第1課時數列的概念與簡單表示第四章內容索引0102基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養全提升03學以致用·隨堂檢測全達標課標要求1.理解數列的有關概念與數列的表示方法.2.掌握數列的分類.3.理解數列的函數特征,掌握判斷數列單調性的方法.4.掌握數列通項公式的概念及其應用,能夠根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式.基礎落實·必備知識全過關知識點1數列

數列中的數不能變換位置1.定義:一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列.2.項:數列中的每一個數叫做這個數列的項.數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項,常用符號a1表示,第二個位置上的數叫做這個數列的第2項,用a2表示……第n個位置上的數叫做這個數列的第n項,用an表示.其中第1項也叫做首項.

n為正整數3.表示:數列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.名師點睛(1)數列是按一定的“順序”排列的一列數,有序性是數列的基本屬性.數相同而順序不同的兩個數列是不相同的數列,例如1,2,3,…與3,2,1…就是不同的數列.(2)符號{an}和an是不同的概念,{an}表示一個數列,而an表示數列中的第n項.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)0,0,0,6不是一個數列.(

)(2)數列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數列.(

)2.數列與集合之間有怎樣的區別與聯系?××提示

(1)集合中的元素具有確定性、無序性、互異性,而數列中的項具有確定性、有序性、可重復性;(2)集合中的元素可以是數,也可以是點、方程以及其他事物等,但數列中的每一項必須是數;(3)數列{an}不是集合,它是數列的一個整體符號,{an}表示數列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示數列的第n項.知識點2

數列與函數的關系從函數的觀點看,數列可以看作是特殊的函數,關系如下表:定義域正整數集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})對應關系自變量是序號n,對應的函數值是數列的第n項an,記為an=f(n)值域自變量從小到大依次取值時對應的函數值構成過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)數列就是函數,函數也是數列.(

)(2)任意數列的定義域都是整數集.(

)(3)任意數列的值域均為(0,+∞).(

)2.數列對應的函數的圖象有什么特點?×××提示

是一系列孤立的點.知識點3

數列的分類

分類依據類型含義按項的個數有窮數列項數有限的數列無窮數列項數無限的數列按項的變化趨勢遞增數列從第2項起,每一項都大于它的前一項的數列

an+1>an

遞減數列從第2項起,每一項都小于它的前一項的數列

an+1<an

常數列各項都相等的數列擺動數列從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數列過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)如果一個數列不是遞增數列,那么它一定是遞減數列.(

)(2)數列0,1,2,3,4,5是有窮數列.(

)(3)常數列中的項不能為0.(

)2.若數列{an}滿足a1<a2<a3,則數列一定是遞增數列嗎?×√×提示

不一定,因為只有部分項滿足大小關系,不能確定數列的單調性.知識點4

數列的通項公式如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數列的通項公式.名師點睛(1)數列的通項公式實際上是一個以正整數集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})為定義域的函數解析式.(2)并不是所有的數列都有通項公式.(3)同一數列的通項公式,其表達形式可以是不唯一的,例如數列-1,1,-1,1,-1,1,…的通項公式可以寫成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos

nπ等.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)所有的數列都有通項公式.(

)(2)數列1,3,5,7,…的第10項是21.(

)(3)數列的通項公式實際上是一個以正整數集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})為定義域的函數解析式.(

)(4)數列0,1,2,3,…的通項公式可表示為an=n-1,n∈N*.(

)2.若數列{an}的通項公式是an=n2-1,則該數列的第10項a10=

,224是該數列的第

項.

××√√9915解析

a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是該數列的第15項.重難探究·能力素養全提升探究點一數列的概念及分類【例1】給出下列說法:①數列中的項數一定是無限的;②數列1,3,2,6,3,9,…是遞增的無窮數列;③數列,…是遞減的無窮數列.其中正確說法的序號是

.

分析根據數列的定義、分類進行判斷.答案

③解析

對于①,錯誤,數列中的項數可以是有限的或無限的;對于②,錯誤,該數列是無窮數列,但不是遞增數列;對于③,正確.規律方法數列類型的判斷在判斷數列是哪一種類型的數列時要緊扣概念及數列的特點.是遞增、遞減、擺動還是常數列要從項的變化趨勢來分析;而是有窮還是無窮數列則看項的個數是有限還是無限.變式訓練

1下列數列既是遞增數列又是無窮數列的是(

)A.-1,-2,-3,-4,…

C.-1,-2,-4,-8,…

D.5,6,7,8答案

B解析

A,B,C中的數列都是無窮數列,A,C中的數列都是遞減數列,雖然D中的數列是遞增數列,但是該數列只有四項,是一個有窮數列,故只有B中的數列既是遞增數列又是無窮數列.探究點二根據數列的前幾項求通項公式【例2】寫出下列數列的一個通項公式:分析觀察、分析項的特征,尋找數列的每一項與其所在項的序號之間的關系.解

(1)數列的項有的是分數,有的是整數,可先將各項都統一成分數再觀察,(2)數列各項的絕對值分別為1,3,5,7,9,…,是連續的正奇數,其通項公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉換符號的作用,所以數列的一個通項公式為an=(-1)n+1(2n-1).(3)各項加1后,分別變為10,100,1

000,10

000,…,此數列的通項公式為10n,可得原數列的一個通項公式為an=10n-1.(4)數列中每一項均由三部分組成,分母是從1開始的奇數列,其通項公式為2n-1;分子的前一部分是從2開始的自然數的平方,其通項公式為(n+1)2,分子的后一部分是減去一個自然數,其通項公式為n,綜合得原數列的一個通項公式為(5)這個數列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數,且奇數項為負,偶數項為正,所以它的一個通項公式是(6)由于該數列中,奇數項全部都是4,偶數項全部都是0,因此可用分段函數的形式表示通項公式,即

又因為數列可改寫為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通項公式又可表示為an=2+2×(-1)n+1.規律方法

(1)根據數列的前幾項寫通項公式的具體思路為:①先統一項的結構,如都化成分數、根式等.②分析這一結構中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的規律與對應序號間的關系.③對于符號交替出現的情況,可先觀察其絕對值,再用(-1)k處理符號.④對于周期出現的數列,考慮利用周期函數的知識解答.(2)常見數列的通項公式如下:①數列-1,1,-1,1,…的一個通項公式是an=(-1)n,數列1,-1,1,-1,…的一個通項公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.②數列1,2,3,4,…的一個通項公式是an=n.③數列1,3,5,7,…的一個通項公式是an=2n-1.④數列2,4,6,8,…的一個通項公式是an=2n.⑤數列1,2,4,8,…的一個通項公式是an=2n-1.⑥數列1,4,9,16,…的一個通項公式是an=n2.變式訓練

2寫出下列數列的一個通項公式,使它的前4項分別是下列各數:探究點三數列通項公式的應用規律方法

1.利用數列的通項公式求某項的方法數列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關系,只要用序號代替公式中的n,就可以求出數列的相應項.2.判斷某數值是否為該數列的項的方法先假定它是數列中的第n項,然后列出關于n的方程.若方程解為正整數,則是數列中的項;若方程無解或解不是正整數,則不是該數列中的項.探究點四數列的單調性及其應用角度1

數列單調性判斷【例4】已知數列{an}的通項公式(k∈R).(1)當k=1時,判斷數列{an}的單調性;(2)若數列{an}是遞減數列,求實數k的取值范圍.分析(1)由于數列的通項公式已知,因此可以通過比較數列的相鄰兩項an與an+1的大小來確定數列的單調性;(2)可根據數列是遞減數列,得出an與an+1的大小關系,從而確定k的取值范圍.規律方法判斷數列的單調性,一般是將其轉化為比較相鄰兩項的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判斷數列單調性的步驟為先作差,再變形、定號,最后下結論.作商法適用于各項都是同號的數列,且應比較比值與1的大小關系.A.遞增數列 B.遞減數列C.常數列 D.擺動數列答案

B角度2

利用數列單調性求數列最大(小)項【例5】(1)已知數列{an}滿足an=n2-5n-6,n∈N*.①數列中有哪些項是負數?②當n為何值時,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知數列{an}的通項公式an=(n+1)(n∈N*),試問數列{an}有沒有最大項?若有,求出最大項和最大項的項數;若沒有,請說明理由.分析(1)①根據數列的函數的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根據二次函數的性質即可求出.∴當n<9時,an+1-an>0,即an+1>an;當n=9時,an+1-an=0,即an+1=an;當n>9時,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴數列中有最大項,最大項為第9,10項,規律方法求數列的最大(小)項的兩種方法(1)由于數列是特殊的函數,所以可以用研究函數的思想方法來研究數列的相關性質,如單調性、最大值、最小值等,此時要注意數列的定義域為正整數集或其有限子集{1,2,…,n}這一條件.

本節要點歸納1.知識清單:(1)數列的概念與分類.(2)根據數列的前幾項寫出數列的通項公式.(3)數列與函數的關系.(4)數列通項公式的應用.2.方法歸納:觀察法、歸納法、猜想法.3.常見誤區:(1)歸納法求數列的通項公式時歸納不夠全面;(2)不注意用(-1)n進行調節,不注意分子、分母間的聯系;(3)分不清數列與集合,數列與函數之間的不同點.解析

5個圖形中小圓圈的個數分別為1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n個圖形中小圓圈的個數為(n-1)·n+1=n2-n+1.答案

n2-n+1反思感悟

歸納是邏輯推理的一類,可以發現新命題.本例完美詮釋了“觀察現象,歸納規律,大膽猜想,小心求證”這一認識發展規律.學以致用·隨堂檢測全達標1.下列各項表示數列的是(

)A.△,○,☆,□B.2021,2022,2023,