似，泛函變分的定義也有兩個。9泛函的變分:泛函變分是[y(x)+y(x)]對的導數在=0時的值，且拉格朗日的泛函變分定義為：泛函的變分:泛函變分是[y(x)+y(x)]對105.極大極小問題如果函數y(x)在x=x0的附近的任意點上的值都不大（不小）于y(x0)，即dy=y(x)-y(x0)0(0)時，在x=x0上達到極大(極小)，在x=x0上，有:

5.極大極小問題11泛函極大極小泛函[y(x)]也有相類似的定義。如果泛函[y(x)]在任何一條與y=y0(x)

接近的曲線上的值不大（不小）于[y0(x)]，即：

=[y(x)]-[y0(x)]

0(或0)時，則稱泛函[y(x)]在曲線y=y0(x)上達到極大值(或極小值)，而且在y=y0(x)上有:泛函極大極小12說明：泛函的極大(或極小)值，主要是說泛函的相對的極大

(或極小)值，也就是說，從互相接近的許多曲線來研究一個最大(或最小)的泛函值，但是曲線的接近，有不同的接近度。因此，在泛函的極大極小定義里，還應該說明這些曲線有幾階的接近度。說明：泛函的極大(或極小)值，主要是說泛函的相對的極大(或13FECh013變分原理與里茲法課件14強變分和強極大如果對于與y=y0(x)的接近度為零階的一切曲線而言，即對于y(x)-y0(x)非常小，但對于y’(x)-y’0(x)是否小毫無規定，泛函在曲線y=y0(x)上達到極大(或極小)值，則就把這類變分叫強變分。這樣達到的極大(或極小)值叫做強極大(強極小)，或強變分的極大(或極小).強變分和強極大15弱變分和弱極大如果只對于與y=y0(x)有一階接近度的曲線y=y(x)而言，或者只對于那些不僅在縱坐標間而且切線方向間都接近的曲線而言，泛函在曲線y=y0(x)上達到極大(或極小)值，則就稱這種變分為弱變分。這樣達到的極大值(或極小值)叫做弱極大(弱極小)，或弱變分的極大(或極小).弱變分和弱極大166.變分法的基本預備定理變分法的基本預備定理

如果函數F(x)在線段(x1,x2)上連續,且對于只滿足某些一般條件的任意選定的函數y(x)，有:6.變分法的基本預備定理17則在線段上(x1,x2)，有:F(x)=0y(x)的一般條件為：(1)一階或若干階可微分；(2)在線段(x1,x2)的端點處為0；(3)y(x)或y(x)及y’(x)等。變分法的基本預備定理：如果函數F(x)在線段(x1,x2)上連續,且對于只滿足某些一般條件的任意選定的函數y(x)，有:則在線段上(x1,x2)，有:F(x)=0變分法的18（1）從物理問題上建立泛函及其條件；（2）通過泛函變分，利用變分法基本預備定理求得歐拉方程；（3）求解歐拉方程，這是微分方程求解問題。從泛函變分極值問題上可以看到變分法的幾個主要步驟：（1）從物理問題上建立泛函及其條件；（2）通過泛函變分，利用19由于ai的任意性，所以而對于等效積分的“弱”形式由于ai的任意性，所以而對于等效積分的“弱”形式20如果微分方程具有線性、自伴隨的性質，則：不僅可以建立它的等效積分形式，并可利用加權余量法求其近似解；還可建立與之相等效的變分原理，基于它的另一種近似求解方法——Ritz法。1.線性、自伴隨微分算子二、里茲法和伽遼金法如果微分方程具有線性、自伴隨的性質，則：不僅可以建立它的21微分方程in為微分算子若具有性質：則稱為線性微分算子。線性、自伴隨微分方程的定義：微分方程in為微分算子若具有性質：則稱為線性微分算子。22對上式分部積分，直至u的導數消失，得：邊界項若內積后，求積；任意函數為的伴隨算子。稱若則稱算子是自伴隨。對上式分部積分，直至u的導數消失，得：邊界項若內積后，求積232.泛函的構造Galerkin（伽遼金）格式因為算子是線性、自伴隨的，所以：2.泛函的構造Galerkin（伽遼金）格式因為算子是線性24FECh013變分原理與里茲法課件25整理得到：微分方程的等效積分形式：整理得到：微分方程的等效積分形式：26某些問題的物理本質往往能夠以變分原理的形式直接敘述出來。例如，彈性力學中的最小位能原理、粘性流體中最小能力耗散原理，稱為自然變分原理。3.自然變分原理某些問題的物理本質往往能夠以變分原理的例如，彈性力學中的最小27對這類問題：是未知場函數，為特定算子。包含及的1至m階導數。連續介質問題的解：使泛函取極值（或駐值）。存在泛函是一個標量即：(這種泛函我們稱為單變量泛函，當然可以有多變量)對這類問題：是未知場函數，為特定算子。包含及28體系總位能應變能外力勢能例：最小位能原理體系總位能應變能外力勢能例：最小位能原理29其中：近似解：其中：近似解：30其中：待定參數向量（未知）試探函數矩陣（事先選定）對三維問題：其中：待定參數向量（未知）試探函數矩陣（事先選定）對三維問題31泛函：變分：相互獨立，所以，或泛函：變分：相互獨立，所以，或32由： 得到矩陣形式其中共有3n

個方程，若為完備的函數系列則，時，收斂于精確解，若n為有限項，則為近似解。上述方法為Ritz法由： 得到矩陣形式332）將代入Ritz（里茲）法——基于變分原理的近似解法1.求解步驟：1）假設近似解：為待定參數，滿足強制邊界條件。泛函的極值問題（求函數u），轉化為求多元（）函數的極值問題。2）將代入Ritz（里茲）法——基于變分原理的近似解法343）求解線性代數方程組u的近似解3）求解線性代數方程組u的近似解352.解的收斂性1）連續性要求滿足階連續性2）完備性要求取自完備的函數序列2.解的收斂性1）連續性要求滿足階連續性363.特點1)近似解對全域而言2)試探函數要求滿足一定的邊界條件，近似解的精度與試探函數的選擇有密切關系。3)待定系數任意，不表示特定的物理意義。4)如果我們對問題了解比較清楚，能找到合適的試函數，可以說事半功倍，但缺乏一般性。3.特點1)近似解對全域而言2)試探函數要求滿足一定的邊374.討論：1）經典意義上的泛函變分理論只適應于線性自伴隨微分方程。2）收斂性有嚴格的理論基礎（泛函分析）。3）事先滿足強制邊界條件，則解有明確的上下界性質。如不事先滿足，需要進行處理（約束變分原理）。4.討論：1）經典意義上的泛函變分理論只適應于線性38但是未知函數往往還需要服從一些附加條件，1.修正（約束）變分原理建立了自然變分原理后，問題的解為泛函取駐值。約束條件我們把這些變分原理稱之為“具有附加條件的變分原理”。但是未知函數往往還需要服從一些附加條件，1.修正（約束39可以將附加條件引入泛函，重新構造一個“修正泛函”，把問題轉化為求修正泛函的駐值問題。常用方法：Lagrange乘子法，罰函數法。可以將附加條件引入泛函，重新構造一個“修正泛函”，把40原泛函的約束變分問題，轉化為修正泛函*的無約束變分，代價是修正泛函增加了附加未知函數。2.Lagrange乘子法(乘子法)修正泛函*：原泛函的約束變分問題，轉化為修正泛函*的2.Lagra41單變量泛函雙變量修正泛函.近似解：，線性修正泛函的變分：單變量泛函雙變量修正泛函.近似解：42其中：可得：其中：可得：43即的系數陣為0。所以方程中不含項，對線性問題，得線性方程組；因為：整理得到即的系數陣為0。所以方44討論（放松約束條件的代價）：1）很明顯方程的階數增加了。2）方程的系數矩陣主元（對角元素）出現零元素，對求解方程增加了困難。（不能用一般的消元法）3）一般的物理問題中得到的自然變分問題是一極值問題。而對修正的泛函，由于附加項的積分性質不清，一般為駐值問題。（不再有極值性質）4）利用乘子法，彈性力學各種變分原理的轉換。討論（放松約束條件的代價）：453.罰函數法修正泛函其中稱為罰數正定的，對為極小值問題，取正數；值越大，約束條件滿足的越好。(近似性越好)這種方法好處很明顯，不增加任何未知函數。(是事先給定的)3.罰函數法修正泛函其中稱為罰數正定的，對為極小值問題，46例：極值問題（函數極值問題）約束條件，所以：解方程，得：例：極值問題（函數極值問題）約束條件，所以：解方程，得：47上述方程可寫為矩陣形式分析方程：來自原來的泛函，

來自約束條件。上述方程可寫為矩陣形式分析方程：來自原來的泛函，來自約束條48而，必須是奇異，才有非零解。討論：1）此方法的優點是不增加最后的線性方程組階數2）為奇異陣相對可以忽略。而，必須是奇異，才有非零解。討論：1）此方法49從實例中可見，為奇異的。實例計算中需證明的奇異性。從實例中可見，為奇異的。503）的取值問題 太小，約束條件滿足較差。 太大，系數矩陣接近奇異，方程組病態。取值要合適。原則上要使的取值引起的不滿足約束條件的誤差。與前一項計算中的誤差為同一量級為最好。一般取1012——1015。4）在有限元法中常用于引入位移邊界條件。3）的取值問題51小結有限單元法的理論基礎——加權余量法和變分原理

本章重點和應掌握的內容微分方程的等效積分形式及其“弱”形式的實質和構造方法，任意函數和場函數應滿足的條件。不同形式加權余量法中權函數的形式和近似解的求解步驟，以及Galerkin法的特點。小結本章重點和應掌握的內容52線性自伴隨微分方程的變分原理的構造方法和泛函的性質，以及自然邊界條件和強制邊界條件的區別。經典Ritz方法的求解步驟、收斂條件及其局限性線性自伴隨微分方程的變分原理的構造方法和泛函的性53兩種形式虛功原理（虛位移原理和虛應力原理）的實質和構造方法。從虛功原理導出最小位能原理和最小余能原理的途徑，各自的性質以及場函數事先應滿足的條件兩種形式虛功原理（虛位移原理和虛應力原理）的實質和構造方法54等效積分形式等效積分“弱”形式泛函和變分原理強制邊界條件關鍵概念加權余量法Galerkin方法線性自伴隨算子自然邊界條件泛函的駐值和極值Ritz方法虛位移原理虛應力原理最小位能原理最小余能原理等效積分形式等效積分“弱”形式泛函和變分原理551.已知一個數學微分方程,如何建立它的等效積分形式?如何證明二者是等效的?復習題3.不同形式的加權余量法之間的區別何在?除書中已列舉的幾種方法外,你還能提出其它形式的加權余量法嗎?如能,分析新方法有什么特點.2.等效積分形式和等效積分“弱”形式的區別何在?為什么后者在數值分析中得到更多的應用?1.已知一個數學微分方程,如何建立它的等效積分形式?復習題3564.什么是加權余量法的Galerkin方法,它有什么特點5.如何識別一個微分算子是線性自伴隨的?識別它的意義何在?6.如何建立與自伴隨微分方程相等效的泛函和變分原理?如何證明它的加權余量的Galerkin方法之間的等效性?4.什么是加權余量法的Galerkin方法,它有什么特點5.577.自然邊界條件和強制邊界條件的區別何在?為什么這樣命名?對于一個給定的微分方程,如何區分這兩類邊界條件?8.泛函在什么條件下具有極值性?了解泛函是否具有極值性的意義何在?9.什么是Ritz方法?通過它建立的求解方法有什么特點?Ritz方法收斂性的定義是什么?收斂條件是什么?7.自然邊界條件和強制邊界條件的區別何在?8.泛函在什么條件5810.Ritz方法的優缺點是什么?你能舉例加以說明嗎?11.虛功原理有哪兩種不同形式?各和彈性力學什么方程相等效?你能準確地表述它們嗎?12.什么是最小位能原理,它是如何導出的?場函數是什么?它事先應滿足什么條件?對場函數的試探函數有什么要求?10.Ritz方法的優缺點是什么?你能舉例加以說明嗎?115913.如何利用最小位能原理建立數值解的求解方程,解的收斂性和極值性的條件是什么?14.什么是最小余能原理?它是如何導出的?場函數是什么?它事先應滿足什么條件?對場函數的試探函數有什么要求?13.如何利用最小位能原理建立數值解的求解方程,14.什么是6015.如何利用最小余能原理,建立數值解的求解方程?方程有何特點?解的收斂性和極值性的條件是什么?16.為什么最小位能原理的近似解的應變能取下界,即解總體偏于“剛硬”?而最小余能原理的近似解的應變能取上界,即解總體偏于“柔軟”?你能從力學意義上作進一步解釋嗎?15.如何利用最小余能原理,建立數值解的求解方程?16.為什61§1.3變分原理與里茲法“最速落徑問題”---質量為m的小環從A處自由滑下，試選擇一條曲線使所需時間最短。（不計摩擦）ABXY設路徑為y=y（x）所需時間ay稱T為y（x）的泛函，y（x）為自變函數。即以函數作自變量以積分形式定義的函數為泛函。一.變分的一些基本概念§1.3變分原理與里茲法“最速落徑問題”---質量為m的小62XAY變分運算在形式上與微分運算相同。y=y（x）x+dxdyx稱為y（x）的變分，它是一個無窮小的任意函數。微分與變分運算次序可以交換。積分與變分運算次序也可以交換。XAY變分運算在形式上與微分運算相同。y=y（x）x+dxd63二.函數的定義和泛函的定義1.函數的定義：若對于自變量x域中的每一個值，y有一值與之對應，或數y對應于數x的關系成立。則稱變量y是變量x的函數，即：y=y(x)。二.函數的定義和泛函的定義1.函數的定義：642.泛函的定義：若對于某一類函數{y(x)}中的每一函數y(x)，有一值與之對應，或數對應于函數y(x)的關系成立。則稱變量是函數y(x)的泛函，即：

=(y(x))。2.泛函的定義：653.微分和變分微分:x的增量△x是指某兩值之差△x=x-x1.如果x的微分用dx表示，則dx也是增量的一種，即當這種增量很小很小時，dx=△x。3.微分和變分66變分:y(x)的增量在它很小時稱為變分，用y(x)或y表示，y(x)是指y(x)和與它相接近的y1(x)之差，即y(x)=y(x)-y1(x);這里：y(x)也是x的函數，只是y(x)在指定的x域中都是微量。（假定y(x)在接近y1(x)的一類函數中是任意改變的）。變分:y(x)的增量在它很小時稱為變分，用y(x)或y674.函數的微分和泛函的變分函數的微分:函數的增量△y=y(x+△x)-y(x)可以展開為線性項和非線性項△y=A(x)△x+(x,△x)△x，其中A(x)和△x無關，(x,△x)則和△x有關，而且△x0時，(x,△x)0，稱y(x)是可微的，其線性部分稱為函數的微分。即dy=A(x)△x=y’(x)△x。A(x)=y’(x)是函數的導數，而且4.函數的微分和泛函的變分68函數的微分:設為一小參數，并將y(x+△x)對求導數，即得：當趨近于零時證明y(x+△x)在=0處對的導數就等于y(x）在x處的微分。這個定義與拉格朗日處理變分的定義是相似的。函數的微分:設為一小參數，并將y(x+△x)對求導數，69泛函的變分:與函數的微分類似，泛函變分的定義也有兩個。

=[y(x)+y(x)]-[y(x)]=L[y(x)，y(x)]上式中L[y(x)，y(x)]就叫做泛函的變分，用表示。泛函的變分是泛函增量的主部，而且這個主部對于y(x)來說是線性的。泛函的變分:與函數的微分類似，泛函變分的定義也有兩個。70泛函的變分:泛函變分是[y(x)+y(x)]對的導數在=0時的值，且拉格朗日的泛函變分定義為：泛函的變分:泛函變分是[y(x)+y(x)]對715.極大極小問題如果函數y(x)在x=x0的附近的任意點上的值都不大（不小）于y(x0)，即dy=y(x)-y(x0)0(0)時，在x=x0上達到極大(極小)，在x=x0上，有:

5.極大極小問題72泛函極大極小泛函[y(x)]也有相類似的定義。如果泛函[y(x)]在任何一條與y=y0(x)

接近的曲線上的值不大（不小）于[y0(x)]，即：

=[y(x)]-[y0(x)]

0(或0)時，則稱泛函[y(x)]在曲線y=y0(x)上達到極大值(或極小值)，而且在y=y0(x)上有:泛函極大極小73說明：泛函的極大(或極小)值，主要是說泛函的相對的極大

(或極小)值，也就是說，從互相接近的許多曲線來研究一個最大(或最小)的泛函值，但是曲線的接近，有不同的接近度。因此，在泛函的極大極小定義里，還應該說明這些曲線有幾階的接近度。說明：泛函的極大(或極小)值，主要是說泛函的相對的極大(或74FECh013變分原理與里茲法課件75強變分和強極大如果對于與y=y0(x)的接近度為零階的一切曲線而言，即對于y(x)-y0(x)非常小，但對于y’(x)-y’0(x)是否小毫無規定，泛函在曲線y=y0(x)上達到極大(或極小)值，則就把這類變分叫強變分。這樣達到的極大(或極小)值叫做強極大(強極小)，或強變分的極大(或極小).強變分和強極大76弱變分和弱極大如果只對于與y=y0(x)有一階接近度的曲線y=y(x)而言，或者只對于那些不僅在縱坐標間而且切線方向間都接近的曲線而言，泛函在曲線y=y0(x)上達到極大(或極小)值，則就稱這種變分為弱變分。這樣達到的極大值(或極小值)叫做弱極大(弱極小)，或弱變分的極大(或極小).弱變分和弱極大776.變分法的基本預備定理變分法的基本預備定理

如果函數F(x)在線段(x1,x2)上連續,且對于只滿足某些一般條件的任意選定的函數y(x)，有:6.變分法的基本預備定理78則在線段上(x1,x2)，有:F(x)=0y(x)的一般條件為：(1)一階或若干階可微分；(2)在線段(x1,x2)的端點處為0；(3)y(x)或y(x)及y’(x)等。變分法的基本預備定理：如果函數F(x)在線段(x1,x2)上連續,且對于只滿足某些一般條件的任意選定的函數y(x)，有:則在線段上(x1,x2)，有:F(x)=0變分法的79（1）從物理問題上建立泛函及其條件；（2）通過泛函變分，利用變分法基本預備定理求得歐拉方程；（3）求解歐拉方程，這是微分方程求解問題。從泛函變分極值問題上可以看到變分法的幾個主要步驟：（1）從物理問題上建立泛函及其條件；（2）通過泛函變分，利用80由于ai的任意性，所以而對于等效積分的“弱”形式由于ai的任意性，所以而對于等效積分的“弱”形式81如果微分方程具有線性、自伴隨的性質，則：不僅可以建立它的等效積分形式，并可利用加權余量法求其近似解；還可建立與之相等效的變分原理，基于它的另一種近似求解方法——Ritz法。1.線性、自伴隨微分算子二、里茲法和伽遼金法如果微分方程具有線性、自伴隨的性質，則：不僅可以建立它的82微分方程in為微分算子若具有性質：則稱為線性微分算子。線性、自伴隨微分方程的定義：微分方程in為微分算子若具有性質：則稱為線性微分算子。83對上式分部積分，直至u的導數消失，得：邊界項若內積后，求積；任意函數為的伴隨算子。稱若則稱算子是自伴隨。對上式分部積分，直至u的導數消失，得：邊界項若內積后，求積842.泛函的構造Galerkin（伽遼金）格式因為算子是線性、自伴隨的，所以：2.泛函的構造Galerkin（伽遼金）格式因為算子是線性85FECh013變分原理與里茲法課件86整理得到：微分方程的等效積分形式：整理得到：微分方程的等效積分形式：87某些問題的物理本質往往能夠以變分原理的形式直接敘述出來。例如，彈性力學中的最小位能原理、粘性流體中最小能力耗散原理，稱為自然變分原理。3.自然變分原理某些問題的物理本質往往能夠以變分原理的例如，彈性力學中的最小88對這類問題：是未知場函數，為特定算子。包含及的1至m階導數。連續介質問題的解：使泛函取極值（或駐值）。存在泛函是一個標量即：(這種泛函我們稱為單變量泛函，當然可以有多變量)對這類問題：是未知場函數，為特定算子。包含及89體系總位能應變能外力勢能例：最小位能原理體系總位能應變能外力勢能例：最小位能原理90其中：近似解：其中：近似解：91其中：待定參數向量（未知）試探函數矩陣（事先選定）對三維問題：其中：待定參數向量（未知）試探函數矩陣（事先選定）對三維問題92泛函：變分：相互獨立，所以，或泛函：變分：相互獨立，所以，或93由： 得到矩陣形式其中共有3n

個方程，若為完備的函數系列則，時，收斂于精確解，若n為有限項，則為近似解。上述方法為Ritz法由： 得到矩陣形式942）將代入Ritz（里茲）法——基于變分原理的近似解法1.求解步驟：1）假設近似解：為待定參數，滿足強制邊界條件。泛函的極值問題（求函數u），轉化為求多元（）函數的極值問題。2）將代入Ritz（里茲）法——基于變分原理的近似解法953）求解線性代數方程組u的近似解3）求解線性代數方程組u的近似解962.解的收斂性1）連續性要求滿足階連續性2）完備性要求取自完備的函數序列2.解的收斂性1）連續性要求滿足階連續性973.特點1)近似解對全域而言2)試探函數要求滿足一定的邊界條件，近似解的精度與試探函數的選擇有密切關系。3)待定系數任意，不表示特定的物理意義。4)如果我們對問題了解比較清楚，能找到合適的試函數，可以說事半功倍，但缺乏一般性。3.特點1)近似解對全域而言2)試探函數要求滿足一定的邊984.討論：1）經典意義上的泛函變分理論只適應于線性自伴隨微分方程。2）收斂性有嚴格的理論基礎（泛函分析）。3）事先滿足強制邊界條件，則解有明確的上下界性質。如不事先滿足，需要進行處理（約束變分原理）。4.討論：1）經典意義上的泛函變分理論只適應于線性99但是未知函數往往還需要服從一些附加條件，1.修正（約束）變分原理建立了自然變分原理后，問題的解為泛函取駐值。約束條件我們把這些變分原理稱之為“具有附加條件的變分原理”。但是未知函數往往還需要服從一些附加條件，1.修正（約束100可以將附加條件引入泛函，重新構造一個“修正泛函”，把問題轉化為求修正泛函的駐值問題。常用方法：Lagrange乘子法，罰函數法。可以將附加條件引入泛函，重新構造一個“修正泛函”，把101原泛函的約束變分問題，轉化為修正泛函*的無約束變分，代價是修正泛函增加了附加未知函數。2.Lagrange乘子法(乘子法)修正泛函*：原泛函的約束變分問題，轉化為修正泛函*的2.Lagra102單變量泛函雙變量修正泛函.近似解：，線性修正泛函的變分：單變量泛函雙變量修正泛函.近似解：103其中：可得：其中：可得：104即的系數陣為0。所以方程中不含項，對線性問題，得線性方程組；因為：整理得到即的系數陣為0。所以方105討論（放松約束條件的代價）：1）很明顯方程的階數增加了。2）方程的系數矩陣主元（對角元素）出現零元素，對求解方程增加了困難。（不能用一般的消元法）3）一般的物理問題中得到的自然變分問題是一極值問題。而對修正的泛函，由于附加項的積分性質不清，一般為駐值問題。（不再有極值性質）4）利用乘子法，彈性力學各種變分原理的轉換。討論（放松約束條件的代價）：1063.罰函數法修正泛函其中稱為罰數正定的，對為極小值問題，取正數；值越大，約束條件滿足的越好。(近似性越好)這種方法好處很明顯，不增加任何未知函數。(是事先給定的)3.罰函數法修正泛函其中稱為罰數正定的，對為極小值問題，107例：極值問題（函數極值問題）約束條件，所以：解方程，得：例：極值問題（函數極值問題）約束條件，所以：解方程，得：108上述方程可寫為矩陣形式分析方程：來自原來的泛函，

來自約束條件。上述方程可寫為矩陣形式分析方程：來自原來的泛函，來自約束條109而，必須是奇異，才有非零解。討論：1）此方法的優點是不增加最后的線性方程組階數2）為奇異陣相對可以忽略。而，必須是奇異，才有非零解。討論：1）此方法110從實例中可見，為奇異的。實例計算中需證明的奇異性。從實例中可見，為奇異的。1113）的取值問題 太小，約束條件滿足較差。 太大，系數矩陣接近奇異，方程組病態。取值要合適。原則上要使的取值引起的不滿足約束條件的誤差。與前一項計算中的誤差為同一量級為最好。一般取1012——1015。4）在有限元法中常用于引入位移邊界條件。3）的取值問題112小結有限單元法的理論基礎——加權余量法和變分原理

本章重點和應掌握的內容微分方程的等效積分形式及其“弱”形式的實質和構造方法，任意函數和場函數應滿足的條件。不同形式加權余量法