3.2.1幾類不同增長的函數模型（一）復習引入講授新課例1

假設你有一筆資金用于投資，現在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.請問，你會選擇哪種投資方案？解：設第x天所得回報是y元，解：設第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數y＝40(x∈N*)進行描述；解：設第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數y＝40(x∈N*)進行描述；方案二可以用函數y＝10x(x∈N*)進行描述；解：設第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數y＝40(x∈N*)進行描述；方案二可以用函數y＝10x(x∈N*)進行描述；方案三可以用函數y＝0.4×2x－1(x∈N*)進行描述.方案一方案二方案三y/元增加量y/元y/元增加量y/元y/元增加量y/元140010100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.420406080100120246810Oyx

函數圖象是分析問題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點.20406080100120246810Oyxy＝40

函數圖象是分析問題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點.20406080100120246810Oyxy＝40y＝10x

函數圖象是分析問題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點.20406080100120246810Oyxy＝40y＝10xy＝0.4×2x－1

函數圖象是分析問題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點.20406080100120246810Oyxy＝40y＝10xy＝0.4×2x－1

函數圖象是分析問題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點.

我們看到，底為2的指數函數模型比線性函數模型增長速度要快得多.從中你對“指數爆炸”的含義有什么新的理解？

20406080100120246810Oyxy＝40y＝10x

根據以上的分析，是否應作這樣的選擇:投資5天以下選方案一，投資5~8天選方案二，投資8天以上選方案三？y＝0.4×2x－1例2

某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數不超過5萬元，同時獎金總數不超過利潤的25%，現有三個獎勵模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？分析：某個獎勵模型符合公司要求，就是依據這個模型進行獎勵時，獎金總數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%，由于公司總的利潤目標為1000萬元，所以部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤.于是，只需在區間[10,1000]上，檢驗三個模型是否符合公司要求即可.分析：某個獎勵模型符合公司要求，就是依據這個模型進行獎勵時，獎金總數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%，由于公司總的利潤目標為1000萬元，所以部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤.于是，只需在區間[10,1000]上，檢驗三個模型是否符合公司要求即可.

不妨先作出函數圖象，通過觀察函數的圖象，得到初步的結論再通過具體計算，確認結果.812345672004006008001000Oyx圖象812345672004006008001000Oyxy＝5圖象812345672004006008001000y＝0.25xOyxy＝5圖象812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1Oyxy＝5圖象812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOyxy＝5圖象解：借助計算機作出函數y＝0.25x，y＝log7x＋1，

y＝1.002x的圖象.觀察圖象發現，在區間[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5的下方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進行獎勵時才符合公司的要求，下面通過計算確認上述判斷.812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOyxy＝5

首選計算哪個模型的獎金總數不超過5萬.解：

首選計算哪個模型的獎金總數不超過5萬.

對于模型y＝0.25x，它在區間[10,1000]上遞增，而且當x＝20時，y＝5，因此，當x＞20時，y＞5，所以該模型不符合要求；解：

首選計算哪個模型的獎金總數不超過5萬.

對于模型y＝0.25x，它在區間[10,1000]上遞增，而且當x＝20時，y＝5，因此，當x＞20時，y＞5，所以該模型不符合要求；

對于模型y＝1.002x，由函數圖象，并利用計算器，可知在區間(805,806)內有一個點x0滿足1.002x＝5，由于它在區間[10,1000]上遞增，因此當x＞x0時，y＞5，所以該模型也不符合要求；解：

首選計算哪個模型的獎金總數不超過5萬.

對于模型y＝0.25x，它在區間[10,1000]上遞增，而且當x＝20時，y＝5，因此，當x＞20時，y＞5，所以該模型不符合要求；

對于模型y＝1.002x，由函數圖象，并利用計算器，可知在區間(805,806)內有一個點x0滿足1.002x＝5，由于它在區間[10,1000]上遞增，因此當x＞x0時，y＞5，所以該模型也不符合要求；

對于模型y＝log7x＋1，它在區間[10,1000]上遞增，而且當x＝1000時，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合獎金總數不超過5萬元的要求.

解：再計算按模型y＝log7x＋1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當x∈[10,1000]時，是否有成立.解：

令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10,1000].利用計算機作出函數f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.

所以當x∈[10,1000]時，再計算按模型y＝log7x＋1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當x∈[10,1000]時，是否有成立.解：模型y＝log7x＋1獎勵時,獎金不會超過利潤的25%..說明按

令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10,1000].利用計算機作出函數f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.

所以當x∈[10,1000]時，再計算按模型y＝log7x＋1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當x∈[10,1000]時，是否有成立.

綜上所述，模型y＝log7x＋1確實能符合公司要求.解：模型y＝log7x＋1獎勵時,獎金不會超過利潤的25%..說明按歸納總結中學數學建模的主要步驟(1)理解問題：閱讀理解，讀懂文字敘述，認真審題，理解實際背景.弄清楚問題的實際背景和意義，設法用數學語言來描述問題.(2)簡化假設：理解所給的實際問題之后，領悟背景中反映的實質，需要對問題作必要的簡化，有時要給出一些恰當的假設，精選問題中關鍵或主要的變量.(3)數學建模：把握新信息，勇于探索，善于聯想，靈活化歸，根據題意建立變量或參數間的數學關系，實現實際問題數學化，引進數學符號，構建數學模型，常用的數學模型有方程、不等式、函數.歸納總結中學數學建模的主要步驟(1)理解問題：閱讀理解，讀懂文字敘述，認真審題，理解實際背景.弄清楚問題的實際背景和意義，設法用數學語言來描述問題.(2)簡化假設：理解所給的實際問題之后，領悟背景中反映的實質，需要對問題作必要的簡化，有時要給出一些恰當的假設，精選問題中關鍵或主要的變量.(3)數學建模：把握新信息，勇于探索，善于聯想，靈活化歸，根據題意建立變量或參數間的數學關系，實現實際問題數學化，引進數學符號，構建數學模型，常用的數學模型有方程、不等式、函數.歸納總結中學數學建模的主要步驟(1)理解問題：閱讀理解，讀懂文字敘述，認真審題，理解實際背景.弄清楚問題的實際背景和意義，設法用數學語言來描述問題.(2)簡化假設：理解所給的實際問題之后，領悟背景中反映的實質，需要對問題作必要的簡化，有時要給出一些恰當的假設，精選問題中關鍵或主要的變量.(3)數學建模：把握新信息，勇于探索，善于聯想，靈活化歸，根據題意建立變量或參數間的數學關系，實現實際問題數學化，引進數學符號，構建數學模型，常用的數學模型有方程、不等式、函數.歸納總結中學數學建模的主要步驟(4)求解模型：以所學的數學性質為工具對建立的數學模型進行求解.(5)檢驗模型：將所求的結果代回模型之中檢驗，對模擬的結果與實際情形比較，以確定模型的有效性，如果不滿意，要考慮重新建模.(6)評價與應用：如果模型與實際情形比較吻合，要對計算的結果作出解釋并給出其實際意義，后對所建立的模型給出運用范圍.如果模型與實際問題有較大出入，則要對模型改進并重復上述步驟.歸納總結中學數學建模的主要步驟(4)求解模型：以所學的數學性質為工具對建立的數學模型進行求解.(5)檢驗模型：將所求的結果代回模型之中檢驗，對模擬的結果與實際情形比較，以確定模型的有效性，如果不滿意，要考慮重新建模.(6)評價與應用：如果模型與實際情形比較吻合，要對計算的結果作出解釋并給出其實際意義，后對所建立的模型給出運用范圍.如果模型與實際問題有較大出入，則要對模型改進并重復上述步驟.歸納總結中學數學建模的主要步驟(4)求解模型：