沈陽大學教案課程名稱：工程數(shù)學——概率論與數(shù)理統(tǒng)計編寫時間：2006年7月15日第次第PAGE1頁授課章節(jié)第四章數(shù)字特征目的要求了解基本概念重點難點掌握期望，方差等具體含義。隨機變量的分布函數(shù)是對隨機變量概率性質(zhì)的完整的刻畫，描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性．但在實際問題中，有時不容易確定隨機變量的分布；有時也并不需要完全知道隨機變量的分布，而只需知道它的某些特征就夠了，因此不需要求出它的分布函數(shù)．這些特征就是隨機變量的數(shù)字特征，是由隨機變量的分布所決定的常數(shù)，刻畫了隨機變量某一方面的性質(zhì)．例如，考察某種大批量生產(chǎn)的元件的壽命，它可以用隨機變量來描述．如果知道了這個隨機變量的分布函數(shù)，就可以算出元件壽命落在任一指定界限內(nèi)的元件百分比是多少，這是對元件壽命狀況的完整刻畫．如果不知道隨機變量的分布函數(shù)，而知道元件的平均壽命，雖不能對元件壽命狀況提供一個完整的刻畫，但卻在一個重要方面刻畫了元件壽命的狀況，這往往也是我們最為關(guān)心的一個方面．類似的情況很多，如評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，經(jīng)常考慮平均畝產(chǎn)量；對一射手進行技術(shù)評定時，經(jīng)常考察射擊命中環(huán)數(shù)的平均值；檢查一批棉花的質(zhì)量時，所關(guān)心的是棉花纖維的平均長度等．這個重要的數(shù)字特征就是數(shù)學期望，簡稱為期望，常常也稱為均值．另一個重要的數(shù)字特征用以衡量一個隨機變量取值的分散程度．例如對一射手進行技術(shù)評定時，除考察射擊命中環(huán)數(shù)的平均值以外，還要了解命中點是比較分散還是比較集中．在檢查一批棉花的質(zhì)量時，除關(guān)心棉花纖維的平均長度以外，還要考慮纖維的長度與平均長度的偏離情況．如果兩批棉花纖維的平均長度相同，而一批棉花纖維的長度與平均長度接近，另一批棉花則相差較大，顯然前者顯得整齊，也便于使用，后者顯得參差不齊，不便于使用．描述隨機變量取值分散程度的數(shù)字特征就是方差．第1節(jié)：期望離散型隨即變量的期望：設(shè)離散型隨機變量的概率分布為P｛X＝xi｝＝pi，i＝１，２，?，若級數(shù)絕對收斂，即收斂，則稱為隨機變量X的期望，記為E（X），即E（X）＝下面介紹幾種常用的離散型隨機變量的期望兩點分布二項分布泊松分布連續(xù)型隨機變量的期望：設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為f（x），若積分絕對收斂，則稱積分的值為隨機變量X的期望，記為E(X)下面介紹幾種常用的連續(xù)型隨機變量的期望1、均勻分布2、指數(shù)分布3、正態(tài)分布期望的性質(zhì)：性質(zhì)1、設(shè)c是常數(shù)，則E（c）＝c．性質(zhì)2、設(shè)k是常數(shù)，則E（kX）＝kE（X）．性質(zhì)3、E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）．性質(zhì)4、設(shè)X和Y相互獨立，則E（XY）＝E（X）E（Y）．第2節(jié)：方差定義：在本章開始，我們就已經(jīng)指出，方差是隨機變量的又一重要的數(shù)字特征，它刻畫了隨機變量取值在其中心位置附近的分散程度，也就是隨機變量取值與平均值的偏離度．設(shè)隨機變量X的期望為E（X），偏離量X－E（X）本身也是隨機的，為刻畫偏離程度的大小，不能使用X－E（X）的期望，因為其值為零，即正負偏離彼此抵消了．為避免正負偏離彼此抵消，可以使用E［｜X－E（X）｜］作為描述X取值分散程度的數(shù)字特征，稱之為X的平均絕對差．由于在數(shù)學上絕對值的處理很不方便，因此常用的平均值度量X與E（X）的偏離程度，這個平均值就是方差．定義4.2.1設(shè)X為一隨機變量，如果存在，則稱之為X的方差，記為Var（X），即Var（X）＝，(4.2.1)并稱Var（X）為X的標準差或均方差．例4.2.1設(shè)離散型隨機變量X的概率分布是P｛X＝０｝＝0.2，P｛X＝１｝＝０．５，P｛X＝２｝＝0.3，求Var（X）．解E（X）＝０×０．２＋１×０．５＋２×０．３＝１．１，E＝×０．２＋１２×０．５＋２２×０．３＝１．７，Var（X）＝１．７－１．１２＝０．４９方差的性質(zhì)：性質(zhì)1、設(shè)c為常數(shù)，則Var（c）＝０，Var（X＋c）＝Var（X）．性質(zhì)2、設(shè)k為常數(shù)，則性質(zhì)3、設(shè)X和Y相互獨立，則Var（X＋Y）＝Var（X）＋Var（Y）．幾種常用隨機變量的方差：兩點分布二項分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布第3節(jié)：協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差定義：稱E｛［X－E（X）］［Y－E（Y）］｝為X與Y的協(xié)方差，記為Cov（X，Y），即Cov（X，Y）＝E｛［X－E（X）］［Y－E（Y）］｝．協(xié)方差性質(zhì)：１．Cov（X，Y）＝Cov（Y，X）．這就是說，X與Y的協(xié)方差等于Y與X的協(xié)方差，它與X，Y的次序無關(guān)．２．設(shè)a，b，c，d是常數(shù)，則Cov（aX＋b，cY＋d）＝acCov（X，Y）．３．Cov（X１＋X２，Y）＝Cov（X１，Y）＋Cov（X２，Y）．４．Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y），當X和Y相互獨立時，Cov（X，Y）＝０．定理：|ρXY|≤１，當且僅當X與Y之間有線性關(guān)系時等號成立．定義：若X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY＝０，則稱X與Y互不相關(guān)．相關(guān)系數(shù)ρXY刻畫了X與Y之間線性關(guān)系的程度．若｜ρXY｜＝１，X和Y之間有線性關(guān)系Y＝aX＋b．還可以從理論上保證，當０＜｜ρXY｜＜１時，若｜ρXY｜較大，表明X與/r