本文格式為Word版，下載可任意編輯—16—剖析應用機械能守恒定律的十種題型

成金德

機械能守恒定律是高中物理中最重要的力學規律之一，是歷年高考中的重點和熱點內容.

在實際應用中，機械能守恒定律往往與線、桿、彈簧等模型相聯系，再結合有關運動的合成與分解、平拋運動和圓周運動等相關知識，其綜合性強、涉及知識點多，難度較大的特點十分顯明.

為了更好地理解和把握機械能守恒定律的應用，幫助大家做好復習備考工作，本文就熟練應用機械能守恒定律的十種題型作詳盡的分析和探討.

1.

機械能守恒條件的判定.

機械能是否守恒，可以通過下面個方面進行判定：其一，對某一系統，假如只有重力和彈簧的彈力做功，其它的力不做功，或者做功的代數和等于零，則該系統的機械能守恒;

其二，對某一系統，假如系統內的物體間只有動能和重力勢能及彈性勢能間的相互轉化，沒有其它形式的能的轉化，則該系統的機械能守恒.

如圖1所示，一輕彈簧一端固定在O點，另一端系一小球，將小球從與懸點O在同一水平面且使彈簧保持原長的A點無初速釋放，讓小球自由擺下，不計空氣阻力.

在小球由A點擺向最低點B的過程中，以下說法中正確的是（）

A.

小球的機械能守恒

B.

小球的機械能減少

C.

小球的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和不變

D.

小球和彈簧組成的系統機械能守恒

分析：對小球而言，重力和彈簧的彈力均做功，在小球自由擺下的過程中，小球的重力勢能轉化為小球的動能和彈簧的彈性勢能，小球的機械能不守恒，即選項A錯誤，選項B正確;若取小球和彈簧組成的系統，只有重力和彈簧的彈力做功，則系統的機械能守恒，即選項C錯誤，選項D正確.

點評：此題中，假如只取小球作為研究對象，則由于彈簧對小球做功，則小球的機械不守恒.

若取小球和彈簧組成的系統，由于只有重力和彈簧的彈力做功，則機械能守恒.

在判斷某一系統機械能是否守恒時，必需弄清守恒的條件.

2.

單個物體的機械能守恒.

對單個物體（實際上包含地球，但在尋常狀況下，可以不提地球），機械能守恒條件是只有重力和彈簧的彈力做功.

（2022年海南卷）如圖2所示，光滑圓軌道固定在豎直面內，一質量為m的小球沿軌道做完整的圓周運動.

已知小球在最低點時對軌道的壓力大小為N1，在最高點時對軌道的壓力大小為N2.

重力加速度大小為g，則N1-N2的值為（）

A.

3mgB.

4mg

C.

5mgD.

6mg

分析：小球在最低點時受到重力mg和軌道對小球的彈力的作用，設小球此時的速度為v1，根據牛頓其次定律可知：

-mg=m

根據牛頓第三定律可知：=N1

小球在最高點時受到重力mg和軌道對小球的彈力的作用，設小球此時的速度為v2，根據牛頓其次定律可知：

mg+=m

根據牛頓第三定律可知：=N2

小球從最低點運動至最高點的過程中，只有重力做功，則機械能守恒.

取最低點處的重力勢能為零，根據機械能守恒定律得：

m=mg·2R+m

解以上幾式得：N1-N2=6mg，則選項D正確.

點評：小球在光滑圓軌道上做圓周運動的過程中，由于只有重力做功，則此過程中小球的機械能守恒，這是解決此題的關鍵所在.

3.

多個物體的機械能守恒.

對涉及多個物體的問題，必需明確兩點：其一，涉及多個物體的系統，機械能守恒的條件是只有系統內的重力和彈簧的彈力做功，其他力不做功或者做功的代數和等于零.

或者系統內只允許勢能與動能間的轉化，不允許系統內機械能與其他形式能量的轉化，更不允許系統內與系統外間的能量轉化;其二，要弄清選取哪些物體作為系統時，機械能是守恒的.

選取哪些物體作為系統時，機械能是不守恒的.

如圖3所示，10個質量均為m、半徑均為r的均勻剛性球，在施加于1號球的水平外力F的作用下均靜止，力F與圓槽在同一豎直面內，此時1號球球心與它在水平槽運動時的球心高度差為h.

現撤去力F使小球開始運動，直到所有小球均運動到水平槽內.

重力加速度為g.

求：

（1）1號球剛運動到水平槽時的速度;

（2）整個運動過程中，2號球對1號球所做的功.

分析：（1）1號球在下滑過程中，受到重力和圓槽的彈力作用，由于圓槽的彈力不做功，則1號球下滑過程中機械能守恒，則：

mgh=m

即1號球剛運動到水平槽時的速度為：v1=.

（2）取10個小球為研究對象，10個小球在下滑過程中只有重力做功，運動到水平槽上后，由于相互作用，最終以同一速度做勻速直線運動，其間由于小球間的彈力作用，雖然有動能與動能間的轉移，但機械能守恒.

設10個小球的最終速度為v，根據機械能守恒定律得：

10mg（h+9r·sin？茲）=·10m·v2

解得：v=

由動能定理可求得2號球對1號球所做的功為：

W=mv2-m=9mgrsin？茲

點評：1號球在下滑過程中，只有重力做功，此過程1號球的機械能守恒.

從開始到10個小球都運動到水平槽內并做勻速運動的整個運動過程中，由于小球間有相互作用力，而且，相互作用力做了功，實現小球間動能的轉移，但10個小球的機械能依舊守恒.

在整個運動過程中，對于任何一個小球來說，由于相互作用力做了功，因此機械能都不守恒.

因此，在解題時，一定要弄明了機械能守恒的條件.

4.

多過程的機械能守恒.

求解多過程問題，關鍵在于弄清各個小過程中是否滿足機械能守恒的條件，假如系統內只有重力和彈簧的彈力做功，則機械能守恒，可以應用機械能守恒定律建立方程.

如圖4所示，質量分別為3m、2m、m的三個小球A、B、C，用兩根長為L的輕繩相連，置于傾角為30°、高為L的固定光滑斜面上，A球恰能從斜面頂端處豎直落下，弧形擋板使小球只能豎直向下運動，碰撞過程中沒有動能損失，小球落地后均不再反彈，現由靜止開始釋放它們，不計所有摩擦.

求：

（1）A球剛要落地時的速度大小;

（2）C球剛要落地時的速度大小.

分析：（1）此題可分為三個小過程：小球A下落的過程;小球B從斜面頂端下落的過程;小球C從斜面頂端下落的過程.

在小球A下落的過程中，取三個小球為研究對象，只有重力做功，則機械能守恒.

取地面為零勢能處，設小球A下落到地面時的速度為v1，由機械能守恒定律得：

2mgLsin30°+3mg·2Lsin30°

=mgLsin30°+2mg·2Lsin30°+·6m·

解得：v1=

（2）在小球B下落的過程中，取B、C兩個小球為研究對象，由于只有重力做功，則機械能守恒.

設小球B下落到地面時的速度為v2，由機械能守恒定律得：

mgLsin30°+2mg·2Lsin30°+·3m·

=mg·2Lsin30°+·3m·

解得：v2=

在小球C下落的過程中，由于只有重力做功，則機械能守恒.

設小球C下落到地面時的速度為v3，由機械能守恒定律得：

mg·2Lsin30°+·m·=m

解得：v3=.

點評：此題中，從小球A開始下落到小球C下落到地面上的過程中，可以分為三個小過程.

在小球A下落過程中，只有取三個小球為系統時機械能才守恒;在小球B下落過程中，只有取B、C兩個小球為系統時機械能才守恒;在小球C下落過程中，只有取小球C為研究對象時機械能才守恒.

因此，在求解多過程問題時，必需弄清各個過程機械能是否守恒，選取哪些物體作為系統時機械能才守恒.

5.

繩子牽連的物體系的機械能守恒.

求解通過繩子牽連的物體構成的系統問題，必需注意兩點：其一，要弄清機械能守恒的條件;其二，對于不可伸長的繩子模型，繩子兩端的物體在沿著繩子方向的分速度大小一定相等.

有一半徑為R的半圓形豎直圓柱面，用一不可伸長的輕質細繩連接的A、B兩球懸掛在圓柱面邊緣一側，A球質量為B球質量的2倍，現將A球從圓柱邊緣處由靜止釋放，如圖5所示.

已知A球始終不離開圓柱內表面，且細繩足夠長，若不計一切摩擦阻力，求：

（1）A球沿圓柱內表面滑至最低點時速度的大小;

（2）A球沿圓柱內表面運動的最大位移.

分析：（1）在A下滑至圓柱內表面最低點的過程中，取A球、B球和繩子組成的系統為研究對象，除了重力做功外，繩子對A球做負功，繩子對B球做正功，其代數和等于零，可見，該系統機械能守恒.

設A球滑至最低點時的速度大小為vA，此時B球的速度為vB.

設B球的質量為m，則A球的質量為2m，由機械能守恒定律得：

2mgR-mgR=·2m·+m

由于兩個球沿著繩子方向的速度大小相等，將A球的速度vA分解為vA1和vA2，如圖6所示，則有：vB=vA1=vA

cos

45°

解以上兩式得：vA=2

（2）當A球沿圓柱內表面運動的位移最大時，如圖7所示，此時A球的速度為0.

設A球最大位移為x，由幾何關系可求出A球下降的高度h：

h=

由機械能守恒定律得：2mgh-mgx=0

解得：x=R

點評：A球和B球通過繩子牽連，由于繩子的不可伸縮，則兩個球沿著繩子方向的速度大小相等.

此題中，在A球下滑的過程中，雖然繩子分別對兩個球做功，但做功的代數和等于零，所以，在A球下滑的過程中，系統的機械能守恒.

6.

輕桿牽連的物體系的機械能守恒.

通過輕桿連接的物體系，由于輕桿的不可伸縮性，在輕桿方向上，輕桿兩端的物體的分速度大小相等.

輕桿通過做功可以起到傳遞機械能的作用，但系統的機械能總量不變.

如圖8所示，有一光滑軌道ABC，AB部分是半徑為R的圓弧，BC部分水平，質量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長為R，忽視小球的大小.

開始時a球處在圓弧上端的A點，由靜止釋放小球和輕桿，使其沿光滑軌道下滑，以下說法正確的是（）

A.

a球下滑過程中機械能守恒

B.

a、b兩球和輕桿組成的系統在下滑過程中機械守恒

C.

a、b滑到水平軌道上時速度大小為

D.

從釋放到a、b滑到水平軌道上，整個過程中輕桿對a球做的功為mgR

分析：對a球來說，重力和輕桿對它的彈力都做正功，因此，a球的機械能增加，選項A錯誤;對a、b兩球和輕桿組成的系統，在下滑過程中除了重力做功外，輕桿對a球做正功，對b球做負功，且代數和等于零，因此，a、b兩球和輕桿組成的系統總機械能守恒，選項B正確;

對a、b系統應用機械能守恒定律得：

mgR+mg·2R=·2m·v2

解得：v=，可見，選項C錯誤;

對a應用動能定理得：mgR+W=mv2，解得W=mgR，所以，選項D正確.

點評：此題中，由a球、b球和輕桿組成的系統，雖然輕桿分別對兩球做了功，但代數和等于零，故系統的機械能守恒.

但對于其中的任一個球，機械能都不守恒.

在兩個球下滑過程中，它們的速度并不相等，但沿著輕桿方向的分速度大小一定相等.

7.

彈簧牽連的物體系的機械能守恒.

由彈簧和通過彈簧相牽連的兩個物體所組成的系統，假如只有彈簧的彈力和重力做功，則系統的機械能守恒.

在相互作用過程中，當彈簧拉伸至最長（或壓縮至最短）時，彈簧兩端的物體具有一致的速度.

假如彈簧和通過彈簧相牽連的兩個物體所組成的系統內每個物體除彈簧彈力外所受合力為零，則當彈簧的長度為自然長度時（無形變），系統內彈簧某一端的物體具有最大速度.

假如彈簧與其兩端的物體不相連，彈簧的作用是將其儲存的勢能轉化為物體的動能.

如圖9所示，半徑為R的光滑半圓弧軌道與高為10R的光滑斜軌道放在同一豎直平面內，兩軌道之間由一條光滑水平軌道CD相連，水平軌道與斜軌道間有一段圓弧過渡.

在水平軌道上，輕質彈簧被a、b兩個小球擠壓但不與兩球連接，處于靜止狀態.

同時釋放兩個小球，a球恰好能通過圓弧軌道的最高點A，b球恰好能到達斜軌道的最高點B.

已知a球質量為m1，b球質量為m2，重力加速度為g.

求：

（1）a球離開彈簧時的速度大小va;

（2）b球離開彈簧時的速度大小vb;

（3）釋放小球前彈簧的彈性勢能Ep

.

分析：（1）由于a球恰好能通過圓弧軌道的最高點A，由牛頓其次定律可知：

m1g=m1

a球被彈簧推出至運動到圓弧軌道的最高點的過程中，只有重力做功，故機械能守恒，即：

m1=m1+m1g·2R

所以，a球離開彈簧時的速度大小為：va=.

（2）b球從被彈簧推出至運動到斜軌道的最高點B的過程中，只有重力做功，故機械能守恒，即：

m2=m2g·10R

則b球離開彈簧時的速度大小vb為：vb=2

（3）在釋放小球的過程中，取彈簧和兩個小球為系統，由于系統只有彈簧的彈力做功，則系統的機械能守恒，設彈簧在釋放小球前具有的彈性勢能為Ep，根據機械能守恒定律得：Ep=m1+m2

解得：Ep=（m1+10m2）Rg

點評：此題中的彈簧與其兩端的小球并不相連，所以，彈簧通過彈力將其勢能轉化為兩個小球的動能.

就其中的一個小球而言，由于彈簧的彈力做功，其機械能不守恒，但假如取兩個小球和彈簧組成的系統，則在相互作用過程中，系統的機械能守恒.

8.

勻質鏈條的機械能守恒.

對于勻質鏈條類問題，由于在運動過程中，鏈條的重心位置相對鏈條要發生變化，因此，求解鏈條類問題時，不能簡單地將鏈條當作質點來處理.

假如鏈條只在重力做功的狀況下，則可以應用機械能守恒定律求解.

求解時，往往將鏈條分段進行處理.

如圖10所示，AB為光滑的水平面，BC是傾角為α的足夠長的光滑斜面，斜面體固定不動，AB、BC間用一小段光滑圓弧軌道相連，一條長為L的均勻柔和鏈條開始時靜止地放在ABC面上，其一端D至B的距離為L-a，其中a未知，現自由釋放鏈條，當鏈條的D端滑到B點時鏈條的速率為v，求a.

分析：在鏈條下滑的過程中，由于只有重力做功，則機械能守恒.

取光滑水平面AB處為零勢能位置，設鏈條單位長度的質量為m，則鏈條開始時的機械能為：

E1=-am·g·asinα

當鏈條的D端滑到B點時，此時鏈條的機械能為：

E2=-Lm·g·Lsinα+Lmv2

由機械能守恒定律知：E1=E2

解以上方程得：a=

點評：由于鏈條下滑的過程中只有重力做功，所以，鏈條的機械能守恒.

開始時，在確定重力勢能時，可以將鏈條分為兩段進行處理，這樣就很簡單求出鏈條的重力勢能，從而使問題得到順利解答.

9.

流體的機械能守恒.

對于流體，在狀態變化的過程中，由于流體的重力勢能的變化與過程無關，只與始末狀態有關，因此，求解流體問題，尋常采用等效法.

求解時要注意整段液柱的重力勢能的變化相當于某一部分液柱的重力勢能的變化.

如圖11所示，一粗細均勻的U形管內裝有同種液體豎直放置，右管口用蓋板A密閉一部分氣體，左管口開口，兩液面高度差為h，U形管中液柱總長為4h，現取走蓋板，液柱開始滾動.

當兩側液面恰好相齊時右側液面下降的速度大小為多大？

分析：取走蓋板，在液體滾動的過程中，由于只有液體的重力做功，所以，液體的機械能守恒.

當兩側液面恰好相齊時，設此時右側液面下降的速度為v，高為h/2的液體的質量為m.

在此過程中，整段液體重力勢能的減少量相當于將如圖12所示的高為h/2的液柱1移到位置2時減少的重力勢能，即：

△Ep=-mg·

顯然，此過程減少的重力勢能轉化為整段液體的動能，由機械能守恒定律得：

mg·=·8m·v2

解得：v=

點評：此題中，在液體滾動過程中，液體重力勢能減少，轉化為液體的動能.

求解此題的關鍵在于如何確定液體重力勢能的減少量，這里采用了等效法，即把整段液體重力勢能的減少量等效為高為h/2的液柱下降h/2高度所減少的重力勢能.

這樣，就可以順利地找到了解題的突破口.

10.

綜合問題的機械能守恒.

在求解綜合問題時，只有那些只有重力做功和彈簧的彈力做功的狀況下，才能應用機械能守恒定律.

尋常狀況下，對一個綜合性的力學問題，往往要綜合應用不同的力學規律，在求解時，務必正確分析物理過程和特點，確切選取物理規律.

2022年新年伊始，人們懷著對新一年的美好祝愿和期盼，在廣場的水平地面上樹立了2022數字模型，如圖13所示，該模型是由較細的光滑管道制造而成，每個數字高度相等，數字2上半部分是半徑R1=1m的圓形管道，數字0是半徑R2=1.5m的圓形管道，2與0之間分別由導軌EF和HM連接，最右側數字0管道出口處與四分之一圓軌道MN連接.

從軌道AB上某處由靜止釋放質量為m=1kg的小球，若釋放點足夠高，小球可以順著軌道連續通過2022管道并且可以再次返回2022管道