-.z.題型四反比例函數與一次函數綜合題針對演練1.如圖，一次函數y＝k*＋1(k≠0)與反比例函數y＝eq\f(m,*)(m≠0)的圖象有公共點A(1，2)，直線l⊥*軸于點N(3，0)，與一次函數和反比例函數的圖象分別相交于點B，C，連接AC.(1)求k和m的值；(2)求點B的坐標；(3)求△ABC的面積．第1題圖2.正比例函數y＝2*的圖象與反比例函數y＝eq\f(k,*)(k≠0)在第一象限內的圖象交于點A，過點A作*軸的垂線，垂足為點P，△OAP的面積為1.(1)求反比例函數的解析式；(2)有一點B的橫坐標為2，且在反比例函數圖象上，則在*軸上是否存在一點M，使得MA＋MB最小？假設存在，請求出點M的坐標；假設不存在，請說明理由．第2題圖

3.如圖，反比例函數的圖象與一次函數y＝k*＋b的圖象交于點A、B，點A、B的橫坐標分別為1、－2，一次函數圖象與y軸交于點C，與*軸交于點D.(1)求一次函數的解析式；(2)對于反比例函數，當y＜－1時，寫出*的取值范圍；(3)在第三象限的反比例函數圖象上是否存在一點P，使得S△ODP＝2S△OCA？假設存在，請求出點P的坐標；假設不存在，請說明理由．第3題圖4.(2016巴中10分)，如圖，一次函數y＝k*＋b(k、b為常數，k≠0)的圖象與*軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數y＝eq\f(n,*)(n為常數且n≠0)的圖象在第二象限交于點C.CD⊥*軸，垂足為D.假設OB＝2OA＝3OD＝6.(1)求一次函數與反比例函數的解析式；(2)求兩函數圖象的另一個交點坐標；(3)直接寫出不等式：k*＋b≤eq\f(n,*)的解集．第4題圖5.如圖，點A(－2，n)，B(1，－2)是一次函數y＝k*＋b的圖象和反比例函數y＝eq\f(m,*)的圖象的兩個交點．(1)求反比例函數和一次函數的解析式；(2)根據圖象寫出使一次函數的值小于反比例函數的值的*的取值范圍；(3)假設C是*軸上一動點，設t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此時點C的坐標．第5題圖

6.如圖，直線y1＝eq\f(1,4)*＋1與*軸交于點A，與y軸交于點C，與反比例函數y2＝eq\f(m,*)(*>0)的圖象交于點P，過點P作PB⊥*軸于點B，且AC＝BC.(1)求點P的坐標和反比例函數y2的解析式；(2)請直接寫出y1>y2時，*的取值范圍；(3)反比例函數y2圖象上是否存在點D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點D的坐標；如果不存在，說明理由．第6題圖7.如圖，直線y＝*＋b與*軸交于點C(4，0)，與y軸交于點B，并與雙曲線y＝eq\f(m,*)(*＜0)交于點A(－1，n)．(1)求直線與雙曲線的解析式；(2)連接OA，求∠OAB的正弦值；(3)假設點D在*軸的正半軸上，是否存在以點D、C、B構成的三角形△OAB相似？假設存在求出D點的坐標，假設不存在，請說明理由．第7題圖8.(2016金華8分)如圖，直線y＝eq\f(\r(3),3)*－eq\r(3)與*，y軸分別交于點A，B，與反比例函數y＝eq\f(k,*)(k＞0)圖象交于點C，D，過點A作*軸的垂線交該反比例函數圖象于點E.(1)求點A的坐標；(2)假設AE＝AC.①求k的值；②試判斷點E與點D是否關于原點O成中心對稱？并說明理由．第8題圖9.如圖，雙曲線y＝eq\f(k,*)經過點D(6，1)，點C是雙曲線第三象限上的動點，過點C作CA⊥*軸，過點D作DB⊥y軸，垂足分別為A，B，連接AB，BC.(1)求k的值；(2)假設△BCD的面積為12，求直線CD的解析式；(3)判斷AB與CD的位置關系，并說明理由．第9題圖10.如圖，點B為雙曲線y＝eq\f(k,*)(*＞0)上一點，直線AB平行于y軸，交直線y＝*于點A，交*軸于點D，雙曲線y＝eq\f(k,*)與直線y＝*交于點C，假設OB2－AB2＝4.(1)求k的值；(2)點B的橫坐標為4時，求△ABC的面積；(3)雙曲線上是否存在點P，使△APC∽△AOD？假設存在，求出點P的坐標；假設不存在，請說明理由．第10題圖【答案】1．解：(1)∵點A(1，2)是一次函數y＝k*＋1與反比例函數y＝eq\f(m,*)的公共點，∴k＋1＝2，＝2，∴k＝1，m＝2；(2)∵直線l⊥*軸于點N(3，0)，且與一次函數的圖象交于點B，∴點B的橫坐標為3，將*＝3代入y＝*＋1，得y＝3＋1＝4，∴點B的坐標為(3，4)；(3)如解圖，過點A作AD⊥直線l，垂足為點D，由題意得，點C的橫坐標為3，∵點C在反比例函數圖象上，∴y＝＝eq\f(2,3)，∴C點坐標為(3，eq\f(2,3))，∴BC＝BN－CN＝4－eq\f(2,3)＝eq\f(10,3)，又∵AD＝3－1＝2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×eq\f(10,3)×2＝eq\f(10,3).第1題解圖2．解：(1)設A點的坐標為(*，y)，則OP＝*，PA＝y，∵△OAP的面積為1，∴eq\f(1,2)*y＝1，∴*y＝2，即k＝2，∴反比例函數的解析式為；(2)存在，如解圖，作點A關于*軸的對稱點A′，連接A′B，交*軸于點M，此時MA＋MB最小，∵點B的橫坐標為2，∴點B的縱坐標為y＝eq\f(2,2)＝1，即點B的坐標為〔2,1〕.又∵兩個函數圖象在第一象限交于A點，∴，解得*1＝1，*2＝－1(舍去)．∴y＝2，∴點A的坐標為(1，2)，∴點A關于*軸的對稱點A′(1，－2)，設直線A′B的解析式為y＝k*＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得，∴直線A′B的解析式為y＝3*－5，令y＝0，得*＝eq\f(5,3)，∴直線y＝3*－5與*軸的交點為(eq\f(5,3)，0)，即點M的坐標為(eq\f(5,3)，0)．第2題解圖3．解：(1)∵反比例函數y＝圖象上的點A、B的橫坐標分別為1、－2，∴點A的坐標為(1，2)，點B的坐標為(－2，－1)，∵點A(1，2)、B(－2，－1)在一次函數y＝k*＋b的圖象上，∴∴一次函數的解析式為y＝*＋1；(2)由圖象知，對于反比例函數，當y＜－1時，*的取值范圍是－2＜*＜0；(3)存在．對于y＝*＋1，當y＝0時，*＝－1，當*＝0時，y＝1，∴點D的坐標為(－1，0)，點C的坐標為(0，1)，設點P(m，n)，∵S△ODP＝2S△OCA，∴eq\f(1,2)×1×(－n)＝2×eq\f(1,2)×1×1，∴n＝－2，∵點P(m，－2)在反比例函數圖象上，∴－2＝，∴m＝－1，∴點P的坐標為(－1，－2)．4．解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OA＝3，OD＝2.∴A(3，0)，B(0，6)，D(－2，0)．將點A(3，0)和B(0，6)代入y＝k*＋b得，∴一次函數的解析式為y＝－2*＋6.……(3分)將*＝－2代入y＝－2*＋6，得y＝－2×(－2)＋6＝10，∴點C的坐標為(－2，10)．將點C(－2，10)代入y＝eq\f(n,*)，得10＝，解得n＝－20，∴反比例函數的解析式為；………(5分)(2)將兩個函數解析式組成方程組，得解得*1＝－2，*2＝5.………(7分)將*＝5代入∴兩函數圖象的另一個交點坐標是(5，－4)；……………(8分)(3)－2≤*＜0或*≥5.……(10分)【解法提示】不等式k*＋b≤eq\f(n,*)的解集，即是直線位于雙曲線下方的局部所對應的自變量*的取值范圍，也就是－2≤*＜0或*≥5.5．解：(1)∵點A(－2，n)，B(1，－2)是一次函數y＝k*＋b的圖象和反比例函數y＝eq\f(m,*)的圖象的兩個交點，∴m＝－2，∴反比例函數解析式為，∴n＝1，∴點A(－2，1)，將點A(－2，1)，B(1，－2)代入y＝k*＋b，得∴一次函數的解析式為y＝－*－1；(2)結合圖象知：當－2＜*＜0或*＞1時，一次函數的值小于反比例函數的值；(3)如解圖，作點A關于*軸的對稱點A′，連接BA′延長交*軸于點C，則點C即為所求，∵A(－2，1)，∴A′(－2，－1)，設直線A′B的解析式為y＝m*＋n，∴y＝－eq\f(1,3)*－eq\f(5,3)，令y＝0，得*＝－5，則C點坐標為(－5，0)，∴t的最大值為A′B＝eq\r(〔－2－1〕2＋〔－1＋2〕2)＝eq\r(10).第5題解圖6．解：(1)∵一次函數y1＝eq\f(1,4)*＋1的圖象與*軸交于點A，與y軸交于點C，∴A(－4，0)，C(0，1)，又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O為AB的中點，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴點P的坐標為(4，2)，將點P(4，2)代入y2＝eq\f(m,*)，得m＝8，∴反比例函數的解析式為y2＝；(2)*>4；【解法提示】由圖象可知，當y1＞y2時，即是直線位于雙曲線上方的局部，所對應的自變量*的取值范圍是*＞4.(3)存在．假設存在這樣的D點，使四邊形BCPD為菱形，如解圖，連接DC與PB交于點E，∵四邊形BCPD為菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，∴D點的坐標為(8，1)，將D(8，1)代入反比例函數，D點坐標滿足函數關系式，即反比例函數圖象上存在點D，使四邊形BCPD為菱形，此時D點坐標為(8，1)．第6題解圖7．解：(1)∵直線y＝*＋b與*軸交于點C(4，0)，∴把點C(4，0)代入y＝*＋b，得b＝－4，∴直線的解析式為y＝*－4，∵直線也過A點，∴把點A(－1，n)代入y＝*－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，將A(－1，－5)代入y＝eq\f(m,*)(*＜0)，得m＝5，∴雙曲線的解析式為；(2)如解圖，過點O作OM⊥AC于點M，∵點B是直線y＝*－4與y軸的交點，∴令*＝0，得y＝－4，∴點B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴在△OMB中，sin45°＝eq\f(OM,OB)＝，∴OM＝2eq\r(2)，∵AO＝eq\r(12＋52)＝eq\r(26)，∴在△AOM中，sin∠OAB＝eq\f(OM,OA)＝eq\f(2\r(2),\r(26))＝eq\f(2\r(13),13)；第7題解圖(3)存在．如解圖，過點A作AN⊥y軸于點N，則AN＝1，BN＝1，∴AB＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∵OB＝OC＝4，∴BC＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠OBA＝∠BCD＝135°，∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，∴eq\f(OB,BC)＝eq\f(BA,CD)或eq\f(OB,DC)＝eq\f(BA,BC)，即eq\f(4,4\r(2))＝或＝eq\f(\r(2),4\r(2))，∴CD＝2或CD＝16，∵點C(4，0)，∴點D的坐標是(6，0)或(20，0)．8．解：(1)當y＝0時，得0＝eq\f(\r(3),3)*－eq\r(3)，解得*＝3.∴點A的坐標為(3，0)；……(2分)(2)①如解圖，過點C作CF⊥*軸于點F.設AE＝AC＝t,點E的坐標是(3，t).在Rt△AOB中，tan∠OAB＝eq\f(OB,OA)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠OAB＝30°.在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，∴CF＝eq\f(1,2)t，AF＝AC·cos30°＝eq\f(\r(3),2)t，∴點C的坐標是(3＋eq\f(\r(3),2)t，eq\f(1,2)t)．∵點C、E在y＝eq\f(k,*)的圖象上，∴(3＋eq\f(\r(3),2)t)×eq\f(1,2)t＝3t，解得t1＝0(舍去)，t2＝2eq\r(3)，∴k＝3t＝6eq\r(3)；……………(5分)②點E與點D關于原點O成中心對稱，理由如下：由①知，點E的坐標為(3，2eq\r(3))，設點D的坐標是(*，eq\f(\r(3),3)*－eq\r(3))，∴*(eq\f(\r(3),3)*－eq\r(3))＝6eq\r(3)，解得*1＝6(舍去)，*2＝－3，∴點D的坐標是(－3，－2eq\r(3))，∴點E與點D關于原點O成中心對稱．…(8分)第8題解圖9．解：(1)∵雙曲線y＝eq\f(k,*)經過點D(6，1)，∴＝1，解得k＝6；(2)設點C到BD的距離為h，∵點D的坐標為(6，1)，DB⊥y軸，∴BD＝6，∴S△BCD＝eq\f(1,2)×6×h＝12，解得h＝4，∵點C是雙曲線第三象限上的動點，點D的縱坐標為1，∴點C的縱坐標為1－4＝－3，∴＝－3，解得*＝－2，∴點C的坐標為(－2，－3)，設直線CD的解析式為y＝k*＋b，則∴直線CD的解析式為y＝eq\f(1,2)*－2；(3)AB∥CD.理由如下：∵CA⊥*軸，DB⊥y軸，點D的坐標為(6，1)，設點C的坐標為(c，)，∴點A、B的坐標分別為A(c，0)，B(0，1)，設直線AB的解析式為y＝m*＋n，則∴直線AB的解析式為y＝－＋1，設直線CD的解析式為y＝e*＋f，則∴直線CD的解析式為y＝－＋，∵AB、CD的解析式中k都等于，∴AB與CD的位置關系是AB∥CD.10．解：(1)設D點坐標為(a，0)，∵AB∥y軸，點A在直線y＝*上，B為雙曲線y＝eq\f(k,*)(*＞0)上一點，∴A點坐標為(a，a)，B點坐標為(a，eq\f(k,a))，∴AB＝a－eq\f(k,a)，BD＝eq\f(k,a)，在Rt