PAGE2016學年河南師大附中競賽班高一（上）第三次測試數學試卷一、填空題（每題5分，滿分75分）1．已知向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），若（λ+）∥，則λ=__________．2．已知點A（﹣1，0）、B（1，3），向量=（2k﹣1，2），若，則實數k的值為

__________．3．向量、的夾角為60°，且||=1，||=2，則|2﹣|=__________．4．已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，則的最小值為__________．5．在△ABC中，A=45°，C=105°，BC=，則AC=__________．6．已知△ABC的一個內角為120°，并且三邊長構成公差為4的等差數列，則△ABC的面積為__________．7．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c且b2+c2+bc﹣a2=0，則角A=__________．8．已知{an}為等差數列，若a3+a4+a8=9，則S9=__________．9．公比為2的等比數列{an}的各項都是正數，且a4a10=16，則a10=__________．10．已知數列{an}滿足a1=3，an+1=an+p?3n（n∈N*，p為常數），a1，a2+6，a3成等差數列，則數列{an}的通項公式為__________．11．過點（3，1）作圓（x﹣1）2+y2=1的兩條切線，切點分別為A、B，則直線AB的方程為__________．12．如果直線（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0與直線（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0互相垂直，則a的值等于__________．13．直線y=kx+1與圓x2+y2﹣2a2﹣2a﹣4=0恒有交點，則實數a的取值范圍是__________．14．已知三個數2，m，8構成一個等比數列，則圓錐曲線+=1離心率為__________．15．設雙曲線的離心率為2，且一個焦點與拋物線x2=8y的焦點相同，則此雙曲線的方程為__________．二、解答題16．已知圓方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若圓與直線x+2y﹣4=0相交于M，N兩點，且OM⊥ON（O為坐標原點）求m的值；（2）在（1）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．17．已知數列{an}的前n項和為Sn，且an+1=Sn﹣n+3，n∈N+，a1=2．（Ⅰ）求數列{an}的通項；（Ⅱ）設的前n項和為Tn，證明：Tn＜．18．已知橢圓C：的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．（1）求橢圓C的方程．（2）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，且△AOB的面積為，求：實數k的值．19．設相交兩圓的交點為M和K，引兩圓的公切線，切點分別是A、B，證明：∠AMB+∠AKB=180°．20．（25分）在凸四邊形ABCD中，對角線BD不平分對角中的任意一個．點P在四邊形ABCD內部，并且滿足∠PBC=∠DBA和∠PDC=∠BDA．若A，B，C，D四點共圓，證明：AP=CP．21．（30分）設四邊形ABCD內接于圓，另一圓的圓心在邊AB上并且與四邊形的其余三邊相切．證明：AD+BC=AB．2015-2016學年河南師大附中競賽班高一（上）第三次測試數學試卷一、填空題（每題5分，滿分75分）1．已知向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），若（λ+）∥，則λ=0．【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】平面向量及應用．【分析】利用向量的坐標運算和向量共線定理即可得出．【解答】解：λ+=λ（1，﹣3）+（4，﹣2）=（λ+4，﹣3λ﹣2），∵（λ+）∥，∴﹣2（﹣3λ﹣2）﹣（λ+4）=0，解得λ=0．故答案為：0．【點評】本題考查了向量的坐標運算和向量共線定理，屬于基礎題．2．已知點A（﹣1，0）、B（1，3），向量=（2k﹣1，2），若，則實數k的值為

﹣1．【考點】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【專題】計算題．【分析】求出向量，利用，轉化為向量的數量積為0的坐標運算，即可求出實數k的值．【解答】解：由題意=（2，3），向量=（2k﹣1，2），，則2×（2k﹣1）+6=0解得k=﹣1故答案為：﹣1【點評】本題是基礎題，考查向量的坐標運算，向量的數量積，考查垂直的充要條件的應用，是常考題．3．向量、的夾角為60°，且||=1，||=2，則|2﹣|=2．【考點】數量積表示兩個向量的夾角；向量的模．【專題】平面向量及應用．【分析】把已知條件代入向量的模長公式計算可得．【解答】解：∵向量、的夾角θ=60°，且||=1，||=2，∴|2﹣|====2，故答案為：2．【點評】本題考查數量積與向量的夾角，涉及向量的模長公式，屬基礎題．4．已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，則的最小值為．【考點】基本不等式．【專題】不等式的解法及應用．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+2b=1，∴=（a+2b）=3+=，當且僅當a=b時取等號．∴的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質，屬于基礎題．5．在△ABC中，A=45°，C=105°，BC=，則AC=1．【考點】正弦定理．【專題】解三角形．【分析】根據正弦定理進行求解即可．【解答】解：∵在△ABC中，A=45°，C=105°，∴B=180°﹣45°﹣105°=30°．∵BC=，∴，即AC===1，故答案為：1【點評】本題主要考查解三角形的應用，利用正弦定理是解決本題的關鍵．6．已知△ABC的一個內角為120°，并且三邊長構成公差為4的等差數列，則△ABC的面積為15．【考點】余弦定理；數列的應用；正弦定理．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】因為三角形三邊構成公差為4的等差數列，設中間的一條邊為x，則最大的邊為x+4，最小的邊為x﹣4，根據余弦定理表示出cos120°的式子，將各自設出的值代入即可得到關于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的邊長，然后利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【解答】解：設三角形的三邊分別為x﹣4，x，x+4，則cos120°==﹣，化簡得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三邊分別為：6，10，14則△ABC的面積S=×6×10sin120°=15．故答案為：15【點評】此題考查學生掌握等差數列的性質，靈活運用余弦定理及三角形的面積公式化簡求值，是一道中檔題．7．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c且b2+c2+bc﹣a2=0，則角A=120°．【考點】余弦定理．【專題】解三角形．【分析】把已知變形，代入余弦定理的推論求得cosA，則角A可求．【解答】解：由b2+c2+bc﹣a2=0，得b2+c2﹣a2=﹣bc，∴，∵0°＜A＜180°，∴A=120°．故答案為：120°．【點評】本題考查余弦定理的應用，考查了利用余弦定理的推論求角，是基礎題．8．已知{an}為等差數列，若a3+a4+a8=9，則S9=27．【考點】等差數列的前n項和；等差數列的性質．【專題】等差數列與等比數列．【分析】設等差數列{an}的公差為d，由于a3+a4+a8=9，可得3=a5．再利用S9=9a5，即可得出．【解答】解：設等差數列{an}的公差為d，∵a3+a4+a8=9，∴3a1+12d=9，化為a1+4d=3=a5．則S9==9a5=27．故答案為：27．【點評】本題考查了等差數列的性質及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9．公比為2的等比數列{an}的各項都是正數，且a4a10=16，則a10=32．【考點】等比數列的通項公式．【專題】等差數列與等比數列．【分析】設出等比數列{an}的首項，結合等比數列的通項公式和a4a10=16列式求出首項，然后代回等比數列的通項公式可求a10．【解答】解：設等比數列{an}的首項為a1（a1≠0），又公比為2，由a4a10=16，得：，所以，，解得：．所以，．故答案為32．【點評】本題考查了等比數列的通項公式，考查了學生的運算能力，注意的是等比數列中所有項不會為0，此題是基礎題．10．已知數列{an}滿足a1=3，an+1=an+p?3n（n∈N*，p為常數），a1，a2+6，a3成等差數列，則數列{an}的通項公式為．【考點】數列遞推式．【專題】等差數列與等比數列．【分析】數列{an}滿足a1=3，an+1=an+p?3n（n∈N*，p為常數），可得a2=3+3p，a3=3+12p．由于a1，a2+6，a3成等差數列，可得2（a2+6）=a1+a3，解得p=2，由于an+1=an+2?3n，可得當n≥2時，an﹣an﹣1=2?3n﹣1．利用an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1即可得出．【解答】解：∵數列{an}滿足a1=3，an+1=an+p?3n（n∈N*，p為常數），∴a2=a1+p?3=3+3p，a3=a2+9p=3+12p．∵a1，a2+6，a3成等差數列，∴2（a2+6）=a1+a3，∴2（3+3p+6）=3+3+12p，解得p=2，∴an+1=an+2?3n，∴當n≥2時，an﹣an﹣1=2?3n﹣1．∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（3n﹣1+3n﹣2+…+3）+3=2×+3=3n．故答案為：．【點評】本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、“累加求和”、遞推關系的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．11．過點（3，1）作圓（x﹣1）2+y2=1的兩條切線，切點分別為A、B，則直線AB的方程為2x+y﹣3=0．【考點】圓的切線方程．【專題】計算題；直線與圓．【分析】求出以（3，1）、C（1，0）為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程．【解答】解：圓（x﹣1）2+y2=1的圓心為C（1，0），半徑為1，以（3，1）、C（1，0）為直徑的圓的方程為（x﹣2）2+（y﹣）2=，將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程2x+y﹣3=0，故答案為：2x+y﹣3=0．【點評】本題考查直線和圓的位置關系以及圓和圓的位置關系、圓的切線性質，體現了數形結合的數學思想，屬于基礎題．12．如果直線（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0與直線（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0互相垂直，則a的值等于a=2或a=﹣2．【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關系．【分析】利用兩條直線互相垂直的充要條件，得到關于a的方程可求．【解答】解：設直線（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0為直線M；直線（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0為直線N①當直線M斜率不存在時，即直線M的傾斜角為90°，即a﹣2=0，a=2時，直線N的斜率為0，即直線M的傾斜角為0°，故：直線M與直線N互相垂直，所以a=2時兩直線互相垂直．②當直線M和N的斜率都存在時，kM=（，kN=要使兩直線互相垂直，即讓兩直線的斜率相乘為﹣1，故：a=﹣2．③當直線N斜率不存在時，顯然兩直線不垂直．綜上所述：a=2或a=﹣2故答案為：a=2或a=﹣2【點評】本題考查兩直線垂直的充要條件，若利用斜率之積等于﹣1，應注意斜率不存在的情況．13．直線y=kx+1與圓x2+y2﹣2a2﹣2a﹣4=0恒有交點，則實數a的取值范圍是a∈R．【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題；直線與圓．【分析】直線y=kx+1與曲線x2+y2﹣2a2﹣2a﹣4=0恒有交點，說明直線系過的定點必在圓上或圓內．【解答】解：直線y=kx+1恒過（0，1）點的直線系，直線與曲線x2+y2﹣2a2﹣2a﹣4=0恒有交點，必須定點在圓上或圓內，即：02+12﹣2a2﹣2a﹣4≤0，所以a∈R．故答案為：a∈R．【點評】本題考查直線與圓的位置關系，點與圓的位置關系，兩點間的距離公式，直線系等知識是中檔題．14．已知三個數2，m，8構成一個等比數列，則圓錐曲線+=1離心率為或．【考點】雙曲線的簡單性質；橢圓的簡單性質．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】由1，m，9構成一個等比數列，得到m=±3．當m=3時，圓錐曲線是橢圓；當m=﹣3時，圓錐曲線是雙曲線，由此入手能求出離心率．【解答】解：∵2，m，8構成一個等比數列，∴m=±4．當m=4時，圓錐曲線+=1是橢圓，它的離心率是；當m=﹣4時，圓錐曲線+=1是雙曲線，它的離心率是．故答案為：或．【點評】本題考查圓錐曲線的離心率的求法，解題時要注意等比數列的性質的合理運用，注意分類討論思想的靈活運用．15．設雙曲線的離心率為2，且一個焦點與拋物線x2=8y的焦點相同，則此雙曲線的方程為．【考點】拋物線的簡單性質；雙曲線的簡單性質．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】利用拋物線的方程先求出拋物線的焦點即雙曲線的焦點，利用雙曲線的方程與系數的關系求出a2，b2，利用雙曲線的三個系數的關系列出m，n的一個關系，再利用雙曲線的離心率的公式列出關于m，n的另一個等式，解方程組求出m，n的值，代入方程求出雙曲線的方程．【解答】解：拋物線的焦點坐標為（0，2），所以雙曲線的焦點在y軸上且c=2，所以雙曲線的方程為，即a2=n＞0，b2=﹣m＞0，所以，又，解得n=1，所以b2=c2﹣a2=4﹣1=3，即﹣m=3，m=﹣3，所以雙曲線的方程為．故答案為：．【點評】解決雙曲線、橢圓的三參數有關的問題，有定注意三參數的關系：c2=a2+b2而橢圓中三參數的關系為a2=c2+b2二、解答題16．已知圓方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若圓與直線x+2y﹣4=0相交于M，N兩點，且OM⊥ON（O為坐標原點）求m的值；（2）在（1）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．【考點】直線和圓的方程的應用．【專題】直線與圓．【分析】（1）將圓的方程與直線方程聯立，設M（x1，y1），N（x2，y2），利用OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=0，利用韋達定理，即可求出m的值；（2）確定圓心坐標與半徑，即可求以MN為直徑的圓的方程．【解答】解：（1）由x2+y2﹣2x﹣4y+m=0得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m由5﹣m＞0，可得m＜5…于是由題意把x=4﹣2y代入x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，得5y2﹣16y+8+m=0…..設M（x1，y1），N（x2，y2），則，…∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0…∴5y1y2﹣8（y1+y2）+16=0∴，滿足題意…（2）設圓心為（a，b），則a=，b=…．半徑r==?=…∴圓的方程…（13分）【點評】本題考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查圓的方程，正確運用韋達定理是關鍵．17．已知數列{an}的前n項和為Sn，且an+1=Sn﹣n+3，n∈N+，a1=2．（Ⅰ）求數列{an}的通項；（Ⅱ）設的前n項和為Tn，證明：Tn＜．【考點】數列遞推式；數列的求和；不等式的證明．【專題】計算題；證明題．【分析】（1）根據題中所給的an+1=Sn﹣n+3，可得an=sn﹣1﹣（n﹣1）+3，兩者相減即可得出遞推式，進而求出數列{an}的通項．（2）根據題中所給的式子，求出bn的通項公式，進而求出的前n項和Tn，再比較它與的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵an+1=Sn﹣n+3，n≥2時，an=Sn﹣1﹣（n﹣1）+3，∴an+1﹣an=an﹣1，即an+1=2an﹣1，∴an+1﹣1=2（an﹣1），（n≥2，n∈N*），∴an﹣1=（a2﹣1）2n﹣2=3?2n﹣2an=（Ⅱ）∵Sn=an+1+n﹣3=3?2n﹣1+n﹣2，∴∴相減得，，∴＜．∴結論成立．【點評】此題主要考查根據數列通項公式之間關系求解及相關計算．18．已知橢圓C：的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．（1）求橢圓C的方程．（2）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，且△AOB的面積為，求：實數k的值．【考點】橢圓的簡單性質；橢圓的標準方程．【專題】綜合題．【分析】（1）因為橢圓離心率為e==，又因為短軸一個端點到右焦點的距離為a=，故c=，從而b2=a2﹣c2=1，橢圓C的方程為．（2）先由原點O到直線l的距離為，得等式，再將直線l與橢圓聯立，利用韋達定理和△AOB的面積為，得等式?=，最后將兩等式聯立解方程即可得k值【解答】解：（1）設橢圓的半焦距為c，依題意，∴b=1，∴所求橢圓方程為．（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）．由已知，得．又由，消去y得：（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2===又，化簡得：9k4﹣6k2+1=0解得：【點評】本題考察了橢圓的標準方程，直線與橢圓相交的性質，解題時要特別注意韋達定理在解題中的重要應用，巧妙地運用設而不求的解題思想提高解題效率．19．設相交兩圓的交點為M和K，引兩圓的公切線，切點分別是A、B，證明：∠AMB+∠AKB=180°．【考點】圓的切線的判定定理的證明．【專題】選作題；推理和證明．【分析】連接MK并延長交AB于C點，則△ACM∽△ACK，可得∠MAC=∠AKC，同理∠MBC=∠BKC，利用三角形的內角和定理，即可證明結論．【解答】證明：連接MK并延長交AB于C點，則△ACM∽△ACK，∴∠MAC=∠AKC，同理∠MBC=∠BKC，∵∠MAB+∠ABM+∠AMB=180°，∴∠AKC+∠BKC+∠AMB=180°，∵∠AKC+∠BKC=∠AKB，∴∠AMB+∠AKB=180°．【點評】本題考查三角形相似的判定與性質，考查三角形的內角和定理，屬于中檔題．20．（25分）在凸四邊形ABCD中，對角線BD不平分對角中的任意一個．點P在四邊形ABCD內部，并且滿足∠PBC=∠DBA和∠PDC=∠BDA．若A，B，C，D四點共圓，證明：AP=CP．【考點】圓內接多邊形的性質與