第12章動量矩

定理本章重點：質點系動量矩的概念及計算，轉動慣量的概念，質點系相對于固定點的動量矩定理，剛體繞定軸轉動微分方程及其應用。?第12章動量矩定理本章重點：質點系動量11．質點和質點系的動量矩(角動量)質點Q對點O的動量矩的定義§12-1質點和剛體的動量矩?1．質點和質點系的動量矩(角動量)質點Q對點O的動量矩的定義2單位：kg·m2/s質點對z軸的動量矩是質點的動量在Oxy平面的投影(mv)xy對O點的矩。是代數量，從z軸正向看，逆時針為正，順時針為負。質點的動量對坐標軸的矩?單位：kg·m2/s質點對z軸的動量矩3對點的動量矩對軸的動量矩即

質點系的動量矩?對點的動量矩對軸的動量矩即質點系的動量矩?4(1)剛體平移的動量矩可將全部質量集中于質心，作為一個質點來計算。2.剛體的動量矩?(1)剛體平移的動量矩可將全部質量集中于質心，作為一個質點5(2)剛體繞定軸轉動的動量矩轉動慣量單位：kg·m2

轉動慣量是剛體轉動時慣性的度量。質量是剛體移動時慣性的度量。2.剛體的動量矩?(2)剛體繞定軸轉動的動量矩轉動慣量單位：kg·m2轉6教材P213表12－1列出了簡單均質物體的轉動慣量1)回轉半徑（慣性半徑）的概念

或3.剛體對軸的轉動慣量轉動慣量?教材P213表12－1列出了簡單均質物體的轉動慣量1)回轉72)平行軸定理式中：zC軸為過質心且與z軸平行的軸，d為z軸與zC軸之間的距離。即：剛體對于任一軸的轉動慣量，等于剛體對通過質心并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離平方的乘積。3.剛體對軸的轉動慣量?2)平行軸定理式中：zC軸為過質心且與z軸8桿OA由鉸鏈O與地面連接，它對軸O的轉動慣量為JO；一高為h、質量為m1的均質矩形板沿軸x以速度v平移，并推動桿OA繞軸O轉動；一質量為m2的質點E以相對速度vr在板上運動。試求系統運動到圖示位置時對軸O（軸z）的動量矩。例12-1?桿OA由鉸鏈O與地面連接，它對軸O的轉動慣量為JO9解：1

、LZ(OA)2、LZ(板)用點的合成運動求ω例12-1續?解：1、LZ(OA)2、LZ(板)用點的合成運動求ω例103、LZ(E)結果：例12-1續?3、LZ(E)結果：例12-1續?11鐘擺簡化如圖所示。已知均質細桿和均質圓盤的質量都為m，圓盤半徑R，桿長3R，求擺對通過懸掛點O并垂直于圖面的z軸的轉動慣量。

例12-2解：

查表得：

根據平行軸定理

?鐘擺簡化如圖所示。已知均質細桿和均質圓盤的質量都12

1．質點的動量矩定理設O為定點，有：其中：

(O為定點)

§12-2動量矩定理?

1．質點的動量矩定理設O為定點，有：其中：(O為定點)13投影式：因此稱為質點的動量矩定理：質點對某定點的動量矩對時間的一階導數，等于作用力對同一點的矩。質點的動量矩定理?投影式：因此稱為質點的動量矩定理：質點對某定點的動量矩對時14得由于對第i個質點有：對n個質點有：2.質點系的動量矩定理?得由于對第i個質點有：對n個質點有：2.質點系的動量15投影式：注意：內力不能改變質點系的動量矩。稱為質點系的動量矩定理：質點系對某定點O的動量矩對時間的一階導數，等于作用于質點系的外力對于同一點之矩的矢量和。2.質點系的動量矩定理?投影式：注意：內力不能改變質點系的動量矩。稱為質點系的動量矩16已知：m1，r，k，m2，R，解：選系統為研究對象,受力分析如圖例12-3求：彈簧被拉長s時，重物m2的加速度a2

。設塔輪該瞬時的角速度為ω，則解得：?已知：m1，r，k，m2，R，解：選系統為研究對象,受力17若，則常矢量；若，則常量。3．動量矩守恒定律?若，則18主動力：約束力：即：或或與相似§12-3剛體繞定軸轉動的微分方程?主動力：約束力：即：或或與19已知：，求。解：由上式可見，只有當定滑輪勻速轉動（包括靜止）或雖非勻速轉動，但可忽略J時，F1、F2才相等。例12-5?已知：，求。解：20已知：，求：1.ω；2.Mf解：因為系統外力對z軸的矩為零，故系統對z軸動量矩守恒。例12-61.選系統為研究對象2.選輪2為研究對象積分?已知：，求：1.ω；2211．對質心的動量矩由于得其中如圖，以質心C為原點，取平移坐標系Cx’y’z’。質點系相對質心C為的動量矩為：§12-4質點系相對于質心的動量矩定理質點系相對質心的動量矩，無論是以相對速度計算還是以絕對速度計算，其結果都相同。?1．對質心的動量矩由于得其中如圖，以質心C為原點，取平移坐標22質點系對任一點O的動量矩：質點系相對于任意定點的動量矩?質點系對任一點O的動量矩：質點系相對于任意定點的動量矩?23結論質點系對任一點O的動量矩等于集中于系統質心的動量對O點的動量矩，與質點系相對于質心動量矩的矢量和。質點系相對于任意定點的動量矩?結質點系對任一點O的動量矩等于集中于24由于即2相對質心的動量矩定理?由于即2相對質心的動量矩定理?25質點系相對于質心的動量矩定理：質點系相對于質心的動量矩對時間的一階導數，等于作用于質點系的外力對質心的主矩。該定理在形式上與質點系相對于固定點的動量矩定理完全一樣。提示質點系相對于質心的動量矩定理?質點系相對于質心的動量矩定理：質點系相對于質心的動量矩對時間26或剛體的平面運動選質心為基點，可分為隨質心的平移和相對質心的轉動，則剛體平面運動微分方程是質心運動定理和相對于質心的動量矩定理?！?2-5剛體的平面運動微分方程?或剛體的平面運動選質心為基點，可分為隨質心的27以上各組均稱為剛體平面運動微分方程。應用時一般用投影式：剛體的平面運動微分方程?以上各組均稱為剛體平面運動微分方程。應用時一般用投影式：剛體28例12-8已知：l，m，θ=60°。求：1.

αAB；2.FA解：繩子剛被剪斷，桿AB作平面運動，受力如圖，根據平面運動微分方程

補充運動學方程

在y軸方向投影

?例12-8已知：l，m，θ=60°。求：1.αAB；2.29例12-9已知：如圖r，m，m1。求：1.

aA；2.FAB；3.FS2解：分別以A、B、C為研究對象?例12-9已知：如圖r，m，m1。求：1.aA；2.F30例12-9續（1）其中根據定軸轉動微分方程

其中（2）?例12-9續（1）其中根據定軸轉動微分方程其中（2）?31例12-9續（3）整理得根據平面運動微分方程

其中（4）運動學補充方程

（5）?例12-9續（3）整理得根據平面運動微分方程其中（4）32例12-9續解聯立方程，得?例12-9續解聯立方程，得?33憐惜生命，勿忘安全。11月-2211月-22Monday,November7,2022無論是看得見，還是看不見的地方，都要徹底打掃干凈。00:22:0300:22:0300:2211/7/202212:22:03AM多看一眼，安全保險。多防一步，少出事故。11月-2200:22:0300:22Nov-2207-Nov-22礁石終究要暴露，麻痹掩蓋隱患早晚要傷人。00:22:0300:22:0300:22Monday,November7,2022事故只是表面的現象，隱患才是危險的敵人。11月-2211月-2200:22:0300:22:03November7,2022一絲之差，優劣分家。2022年11月7日12:22上午11月-2211月-22革除馬虎之心，提升品質之源。07十一月202212:22:03上午00:22:0311月-22整頓——提高工作效率。十一月2212:22上午11月-2200:22November7,2022自我檢驗不放松，質量標準記心中。2022/11/70:22:0300:22:0307November2022百盡竿頭，更進一步。12:22:03上午12:22上午00:22:0311月-22只做企業需要做的事，而不是只做自己喜歡做的事。11月-2211月-2200:2200:22:0300:22:03Nov-22容忍危險等于作法自斃，謹慎行事才能安然無恙。2022/11/70:22:03Monday,November7,2022萬人防火不算多，一人失火了不得。11月-222022/11/70:22:0311月-22謝謝大家！憐惜生命，勿忘安全。11月-2211月-22Wednesda34第12章動量矩

定理本章重點：質點系動量矩的概念及計算，轉動慣量的概念，質點系相對于固定點的動量矩定理，剛體繞定軸轉動微分方程及其應用。?第12章動量矩定理本章重點：質點系動量351．質點和質點系的動量矩(角動量)質點Q對點O的動量矩的定義§12-1質點和剛體的動量矩?1．質點和質點系的動量矩(角動量)質點Q對點O的動量矩的定義36單位：kg·m2/s質點對z軸的動量矩是質點的動量在Oxy平面的投影(mv)xy對O點的矩。是代數量，從z軸正向看，逆時針為正，順時針為負。質點的動量對坐標軸的矩?單位：kg·m2/s質點對z軸的動量矩37對點的動量矩對軸的動量矩即

質點系的動量矩?對點的動量矩對軸的動量矩即質點系的動量矩?38(1)剛體平移的動量矩可將全部質量集中于質心，作為一個質點來計算。2.剛體的動量矩?(1)剛體平移的動量矩可將全部質量集中于質心，作為一個質點39(2)剛體繞定軸轉動的動量矩轉動慣量單位：kg·m2

轉動慣量是剛體轉動時慣性的度量。質量是剛體移動時慣性的度量。2.剛體的動量矩?(2)剛體繞定軸轉動的動量矩轉動慣量單位：kg·m2轉40教材P213表12－1列出了簡單均質物體的轉動慣量1)回轉半徑（慣性半徑）的概念

或3.剛體對軸的轉動慣量轉動慣量?教材P213表12－1列出了簡單均質物體的轉動慣量1)回轉412)平行軸定理式中：zC軸為過質心且與z軸平行的軸，d為z軸與zC軸之間的距離。即：剛體對于任一軸的轉動慣量，等于剛體對通過質心并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離平方的乘積。3.剛體對軸的轉動慣量?2)平行軸定理式中：zC軸為過質心且與z軸42桿OA由鉸鏈O與地面連接，它對軸O的轉動慣量為JO；一高為h、質量為m1的均質矩形板沿軸x以速度v平移，并推動桿OA繞軸O轉動；一質量為m2的質點E以相對速度vr在板上運動。試求系統運動到圖示位置時對軸O（軸z）的動量矩。例12-1?桿OA由鉸鏈O與地面連接，它對軸O的轉動慣量為JO43解：1

、LZ(OA)2、LZ(板)用點的合成運動求ω例12-1續?解：1、LZ(OA)2、LZ(板)用點的合成運動求ω例443、LZ(E)結果：例12-1續?3、LZ(E)結果：例12-1續?45鐘擺簡化如圖所示。已知均質細桿和均質圓盤的質量都為m，圓盤半徑R，桿長3R，求擺對通過懸掛點O并垂直于圖面的z軸的轉動慣量。

例12-2解：

查表得：

根據平行軸定理

?鐘擺簡化如圖所示。已知均質細桿和均質圓盤的質量都46

1．質點的動量矩定理設O為定點，有：其中：

(O為定點)

§12-2動量矩定理?

1．質點的動量矩定理設O為定點，有：其中：(O為定點)47投影式：因此稱為質點的動量矩定理：質點對某定點的動量矩對時間的一階導數，等于作用力對同一點的矩。質點的動量矩定理?投影式：因此稱為質點的動量矩定理：質點對某定點的動量矩對時48得由于對第i個質點有：對n個質點有：2.質點系的動量矩定理?得由于對第i個質點有：對n個質點有：2.質點系的動量49投影式：注意：內力不能改變質點系的動量矩。稱為質點系的動量矩定理：質點系對某定點O的動量矩對時間的一階導數，等于作用于質點系的外力對于同一點之矩的矢量和。2.質點系的動量矩定理?投影式：注意：內力不能改變質點系的動量矩。稱為質點系的動量矩50已知：m1，r，k，m2，R，解：選系統為研究對象,受力分析如圖例12-3求：彈簧被拉長s時，重物m2的加速度a2

。設塔輪該瞬時的角速度為ω，則解得：?已知：m1，r，k，m2，R，解：選系統為研究對象,受力51若，則常矢量；若，則常量。3．動量矩守恒定律?若，則52主動力：約束力：即：或或與相似§12-3剛體繞定軸轉動的微分方程?主動力：約束力：即：或或與53已知：，求。解：由上式可見，只有當定滑輪勻速轉動（包括靜止）或雖非勻速轉動，但可忽略J時，F1、F2才相等。例12-5?已知：，求。解：54已知：，求：1.ω；2.Mf解：因為系統外力對z軸的矩為零，故系統對z軸動量矩守恒。例12-61.選系統為研究對象2.選輪2為研究對象積分?已知：，求：1.ω；2551．對質心的動量矩由于得其中如圖，以質心C為原點，取平移坐標系Cx’y’z’。質點系相對質心C為的動量矩為：§12-4質點系相對于質心的動量矩定理質點系相對質心的動量矩，無論是以相對速度計算還是以絕對速度計算，其結果都相同。?1．對質心的動量矩由于得其中如圖，以質心C為原點，取平移坐標56質點系對任一點O的動量矩：質點系相對于任意定點的動量矩?質點系對任一點O的動量矩：質點系相對于任意定點的動量矩?57結論質點系對任一點O的動量矩等于集中于系統質心的動量對O點的動量矩，與質點系相對于質心動量矩的矢量和。質點系相對于任意定點的動量矩?結質點系對任一點O的動量矩等于集中于58由于即2相對質心的動量矩定理?由于即2相對質心的動量矩定理?59質點系相對于質心的動量矩定理：質點系相對于質心的動量矩對時間的一階導數，等于作用于質點系的外力對質心的主矩。該定理在形式上與質點系相對于固定點的動量矩定理完全一樣。提示質點系相對于質心的動量矩定理?質點系相對于質心的動量矩定理：質點系相對于質心的動量矩對時間60或剛體的平面運動選質心為基點，可分為隨質心的平移和相對質心的轉動，則剛體平面運動微分方程是質心運動定理和相對于質心的動量矩定理?！?2-5剛體的平面運動微分方程?或剛體的平面運動選質心為基點，可分為隨質心的61以上各組均稱為剛體平面運動微分方程。應用時一般用投影式：剛體的平面運動微分方程?以上各組均稱為剛體平面運動微分方程。應用時一般用投影式：剛體62例12-8已知：l，m，θ=60°。求：1.

αAB；2.FA解：繩子剛被剪斷，桿AB作平面運動，受力如圖，根據平面運動微分方程

補充運動學方程

在y軸方向投影

?例12-8已知：l，m，θ=60°。求：1.αAB；2.63例12-9已知：如圖r，m，m1。求：1.

aA；2.FAB；3.FS2解：分別以A、B、C為研究對象?例12-9已知：如圖r，m，m1。求：1.aA；2.F64例12-9續（1）其中根據定軸轉動微分方程

其中（2）?例12-9續（1）其中根據定軸轉動微分方程其中（2）?65例12-9續（3）整理得根據平面運動微分方程

其中（4）運動學