1.2冪的乘方與積的乘方

（第1課時）北師大版數學七年級下冊1.2冪的乘方與積的乘方北師大版數學七年級下冊1地球、木星、太陽可以近似地看做是球體.木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的多少倍？導入新知V球=—，其中V是體積、r是球的半徑34πr3地球、木星、太陽可以近似地看做是球體.木星、21.理解并掌握冪的乘方法則.2.能熟練地運用冪的乘方的法則進行化簡和計算.素養目標3.運用冪的乘方的法則解決簡單問題.1.理解并掌握冪的乘方法則.2.能熟練地運用冪的乘方的法3木星的半徑是地球的10倍，它的體積是地球的103倍！太陽的半徑是地球的102倍，它的體積是地球的(102)3

倍！那么，你知道(102)3等于多少嗎？(102)3=102×102×102=102+2+2=106

探究新知知識點1冪的乘方的法則（較簡單的）木星的半徑是地球的10倍，它的體積是地球的103倍！4計算下列各式，并說明理由．（1）(62)4

；（2）(a2)3

；（3）(am)2

．解：（1）(62)4=62×

62×62×62

=62+2+2+2+2=68；（2）(a2)3=a2×a2×a2=a2+2+2=a6；（3）(am)2=am×am=am+m=a2m．做一做:探究新知計算下列各式，并說明理由．解：做一做:探究新知5想一想：請根據乘方的意義及同底數冪的乘法填空，觀察計算的結果，你能發現什么規律？證明你的猜想.(32)3=___×___×___

=3（

）+（

）+（

）=3（

）×（

）

=3（

）

323232222236猜想：(am)n=_____.amn探究新知想一想：請根據乘方的意義及同底數冪的乘法填空，(32)3=6證一證：(am)nn個amn個m冪的乘方法則(am)n=amn

(m，n都是正整數）即冪的乘方，底數______，指數＿＿＿.不變相乘探究新知證一證：(am)nn個amn個m冪的乘方法則(am)n=a7運算種類公式法則中運算計算結果底數指數同底數冪乘法冪的乘方乘法乘方不變不變指數相加指數相乘am·an

=am+n

探究新知運算公式法則計算結果底數指數同底數冪乘法冪的乘方乘法乘方不變8探究新知素養考點1考查冪的乘方的法則的應用能力

計算：（1）(102)3

；（2）(b5)5

；

（3）(an)3

；（4）-(x2)m

；（5）(y2)3·y；（6）2(a2)6-(a3)4

．例解：（1）(102)3=102×3=106

；（3）(an)3=an×3=a3n

；（5）(y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y7

；（6）2(a2)6-(a3)4=2a2×6-a3×4=2a12-a12=a12

．（2）(b5)5=b5×5=b25

；（4）-(x2)m=-x2×m=-x2m

；探究新知素養考點1考查冪的乘方的法則的應用能力9

方法總結運用冪的乘方法則進行計算時，一定不要將冪的乘方與同底數冪的乘法混淆，冪的乘方轉化為指數的乘法運算（底數不變），同底數冪的乘法轉化為指數的加法運算（底數不變）探究新知方法總結運用冪的乘方法則進行計算時，一定不要將冪的10計算：①

(103)5；

②

(b3)4；③

(xn)3；

④-(x7)7=1015=b12=x3n=-x49鞏固練習變式訓練計算：=1015=b12=x3n=-x49鞏固練習變式訓練11(-a5)2表示2個-a5相乘，結果沒有負號.(-a2)5和(-a5)2的結果相同嗎?為什么?不相同.(-a2)5表示5個-a2相乘，其結果帶有負號.n為偶數n為奇數探究新知知識點2冪的乘方的法則（較復雜的）(-a5)2表示2個-a5相乘，結果沒有負號.(-a2)5和12想一想：下面這道題該怎么進行計算呢？冪的乘方:＝(a6)4=a24[(y5)2]2=______=________[(x5)m]n=______=________練一練：(y10)2y20(x5m)nx5mn探究新知想一想：下面這道題該怎么進行計算呢？冪的乘方:＝(a6)4=13例1

計算：(1)

(x4)3·x6;(2)

a2(－a)2(－a2)3＋a10.解:

(1)

(x4)3·x6=x12·x6=x18；

(2)

a2(－a)2(－a2)3＋a10

=

-a2·a2·a6＋a10

=

-a10＋a10

=

0.憶一憶有理數混合運算的順序先乘方，再乘除先乘方，再乘除，最后算加減底數的符號要統一有關冪的乘方的混合運算素養考點1探究新知例1計算：(1)(x4)3·x6;(2)a2(14

方法總結與冪的乘方有關的混合運算中，一般先算冪的乘方，再算同底數冪的乘法，最后算加減，然后合并同類項．探究新知方法總結與冪的乘方有關的混合運算中，一般先算冪的乘15計算：(1)（x3）4·x2

；(2)2（x2）n－（xn）2

；(3)[（x2）3]7.

(1)原式=x12·x2=x14.(2)原式=2x2n

－x2n=x2n.(3)原式=(x2)21=

x42.解：鞏固練習變式訓練計算：(1)原式=x12·x2=x14.16例2

已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.

(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；

(2)102n＝(10n)2＝22＝4；

(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.

方法總結：此類題的關鍵是逆用冪的乘方及同底數冪的乘法公式，將所求代數式正確變形，然后代入已知條件求值即可.指數中含有字母的冪的乘方的計算素養考點2探究新知例2已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.解：(117(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；(2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．解：(1)(x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.(2)

因為2x＋5y－3＝0，所以2x＋5y＝3,則4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.完成下列題目變式訓練鞏固練習(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；(2)已知2x＋518例3

比較3500,4400,5300的大小.分析：這三個冪的底數不同,指數也不相同,不能直接比較大小,通過觀察,發現指數都是100的倍數,故可以考慮逆用冪的乘方法則.解:3500=(35)100=243100,4400=(44)100=256100,5300=(53)100=125100.因為256100>243100>125100,所以4400>3500>5300.探究新知冪的大小的比較素養考點3例3比較3500,4400,5300的大小.分析：這三個19=33x+4y地球、木星、太陽可以近似地看做是球體.冪的乘方的法則（較簡單的）(3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.（4）-(x2)m；與冪的乘方有關的混合運算中，一般先算冪的乘方，再算同底數冪的乘法，最后算加減，然后合并同類項．(102)3=102×102×102=102+2+2=106計算下列各式，并說明理由．（5）(y2)3·y；（2020?河北）若k為正整數，則（k+k+…+k）k＝（）528=(54)7=6257=33x·34y=(am)3·(an)2(32)3=___×___×___即冪的乘方，底數______，指數＿＿＿.比較底數大于1的冪的大小的方法有兩種:(1)(x4)3·x6;（3）(am)2=am×am=am+m=a2m．（3）(an)3；指數中含有字母的冪的乘方的計算解：(1)(102)8＝1016.因為256100>243100>125100,所以4400>3500>5300.

方法總結比較底數大于1的冪的大小的方法有兩種:(1)底數相同,指數越大,冪就越大;(2)指數相同,底數越大,冪就越大.故在此類題中，一般先觀察題目所給數據的特點，將其轉化為同底數的冪或同指數的冪，然后再進行大小比較.探究新知=33x+4y方法總結比較底數大于1的冪的大小的方法有兩種20比較大小：233____322233=(23)11=811322=(32)11=911＜變式訓練比較大小：435____528435=(45)7=10247528=(54)7=6257鞏固練習＞比較大小：233____322233=(23)11=811211.（2020?河北）若k為正整數，則（k+k+…+k）k＝（

）A．k2k

B．k2k+1

C．2kk

D．k2+k2.（2020?衢州）計算（a2）3，正確結果是（）A．a5

B．a6

C．a8

D．a9連接中考ABk個k1.（2020?河北）若k為正整數，則（k+k+…+k）k＝221．（a4）5=

．2.下列各式的括號內，應填入b4的是(

)A．b12＝(

)8 B．b12＝(

)6C．b12＝(

)3 D．b12＝(

)2C基礎鞏固題課堂檢測a201．（a4）5=．2.下列各式的括號內，應填入b4的是233．下列計算中，錯誤的是()A．(a2)3＝a6

B．(b2)5＝b7C．[(－b)3]n＝(－b)3n

D．[(－b)3]2＝b6B4．如果(9n)2＝312，那么n的值是(

)A．4 B．3C．2 D．1B課堂檢測基礎鞏固題3．下列計算中，錯誤的是()B4．如果(9n)2＝245．計算：(1)(102)8；(2)(xm)2；(3)[(－a)3]5；(4)－(x2)m.解：(1)(102)8＝1016.(2)(xm)2＝x2m.(3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.(4)－(x2)m＝－x2m.課堂檢測基礎鞏固題5．計算：(1)(102)8；(2)(xm)2；(3)[(－256．計算：(1)5(a3)4－13(a6)2；(2)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；解：(1)原式＝5a12－13a12＝－8a12.(2)原式＝－7x9·x7＋5x16－x16＝－3x16.課堂檢測基礎鞏固題6．計算：(1)5(a3)4－13(a6)2；解：(1)原式26已知3x+4y-5=0,求27x·81y的值.解:因為3x+4y-5=0,所以3x+4y=5,則27x·81y=(33)x·(34)y

=33x·34y

=33x+4y

=35

=243.

課堂檢測能力提升題已知3x+4y-5=0,求27x·81y的值.解:因為3x+27解：因為am=3,an=5所以a3m+2n=a3m·a2n=(am)3·(an)2=33×52=675.已知：am=2,an=5.求a3m+2n的值課堂檢測拓廣探索題解：因為am=3,an=5所以a3m+2n=a3m·a228解:(1)(x4)3·x6=x12·x6=x18；比較大小：435____528=-a10＋a10=0.解:(1)(x4)3·x6=x12·x6=x18；A．(a2)3＝a6B．(b2)5＝b7[(x5)m]n=______=________(102)3=102×102×102=102+2+2=1064．如果(9n)2＝312，那么n的值是()則27x·81y=(33)x·(34)y(1)底數相同,指數越大,冪就越大;冪的乘方，底數不變，指數相乘故在此類題中，一般先觀察題目所給數據的特點，將其轉化為同底數的冪或同指數的冪，然后再進行大小比較.（1）(102)3；(2)指數相同,底數越大,冪就越大.（1）(62)4；(2)原式=2x2n－x2n=x2n.④-(x7)7=-a10＋a10=0.(3)原式=(x2)21(4)－(x2)m＝－x2m.（第1課時）比較底數大于1的冪的大小的方法有兩種:冪的乘方法則（am）n=amn(m,n都是正整數）注意冪的乘方，底數不變，指數相乘冪的乘方與同底數冪的乘法的區別：(am)n=amn;am﹒an=am+n冪的乘方法則的逆用：amn=(am)n=(an)m課堂小結解:(1)(x4)3·x6=x12·x6=x18；冪29課后作業作業內容教材作業從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習課后作業作業教材作業從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習301.2冪的乘方與積的乘方

（第1課時）北師大版數學七年級下冊1.2冪的乘方與積的乘方北師大版數學七年級下冊31地球、木星、太陽可以近似地看做是球體.木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的多少倍？導入新知V球=—，其中V是體積、r是球的半徑34πr3地球、木星、太陽可以近似地看做是球體.木星、321.理解并掌握冪的乘方法則.2.能熟練地運用冪的乘方的法則進行化簡和計算.素養目標3.運用冪的乘方的法則解決簡單問題.1.理解并掌握冪的乘方法則.2.能熟練地運用冪的乘方的法33木星的半徑是地球的10倍，它的體積是地球的103倍！太陽的半徑是地球的102倍，它的體積是地球的(102)3

倍！那么，你知道(102)3等于多少嗎？(102)3=102×102×102=102+2+2=106

探究新知知識點1冪的乘方的法則（較簡單的）木星的半徑是地球的10倍，它的體積是地球的103倍！34計算下列各式，并說明理由．（1）(62)4

；（2）(a2)3

；（3）(am)2

．解：（1）(62)4=62×

62×62×62

=62+2+2+2+2=68；（2）(a2)3=a2×a2×a2=a2+2+2=a6；（3）(am)2=am×am=am+m=a2m．做一做:探究新知計算下列各式，并說明理由．解：做一做:探究新知35想一想：請根據乘方的意義及同底數冪的乘法填空，觀察計算的結果，你能發現什么規律？證明你的猜想.(32)3=___×___×___

=3（

）+（

）+（

）=3（

）×（

）

=3（

）

323232222236猜想：(am)n=_____.amn探究新知想一想：請根據乘方的意義及同底數冪的乘法填空，(32)3=36證一證：(am)nn個amn個m冪的乘方法則(am)n=amn

(m，n都是正整數）即冪的乘方，底數______，指數＿＿＿.不變相乘探究新知證一證：(am)nn個amn個m冪的乘方法則(am)n=a37運算種類公式法則中運算計算結果底數指數同底數冪乘法冪的乘方乘法乘方不變不變指數相加指數相乘am·an

=am+n

探究新知運算公式法則計算結果底數指數同底數冪乘法冪的乘方乘法乘方不變38探究新知素養考點1考查冪的乘方的法則的應用能力

計算：（1）(102)3

；（2）(b5)5

；

（3）(an)3

；（4）-(x2)m

；（5）(y2)3·y；（6）2(a2)6-(a3)4

．例解：（1）(102)3=102×3=106

；（3）(an)3=an×3=a3n

；（5）(y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y7

；（6）2(a2)6-(a3)4=2a2×6-a3×4=2a12-a12=a12

．（2）(b5)5=b5×5=b25

；（4）-(x2)m=-x2×m=-x2m

；探究新知素養考點1考查冪的乘方的法則的應用能力39

方法總結運用冪的乘方法則進行計算時，一定不要將冪的乘方與同底數冪的乘法混淆，冪的乘方轉化為指數的乘法運算（底數不變），同底數冪的乘法轉化為指數的加法運算（底數不變）探究新知方法總結運用冪的乘方法則進行計算時，一定不要將冪的40計算：①

(103)5；

②

(b3)4；③

(xn)3；

④-(x7)7=1015=b12=x3n=-x49鞏固練習變式訓練計算：=1015=b12=x3n=-x49鞏固練習變式訓練41(-a5)2表示2個-a5相乘，結果沒有負號.(-a2)5和(-a5)2的結果相同嗎?為什么?不相同.(-a2)5表示5個-a2相乘，其結果帶有負號.n為偶數n為奇數探究新知知識點2冪的乘方的法則（較復雜的）(-a5)2表示2個-a5相乘，結果沒有負號.(-a2)5和42想一想：下面這道題該怎么進行計算呢？冪的乘方:＝(a6)4=a24[(y5)2]2=______=________[(x5)m]n=______=________練一練：(y10)2y20(x5m)nx5mn探究新知想一想：下面這道題該怎么進行計算呢？冪的乘方:＝(a6)4=43例1

計算：(1)

(x4)3·x6;(2)

a2(－a)2(－a2)3＋a10.解:

(1)

(x4)3·x6=x12·x6=x18；

(2)

a2(－a)2(－a2)3＋a10

=

-a2·a2·a6＋a10

=

-a10＋a10

=

0.憶一憶有理數混合運算的順序先乘方，再乘除先乘方，再乘除，最后算加減底數的符號要統一有關冪的乘方的混合運算素養考點1探究新知例1計算：(1)(x4)3·x6;(2)a2(44

方法總結與冪的乘方有關的混合運算中，一般先算冪的乘方，再算同底數冪的乘法，最后算加減，然后合并同類項．探究新知方法總結與冪的乘方有關的混合運算中，一般先算冪的乘45計算：(1)（x3）4·x2

；(2)2（x2）n－（xn）2

；(3)[（x2）3]7.

(1)原式=x12·x2=x14.(2)原式=2x2n

－x2n=x2n.(3)原式=(x2)21=

x42.解：鞏固練習變式訓練計算：(1)原式=x12·x2=x14.46例2

已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.

(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；

(2)102n＝(10n)2＝22＝4；

(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.

方法總結：此類題的關鍵是逆用冪的乘方及同底數冪的乘法公式，將所求代數式正確變形，然后代入已知條件求值即可.指數中含有字母的冪的乘方的計算素養考點2探究新知例2已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.解：(147(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；(2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．解：(1)(x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.(2)

因為2x＋5y－3＝0，所以2x＋5y＝3,則4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.完成下列題目變式訓練鞏固練習(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；(2)已知2x＋548例3

比較3500,4400,5300的大小.分析：這三個冪的底數不同,指數也不相同,不能直接比較大小,通過觀察,發現指數都是100的倍數,故可以考慮逆用冪的乘方法則.解:3500=(35)100=243100,4400=(44)100=256100,5300=(53)100=125100.因為256100>243100>125100,所以4400>3500>5300.探究新知冪的大小的比較素養考點3例3比較3500,4400,5300的大小.分析：這三個49=33x+4y地球、木星、太陽可以近似地看做是球體.冪的乘方的法則（較簡單的）(3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.（4）-(x2)m；與冪的乘方有關的混合運算中，一般先算冪的乘方，再算同底數冪的乘法，最后算加減，然后合并同類項．(102)3=102×102×102=102+2+2=106計算下列各式，并說明理由．（5）(y2)3·y；（2020?河北）若k為正整數，則（k+k+…+k）k＝（）528=(54)7=6257=33x·34y=(am)3·(an)2(32)3=___×___×___即冪的乘方，底數______，指數＿＿＿.比較底數大于1的冪的大小的方法有兩種:(1)(x4)3·x6;（3）(am)2=am×am=am+m=a2m．（3）(an)3；指數中含有字母的冪的乘方的計算解：(1)(102)8＝1016.因為256100>243100>125100,所以4400>3500>5300.

方法總結比較底數大于1的冪的大小的方法有兩種:(1)底數相同,指數越大,冪就越大;(2)指數相同,底數越大,冪就越大.故在此類題中，一般先觀察題目所給數據的特點，將其轉化為同底數的冪或同指數的冪，然后再進行大小比較.探究新知=33x+4y方法總結比較底數大于1的冪的大小的方法有兩種50比較大小：233____322233=(23)11=811322=(32)11=911＜變式訓練比較大小：435____528435=(45)7=10247528=(54)7=6257鞏固練習＞比較大小：233____322233=(23)11=811511.（2020?河北）若k為正整數，則（k+k+…+k）k＝（

）A．k2k

B．k2k+1

C．2kk

D．k2+k2.（2020?衢州）計算（a2）3，正確結果是（）A．a5

B．a6

C．a8

D．a9連接中考ABk個k1.（2020?河北）若k為正整數，則（k+k+…+k）k＝521．（a4）5=

．2.下列各式的括號內，應填入b4的是(

)A．b12＝(

)8 B．b12＝(

)6C．b12＝(

)3 D．b12＝(

)2C基礎鞏固題課堂檢測a201．（a4）5=．2.下列各式的括號內，應填入b4的是533．下列計算中，錯誤的是()A．(a2)3＝a6

B．(b2)5＝b7C．[(－b)3]n＝(－b)3n

D．[(－b)3]2＝b6B4．如果(9n)2＝312，那么n的值是(

)A．4 B．3C．2 D．1B課堂檢測基礎鞏固題3．下列計算中，錯誤的是()B4．如果(9n)2＝545．計算：(1)(102)8；(2)(xm)2；(3)[(－a)3]5；(4)－(x2)m.解：(1)(102)8＝1016.(2)(xm)2＝x2m.(3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.(4)－(x2)