PAGEPAGE44高中文科數學根底知識一、集合與簡易邏輯1．元素與集合的關系：。2．集合的元素具有：確定性、無序性、互異性。如假設，那么。3．集合常用的表示方法：列舉法、描述法、圖示法。其中要特別注意用描述法表示的集合，要弄清楚集合元素的屬性，如假設A={橢圓}，B={直線}，那么，又假設，，那么可能有0個或1個或2個元素，再如，，,表示函數的定義域，表示函數的值域，表示函數圖象上的點集。注意：假設，，那么。4．常見數集：R表示實數集；N表示自然數集；表示正整數集；Q表示有理數集；Z表示整數集。5．空集是任何集合的子集，記作：，空集是任何非空集合的真子集；記作：，任何一個集合是它本身的子集，記作：。6．包含關系：〔為全集〕。注意：當或時，要注意考慮與的情況。7．要證明集合A=B，那么須證明：。8．集合的子集個數共有個；真子集有個；非空子集有個；非空的真子集有個。9．判斷命題的真假要以真值表〔與非：真假相對；：一真必真；：一假必假〕為依據。原命題與其逆否命題是等價命題，逆命題與其否命題是等價命題，當一個命題的真假不易判斷時，可考慮判斷其等價命題的真假。10．命題的否認：條件不變，否認結論。否命題：條件與結論均否認。其中常見的否認詞有：詞語是一定都是大于小于且任意至多1個唯一詞語的否認不是不一定不都是小于或等于大于或等于或存在至少兩個不唯一11.假設，那么我們說，是的充分條件，是的必要條件?！不虻谋匾獥l件是，的充分條件是。〕12.判斷命題充要條件的三種方法：〔1〕定義法：?！?〕利用集合間的包含關系判斷，假設，那么A是B的充分條件或B是A的必要條件；假設A=B，那么A是B的充要條件。〔3〕等價法：即利用等價關系判斷，對于條件或結論是不等關系〔或否認式〕的命題，一般運用等價法。二、函數1.以為自變量的函數是集合A到集合B的一種對應，其中A和B都是非空的數集，對于A中的每一個，B中都有唯一確定的和它對應。自變量取值的集合A就是函數的定義域，和對應的的值就是函數值，函數值的集合C就是函數的值域()。注：集合中有個元素，集合B中有個元素，那么到的映射有個，而到的映射有個。2.求函數定義域需要考慮:分母、根號、零次冪的底、對數的真數、對數與指數的底、正余切及復合函數求定義域的兩種類型。求函數值域的方法要掌握：配方法，觀察法，換元法〔整體換元、三角換元〕，單調性法，反函數法，判別式法，三角函數的有界性，根本不等式法，利用兩點間的距離公式法。定義域及值域都必須寫成集合的形式。3.假設有反函數，那么是的反函數。反函數的定義域、值域分別是函數的值域、定義域。函數和它的反函數的圖象關于對稱?！布僭O,那么即假設點在的圖象上，那么點必在反函數的圖象上〕注意：eq\o\ac(○,1)是的反函數嗎？〔不是，和互為反函數。〕eq\o\ac(○,2)與它的反函數的交點必在直線上嗎？〔假設為增函數那么一定，否那么無法判斷〕如函數與的交點為，交點不在直線上。4.設那么上是增函數；上是減函數。設函數在某個區間內可導，如果，那么為增函數；如果，那么為減函數。5.定義域關于原點對稱是具有奇偶性的必要不充分條件。〔奇偶性的兩個條件：一是定義域關于原點對稱〔奇偶都要〕，二是滿足奇偶性條件，偶函數：，奇函數：〕。例如：是奇函數，是非奇非偶?！捕x域不關于原點對稱〕。奇函數特有性質：假設的定義域，那么一定有〔不在函數的定義域內，那么無此性質〕。注意：eq\o\ac(○,1)奇函數關于原點對稱，偶函數關于軸對稱；eq\o\ac(○,2)奇函數關于原點對稱的區間單調性相同，偶函數關于原點對稱的區間單調性相反，簡稱：奇同偶反。6.函數的圖象的對稱性(1)函數的圖象關于直線對稱。(2)函數的圖象關于點對稱。(3)函數滿足，那么的圖象關于直線對稱。(4)假設函數對定義域中任意均有，那么函數的圖象關于點成中心對稱圖形。7.兩個函數圖象的對稱性〔1〕函數與函數的圖象關于直線軸對稱?！?〕函數與函數的圖象關于直線軸對稱?！?〕函數與函數的圖象關于原點對稱?！?〕函數和的圖象關于直線對稱。〔5〕函數和的圖象關于直線對稱?！?〕函數與函數的圖象關于直線對稱。注意比照：函數滿足，那么的圖象關于直線對稱?！?〕函數與函數的圖象關于直線對稱。8.曲線圖象的對稱問題：〔1〕曲線關于直線對稱曲線為：?！?〕曲線關于直線對稱曲線為：?！?〕曲線關于直線對稱曲線為：?！?〕曲線關于點對稱曲線為：。9.假設將函數的圖象右移、上移個單位，得到函數的圖象；假設將曲線的圖象右移、上移個單位，得到曲線的圖象。即：eq\o\ac(○,1)函數的圖象按平移后的圖象的表達式是：；eq\o\ac(○,2)曲線按平移后的曲線的關系式是：。10.分數指數冪〔，且〕?！玻摇场?1.指數式與對數式的關系是：12.對數的換底公式:。推論，。13.指數運算性質：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)；對數運算性質：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)；eq\o\ac(○,4)，。。14.指數函數和對數函數指數函數對數函數圖象XXYO111YXO性質(1)定義域：R(2)值域：(3)過定點：即當時,.(4)當時，在R上是:單調遞增函數；當時，在R上是：單調遞減函數。(1)定義域：(2)值域：R(3)過定點：即當1時，0(4)當時，在(0，+∞)上是：單調遞增函數；當時，在(O，+∞)上是：單調遞減函數。15.二次函數的解析式的三種形式①一般式：②頂點式：③兩根式〔也稱零點式〕：16.幾個函數的周期(約定)：〔1〕，那么的周期?！?〕或，或,或,那么的周期?！?〕，那么的周期。〔4〕假設是偶函數，其圖像又關于直線對稱，那么是周期為的周期函數?！?〕假設)奇函數，其圖像又關于直線對稱，那么是周期為的周期函數?！?〕假設的圖象關于直線,對稱，那么函數是周期為的周期函數?！?〕假設的圖象關于對稱，同時關于點對稱，〔〕，那么函數是周期為。〔8〕假設的圖象關于對稱，同時關于點對稱，〔〕，那么函數是周期為。17.設函數,記，那么有：〔1〕假設的定義域為,那么，且。〔2〕假設的值域為,那么，且。注意：對函數的定義域或值域為的問題，要注意考慮的情況。18.平均增長率的問題：如果原來產值的根底數為N，平均增長率為，那么對于時間的總產值，有。19.你知道函數的單調區間嗎？〔該函數在或上單調遞增；在或上單調遞減〕這可是一個應用廣泛的函數！20.處理二次函數的問題勿忘數形結合；二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法〞：一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關系。21.解恒成立問題常用方法：①別離參數法；②數形結合法；③交換主元法。你能清楚何時用何種方法嗎？常見題型：①假設在上恒成立，那么；假設在上恒成立，那么。②假設在上有解，那么；假設在上無解，那么。〔注：為常數?！尝墼谏虾愠闪ⅲ菍τ谌我獾?，必須大于嗎？應該怎樣解？〔不是。通常移項，使即可；假設的最值無法求出，那么考慮數形結合，只需在上的圖像始終在的上方即可?！橙?、數列1.通項與前項和的關系，后檢驗能否合成一個關系式。2.由求最大項；由求最小項。3.兩個根本變換：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)4.證明數列是等差數列的方法：eq\o\ac(○,1)定義法：或eq\o\ac(○,2)中項法：5.等差數列的通項公式：，變形6.三數成等差數列，可設為：；四數成等差數列，可設為：7.前n項和公式：8.在等差數列中,有關的最值問題——常用鄰項變號法求解：(1)當,d<0時，滿足的項數m使得取最大值。(2)當,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。9.等差數列的性質：eq\o\ac(○,1)假設，那么，特別，那么。eq\o\ac(○,2)也成等差數列，且公差為：。eq\o\ac(○,3)設是數列的前n項和，為等差數列的充要條件是〔為常數〕其公差是。eq\o\ac(○,4)假設都是等差數列，前項和分別為，，且，那么，；〔注：，，其中為非0常數?！匙⒁猓盒稳绲念愋?，數列從第二項起成等差數列。即通項為：。10.證明數列是等比數列的方法：eq\o\ac(○,1)定義法：或；eq\o\ac(○,2)中項法：。11.等比數列的通項公式：，變形。12.三數成等比數列，可設為：，，；四數成等比數列，可設為：，，，。13.前n項和公式：eq\o\ac(○,1)當時，eq\o\ac(○,2)當時，14.等比數列的性質：eq\o\ac(○,1)假設，那么，特別，那么；eq\o\ac(○,2)也成等比數列，且公比為：。15.假設，其中是等差數列，是等比數列，求的前n項的和，用錯位相減法求和。16.常用的求和方法有:=1\*GB3①倒序相加求和；=2\*GB3②錯位相減求和；=3\*GB3③分組求和；=4\*GB3④裂項求和。17.常用裂項公式：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,5)18.由數列的遞推公式求通項的類型：〔1〕〔2〕〔3〕〔〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕前項和與之間的等式關系求通項類型：如eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)。這種類型通常利用關系()來進行轉換，后由類型求解通項。有些類型要注意考慮用數學歸納法。如：。19.常用的求和公式：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)四、三角函數1.三角函數符號規律記憶口訣：一全正，二正弦，三是切，四余弦。2.弧度制:eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)弧長公式:,其中為圓心角的弧度數；eq\o\ac(○,3)扇形的面積公式:；eq\o\ac(○,4)1弧度=，弧度。3.公式:公式組二：公式組三：公式組四：公式組五：公式組六：其中誘導公式記憶方法：奇變偶不變，符號看象限。其中奇是指的系數為奇數，偶是指的系數為偶數，變是指：正弦與余弦互變，正切與余切互變。看符號時是指對原三角函數進行判斷，并且要將視為銳角。如：，。4.兩角和與差的三角函數：；；；(平方正弦公式)；。=(輔助角所在象限由點的象限決定,)，常見：eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)。5.二倍角公式：變形：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)6.一種類型：正余弦的齊次式轉化為正切值求解，如；等。7.掌握角的演變：，等。8.三角形中的三角變換(1)角的變換：因為在△中，，所以；；。；；?！?〕在非直角△中，。(3)在△中，熟記并會證明：①成等差數列的充分必要條件是；②△是正三角形的充分必要條件是成等差數列且成等比數列。9.常用結論：eq\o\ac(○,1)(1)假設，那么(2)eq\o\ac(○,2)＜＜在上是減函數eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)角度01010-10不存在010.三角函數圖象的五點作圖法：如正弦：；；；；，余弦：；；；；這五點是函數圖象在一個周期內的最高點、最低點與平衡點。注意：你會用五點作圖法畫的草圖嗎？哪五點？你會根據圖象求參數、的值嗎？11.三角函數圖象及性質函數正弦函數余弦函數正切函數圖象定義域RR值域R周期性奇偶性奇函數偶函數奇函數對稱中心〔〕即正弦值為0的點〔〕即余弦值為0的點〔〕對稱軸〔〕〔〕無單調性區間：，〔〕是增區間；區間：，〔〕是減區間；區間：，〔〕是增區間；區間：，〔〕是減區間；區間：〔〕是增區間12.三角函數的周期問題：eq\o\ac(○,1)函數、，〔且A,ω,為常數，且A、h≠0〕的周期。eq\o\ac(○,2)函數，〔〕(A,ω,為常數，且A≠0)的周期。eq\o\ac(○,3)函數、的周期。eq\o\ac(○,4)不是周期函數；為周期函數〔〕；是周期函數；為周期函數〔〕；的周期為，并非所有周期函數都有最小正周期，例如：。13.函數圖象的變換：振幅變換：橫坐標不變，縱坐標伸長〔或縮短〕為原來的A倍周期變換：縱坐標不變，橫坐標伸長〔或縮短〕為原來的倍相位變換：向左〔或向右〕平移個單位平移變換：向上〔或向下〕平移個單位〔其中為正數〕14．反三角函數=1\*GB2⑴反正弦函數是奇函數，故，〔一定要注明定義域，假設，沒有與一一對應，故無反函數〕注：，，，。=2\*GB2⑵反余弦函數非奇非偶，但有，。注：=1\*GB3①，，，，；=2\*GB3②是偶函數，非奇非偶，而和為奇函數。=3\*GB2⑶反正切函數：，定義域，值域〔〕，是奇函數，，。注：，，，五、平面向量1.根本概念:向量,向量長度,零向量,單位向量(其中),與非零向量方向相同的單位向量為:(假設反向,那么為)2.平行向量(也稱共線向量):方向相同或相反的非零向量。規定與任一向量平行。注意：平行向量只與方向有關，而與起點、終點無關。3．相等向量：方向相同且模相等，如，4．向量運算(1)加法運算：加法法那么如圖：三角形法那么與平行四邊形法那么坐標運算：，那么特別：，等。(2)減法運算減法法那么(如圖)：三角形法那么坐標運算：，那么特別：，又假設A、B兩點的坐標分別為(，)，(，)，那么。(3)實數與向量的積：定義：，其中，當>0時，與同向，當<0時，與反向，當，坐標運算：假設，那么。(4)平面向量的數量積：定義：(為向量的夾角〔有時也記〕且0≤)，規定：運算律：，，不滿足結合律：〔只有特殊的時候才相等〕坐標運算：假設，那么變形：〔用于求向量的夾角〕5．重要定理、公式eq\o\ac(○,1)．向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數，使得即；坐標形式：假設，那么；eq\o\ac(○,2)．平面向量根本定理：假設是不共線的非零向量，對任一向量，存在唯一實數，使得：；應用：假設，那么且；eq\o\ac(○,3)．兩個非零向量垂直的充要條件：；坐標形式：假設，那么；eq\o\ac(○,4)．線段的定比分點公式：設，，是線段的分點,是實數，且，那么中點坐標公式：。6．如果點，按向量，平移到，那么或7．在上的投影：〔注意：這一結論常用在立幾中求“點到面的距離；或異面直線間的距離等距離〞問題上。〕8．常見結論：eq\o\ac(○,1)點共線，且；eq\o\ac(○,2)三角形中“心〞向量形式的充要條件設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，那么〔1〕為的外心；〔2〕為的重心；〔3〕為的垂心；eq\o\ac(○,3)三角形的重心坐標公式△ABC三個頂點的坐標分別為、、,那么△ABC的重心的坐標是；eq\o\ac(○,4)在中，。8．三角形的面積公式：〔1〕〔分別表示邊上的高〕；〔2〕。9.正弦定理，變形，其中為三角形外接圓的半徑。10.余弦定理：;；，變形：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)。11．時三角形解的個數的判定：其中⑴A為銳角時：①時，無解；②時，一解〔直角〕；③時，兩解〔一銳角，一鈍角〕；④時，一解〔一銳角〕。AbaAbaCh①時，無解；②時，一解〔銳角〕。另附：三角形的五個“心〞；重心：三角形三條中線的交點；外心：三角形三邊垂直平分線的交點；內心：三角形三個內角的平分線的交點；垂心：三角形三邊上的高的交點；旁心：三角形一內角的平分線與兩條外角平分線的交點。12．三角形四心：重心、內心、垂心、外心問題eq\o\ac(○,1)假設，那么動點P過三角形的重心；eq\o\ac(○,2)假設，那么動點P過三角形的內心；eq\o\ac(○,3)假設，那么動點P過三角形的垂心；eq\o\ac(○,4)假設，那么動點P過三角形的外心。13．判斷三角形的形狀：△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為，設最大邊為那么有以下結論：eq\o\ac(○,1)△ABC為直角△eq\o\ac(○,2)△ABC為鈍角△eq\o\ac(○,3)△ABC為銳角△eq\o\ac(○,4)六、不等式1．不等式的性質：⑴；⑵；⑶；；⑷；；；⑸；(6)。注意一個等式的性質:。2．比擬大?。骸?〕作差比擬的步聚：作差變形〔因式分解〕定號。〔2〕作商比擬的步驟：作商變形定值〔與1比大小〕此法要注意：要比擬的兩個數都為正數。3．幾個重要不等式：〔1〕根本不等式：〔當時，〕〔當時取等號〕使用均值不等式求最值時要注意：一正二定三相等。〔2〕根本不等式應用的一種類型：假設，，求的最小值。先把處理成后用均值求最小值即可，注意寫明等號成立的條件?！?〕絕對值不等式：?！沧⒁獾忍柍闪⒌臈l件〕4．證明不等式的常用方法：〔1〕比擬法；〔2〕綜合法：執因索果；〔3〕分析法：執果索因；〔4〕反證法：當命題以否認的形式出現時，考慮用此法。注：除以上方法外，還有放縮法、構造函數法、數學歸納法〔與自然數有關的不等式〕、判別式法。5．不等式的解法：〔1〕一元一次不等式：〔2〕一元二次不等式：設是一元二次方程的兩個實根，且根的判別式△=△=△=的解集的解集注：1.最好把一元二次方程、一元二次函數的圖象、一元二次不等式結合起來思考；2.當時，那么應先把最高次項的系數化為正，再用以上結論?！?〕簡單的一元高次不等式的解法：一元高次不等式，用數軸標根法〔或稱區間法、穿根法〕求解，其步驟是：eq\o\ac(○,1)將的最高次項的系數化為正數；eq\o\ac(○,2)將分解為假設干個一次因式或二次不可分因式之積；eq\o\ac(○,3)將每一個一次因式的根標在數軸上，從右上方一次通過每一點畫曲線〔奇次根依次穿過，偶次根穿而不過〕。eq\o\ac(○,4)根據曲線呈現出的值的符號變化規律，寫出不等式的解集?！?〕分式不等式的解法：思想方法：轉化為整式不等式求解。；；；；〔5〕無理不等式：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)〔6〕指數不等式與對數不等式eq\o\ac(○,1)當時,eq\o\ac(○,2)當時,〔7〕絕對值不等式：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)〔注意原不等式的取值范圍〕eq\o\ac(○,5)eq\o\ac(○,6)含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式可用劃區間法〔也稱零點討論法〕〔8〕含參不等式需要掌握三種類型：eq\o\ac(○,1)二次項系數含參；eq\o\ac(○,2)根含參；eq\o\ac(○,3)判別式含參。解決含參不等式的方法：分類討論法步驟：首先確定含參的類型：是一種還是兩種混合；其次找出分界點：如二次項系數等于0的參數值、根相等的參數值、判別式等于0的參數值；第三將分界點標在數軸上，最后，對參數進行分類，討論原不等式的解。注意每個分界點都要單獨作為一類。同時應注意題目條件對參數有無限制。七、直線和圓的方程1．直線的傾斜角范圍是：，斜率的定義式是:其中，當傾斜角為時，斜率不存在。2．經過兩點的直線的斜率公式為：3．直線的方向向量：當斜率存在時，直線的一個方向向量為：；當斜率不存在時，直線的一個方向向量為：〔0，1〕；假設知道一條直線的方向向量為，那么直線的斜率4.直線方程的五種形式：⑴點斜式：⑵斜截式：⑶截距式：⑷兩點式：⑸一般式：，〔A，B不全為0〕〔直線的方向向量：〔，法向量〔〕注意：各種形式的使用條件。5.兩直線的位置關系：設直線：=+，直線：=+，那么eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)假設兩直線的位置關系可由系數來確定：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)又假設直線，〔不重合〕的方向向量分別為，那么：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)6．到角與夾角：直線的斜率存在，分別為、,且那么eq\o\ac(○,1)到的角，有關系式:；eq\o\ac(○,2)與的夾角，有關系式：。7.距離：〔1〕點到直線的距離：；〔2〕兩條平行線與的距離是注意：在〔2〕中應用公式求距離時，要求的系數都相同。8.對稱問題：關于點、線的對稱問題——利用中點與直線的斜率關系進行解題。9.直線系：直線方程平行直線系垂直直線系相交直線系〔是指過直線與交點的直線系方程，其中，，直線系方程中不包含直線〕10．簡單的線性規劃：〔1〕在平面直角坐標系中，二元一次不等式表示在直線的某一側的平面區域。常用的判斷方法是將一個特殊點如〔0，0〕或〔0，1〕的坐標代入不等式，假設成立那么表示該點所在一側的平面區域；假設不成立，那么表示該點所在區域另一側的平面區域?！?〕求解線性規劃問題的步驟是：eq\o\ac(○,1)列約束條件；eq\o\ac(○,2)作可行域，寫目標函數；eq\o\ac(○,3)確定目標函數的最優解。注意：作圖時，留意直線的橫縱截距與直線間的斜率大小關系。11．圓的方程：〔1〕圓的標準方程：〔2〕圓的一般方程：(＞0)〔3〕圓的參數方程：〔4〕圓的直徑式方程：(圓的直徑的端點是、)12.點、直線與圓的位置關系：〔主要掌握幾何法〕⑴點與圓的位置關系：〔表示點到圓心的距離〕①點在圓上；②點在圓內；③點在圓外。⑵直線與圓的位置關系：〔表示圓心到直線的距離〕①相切；②相交；③相離。⑶圓與圓的位置關系：〔表示圓心距，表示兩圓半徑，且〕①相離；②外切；③相交；④內切；⑤內含。注意：其中直線與圓的位置關系也可以用代數法。聯立方程得到一個一元二次方程，利用判別式進行確定根的個數，也就可以得到直線與圓是相交、相切還是相離了。13.假設兩圓的方程為：與，假設兩圓相交，那么兩圓方程的差得到公共弦所在的直線方程；假設兩圓相切，那么兩圓方程的差得到一條公切線所在的直線方程。14.求曲線方程的一般步驟簡記:建系、找關系式、關系式坐標化、化簡、證明，這幾個步驟中，在具體求解時常常省略證明，但要注明、的取值范圍。八、圓錐曲線1．橢圓方程：〔1〕橢圓方程的第一定義：eq\o\ac(○,1)：點P的軌跡為橢圓。eq\o\ac(○,2)：不存在這樣的點P。eq\o\ac(○,3)：點P的軌跡是以為端點的線段?！?〕=1\*GB3①橢圓的標準方程：=1\*romani.中心在原點，焦點在軸上：。=2\*romanii.中心在原點，焦點在軸上：；=2\*GB3②一般方程：；=3\*GB3③橢圓的標準方程：的參數方程為〔假設，那么應限定為：〕?！?〕橢圓的性質：=1\*GB3①頂點：、或、；=2\*GB3②軸：軸、軸為對稱軸；長軸長，短軸長；③焦點：、或、；=4\*GB3④焦距：；=5\*GB3⑤準線：或；=6\*GB3⑥離心率：；=7\*GB3⑦焦半徑：=1\*romani.設為橢圓上的一點，為左、右焦點，那么由橢圓方程的第二定義可以推出；=2\*romanii.設為橢圓上的一點，為上、下焦點，那么由橢圓方程的第二定義可以推出：。注意：橢圓參數方程的推導：得方程的軌跡為橢圓。〔4〕共離心率的橢圓系方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數，的離心率也是，我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程。〔5〕假設P是橢圓：上的點.為焦點，假設，那么的面積為〔用余弦定理與可得〕。2．雙曲線方程：〔1〕雙曲線的第一定義：eq\o\ac(○,1)：點P的軌跡為雙曲線〔假設無絕對值，只表示一支〕。eq\o\ac(○,2)：不存在這樣的點P。eq\o\ac(○,3)：點P的軌跡是以為端點的兩條射線。〔2〕=1\*GB3①雙曲線標準方程：。eq\o\ac(○,2)一般方程：。〔3〕①=1\*romani.焦點在軸上：頂點：、；焦點：、；準線方程；漸近線方程：或。=2\*romanii.焦點在軸上：頂點：、；焦點：、；準線方程：；漸近線方程：或；參數方程：或。②軸：為對稱軸，實軸長為,虛軸長為，焦距。=3\*GB3③離心率。=4\*GB3④準線距〔兩準線的距離〕；通徑長為：。=5\*GB3⑤參數關系：。=6\*GB3⑥焦半徑公式：對于雙曲線方程〔分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點〕。右支上的點：構成滿足左支上的點：構成滿足焦點在軸上：〔4〕等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率?！?〕共軛雙曲線：以雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：即?！?〕共漸近線的雙曲線系方程：；漸近線方程為即；如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為。例如：假設雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：，代入得〔7〕直線與雙曲線的位置關系：區域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；區域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；區域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；區域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；區域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線。小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條?！?〕假設P在雙曲線，那么點P到焦點的距離分別為、，那么P到兩準線的距離比為，簡證：=。常用結論：1.雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于；2．焦點三角形有結論：的面積為。3．拋物線方程：設，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質：圖形焦點準線范圍對稱軸軸軸頂點〔0，0〕離心率焦半徑注：①頂點；②通徑為，這是過焦點的所有弦中最短的弦；=3\*GB3③〔或〕的參數方程為〔或〕〔為參數〕。4．圓錐曲線的統一定義：平面內到定點F和定直線的距離之比為常數的點的軌跡〔定點不能落在定直線上〕當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線；當時，軌跡為圓〔，當時〕。5.一些常用結論:(1)弦長公式：。(2)〔Ⅰ〕焦點弦長：①橢圓：；②拋物線：＝；〔Ⅱ〕通徑〔最短弦〕：①橢圓、雙曲線：；②拋物線：。⑶過兩點的橢圓、雙曲線標準方程可設為：〔同時大于0且不相等時表示橢圓，時表示雙曲線〕。⑷橢圓中的結論：內接矩形最大面積：；P，Q為橢圓上任意兩點，且OP0Q，那么；橢圓焦點三角形：假設點是內心，交于點，那么；當點與橢圓短軸頂點重合時最大。⑸雙曲線焦點三角形：P是雙曲線()的左〔右〕支上一點，F1、F2分別為左、右焦點，那么的內切圓的圓心橫坐標為。〔6〕拋物線中的結論：①拋物線的焦點弦AB性質：<Ⅰ>．；；<Ⅱ>．；<Ⅲ>．以AB為直徑的圓與準線相切；<Ⅳ>．以AF〔或BF〕為直徑的圓與軸相切；<Ⅴ>．。②拋物線內接直角三角形OAB〔〕的性質：<Ⅰ>．；<Ⅱ>．恒過定點；<Ⅲ>．中點軌跡方程：；<Ⅳ>．，那么軌跡方程為：；<Ⅴ>．。③拋物線，對稱軸上一定點，那么：<Ⅰ>．當時，頂點到點A距離最小，最小值為；<Ⅱ>．當時，拋物線上有關于軸對稱的兩點到點A距離最小，最小值為。6．直線與圓錐曲線問題解法：⑴直接法〔通法〕：聯立直線與圓錐曲線方程，得到一元二次方程求解。注意以下問題：聯立的關于“〞還是關于“〞的一元二次方程？直線斜率不存在時考慮了嗎？判別式驗證了嗎？⑵設而不求〔代點相減法〕：處理弦中點問題步驟如下：①設點、；②作差得；③解決問題。7．求軌跡的常用方法：〔1〕定義法：利用各種曲線的定義〔如圓錐曲線的定義、圓的定義、線段垂直平分線的定義與角平分線的定義等〕；〔2〕直接法〔列等式〕；〔3〕代入法〔相關點法或轉移法〕；〔4〕待定系數法；〔5〕參數法；〔6〕交軌法。8．求點的軌跡與求點的軌跡方程的區別：求點的軌跡方程：只需求出相應的方程，給出、的取值范圍即可。求點的軌跡：不僅要求出相應的方程，給出、的取值范圍，并且要指明方程表示什么樣的曲線。9．幾道典型題：〔1〕雙曲線上的點到一焦點的距離為12，那么到另一焦點的距離為6或18；假設到一焦點的距離為4，那么到另一焦點的距離為10；假設到一焦點的距離為7，那么到另一焦點的距離為13?！蔡崾荆航拱霃揭c做比擬〕〔2〕過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點，假設，那么這樣的直線共有____條；假設，那么共有____條；假設，那么共有____條；假設，那么共有____條。〔提示：與及通徑比擬〕〔3〕、，在雙曲線上求一點，使最小。〔4〕橢圓，為右焦點，定點，為橢圓上一點，①求的坐標，使最??；②求的最大值，最小值?！?〕、，在拋物線上求一點，使最小。九、立體幾何1.平面的根本性質公理1:如果一條直線的兩個點在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內。符號語言表述為:。公理2:如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點。這些公共點的集合是一條直線。符號語言表述為:。公理3:經過不在一條直線上的三點確定一個平面。推論:一條直線和直線外一點、兩條相交直線、兩條平行直線都可分別確定一個平面。2．平行(1)直線平行關系的傳遞性:平行于同一條直線的兩條直線平行(公理4)。符號語言表述為:圖形語言表述為:；定理:如果一個角的兩邊分別平行并且方向相同,那么這兩個角相等。符號語言表述為:圖形語言表述為:推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角〔或直角〕相等。(2)直線和平面平行的判定定理和性質定理判定定理:如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。符號語言表述為:圖形語言表述為:性質定理:如果一條直線和一個平面平行,經過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行。符號語言表述為:圖形語言表述為:(3)平面與平面平行的判定定理和性質定理判定定理:如果一個平面內的兩條相交直線平行于另一平面，那么這兩個平面平行。符號語言表述為:圖形語言表述為:推論:如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一平面內的兩條直線,那么這兩個平面平行。符號語言表述為:圖形語言表述為:性質定理:如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號語言表述為:圖形語言表述為:符號語言表述為:圖形語言表述為:3.夾角、距離與垂直(1)兩條異面直線的夾角:過空間任一點作兩條直線分別和兩條異面直線平行，這兩條直線所成的銳角或直角就是兩條異面直線的夾角。夾角為直角時，稱兩條直線互相垂直。〔其中〕兩直線異面的判定：過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經過該點的直線是異面直線。符號語言表述為:圖形語言表述為:直線與是異面直線(2)直線和平面垂直的判定定理和性質定理判定定理:如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直,那么這條直線和這個平面垂直。符號語言表述為:圖形語言表述為:此外還有：，性質定理:垂直于同一平面的兩條直線平行，垂直于同一條直線的的兩個平面平行。符號語言表述為:圖形語言表述為:(3)三垂線定理及其逆定理三垂線定理〔先垂射影后垂斜線〕:在平面內一條直線,如果和平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。符號語言表述為:圖形語言表述為:三垂線定理的逆定理〔先垂斜線后垂射影〕:在平面內一條直線,如果和平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線的射影垂直。符號語言表述為:圖形語言表述為:(4)直線和平面所成的角是直線和其在平面內的射影的夾角?！财渲小?5)以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角〔〕。其中(6)垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短。(7)最小角原理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角。(8)平面和平面垂直的判定定理和性質定理兩個平面垂直的定義：兩個平面所成的二面角是時,稱兩個平面互相垂直。兩個平面垂直的判定定理:如果一個平面經過另一個平面的一條垂線,那么兩個平面互相垂直。符號語言表述為:圖形語言表述為:兩個平面垂直的性質定理:如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。符號語言表述為:圖形語言表述為:推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，那么它們交線垂直于第三平面。符號語言表述為:圖形語言表述為:(8)距離:本章主要介紹了點到平面，直線和平面，平面和平面，兩條異面直線的距離。求距離主要運用向量的數量積運算、正弦定理和余弦定理(勾股定理)。另附：求角：〔步驟Ⅰ：找或作角；Ⅱ：證；Ⅲ：計算〕⑴異面直線所成角的求法：eq\o\ac(○,1)平移法：平移直線，構造三角形；eq\o\ac(○,2)補形法：補成正方體、平行六面體、長方體等，發現兩條異面直線間的關系。eq\o\ac(○,3)向量法，轉化為兩直線方向向量的夾角。⑵直線與平面所成的角：①直接法〔利用線面角定義〕；②先求斜線上的點到平面距離h，與斜線段長度作比，得sin。eq\o\ac(○,3)向量法，轉化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。⑶二面角的求法：①定義法：在二面角的棱上取一點〔特殊點〕，作出平面角，再求解；②三垂線法：由一個半平面內一點作〔或找〕另一個半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；③面積射影定理(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為)；eq\o\ac(○,4)向量法，轉化為兩個半平面法向量的夾角。注：對于沒有給出棱的二面角，應先作出棱，然后再選用上述方法；求距離：〔步驟Ⅰ.找或作垂線段；Ⅱ.求距離〕⑴兩異面直線間的距離：一般先作出公垂線段，再進行計算，或轉化為點到面的距離，進行求解。⑵點到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段，再求解。⑶點到平面的距離。eq\o\ac(○,1)垂面法：借助面面垂直的性質作垂線段〔確定面的垂面是關鍵〕，再求解；eq\o\ac(○,2)等體積法；eq\o\ac(○,3)向量法：。⑷球面距離：〔步驟〕〔Ⅰ〕求線段AB的長；〔Ⅱ〕求球心角∠AOB的弧度數〔AB所在大圓的圓心角的弧度數〕；〔Ⅲ〕求劣弧的長。4.直觀圖的一種畫法：斜二測畫法eq\o\ac(○,1)．在圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸交于點，畫直觀圖時，把它們畫成對應的軸和軸，兩軸交于點，使，它們確定的平面表示水平平面；eq\o\ac(○,2)．圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸或軸的線段；eq\o\ac(○,3)．圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于軸的線段，長度為原來的一半。5.棱柱、棱錐與多面體(1)棱柱:eq\o\ac(○,1)按側棱和底面分類:斜棱柱(側棱與底面不垂直)和直棱柱(側棱與底面垂直)eq\o\ac(○,2)正棱柱:底面是正多邊形的直棱柱。eq\o\ac(○,3)特殊的四棱柱分類：{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}。{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}?！?〕棱錐：eq\o\ac(○,1)兩個根本性質：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共點的三角形。eq\o\ac(○,2)正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心?！?〕表〔側〕面積與體積公式：柱體：①外表積：②體積：錐體：①外表積：②體積：〔4〕正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體6.球〔1〕用一個平面去截一個球，截面是圓面，球的截面有以下性質：eq\o\ac(○,1)球心和截面圓心的的連線垂直于截面；eq\o\ac(○,2)球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑有下面的關系：〔2〕緯度為的緯線圈所在的小圓半徑為：〔為地球的半徑〕?！?〕兩點的球面距離：經過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度?！?〕球的外表積公式：；球的體積公式：。7.常用結論：〔1〕從一點O出發的三條射線OA、OB、OC，假設∠AOB=∠AOC，那么點A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上；A〔2〕三余弦公式：〔其中為平面內一條直線與平面外一條直線所成的角，為直線與平面所成的角，為直線在平面的射影與直線所成的角?！矨〔3〕正四面體的性質：設棱長為，那么正四面體的：eq\o\ac(○,1)高：；②球心把高分成3：1；③內切球半徑：；外接球半徑：；〔4〕最小角定理的應用兩異面直線所成的角為，過定點的直線與所成的角都是，①當或時，這樣的直線有1條；②當時，這樣的直線有2條；③當時，這樣的直線有3條；④當時，這樣的直線有4條?！沧ⅲ喝绻麤]說直線過定點，假設存在1條，那么存在無數條?！匙冃晤}：平面與所成的二面角為，P為、外一定點，過點P的一條直線與、所成的角都是，那么這樣的直線有且僅有：4條?！?〕三棱錐中，為點在面上的射影：①假設，那么為的外心。②假設到三邊的距離相等，那么為的內心。③假設與底面所成的線面角相等，那么為的外心。④假設三側面與底面所成的二面角相等，那么為的內心。⑤假設兩兩垂直，那么為的垂心。〔6〕球的組合體(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長；(2)球與正方體的組合體:正方體的內切球的直徑是正方體的棱長；正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長；正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長?！?〕求多面體體積的常規方法是什么？〔割補法、等積變換法〕8．空間向量相關知識點：〔1〕共線向量定理：對空間任意兩個向量的充要條件是存在實數，使〔唯一〕?！?〕共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數使?！?〕空間向量的夾角及其表示：兩非零向量，在空間任取一點，作，那么叫做向量與的夾角，記作；且規定，顯然有；假設，那么稱與互相垂直，記作：；〔4〕證明平行方面的公式：線線平行、線面平行、面面平行eq\o\ac(○,1)線線平行：或，eq\o\ac(○,2)線面平行：或，其中為平面的法向量eq\o\ac(○,3)面面平行：，其中分別為平面的法向量〔5〕垂直：線線垂直、線面垂直、面面垂直eq\o\ac(○,1)線線垂直：eq\o\ac(○,2)線面垂直：eq\o\ac(○,3)面面垂直：，其中分別為平面的法向量〔6〕角：線線角、線面角、面面角〔角記為〕eq\o\ac(○,1)線線角：〔〕eq\o\ac(○,2)線面角：〔為直線AB的方向向量，為平面的法向量〕〔〕eq\o\ac(○,3)面面角：分別為平面的法向量，二面角的平面角先計算，最后依據題目判斷二面角的平面角為銳角還是鈍角，假設為銳角，那么，；假設為鈍角，那么，eq\o\ac(○,4)距離：點B到面的距離，其中為平面的法向量，那么有：此外假設，，那么。其它距離問題均可轉化為點與面的距離進行求解。十、排列、組合和二項式定理1．分類計數原理〔加法原理〕。2.分步計數原理〔乘法原理〕。3．排列數公式==(，∈N*，且)。當時：，規定。4．組合數公式===(，且)。規定：5．組合數的兩個性質(1)=;(2)+=6．排列與組合的共同點，就是“都要從個不同元素中，任取個元素〞，而不同點就是排列“按照一定的順序排成一列〞，而組合卻是“不管怎樣的順序并成一組。〞因此，“有序〞與“無序〞是區別排列與組合的重要標志。7．排列數與組合數的關系是：。8．含有可重元素的排列問題：對含有相同元素求排列個數的方法是：設重集S有k個不同元素，其中限重復數為，且,那么S的排列個數等于。例如：數字3、2、2，求其排列個數又例如：數字5、5、5、求其排列個數？其排列個數。9．幾個常用組合數公式：10.常用的證明組合等式的方法:=1\*romani.裂項求和法。如：〔利用〕=2\*romanii.導數法。=3\*romaniii.數學歸納法。=4\*romaniv.倒序求和法。=5\*romanv.遞推法〔即用遞推〕。如：。=6\*romanvi.構造二項式法。如：。證明：這里構造二項式其中的系數，左邊為，而右邊。11.排列、組合的綜合問題：=1\*ROMANI.排列、組合問題幾大解題方法及題型：=1\*GB3①直接法。=2\*GB3②排除法。=3\*GB3