2021年第62屆IMO試題詳解問題n>100設整數一0伊凡把れ,れ+1,???,2n的每個數寫在不同的卡片上,然后他將這丁張卡片打亂順序并分成兩堆。證明:至少有一堆中包含兩張卡片,使得這兩張卡片上的數之和是ー個完全平方數。分析首先應該從最簡單的情況進行考慮,而不是ー開始就分析所有的完全平方數。我們應該考慮ー種退化的情況,也就在れ,れ+1,???,2れ這些數中,是否存在三個數ユ,卜。它們兩兩之和都是完全平方數?如果是這樣的話,問題就迎刃而解了,因為由抽屜原理,這三個數必有兩數落入同一堆。從而此題的重頭戲在于從n,n+1,???,2n這些數中構造出三個數ユ,ヌ。它們兩兩之和都是完全平方數。構造方式可能不唯一,但我們需要找ー種最利于我們證明的構造方式。仔細思考,如果反過來找三個完全平方數,讓它們成為三個數0,ス。的兩兩之和,我們肯定希望這三個完全平方數盡可能靠近,從而。’レ'。的極差不會太大,更容易落入n,n+1,???,2n這些數中。從而,我們選擇三個連續的完全平方數,是最利于我們構造的。以上是解此題的詳細思路,希望讀者在閱讀以下解答之前可以自己嘗試一下。下面給出此題的詳細解答。解答77〉100 777對于給定的正整數一 ,可以取ー個正整數,使得m+2m<n<2m—4m（見附證）。此時,考慮三個正整數a=2m—4m,

b=2m2+1,

c=2m+4m.由的取值范圍知:n<a<b<c<2れ.也就是說Q,ス。可以視作れ,れ+1,???,2n中的三個不同的數。而它們兩兩之和為完全平方數,即a+b=(2m—I)2,a+c=(2m)2,bc=(2m+I)2.從而,若把‘"‘"丁丄’’這些數分成兩堆,由抽屜原理知,0’b,。中必存在兩個數被分在同一堆,而它們的和是完全平方數。證畢!77〉JOO 777附證:設正整數 ーリリ,則存在正整數’‘ク使得m+2m<n<2m—4m.證明:考慮所有形如m2+2m)(m+I)2+2(m+1)]777 'Q的區間,為正整數,它們的并集可以覆蓋所有く。的實數,即存在正整數ア“0,使得mg+27710<n<(mg+I)2+2(mo+由れ的范圍知?7—9,那么此時有:2m彳ー4m0一((m0+I)2+2(m0+1))=mg—87no—3=(mg—4)2—19>(9-4)2-19=6>0.也即(m0+l)2+2(m0+1)<2mg-4m0,從而m0+27710<n<2m0—47710.證畢!點評這是本次IM〇最簡單的一道題,我也是花了不到半小時解決的。其實,這道題只要能夠想到構造三個數。,°)。它們兩兩之和都是完全平方數,那么此題就迎刃而解了。問題對任意實數1し,2,?一'1れ,證明下述不等式成立,nnEE\/￡=1j=lnnEEJ分析本題要使用如下的結論。引理1:對于任意實數ユ,有r001-cos（欣）7 /- dt=ノ27raJoty/t從而可以將原題中的va轉化為積分形式,從而問題迎刃而解。而為了證明上面的結論,我們需要用到如下的事實:引理2:這兩個引理的證明見附證。解答根據分析中的結論,注意到ベa+b—ベa—b2sin(ai)sin(尻)dt那么oo2sin（宏/）sin（xjt）dtooVZ7T2r、——z^2^2sin（力ノ）sin（叼ナ）dtj=lとsin（ありi=l2dt>0.最后ー步的不等式是由于被積函數恒不小于。的緣故。證畢!附證:引理2證明:_ス2考慮整函數, 在閉合路徑）上的積分,其中閉合路徑ッ由三部分組成:ク1沿著實軸正方向從。到れ,ナ2沿著以五為蟀的圓則H到H小學沿著直線ノ買回到°,令趨近于正無窮。71上的積分是高斯積分,ッツ z--Re”對于屋上的積分,作代換ん 丄しヒIeゼdz\72ブ2LI4g_R2(cos什すsinり2冃0江日リ0f”6ー或cos2tdt

4 dt7T—4R7T—4R(1ー宀從而當五趨近于正無窮時,フ2上的積分趨近于°?對于73對于73上的積分,作代換2 te4由于, 是整函數,從而在閉合路徑)上的積分為0,Ie~z2dz=fe~z2dz=0.Jマ ノア1+)2+)3而將上述得到的ク1,ナ2)73上的積分代入得,證畢!由分部積分公式得,廣!—cos(ai)oty/idt_—2(1—cos(af))其中,8+2qo8sin(at).——dt.Vt..—2(1—cos(at)) —(at)2ハlim———廠'ノノ=lim」廠，=0.土一》〇十ヽZ1 t—>o+ ヽZ1由夾逼準則知].—2(1—cos(at))ハlim——— 〈ノノ=0.tT8 y/t從而「「ツ(為”2a煤山J〇tyt J〇Vt將上式ユ替換成I°L積分值不會改變,這是由于0。,(力)是個偶函數,從而2af0半。出二2同/8回等北JoVt Joyt由于當ユ 。時,積分值等于。,所以接下來討論“ヰ。的情形。

作代換”=。ク得,,迎理山.JoVt Poo=sin(tt2)du.ノ〇我們得到7r我們得到7ra最后一步使用了引理2。綜合 的情形「1一?3）必=.J〇 ty/t證畢!點評

本題是本次IM〇最難的一道題,得分率也是最低的。若用初等的解法比較復雜,本文使用的是積分的做法。若事先就知道相關的ー些結論,則做起來沒有那么麻煩。問題設ク口銳角二角形480（48設ク口銳角二角形480（48＞ス。）內部一點ADAB=ACAD.線段スし上的點匸滿足AADE=/BCD,線段スQ上的點刀滿足AFDA=ADBC,日古正スc「SとX、拄.CX=BX501紡且直線上的點滿足 設丄和°2分別是三角形"0和三角形"Xク的外心。證明:直線8aE4口°。2共點。分析要證明三線共點,其中一個思路就是先作出其中兩線的交點,再證明這個交點屬于第三條直線。在此題中,",し‘匸，「都是三角形々〇し上的點,°レ°2為兩圓圓心,所以不難想到作出EF的交點，再證明這個交點屬于。i°2,考慮到ク為兩圓的其中一個交點,我們很容易聯想到兩圓的另ー交點K,要證明,在。i°2上,只需要證明’C ’ク（引理5）。此時不難想到利用反演變換,jjd2即以為反演中心, 為反演幕作反演變換,我們只需K證明這是反演變換下的不動點。為此,我們只需要試著找出ー對反像,使得它們的ー個交點為拡。要找出ー對反像,我們很自然想到利用某些反演點,從而不EFBC難猜到,和‘極有可能互為反演點,而要論證這JD^QBDC.QEDF一點,我們需要I侖證 為 與 的公切線（引理2）,而不難發現，這一點成立的前提是BFEC'',四點共圓（引理I）o在反演變換中,常見的反像要么是圓和圓,要么是圓和直線,要么是直線和直線,而在此題當中,我們注意到出現了一個完全四邊形c亠QしJ匸,從而我們很容易將其密克點T聯系起來,從而我們可以由此構造出很多四點共圓,而結合我們上面要證明的兩組反演點,我們又多了一組反演點A.T綜合這些反演點,我們要構造的ー對反像實際上是QADCQBDTK 宀イ、例亠占め亠和 ,而要成為匕們的父點的刖坦曰んD,C,K妬B,D）T,Kg占狂冋角提是‘’‘和‘’,四點共圓（弓I理4）,而要證明這ー結論,我們需要論證, ' 5四點共圓（引理3）。下面提供本題的詳細解答。解答EFBC1設 延長線交し延長線于”.

X接下來,我們按步驟,將整道題分成幾個引理來ー步ー步證明,在直線°1°2上。BFEC引理1：，，,四點共圓。圖二AAFiCAD證明:如圖二,作 外接圓,延長交外接圓M...^BDF.mQBDF&EDC々國立冋。石℃?ADBM=Z.DBC+ACBM=ADAF+Z.FDA=Z.BFD.所以與 相切,同理 與QEDC,^士アルら十ラ布冋め宣八川小MB?相切,故對這兩圓的帚分別為 和MC2^MB=MC"而河グ而冋め,又因為 ,從而在兩圓的根軸上,而”為兩圓的一個交點,也在兩圓根軸上,從而r）i\/r r1r1為兩圓根軸。不妨設兩圓的另ー交點為,則也在 上。從而AF-AB=AG-AD=AE-AC.BFEC故由圓幕定理知',,四點共圓。證畢!引理2:OBDC與〇EDF外切,JD為兩圓公切線（根軸）。

F口カn冋ー、.EF亠ADhH.證明:如圖二,設父于由引理1,AADF=AABC=AAMC.故‘'’四點共圓,從而/FED+ADCB=/FED+/HDE=/AHE=AACM=180°-AABM=180°-(/FBD+/DBM)=180°-(ZFBD+ZBFD)=ZBDF.所以兩圓外切。注意到Jア為G)E°F和。EFBC的根軸,J8為0和。EFBC的根軸,從而由蒙日定囈,。石。F和。BDC的根軸必然經過ノ,又因為兩圓外切于刀,從而ク也在兩圓根軸上,從而’O為兩圓公切線(根軸)。證畢!

^^AFBCJE^由エB,F,E,Cg完全四邊形 中,由于'‘‘四AJ T點共圓（引理1）,所以密克點在上,設該點為,設BT亠ACJ.父于X,E,B,T四點共圓。圖四X,E,B,T四點共圓。圖四證明:如圖四,注意到ABTE=180°-AATB-ムETJ=180°-AACB-AAFE=180°-2AACB=180°-AACB-AXBC=ABXE.從而'‘‘四點共圓。證畢!、ハDL 〇スクCK.引理4月D,T,K和X,K,E,。四點共圓。

圖五證明:如圖五,注意到BL-LT=AL-LC=DL-LK.從而由圓幕定理知’', 四點共圓。由引理3得到的,,5四點共圓,以及剛得到的'''四點共圓,可知EL-LX=BL-LT=DL-LK.

從而由圓幕定理知, 5, 四點共圓。證畢!JK=JD.引理5:圖六證明:如圖六,由引理2可知,引理5:圖六JD2=JE?JF=JB?JC.又由于んF，E,TJT?JA=JE?JF=JD2.jjd2以為反演中心, 為反演幕作反演變換,由上面兩式知"〉’和タ’。為兩對反演點,從而。"。C和〇BDT互為反像,而注意到K為這兩個反像的交點,從而是反演變換下的不動點,從而‘刀?證畢!由引理5的’?=ノク可知,‘在線段ク衣的垂直平分線上,而由引理4知刀）芥是。和0°2的兩個交點,從而線段’?是兩圓的公共弦,所以。i°2是線段クk的垂直平分線,所以,在。i°2上。證畢I分析本題是本次IM〇最難的幾何題,難度僅次于第二題的不等式,得分率也十分低。本題涉及非常多的平面幾何知識點,例如圓幕與根軸,蒙日定理,密克點的性質,反演變換等等,解決此題需要非常熟練的平面幾何技巧以及相當敏銳的直覺。問題0 7 丁兩只松鼠和ノ為過冬收集了2021枚核桃。J將核桃依次編號為1到2021,并在它們最喜歡的樹周圍挖了一圈共2021個小坑。第二天早上,"發現已經在每個小坑里放入了一枚核桃,但并未注意編號。不開心的ノ決定用k T2021次操作來改變這些核桃的位置。在第。次操作中,ノk把與第號核桃相鄰的兩枚核桃交換位置。kkT證明:存在某個,使得在第次操作中U交換了兩枚編口+Q—b的か日レ目。<k<b號為和的核桃，且 ,分析每一次操作之后的狀態都具有很大的不確定性,因此我們尋找操作中的某些不變量,進而分析初始狀態和終態來找出矛盾。我們將通過染色的方法,來構造這種不變量。下面給出此題的詳細解答。解答假設命題不成立,那么存在某個2021次操作°,使得對kk任意,在第次操作中交換的兩個核桃的編號，要么都大kマノ加?k于,要么都小于。

我們在第べ次操作中將第號核桃染色,我們稱染過色的核桃為有色核桃,未染過色的核桃為無色核桃。那么根據題意,染色的順序是嚴格從編號1依次到編號2021,那么任何ー次操作中,任何無色核桃的編號必然大于任何有色核桃的編P號。那么對于操作而言,任意一次交換的兩個核桃必然同時是有色核桃或無色核桃。我們稱連續的若干個有色核桃為ー個"串",即兩個端點的有色核桃分別存在某個無色核桃與之相鄰,并且任何非端點的有色核桃相鄰的兩個核桃都是有色核桃。P卜在操作 中,記第次操作之后,串數+有色核桃數為f(k)我們證明下面的引理。f(k)我們證明下面的引理。引理:對于任意",/（レ）為偶數。證明:

當ん=。時,即沒有操作的初始狀態ノ（°）=。為偶數。假設/（ん~1）為偶數，那么對于第ん次操作而言,由k于第號核桃相鄰兩個核桃同時是有色或無色,交換它們不k會改變串數或有色核桃數,而將第號核桃染色會使有色核k桃數+1。對于串數而言,若相鄰兩個核桃是無色,則第號核桃染色之后自身形成一個串,即串數+1;若相鄰的兩個核桃是有色,則染色之后要么把相鄰兩條串連成一條串,要k么把除了第號核桃之外的一整條串破壞掉（這種情況只會在染最后ー個核桃的時候發生）,也即串數一1。從而，（ん）要么等于/（"-1）+2要么等于/（とー1）,為偶數。由數學歸納法知結論成立。證畢!為偶數。由數學歸納法知結論成立。證畢!"2021)=2021我們注意到‘〈 ノ 是ー個奇數,這和引理相矛盾,從而假設不真,即這樣的操作,不存在,而原命題成立。點評這道題不算很難,難度僅略高于本次IMO第一題。如果能夠想到用染色的方法,尋找操作之中的不變量,則問題迎刃而解。問題■p T A設圓丄的圓心為,凸四邊形 滿足:線段AB,BC,C4和都和「相切。設Q是三角形力I。的外接圓。8"往"方向的延長線交。于點ス.8C,、C亡宀めエヒ在亠。4ZAD/±D任方向的延長線父于點,往方向的延長線交。于點ビ,〇〇往ク方向的延長線交。于點T證明:AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.分析本題需要用到ー個簡單的結論。AC1如下圖所示,圓上有三點‘“’し,其中48豐40,角84c的外角平分線交圓于點尸,那么尸8=「0

ARビAC；pA證明:由對稱性,不妨設 、 ,從而在的右側,取"“延長線上一點ク.APCB=APCA+AACB

=Z.PBA+AAPB=/DAB=APAC=APBC.從戶=pc?解答如下圖超IA」C,エX」Y,IZ,IT.線段小BC,CD,—于P,Q,S,R.XTA/XAY注意到是 的外角平分線,從而由分析中的ry一アyty—1丁結論知 ,同理一,它們所對應的弧長也相等,從而TX=IX-IT=IY-IZ=YZ.所以ア*=丫"由［X='ド以及/pxt=/qyt厶「ハ"0可以導出ー對全等三角形RtAPXIRtASVIぬ而XP=YSマ理TR=ZQ.從而 同理 r那么有AD+DT+TX+XA=(AS+DS)+(TR-DR)+TX+(XP-AP)=AP+DS+TR-DS+TX+XP-AP=TR+TX+XP.CD+DY+YZ+ZC=ZQ+YZ+YS.由之前的分析,ユ八XP=YSAD+DT+TX+XA

=CD+DY+YZ+ZC.證畢!點評本題是非常容易的幾何題,使用的結論也比較常見。把線段拆開并分別證明一些線段相等即可解決此題。此題難度和本屆IM〇第一題難度相當。問題77?〉2A設整數ー設集合由有限個整數（不一定為正）構成,且B2）??,,BmA是的子集。假設對任意" 1，2パ…，けち8ス中所有元素之和為がA—證明:至少包含2個元素。分析A我們不妨將集合中的元素寫成為一個向量X=（%%…,。れ）,并定義ー個新的向量Y=(m,m2,???,mmy.定義一個矩陣"'=（Cび）加スれ,其中元素如下定義:M根據 的定義,可以把題目中的條件改寫成:MX=Y.而我們要證明的結論是解答證明:我們定義ー個由維向量構成的集合,V—{（スi,スi,…,スが|尢G{1,/