1.1.1空間向量及其運算第一章課標要求1.理解空間向量的概念,掌握空間向量的表示方法;2.掌握空間向量的線性運算及它們的運算律;3.能用空間向量的線性運算解決簡單的立體幾何問題;4.理解空間向量夾角的概念,并掌握兩個向量數量積的定義、性質及運算律;5.能用兩個向量的數量積解決立體幾何中的角度和長度等問題.內容索引0102基礎落實?必備知識全過關重難探究?能力素養全提升03學以致用?隨堂檢測全達標基礎落實?必備知識全過關知識點1

空間向量的概念(1)空間向量的定義空間向量空間中既有

,又有

的量

零向量、單位向量始點和終點相同的向量稱為零向量,記為0.模等于1的向量稱為單位向量,一般記為

向量的模(或長度)向量的

也稱為向量的模,向量a的模可用

來表示

相等向量大小

、方向

的向量

平行向量(或共線向量)方向

或者

的兩個非零向量

共面向量空間中的多個向量,如果表示它們的有向線段通過平移之后,都能在

內

大小

方向e大小

|a|相等相同相同相反同一平面(2)空間向量的夾角

∠AOB<a,b>0≤<a,b>≤πa⊥b過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)兩個有共同始點且相等的向量,其終點必相同.(

)(2)兩個有公共終點的向量,一定是共線向量.(

)(3)在空間中,任意一個向量都可以進行平移.(

)(4)模相等的向量不一定是相等向量.(

)(5)表示兩個平行向量的有向線段所在的直線一定不重合.(

)√×√√××2.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,與向量

相等的向量共有(

)A.1個 B.2個C.3個 D.4個3.兩個非零向量共線時,其夾角是多少?答案C

提示兩個非零向量共線且同向時,<a,b>=0;兩個非零向量共線且反向時,<a,b>=π.知識點2

空間向量的線性運算及其運算律

(1)如圖,任意給定兩個不共線的向量a,b,在空間中任取一點O,作,以OA,OC為鄰邊作平行四邊形OABC,則①加法:a+b=

.

②減法:a-b=

.

(2)數乘:λa,①當λ≠0,a≠0時,|λa|=

,而且λa的方向:

當λ>0時,λa與a方向

;

當λ<0時,λa與a方向

;

②當λ=0或a=0時,λa=0.(3)線性運算律

①加法交換律:a+b=

;

②加法結合律:(a+b)+c=

;

③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=

.

|λ||a|相同

相反

b+aa+(b+c)λa+λb名師點睛

(2)以向量a,b為鄰邊的平行四邊形中,a+b與a-b對應的有向線段所表示的是兩條對角線,|a+b|與|a-b|為兩條對角線的長度.(3)三個不共面的向量的和,等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體中,與這三個向量有共同始點的體對角線所表示的向量.(4)首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形,它們的和向量為0.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)空間中兩個非零向量相加時,可以在空間中任取一點作為它們的共同始點.(

)(2)若a=λb(b≠0),則λ=.(

)√×A.a+b+c B.a+b-cC.a-b-c

D.-a+b+c答案C

知識點3

空間向量的數量積(1)定義:空間中已知兩個非零向量a,b,則|a||b|cos<a,b>叫做a,b的數量積(也稱為內積),記作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)規定零向量與任意向量的數量積為0.(3)空間向量的數量積的性質:①a⊥b?a·b=0(a,b均是非零向量);②a·a=|a|2=a2;③|a·b|≤|a||b|;④(λa)·b=λ(a·b);⑤a·b=b·a(交換律);⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).名師點睛(1)空間向量的數量積的運算符號是“·”,不能省略,更不能寫成“×”;(2)空間向量的數量積(內積)是一個實數而不是一個向量,它有別于數乘向量;(3)若a·b=k,不能得出a=;(4)a⊥b的充要條件是a·b=0,這是用向量證明空間中垂直關系的根本方法,同時也說明了命題“a·b=0?a=0或b=0”是錯誤的.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)對于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.(

)(2)對于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c).(

)(3)若非零向量a,b為共線且同向的向量,則a·b=|a||b|.(

)2.兩個向量的數量積與數乘向量有何不同?××√提示兩個向量的數量積是它們的模與其夾角的余弦值的乘積,其結果是實數;數乘向量是一個數與一個向量的乘積,其結果仍是一個向量,如0·a=0,而0·a=0.3.已知|a|=1,|b|=,且a-b與a垂直,則a與b的夾角為(

)A.60° B.30° C.135° D.45°答案D

提示∵a-b與a垂直,∴(a-b)·a=0,重難探究?能力素養全提升探究點一空間向量的概念【例1】

給出下列說法:①兩個空間向量相等,則它們的始點相同,終點也相同;②若空間向量a,b滿足|a|=|b|,則a=b;③在正方體ABCD-A1B1C1D1中,必有;④若空間向量m,n,p滿足m=n,n=p,則m=p;⑤空間中任意兩個單位向量必相等.其中正確的個數為(

)A.4 B.3 C.2 D.1答案C

解析

當兩個空間向量的始點相同,終點也相同時,這兩個向量必相等;但兩個向量相等,不一定有始點相同、終點相同,故①錯誤;根據向量相等的定義,要保證兩向量相等,不僅模要相等,而且方向還要相同,但②中向量a與b的方向不一定相同,故②錯誤;根據正方體的性質,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,向量

的方向相同,模也相等,所以

,故③正確;④顯然正確;對于⑤,空間中任意兩個單位向量的模均為1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤錯誤.所以正確的個數為2.規律方法

解決有關向量概念的問題,要熟練掌握空間向量的有關概念,注意區分向量與向量的模以及數量.相等向量只需方向相同,長度相等,與向量的始點和終點沒有必然的聯系.尤其要注意解決此類概念問題時,要多結合幾何圖形進行分析,并要與平面向量中的結論進行類比.變式訓練1下列關于空間向量的說法中正確的是(

)A.空間向量不滿足加法結合律B.若|a|=|b|,則a,b的長度相等而方向相同或相反D.相等向量其方向必相同

答案D

解析

A中,空間向量滿足加法結合律;B中,|a|=|b|只能說明a,b的長度相等而方向不確定;C中,向量作為矢量不能比較大小,故選D.探究點二空間向量的線性運算【例2】

如圖,已知長方體ABCD-A'B'C'D',化簡下列向量表達式,并在圖中標出化簡結果的向量.規律方法

1.對于借助幾何圖形的向量運算,應該在線性運算的基礎上挖掘好幾何體本身的特征,如平行、相等、垂直等.2.轉化與化歸思想意識要加強,除借助向量的運算律外,還可以將已知向量轉化為與之相等的向量以方便其運算.變式探究

變式訓練2答案

A

探究點三空間向量的數量積角度1求向量的數量積【例3】

已知長方體ABCD

-

A'B'C'D',AB=AA'=2,AD=4,E為側面AB'的中心,規律方法

求兩個向量數量積的方法

變式訓練3答案

A

解析

如圖所示,角度2利用數量積證明垂直問題【例4】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求證:PA⊥BD.證明由底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,知DA⊥BD,規律方法

1.由數量積的性質a⊥b?a·b=0(a,b是非零向量)可知,要證兩直線垂直,可構造與兩直線分別平行的非零向量,只要證明這兩個向量的數量積為0即可.2.用向量法證明線面(面面)垂直,需將線面(面面)垂直轉化為線線垂直,然后利用向量法證明線線垂直.變式訓練4如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC與BD的交點,G為CC1的中點,求證:A1O⊥平面GBD.又OG∩BD=O,OG?平面GBD,BD?平面GBD,∴A1O⊥平面GBD.角度3利用數量積求解距離或長度問題【例5】

平行四邊形ABCD中,AB=2AC=2且∠ACD=90°,將它沿對角線AC折起,使AB與CD成60°角,求B,D間的距離.規律方法

利用向量的數量積求兩點間的距離,可以轉化為求向量的模的問題,其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量,將此向量表示為幾個已知向量的和的形式,求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模,利用公式|a|=求解.變式訓練5在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的長.素養培優易錯點——因將向量夾角與直線夾角混淆而致錯【典例】如圖,空間四邊形ABCD中,每條邊的長度和兩條對角線的長度都等于1,M,N分別是AB,AD的中點,計算

.【規范答題】

學以致用?隨堂檢測全達標1.“兩個非零空間向量的模相等”是“兩個空間向量相等”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案

B2.若向量a=2i-k,向量b=j-2k,則2a-b=(