第21講平行四邊形第21講平行四邊形11．了解多邊形的有關概念，掌握多邊形的內角和與外角和公式，并會進行有關的計算與證明．2．掌握平行四邊形的概念及有關性質，了解四邊形的不穩定性．3．掌握平行四邊形的判定方法，并能進行計算和證明．4．了解兩條平行線之間距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離．1．了解多邊形的有關概念，掌握多邊形的內角和與外角和公式，并2平行四邊形是中考命題的重點內容，多以選擇題、填空題和解答題的形式出現．1.直接考查多邊形的邊角關系、多邊形內角和、平行四邊形的定義、性質和判定．2．以平行四邊形為背景，常和三角形、圓、函數結合．3．體現數形結合思想、方程思想、對稱思想和轉化的思想．平行四邊形是中考命題的重點內容，多以選擇題、填空題和解答題的31．(2013·寧波)一個多邊形的每個外角都等于72°，則這個多邊形的邊數為()A．5B．6C．7D．82．(2013·杭州)如圖，在?ABCD中，下列結論一定正確的是(

)A．AC⊥BDB．∠A＋∠B＝180°C．AB＝ADD．∠A≠∠CAB1．(2013·寧波)一個多邊形的每個外角都等于72°，則這43．(2011·金華)如圖，在?ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，過BC的中點E作EF⊥AB，垂足為點F，與DC的延長線相交于點H，則△DEF的面積是

．3．(2011·金華)如圖，在?ABCD中，AB＝3，AD＝54．(2014·臺州)如圖1是某公共汽車前擋風玻璃的雨刮器，其工作原理如圖2，雨刷EF丄AD，垂足為A，AB＝CD，且AD＝BC.這樣能使雨刷EF在運動時，始終垂直于玻璃窗下沿BC.請證明這一結論．證明略4．(2014·臺州)如圖1是某公共汽車前擋風玻璃的雨刮器，6直角三角形的性質1．(2014·廣東)一個多邊形的內角和是900°，這個多邊形的邊數是()A．4B．5C．6D．72．(2014·萊蕪)若一個正n邊形的每個內角都為156°，則這個正n邊形的邊數是(

)A．13B．14C．15D．16DC【解析】第1題根據多邊形的內角和公式(n－2)·180°，列式求解；第2題由一個正多邊形的每個內角都為156°，可求得其外角的度數，利用外角和360°，可求得此多邊形的邊數．直角三角形的性質1．(2014·廣東)一個多邊形的內角和是971．多邊形的概念：在平面內，由一些不在同一直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．2．n邊形過一個頂點的對角線有________條，共有________條對角線；n邊形的內角和為________，外角和為360°.1．多邊形的概念：在平面內，由一些不在同一直線上的線段首尾順83．(2014·畢節)如圖，一個多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個內角后，得到一個內角和為2340°的新多邊形，則原多邊形的邊數為()A．13B．14C．15D．164．(2014·廣安)一個多邊形的內角和比四邊形內角和的3倍多180°，這個多邊形的邊數是

．B93．(2014·畢節)如圖，一個多邊形紙片按圖示的剪法剪去一91．利用多邊形的內角和公式，當已知內角和時，可求邊數；已知邊數時，可求內角和．

2．有時需要轉化為方程解決．

3.

正多邊形的每個外角等于360°n，求解時可以利用外角與內角的關系，轉化為外角解決．

1．利用多邊形的內角和公式，當已知內角和時，可求邊數；已知邊10平行四邊形的性質①②④

1．(2014·安徽)如圖，在?ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連結EF，CF，則下列結論中一定成立的是

．(把所有正確結論的序號都填在橫線上)

①∠DCF＝12∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF.

平行四邊形的性質①②④1．(2014·安徽)如圖，在?A112．(2014·襄陽)在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝25，則?ABCD的周長等于

．

12或20

【解析】第1題利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質，通過延長CD構造全等三角形；第2題根據題意畫出圖形，BC邊上的高的位置需要分類，分別在平行四邊形的內部和外部，進而利用勾股定理求出．2．(2014·襄陽)在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB121．平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．2．平行四邊形性質：(1)平行四邊形的對邊________，對角________；對角線________．(2)平行四邊形是中心對稱圖形．中心對稱圖形的性質：對稱中心平分連結兩個________的線段．1．平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．133．(2014·河南)如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長是()A．8B．9C．10D．11C3．(2014·河南)如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交144．如圖，?ABCD中，AC，BD為對角線，BC＝6，BC邊上的高為4，則陰影部分的面積為()A．3B．6C．12D．24C4．如圖，?ABCD中，AC，BD為對角線，BC＝6，BC邊155．(2014·樂山)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，M為AD中點，連結CM交BD于點N，且ON＝1.5．(2014·樂山)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線A16(1)求BD的長；(2)若△DCN的面積為2，求四邊形ABCM的面積

(1)求BD的長；(2)若△DCN的面積為2，求四邊形ABC17利用平行四邊形的性質可以說明線段相等、角相等，也可以求角的度數、面積等，其方法是把平行四邊形問題轉化為三角形問題，通過三角形全等、相似來解決．利用平行四邊形的性質可以說明線段相等、角相等，也可以求角的度18平行四邊形的判定1．(2014·昆明)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是()CA．AB∥CD，AD∥BCB．OA＝OC，OB＝ODC．AD＝BC，AB∥CDD．AB＝CD，AD＝BC平行四邊形的判定1．(2014·昆明)如圖，在四邊形ABC192．在同一平面內，△ABC和△ABD如圖①放置，小明做了如下操作：將△ABC繞著邊AC的中點旋轉180°得到△CEA，將△ABD繞著邊AD的中點旋轉180°得到△DFA，連結EF，CD，如圖②，求證：四邊形CDFE是平行四邊形．2．在同一平面內，△ABC和△ABD如圖①放置，小明做了如下20解：∵△ABD繞著邊AD的中點旋轉180°得到△DFA，∴AB＝DF，BD＝FA，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AB∥DF，∵△ABC繞著邊AC的中點旋轉180°得到△CEA，∴AB＝CE，BC＝EA，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AB∥CE，∴CE∥FD，CE＝FD，∴四邊形CDEF是平行四邊形【解析】第1題根據平行四邊形的判定定理分別判斷得出答案即可；第2題根據旋轉的性質易得四邊形ABCE，ABDF為平行四邊形，在此基礎上只要說明CE∥FD，CE＝FD，可判斷四邊形CDFE是平行四邊形．解：∵△ABD繞著邊AD的中點旋轉180°得到△DFA，∴A21平行四邊形的判定方法：1．兩組對邊分別________的四邊形是平行四邊形．2．兩組對邊分別________的四邊形是平行四邊形．3．一組對邊________的四邊形是平行四邊形．4．對角線相互________的四邊形是平行四邊形．平行四邊形的判定方法：223．(2014·內江)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AD∥BC，請添加一個條件：__

，使四邊形ABCD為平行四邊形．(不添加任何輔助線)AD＝BC等3．(2014·內江)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，234．(2014·涼山)如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連結DF.4．(2014·涼山)如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及24(1)試說明AC＝EF；

(2)求證：四邊形ADFE是平行四邊形

∵△ACD是等邊三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°，∴EF∥AD，∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形(1)試說明AC＝EF；(2)求證：四邊形ADFE是平行四25在判定一個四邊形是平行四邊形時，需要根據圖形及已知條件選擇方法：(1)若已知一組對邊平行，則考慮說明另一組對邊平行或者說明這組對邊相等；(2)若已知一組對邊相等，則考慮說明另一組對邊相等或者說明這組對邊平行；(3)若已知條件與對角線有關，則考慮說明對角線互相平分．在判定一個四邊形是平行四邊形時，需要根據圖形及已知條件選擇方26第21講平行四邊形第21講平行四邊形271．了解多邊形的有關概念，掌握多邊形的內角和與外角和公式，并會進行有關的計算與證明．2．掌握平行四邊形的概念及有關性質，了解四邊形的不穩定性．3．掌握平行四邊形的判定方法，并能進行計算和證明．4．了解兩條平行線之間距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離．1．了解多邊形的有關概念，掌握多邊形的內角和與外角和公式，并28平行四邊形是中考命題的重點內容，多以選擇題、填空題和解答題的形式出現．1.直接考查多邊形的邊角關系、多邊形內角和、平行四邊形的定義、性質和判定．2．以平行四邊形為背景，常和三角形、圓、函數結合．3．體現數形結合思想、方程思想、對稱思想和轉化的思想．平行四邊形是中考命題的重點內容，多以選擇題、填空題和解答題的291．(2013·寧波)一個多邊形的每個外角都等于72°，則這個多邊形的邊數為()A．5B．6C．7D．82．(2013·杭州)如圖，在?ABCD中，下列結論一定正確的是(

)A．AC⊥BDB．∠A＋∠B＝180°C．AB＝ADD．∠A≠∠CAB1．(2013·寧波)一個多邊形的每個外角都等于72°，則這303．(2011·金華)如圖，在?ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，過BC的中點E作EF⊥AB，垂足為點F，與DC的延長線相交于點H，則△DEF的面積是

．3．(2011·金華)如圖，在?ABCD中，AB＝3，AD＝314．(2014·臺州)如圖1是某公共汽車前擋風玻璃的雨刮器，其工作原理如圖2，雨刷EF丄AD，垂足為A，AB＝CD，且AD＝BC.這樣能使雨刷EF在運動時，始終垂直于玻璃窗下沿BC.請證明這一結論．證明略4．(2014·臺州)如圖1是某公共汽車前擋風玻璃的雨刮器，32直角三角形的性質1．(2014·廣東)一個多邊形的內角和是900°，這個多邊形的邊數是()A．4B．5C．6D．72．(2014·萊蕪)若一個正n邊形的每個內角都為156°，則這個正n邊形的邊數是(

)A．13B．14C．15D．16DC【解析】第1題根據多邊形的內角和公式(n－2)·180°，列式求解；第2題由一個正多邊形的每個內角都為156°，可求得其外角的度數，利用外角和360°，可求得此多邊形的邊數．直角三角形的性質1．(2014·廣東)一個多邊形的內角和是9331．多邊形的概念：在平面內，由一些不在同一直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．2．n邊形過一個頂點的對角線有________條，共有________條對角線；n邊形的內角和為________，外角和為360°.1．多邊形的概念：在平面內，由一些不在同一直線上的線段首尾順343．(2014·畢節)如圖，一個多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個內角后，得到一個內角和為2340°的新多邊形，則原多邊形的邊數為()A．13B．14C．15D．164．(2014·廣安)一個多邊形的內角和比四邊形內角和的3倍多180°，這個多邊形的邊數是

．B93．(2014·畢節)如圖，一個多邊形紙片按圖示的剪法剪去一351．利用多邊形的內角和公式，當已知內角和時，可求邊數；已知邊數時，可求內角和．

2．有時需要轉化為方程解決．

3.

正多邊形的每個外角等于360°n，求解時可以利用外角與內角的關系，轉化為外角解決．

1．利用多邊形的內角和公式，當已知內角和時，可求邊數；已知邊36平行四邊形的性質①②④

1．(2014·安徽)如圖，在?ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連結EF，CF，則下列結論中一定成立的是

．(把所有正確結論的序號都填在橫線上)

①∠DCF＝12∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF.

平行四邊形的性質①②④1．(2014·安徽)如圖，在?A372．(2014·襄陽)在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝25，則?ABCD的周長等于

．

12或20

【解析】第1題利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質，通過延長CD構造全等三角形；第2題根據題意畫出圖形，BC邊上的高的位置需要分類，分別在平行四邊形的內部和外部，進而利用勾股定理求出．2．(2014·襄陽)在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB381．平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．2．平行四邊形性質：(1)平行四邊形的對邊________，對角________；對角線________．(2)平行四邊形是中心對稱圖形．中心對稱圖形的性質：對稱中心平分連結兩個________的線段．1．平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．393．(2014·河南)如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長是()A．8B．9C．10D．11C3．(2014·河南)如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交404．如圖，?ABCD中，AC，BD為對角線，BC＝6，BC邊上的高為4，則陰影部分的面積為()A．3B．6C．12D．24C4．如圖，?ABCD中，AC，BD為對角線，BC＝6，BC邊415．(2014·樂山)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，M為AD中點，連結CM交BD于點N，且ON＝1.5．(2014·樂山)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線A42(1)求BD的長；(2)若△DCN的面積為2，求四邊形ABCM的面積

(1)求BD的長；(2)若△DCN的面積為2，求四邊形ABC43利用平行四邊形的性質可以說明線段相等、角相等，也可以求角的度數、面積等，其方法是把平行四邊形問題轉化為三角形問題，通過三角形全等、相似來解決．利用平行四邊形的性質可以說明線段相等、角相等，也可以求角的度44平行四邊形的判定1．(2014·昆明)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是()CA．AB∥CD，AD∥BCB．OA＝OC，OB＝ODC．AD＝BC，AB∥CDD．AB＝CD，AD＝BC平行四邊形的判定1．(2014·昆明)如圖，在四邊形ABC452．在同一平面內，△ABC和△ABD如圖①放置，小明做了如下操作：將△ABC繞著邊AC的中點旋轉180°得到△CEA，將△ABD繞著邊AD的中點旋轉180°得到△DFA，連結EF，CD，如圖②，求證：四邊形CDFE是平行四邊形．2．在同一平面內，△ABC和△ABD如圖①放置，小明做了如下46解：∵△ABD繞著邊AD的中點旋轉180°得到△DFA，∴AB＝DF，BD＝FA，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AB∥DF，∵△ABC繞著邊AC的中點旋轉180°得到△CEA，∴AB＝CE，BC＝EA，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AB∥CE，∴CE∥FD，CE＝FD，∴四邊形CDEF是平行四邊形【解析】第1題根據平行四邊形的判定定理分別判斷得出答案即可；第2題根據旋轉的性質易得