第二章應力狀態理論

2.1體力和面力

2.2應力和一點的應力狀態

2.3與坐標傾斜的微分面上的應力

2.4平衡微分方程應力邊界條件

2.5轉軸時應力分量的變換

2.6主應力應力張量不變量＊2.7應力二次曲面

2.8最大切應力第二章應力狀態理論2.1體力和面力1第二章應力狀態理論

彈性力學研究的都是超靜定問題，故而必須從靜力學、幾何學和物理學三個方面一起考慮。本章從靜力學方面出發，推導分析一點的應力狀態、平衡微分方程和應力邊界條件。第二章應力狀態理論彈性力學研究的都是超靜22.1體力和面力

1、體力：分布在物體內所有質點上的力（重力、慣性力和電磁力等）2、面力：作用在物體表面上的力（風力、液體壓力、物體間接觸壓力等）2.1體力和面力 3體力分量投影于坐標軸M體力和體力矢量投影于坐標軸面力矢量面力和面力矢量體力分量投影于坐標軸M體力和體力矢量投影于坐標軸面力矢量面力4內力內力和應力2.2應力和一點應力狀態1、內力：物體受外界作用，在物體內部不同部分之間產生的相互作用力內力內力和應力2.2應力和一點應力狀態1、內力：物體受5正應力切應力投影于法線和平面投影于坐標軸內力和應力物體內同一點各微分面上的應力情況：一點的應力狀態正應力切應力投影于法線和平面投影于坐標軸內力和應力物體內同一6三個特殊面上的應力三個特殊面上的應力7應力張量為了表示一點的應力狀態，過該點M作三個與坐標平面平行的三個特殊微分面。分別將物體分成前后、上下、左右兩個部分，保留外法線方向與坐標軸正方向一致的部分，稱為M點的三個特殊微分面上的9個應力分量，即應力張量。應力張量為了表示一點的應力狀態，過該點M作三個8正負號的規定：當微分面外法線指向與坐標軸正方向一致時，應力分量沿正方向為正；當微分外法線指向與坐標軸負方向一致，則應力分量以沿坐標軸負方向為正。正應力的下標表示作用面的方位和它的方向切應力的下標第一個表示作用面的方位，第二個下標表示它的方向下標的含義：正負號的規定：當微分面外法線指向與坐標軸正方向一致時，應力分9物體的受力內力外力集度應力體力面力正應力剪應力集度體力矢量集度面力矢量物體的受力內力外力集度應力體力面力正應力剪應力集度體力矢量集102.3與坐標傾斜的微分面上的應力abcMxyz由平衡條件，得同理2.3與坐標傾斜的微分面上的應力abcMxyz由平衡條件112.4平衡微分方程應力邊界條件AABB物體受外力作用處于平衡狀態也保證了單元體的平衡分別在物體內取任意一個平行六面體和四面體分析其平衡2.4平衡微分方程應力邊界條件AABB物體受外力作用12應滿足平衡方程：考慮，有應滿足平衡方程：考慮，有13同理考慮，得平衡微分方程，又稱納維方程考慮切應力互等定理同理考慮，得平衡微分方程，又稱納維方程考慮切應力互等定理14應力邊界條件：表示物體在邊界上應力與面力之間的平衡關系。應力邊界條件：表示物體在邊界上應力與面力之間的平衡關系。152.5轉軸時應力分量的變換MabcxyzOx’y’z’？2.5轉軸時應力分量的變換MabcxyzOx’y’z’？16彈性力學第二章應力狀態理論課件17

182.6主應力應力張量不變量

通過一點M，可以找到3個互相垂直的微分面，其上只有正應力而無切應力。這樣的微分面稱為主平面，其法線方向稱為應力主方向，其上應力稱為主應力。稱為應力狀態特征方程稱為應力張量不變量2.6主應力應力張量不變量通19＊2.7應力二次曲面＊2.7應力二次曲面202.8最大切應力

尋求過物體內某一點M的這樣一個微分面，在這個微分面上，切應力達最大值。xzyabcOM2.8最大切應力尋求過物體內21而而22代入,消去n,然后取極值代入,消去n,然后取極值23彈性力學第二章應力狀態理論課件24分三種情況討論兩式分別除（1）時當分三種情況討論兩式分別除（1）時當25上述方程l,m有3組解:又1.2.3.上述方程l,m有3組解:又1.2.3.26如消去或,又可以得到其他幾組解:

共有6組不重復解:主平面如消去或,又可以得到其他幾組解:27主切應力當時最大切應力主切應力當時最大切應力28例通過軸,平分,夾角的微分面上例通過軸,平分,夾角的微分面上29為最大切應力作用面

無切應力（2）當時（3）時當為最大切應力作用面無切應力（2）當時（3）時當30第二章應力狀態理論

2.1體力和面力

2.2應力和一點的應力狀態

2.3與坐標傾斜的微分面上的應力

2.4平衡微分方程應力邊界條件

2.5轉軸時應力分量的變換

2.6主應力應力張量不變量＊2.7應力二次曲面

2.8最大切應力第二章應力狀態理論2.1體力和面力31第二章應力狀態理論

彈性力學研究的都是超靜定問題，故而必須從靜力學、幾何學和物理學三個方面一起考慮。本章從靜力學方面出發，推導分析一點的應力狀態、平衡微分方程和應力邊界條件。第二章應力狀態理論彈性力學研究的都是超靜322.1體力和面力

1、體力：分布在物體內所有質點上的力（重力、慣性力和電磁力等）2、面力：作用在物體表面上的力（風力、液體壓力、物體間接觸壓力等）2.1體力和面力 33體力分量投影于坐標軸M體力和體力矢量投影于坐標軸面力矢量面力和面力矢量體力分量投影于坐標軸M體力和體力矢量投影于坐標軸面力矢量面力34內力內力和應力2.2應力和一點應力狀態1、內力：物體受外界作用，在物體內部不同部分之間產生的相互作用力內力內力和應力2.2應力和一點應力狀態1、內力：物體受35正應力切應力投影于法線和平面投影于坐標軸內力和應力物體內同一點各微分面上的應力情況：一點的應力狀態正應力切應力投影于法線和平面投影于坐標軸內力和應力物體內同一36三個特殊面上的應力三個特殊面上的應力37應力張量為了表示一點的應力狀態，過該點M作三個與坐標平面平行的三個特殊微分面。分別將物體分成前后、上下、左右兩個部分，保留外法線方向與坐標軸正方向一致的部分，稱為M點的三個特殊微分面上的9個應力分量，即應力張量。應力張量為了表示一點的應力狀態，過該點M作三個38正負號的規定：當微分面外法線指向與坐標軸正方向一致時，應力分量沿正方向為正；當微分外法線指向與坐標軸負方向一致，則應力分量以沿坐標軸負方向為正。正應力的下標表示作用面的方位和它的方向切應力的下標第一個表示作用面的方位，第二個下標表示它的方向下標的含義：正負號的規定：當微分面外法線指向與坐標軸正方向一致時，應力分39物體的受力內力外力集度應力體力面力正應力剪應力集度體力矢量集度面力矢量物體的受力內力外力集度應力體力面力正應力剪應力集度體力矢量集402.3與坐標傾斜的微分面上的應力abcMxyz由平衡條件，得同理2.3與坐標傾斜的微分面上的應力abcMxyz由平衡條件412.4平衡微分方程應力邊界條件AABB物體受外力作用處于平衡狀態也保證了單元體的平衡分別在物體內取任意一個平行六面體和四面體分析其平衡2.4平衡微分方程應力邊界條件AABB物體受外力作用42應滿足平衡方程：考慮，有應滿足平衡方程：考慮，有43同理考慮，得平衡微分方程，又稱納維方程考慮切應力互等定理同理考慮，得平衡微分方程，又稱納維方程考慮切應力互等定理44應力邊界條件：表示物體在邊界上應力與面力之間的平衡關系。應力邊界條件：表示物體在邊界上應力與面力之間的平衡關系。452.5轉軸時應力分量的變換MabcxyzOx’y’z’？2.5轉軸時應力分量的變換MabcxyzOx’y’z’？46彈性力學第二章應力狀態理論課件47

482.6主應力應力張量不變量

通過一點M，可以找到3個互相垂直的微分面，其上只有正應力而無切應力。這樣的微分面稱為主平面，其法線方向稱為應力主方向，其上應力稱為主應力。稱為應力狀態特征方程稱為應力張量不變量2.6主應力應力張量不變量通49＊2.7應力二次曲面＊2.7應力二次曲面502.8最大切應力

尋求過物體內某一點M的這樣一個微分面，在這個微分面上，切應力達最大值。xzyabcOM2.8最大切應力尋求過物體內51而而52代入,消去n,然后取極值代入,消去n,然后取極值53彈性力學第二章應力狀態理論課件54分三種情況討論兩式分別除（1）時當分三種情況討論兩式分別除（1）時當55上述方程l,m有3組解:又1.2.3.上述方程l,m有3組解:又1.2.3.56如消去或,又可以得到其他幾組解