第第25第7章緊致性§7.1緊致空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握緊致子集的定義及判斷一個(gè)子集是緊致子集的方法．（這些方法哪些是充要條件）；掌握緊致性是否是連續(xù)映射可保留的，是否是可遺傳的、有限可積的．在§5.3中，我們用關(guān)于開覆蓋和子覆蓋的術(shù)語(yǔ)刻畫了一類拓?fù)淇臻g，即Lindeloff空間．現(xiàn)在來仿照這種做法，即將Lindeloff空間定義中的“可數(shù)子覆蓋”換成“有限子覆蓋”，以定義緊致空間．讀者在數(shù)學(xué)分析中早已見過的Heine－Borel定理斷言：實(shí)數(shù)空間R的任何一個(gè)子集為有界閉集的充分必要條件是它的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋．（在§7.3中我們將要推廣這個(gè)定理．）因此我們現(xiàn)在作的事也應(yīng)當(dāng)在意料之中．定義7.1.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g?如果X的每一個(gè)開覆蓋有一個(gè)有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)緊致空間.明顯地，每一個(gè)緊致空間都是Lindeloff空間.但反之不然，例如包含著無限但可數(shù)個(gè)點(diǎn)的離散空間是一個(gè)Lindeloff空間，但它不是一個(gè)緊致空間.例7?1?1實(shí)數(shù)空間R不是一個(gè)緊致空間.這是因?yàn)槿绻覀冊(cè)O(shè)A={（―n,n）UR|bGZ+}，則A的任何一個(gè)有限子族{（-旳,旳…,（-叫，叫）},由于它的并為（-max{?心八％},max{?宀'…%）所以不是R的一個(gè)子覆蓋.因此R的開覆蓋A沒有任何一個(gè)有限子覆蓋.定義7.1.2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，Y是X中的一個(gè)子集，如果Y作為X的子空間是一個(gè)緊致空間，則稱Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)緊致子集.根據(jù)定義，拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)子集Y是X的緊致子集意味著每一個(gè)由子空間Y中的開集構(gòu)成的Y的開覆蓋有一個(gè)有限子覆蓋，這并不明顯地意味著由X中的開集構(gòu)成的每一個(gè)Y的覆蓋都有有限子覆蓋.所以陳述以下定理是必要的．定理7.1.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，Y是X中的一個(gè)子集?則Y是X的一個(gè)緊致子集當(dāng)且僅當(dāng)每一個(gè)由X中的開集構(gòu)成的Y的覆蓋都有有限子覆蓋?（此定理表明開覆蓋中的開子集可以是X的，也可以是Y的）證明必要性設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)緊致子集,A是Y的一個(gè)覆蓋，它由X中的開集構(gòu)成.貝恪易驗(yàn)證集族區(qū)珂貝cF|A^a｝也是y的一個(gè)覆蓋，它由Y中的開集構(gòu)成.因此A有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為｛￡cF,血cF，…eV｝，于是A的有限子族A-A/'A覆蓋Y.充分性，假定每一個(gè)由X的開集構(gòu)成的Y的覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋.設(shè)A是Y的一個(gè)覆蓋，它由Y中的開集構(gòu)成.則對(duì)于每一個(gè)AWA存在X中的一個(gè)開集久1使得A二耳QY.因此刁珂乙|"〔A｝開集久1使得A二耳QY.覆蓋，所以有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為此時(shí)易見A的子族｛川1，比，…&｝覆蓋Y.這證明Y是X的一個(gè)緊致子集.面介紹關(guān)于緊致性的一個(gè)等價(jià)說法．定義7.1.3設(shè)A是一個(gè)集族?如果A的每一個(gè)有限子族都有非空的交（即如果占是A的一個(gè)有限子族，則門卻心h0），則稱a是一個(gè)具有有限交性質(zhì)的集族.定理7?1?2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g?則X是一個(gè)緊致空間當(dāng)且僅當(dāng)X中的每一個(gè)具有有限交性質(zhì)的閉集族都有非空的交.證明"=\設(shè)X是一個(gè)緊致空間.用反證法.設(shè)F是X中的一個(gè)具有有限交性質(zhì)的閉集族.設(shè)FH°.如果c“C=°，則令A(yù)二{U'lU^F}.由于5仝?“丫=07所以A是X的一個(gè)開覆蓋.于是A有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為｛WxG｝.從U]nC2n-nCM=?皿u-uC^f=Xf=0這說明F不具有有限交性質(zhì).矛盾.“=”，設(shè)X中的每一個(gè)具有有限交性質(zhì)的閉集族都有非空的交.為證明X是一個(gè)緊致空間，設(shè)A是X的一個(gè)開覆蓋.我們需要證明A有一個(gè)有限子覆蓋.如果A=0，則，這蘊(yùn)涵X=0以及A的每一個(gè)子族都是X的覆蓋.以下假定AH°.此時(shí)F=｛占|AwA｝便是X中的一個(gè)非空閉集族，并且nC?FU=仏/=2心4/=辺因此，它不具有有限交性質(zhì).也就是說，它有一個(gè)有限子族其交為空集.設(shè)F的這個(gè)有限子族為｛從鶴宀撿，則卅=35是x的一個(gè)有限子覆蓋.

如果B是緊致空間X的一個(gè)基，那么由B中的元素構(gòu)成的X的一個(gè)覆蓋當(dāng)然是一個(gè)開覆蓋，因此有有限子覆蓋．下述定理指出，為驗(yàn)證拓?fù)淇臻g的緊致性，只要驗(yàn)證由它的某一個(gè)基中的元素組成的覆蓋有有限子覆蓋．定理7.1.3設(shè)B*是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基，并且X的由B*中的元素構(gòu)成的每一個(gè)覆蓋有一個(gè)有限子覆蓋?則X是一個(gè)緊致空間.證明A*設(shè)是X的一個(gè)開覆蓋.對(duì)于每一個(gè)AwA*存在B*的一個(gè)子族財(cái)使得衛(wèi)=u段尊』B令舄=u應(yīng)理曠壷由于u如11B=2肛.即B=u皿應(yīng)典￡)=貝=X故4是一個(gè)由B*故4是一個(gè)由B*的元素構(gòu)成的X的一個(gè)覆蓋,所以有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為兀際…瓦,對(duì)于每一個(gè)禺，i=l,2,…，n,于是對(duì)于A*的有限于族｛舄4「4｝有4u山？u…u&n呂空…呂花=X也就是說A*也就是說A*有一個(gè)有限子覆蓋｛…心｝.這證明X是一個(gè)緊致空間.定理7?1?4設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X~Y是一個(gè)連續(xù)映射?如果A是X的一個(gè)緊致子集，則f(A)是Y的一個(gè)緊致子集.證明設(shè)C*是f(A)的一個(gè)覆蓋，它由Y中的開集組成.對(duì)于每一個(gè)CwC*,由于f是一個(gè)連續(xù)映射，廣'(C)是X中的一個(gè)開集5具二了G4）3u0eC./-1（O=/-1（uCeC+Q二）于"C/（&0二）*所以A=｛廣1（C）|CWC*｝是A的一個(gè)開覆蓋.由于A是X的一個(gè)緊致子集，所以A有一個(gè)有限子族，設(shè)為｛廣乜1）』"0…廣NG）｝，覆蓋A???/-1G2廣迄）U…=廣goc2o-oCJnA：.C1uC2u-uCM即｛G，G，…,G｝是C*的一個(gè)子族并且覆蓋f（A）.這證明f（A）是Y的一個(gè)緊致子集．由上述定理可見，拓?fù)淇臻g的緊致性是連續(xù)映射所保持的性質(zhì)，因此是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是一個(gè)可商性質(zhì)．由此可見，由于實(shí)數(shù)空間R不是緊致空間，而每一個(gè)開區(qū)間都是與它同胚的，所以每一個(gè)開區(qū)間（作為子空間）都不是緊致空間．定理7.1.5緊致空間中的每一個(gè)閉子集都是緊致子集．證明設(shè)Y是緊致空間X中的一個(gè)閉子集.如果A是Y的一個(gè)覆蓋，它由X中的開集構(gòu)成.貝yE=是x的一個(gè)開覆蓋.設(shè)B1是B的一個(gè)有限子族并且覆蓋X.則Bl-｛F'｝便是A的一個(gè)有限子族并且覆蓋Y.這證明Y是X的一個(gè)緊致子集．定理7.1.6每一個(gè)拓?fù)淇臻g必定是某一個(gè)緊致空間的開子空間.證明：設(shè)（X,T）是一個(gè)拓?fù)淇臻g.令為任何一個(gè)不屬于X的元素.令X*二XU?｝T*二TU爲(wèi)U｛X*｝其中爲(wèi)=｛EUX*|X*-E是拓?fù)淇臻g（X,T）中的一個(gè)緊致閉集｝首先驗(yàn)證T*是集合X*的一個(gè)拓?fù)?（略）其次.證明(X*,T*)是一個(gè)緊致空間：設(shè)C*是X*的一個(gè)開覆蓋.則存在CeC*使得ooEC.于是cg爲(wèi)，因此X*-C是緊致的，并且C*-{C}是它的一個(gè)開覆蓋.于是C*-{C}有一個(gè)有限子族，設(shè)為C1,覆蓋X*-C.易見C1U{C}是C*的一個(gè)有限子族，并且覆蓋X*.最后，我們指出拓?fù)淇臻g(X,T)是拓?fù)淇臻g(X*,T*)的一個(gè)開子空間.這是因?yàn)門二廠1蠱及X是X*的一個(gè)開集.在以上定理的證明中由拓?fù)淇臻g(X,T)構(gòu)造出來的緊致空間(X*,T*),通常稱為拓?fù)淇臻g(X,T)的一點(diǎn)緊化.由于非緊致空間(它是存在的)是它的一點(diǎn)緊化的一個(gè)子空間，因此緊致性不是可遺傳的性質(zhì).但由定理7.1.5可知緊致性是閉遺傳的.以下定理表明緊致性是可積性質(zhì).定理7?1?7設(shè)耳禺，尤是口勿個(gè)緊致空間.則積空間皆W'化是個(gè)緊致空間.證明(略)作業(yè)：P1881.4.5.§7.2緊致性與分離性公理本節(jié)重點(diǎn)：掌握緊致空間中各分離性公理的關(guān)系；掌握Hausdorff空間中緊致子集的性質(zhì).在本節(jié)中我們把第六章中研究的諸分離性公理和緊致性放在一起進(jìn)行考察、我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)在緊致空間中分離性公理變得十分簡(jiǎn)單了．此外在本節(jié)的后半部分，我們給出從緊致空間到Hausdorff空間的連續(xù)映射的一個(gè)十分重要的性質(zhì)．定理7?2?1設(shè)X是一個(gè)Hausdorff空間?如果A是X的一個(gè)不包含點(diǎn)xGX的緊致子集，則點(diǎn)x和緊致子集a分別有開鄰域u和v使得unv=°?證明設(shè)A是一個(gè)緊致子集，xw百.對(duì)于每一個(gè)y^A，由于X是一個(gè)Hausdorff空間，故存在x的一個(gè)開鄰域—和y的一個(gè)開鄰域=集族|yWA｝明顯是緊致子集A的一個(gè)開覆蓋，它有一個(gè)有限子族，設(shè)為｛心巧"?￡｝,覆蓋A.令U==5"綣，它們分別是點(diǎn)x和集合A的開鄰域.此外，由于對(duì)于每一個(gè)i=1，2,…，n有：口“=^1n^2n...n^“=0所以U廠芒=(Ucf)3(Uc卩小—.2(U=0推論7.2.2Hausdorff空間中的每一個(gè)緊致子集都是閉集.證明設(shè)A是Hausdorff空間X的一個(gè)緊致子集.對(duì)于任何x^X，如果x隹A,則根據(jù)定理7.2.1可見x不是A的凝聚點(diǎn).因此凡A的凝聚點(diǎn)都在A中,從而A是一個(gè)閉集.推論7.2.2結(jié)合定理7.1.5可見：推論7.2.3在一個(gè)緊致的Hausdorff空間中，一個(gè)集合是閉集的充分必要條件是它是一個(gè)緊致子集.為了加強(qiáng)讀者對(duì)定理7.1.5，推論7.2.2和推論7.2.3中的幾個(gè)簡(jiǎn)單而常用的結(jié)論的印象，重新簡(jiǎn)明地列舉如下：緊致空間：閉集=緊致子集Hausdorff空間：閉集=緊致子集緊致的hausdorff空間：閉集O緊致子集推論7?2?4每一個(gè)緊致的Haudorff空間都是正則空間.證明設(shè)A是緊致的Hausdorff空間X的一個(gè)閉子集，x是X中的一個(gè)不屬于集合A的點(diǎn).由于緊致空間中的閉子集是緊致的（參見定理7.1.5），所以A是一個(gè)緊致子集.又根據(jù)定理7.2.1,點(diǎn)x和集合A分別有開鄰域U和V使得UGV二°.這就證明了X是一個(gè)正則空間.定理7.2.5設(shè)X是一個(gè)Hausdorff空間?如果A和B是X的兩個(gè)無交的緊致子集，則它們分別有開鄰域U和V使得UCV=°.證明設(shè)A和B是X的兩個(gè)無交的緊致子集.對(duì)于任何xWA，根據(jù)定理7.2.1,點(diǎn)x和集合B分別有開鄰域5億刊*=0.集族嚴(yán)|xeA｝是緊致子集A的一個(gè)開覆蓋,它有一個(gè)有限子族，設(shè)為｛S'?池｝,覆蓋A.令由于對(duì)于每一個(gè)i=l,2,…，n有Sqv二°，所以UGV二0.由于Hausdorff空間的每一個(gè)閉子集都是緊致子集，所以根據(jù)定理7.2.5立即有：推論7.2.6每一個(gè)緊致的Hausdorff空間都是專的，這個(gè)結(jié)論也可以根據(jù)推論7.2.4和定理6.4.3直接推出．根據(jù)這個(gè)推論聯(lián)系著表6.1并且留意到每一個(gè)緊致空間都是Lindeloff空間這一事實(shí)，我們可有圖表7.1．從這個(gè)圖表中可以看出，在緊致空間中分離性公理顯得特別簡(jiǎn)單．圖表7.1：緊致空間中的分離性公理定理7.2.7設(shè)X是一個(gè)正則空間?如果A是X中的一個(gè)緊致子集，U是A的一個(gè)開鄰域，則存在A的一個(gè)開鄰域V使得卩匚口.證明設(shè)A是正則空間X中的一個(gè)緊致子集，U是A的一個(gè)開鄰域.對(duì)于任何xWA,點(diǎn)x有一個(gè)開鄰域人使得匚5集族｛農(nóng)|xeA｝是緊致子集A的一個(gè)開覆蓋，它有有限子族，設(shè)為｛人厲,…耳｝，覆蓋a.令&7皿，它是A的一個(gè)開鄰域，并且根據(jù)這個(gè)定理立即可見，每一個(gè)緊致的正則空間都是正規(guī)空間.然而這并不是什么新結(jié)論，因?yàn)槊恳粋€(gè)緊致空間都是Lindeloff空間，所以它明顯地蘊(yùn)涵于定理6.4.3中.然而緊致的正規(guī)空間可以不是正則空間.例子見于例6.2.3.在那個(gè)正規(guī)而非正則空間的例子中的拓?fù)淇臻g只含有有限多個(gè)點(diǎn)，當(dāng)然會(huì)是緊致的.定理7.2.8從緊致空間到Hausdorff空間的任何一個(gè)連續(xù)映射都是閉映射.證明設(shè)X是一個(gè)緊致空間，Y是一個(gè)Hausdorff空間，f:X-Y是一個(gè)連續(xù)映射．如果A是緊致空間X中的一個(gè)閉子集．則它是緊致的（參見定理7.1.5），因此它的象集f（A）是Hausdorff空間Y中的一個(gè)緊致子集（參見定理7.1.4），所以又是閉集（參見推論7.2.2）.這證明f是一個(gè)閉映射.因?yàn)橐粋€(gè)既單且滿的開（或閉）的連續(xù)映射即是一個(gè)同胚，所以我們有：推論7?2?9從緊致空間到Hausdorff空間的任何一個(gè)既單且滿的（即一一的）連續(xù)映射都是同胚.作業(yè):P1921.2.§7.3n維歐氏空間朝中的緊致子集定義7.3.1設(shè)（X,p）是一個(gè)度量空間，AUX.如果存在實(shí)數(shù)M>0使得p（x,y）VM對(duì)于所有x，y^A成立，則稱A是X的一個(gè)有界子集；如果X本身是一個(gè)有界子集，則稱度量空間（X，p）是一個(gè)有界度量空間.定理7?3?1緊致度量空間是有界的.證明設(shè)（X，p）是一個(gè)緊致度量空間.由球形鄰域構(gòu)成的集族｛B（x，1）|xWX｝是X的一個(gè)開覆蓋，它有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為｛B（x1，1），B（x2,1），…，B（xn，1）｝．令M=rnax｛p（xi，xj）|lWi，jWn｝十2如果x，y^X，則存在i，j，Ki，jWn，使得x^B（xi，l）和y^B（xj,l）．于是p（x，y）Vp（x，xi）+p（xi，xj）十p（xj，y）VM

因此度量空間中的每一個(gè)緊致子集都是有界子集.特別n維歐氏空間疋的每一個(gè)緊致子集都是有界的．面作為引理給出單位閉區(qū)間［0,1］是一個(gè)緊致空間的證明.盡管讀者可能早已熟知這個(gè)結(jié)論．引理7?3?2單位閉區(qū)間［0,1］是一個(gè)緊致空間.證明設(shè)A是［0,1］的一個(gè)開覆蓋.令P=｛xG［0,l］|A有一個(gè)有限子族覆蓋［0,x］｝它是［0,1］的一個(gè)子集.對(duì)于集合P,我們依次證明,PH°.因?yàn)轱@然0ep；P是一個(gè)開集.設(shè)xep.則A有一個(gè)有限子族，設(shè)為｛4地「&｝，覆蓋［0,x］.當(dāng)x=1時(shí)，易見P=［0,1］,它是一個(gè)開集.因此x是P的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).下設(shè)xV1.這時(shí)對(duì)于某一個(gè)i0,lWi0Wn,有xe幾.由于凡是［0,1］中的一個(gè)開集，所以存在實(shí)數(shù)￡x+￡）UP.由于［0,x+￡)是［0,存在實(shí)數(shù)￡x+￡）UP.由于［0,x+￡)是［0,1］中的一個(gè)包含x的開集，所以x是P的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).以上證明了集合P中的任何一個(gè)點(diǎn)都是P的內(nèi)點(diǎn)，所以它是一個(gè)開集?一個(gè)內(nèi)點(diǎn).P是一個(gè)閉集.設(shè)xeF=［0,1］-P.根據(jù)集合P的定義可見，［x,1］uF.另外根據(jù)⑴可見.0Vx.選取選取AeA使得xeA.由于A是一個(gè)開集，所以存在實(shí)數(shù)￡>0使得（x-￡,x]匸A.假如（x-￡,x]GPH°,設(shè)ze（x-￡,x]nP.則A有一個(gè)有限子族A1覆蓋［0,z］,因此A的有限子族A1U｛A｝覆蓋［0,x］,這與X$P矛盾.所以（X—￡,x]np二0，即（x-￡,x]uF,從而（x-￡,1]UP,因此x是卩的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).這證明P是一個(gè)開集，即P是一個(gè)閉集.根據(jù)上述三條，P是［0,1］中的一個(gè)既開又閉的非空子集.由于［0,1］是一個(gè)連通空間，所以P=［0,1］,特別，1WP.這也就是說A有一個(gè)有限子族覆蓋［0，1］．以上證明了［0，1］的任何一個(gè)開覆蓋有有限子覆蓋，故［0，1］是一個(gè)緊致空間．任何一個(gè)閉區(qū)間［a,b］(aVb)，由于它和單位閉區(qū)間［0,1］同胚，所以是緊致的.并且作為緊致空間的積空間，可見n維歐氏空間疋中任何一個(gè)閉方體也切^(aVb)也是緊致空間.定理7.3.3設(shè)A是n維歐氏空間必中的一個(gè)子集.則A是一個(gè)緊致子集當(dāng)且僅當(dāng)A是一個(gè)有界閉集.證明設(shè)p是n維歐氏空間卅的通常度量.：如果AU0是一個(gè)緊致子集，則根據(jù)定理7.3.1，它是有界的；由于対是一個(gè)Hausdorff空間，根據(jù)推論7.2.2，它是一個(gè)閉集.“=”：設(shè)A匚卅是一個(gè)有界閉集.如果A=°，則A是緊致的.下設(shè)°.于是存在實(shí)數(shù)M>0使得對(duì)于任何x，y$A有p(x，y)VM.任意選取xOGA，并且令N=M十p(0，x0)，其中0=(0，0，…，0)$芒.容易驗(yàn)證(根據(jù)三角不等式)A匚.因此A作為緊致空間中的一個(gè)閉子集必定是緊致的．定理7?3?4設(shè)X是一個(gè)非空的緊致空間，f:X-R是一個(gè)連續(xù)映射.則存在x0，x1GX使得對(duì)于任意xWX有f(x0)Wf(x)Wf(x1)換言之，從非空的緊致空間到實(shí)數(shù)空間R的任何一個(gè)連續(xù)映射都可以取到最大點(diǎn)與最小點(diǎn).證明由于X緊致，故根據(jù)定理7.1.4可見f(X)是實(shí)數(shù)空間R中的一個(gè)緊致子集.由于R是一個(gè)Hausdorff空間，所以f(X)是一個(gè)閉集.設(shè)m和M分別為集合f(X)的下，上確界，則m,MGf(X).因此存在xO,xlGX使得f(xO)=m和f(xl)=M.根據(jù)上，下確界的定義立即可見，對(duì)于任何x^X有f(xO)Wf(x)Wf(xl).此外，由于m維單位球面E鮫是一個(gè)有界閉集，所以是緊致的，n維歐氏空間必不是緊致的，而緊致性又是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，所以：定理7?3?5設(shè)m，n^Z+?則m維單位球面少與n維歐氏空間必不同胚.這是通過拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)區(qū)分不同胚的拓?fù)淇臻g的又一個(gè)例子.作業(yè):P1961?2?§7?4幾種緊致性以及其間的關(guān)系本節(jié)重點(diǎn)：掌握新定義的幾種緊致性的定義及它們之間的關(guān)系.讀者已從數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中知道了以下命題：實(shí)數(shù)空間朗中的一個(gè)子集A如果滿足以下條件(l)?(4)中的任何一條，則滿足其他的幾條.A是一個(gè)有界閉集；A的每一個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋；A中的每一個(gè)無限子集都有凝聚點(diǎn)在A中；A中的每一個(gè)序列都有收斂的子序列收斂于A中的點(diǎn).這幾個(gè)條件的重要意義，讀者應(yīng)當(dāng)早就有所體會(huì)了．不難發(fā)現(xiàn)這四條中以惟有(l)中涉及的概念有賴于度量，其余(2),(3)和(4)三條中所涉及的概念都只是牽連到拓?fù)洌覀儺?dāng)然希望在一般的拓?fù)淇臻g中還能建立條件，(3)和(4)的等價(jià)性；假如不能，討論在何種條件下它們等價(jià)也是一件有意義的事．本節(jié)我們研究這個(gè)問題．為了研究問題時(shí)的方便，引進(jìn)以下條件(5)作為討論的中間站．A的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋．定義7.4.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g?如果X的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)可數(shù)緊致空間.以下兩個(gè)定理的證明十分容易，請(qǐng)讀者自己補(bǔ)證.定理7.4.1每一個(gè)緊致空間都是可數(shù)緊致空間.定理7?4?2每一個(gè)Lindeloff的可數(shù)緊致空間都是緊致空間.定義7.4.2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g?如果X的每一個(gè)無限子集都有凝聚點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)列緊空間.定理7?4?3每一個(gè)可數(shù)緊致空間都是列緊空間.證明設(shè)X是一個(gè)可數(shù)緊致空間．為了證明它是一個(gè)列緊空間，我們只要證明它的每一個(gè)可數(shù)的無限子集都有凝聚點(diǎn)，現(xiàn)在用反證法來證明這一點(diǎn)．假設(shè)X有一個(gè)可數(shù)無限子集A沒有凝聚點(diǎn).首先這蘊(yùn)涵A是一個(gè)閉集.此外對(duì)于每一個(gè)a￡A,由于a不是A的凝聚點(diǎn)，所以存在a的一個(gè)開鄰域使得SGA={a}.于是集族{U也|a￡A}Up；}是X的一個(gè)開覆蓋.由于X是可數(shù)緊致空間，它有一個(gè)有限子覆蓋，不妨設(shè)為｝由于占與A無交，所以卩小Um…口叭必定覆蓋A.因此，A二円7%°"u^)nA=｛a1,a2,-an｝是一個(gè)有限集.這是一個(gè)矛盾．定義7.4.3設(shè)｛國(guó)｝^+是一個(gè)由集合構(gòu)成的序列，如果它滿足條件：國(guó)二國(guó)+i對(duì)于每一個(gè)iGZ+成立，即同二&二則稱序列鳳｝山是一個(gè)下降序列.在某一個(gè)拓?fù)淇臻g中的一個(gè)由非空閉集構(gòu)成的下降序列也叫做一個(gè)非空閉集下降序列．引理7.4.4設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g?則拓?fù)淇臻gX是一個(gè)可數(shù)緊致空間當(dāng)且僅當(dāng)由X中任何一個(gè)非空閉集下降序列鳳有非空的交，即證明設(shè)可數(shù)緊致空間X中的非空閉集下降序列迅心+使得=0于是'珂｝計(jì)+是X的一個(gè)開覆蓋，它有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為｛罵"罵2，兔!｝由此可得0=腔=2：■屈y=c；出.=嘔門禺呦這是一個(gè)矛盾.另一方面，設(shè)拓?fù)淇臻gX中的每一個(gè)非空閉集下降序列都有非空的交?如果X不是一個(gè)可數(shù)緊致空間，則X有一個(gè)可數(shù)開覆蓋，設(shè)為｛…｝,沒有有限子覆蓋.對(duì)于每一個(gè)ieZ+，令

貝畀叭，比，…｝也是X的一個(gè)開覆蓋，沒有有限子覆蓋，并且滿足條件：珂匚兀匚…因此呎岡廠是一個(gè)非空閉集下降序列，所以6」H邁.由此可見5/工X.也就是說｛%02「｝不是X的一個(gè)覆蓋，這是一個(gè)矛盾.定理7?4?5每一個(gè)列緊的爲(wèi)空間都是可數(shù)緊致空間證明個(gè)列緊的爲(wèi)空間.如果X證明個(gè)列緊的爲(wèi)空間.如果X不是個(gè)可數(shù)緊致空間，貝根據(jù)引理7.4.4，X中有一個(gè)非空閉集下降序列（罵｝佃+，使得°品+罵=°在每一個(gè)罵中選取一點(diǎn)?，并且考慮集合A=｛"i兀,…｝如果A是一個(gè)有限集，則必有一點(diǎn)xGA和一個(gè)正整數(shù)的嚴(yán)格遞增序列n1,n2，…使得“甘心二…于是對(duì)于任何iEZ+有xG珂.這是因?yàn)椋谑莤GC罰+耳，這與反證假設(shè)矛盾.設(shè)A是一個(gè)無限集.由于X是一個(gè)列緊空間，所以A有一個(gè)凝聚點(diǎn)，設(shè)為y.由于X是一個(gè)石空間（它的每一個(gè)有限子集都是閉集），易見對(duì)于每一個(gè)iGZ+，點(diǎn)y也是集合召珂心羽小…｝的一個(gè)凝聚點(diǎn)；又由于召匚耳二『亡百邁+珂.這也與反證假定矛盾.定義7.4.4設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g?如果X中的每一個(gè)序列都有一個(gè)收斂的子序列，稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)序列緊致空間.定理7?4?6每一個(gè)序列緊致空間都是可數(shù)緊致空間.證明設(shè)X是一個(gè)序列緊致空間，｛%耳「｝是X中的一個(gè)非空閉集下降序列.在每E呂=他內(nèi)，…｝—耳2,…｝，驗(yàn)心=尹.對(duì)于每一個(gè)iWZ+,'■'…已典i匚珂=7E罵=$已njeZ+罵="6詔+罵工0.根據(jù)引理7.4.4X是一個(gè)可數(shù)緊致空間．定理7.4.7每一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的可數(shù)緊致空間都是序列緊致空間．證明設(shè)X是一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的可數(shù)緊致空間，設(shè)｛丙｝山+匸用.對(duì)于每一個(gè)iez+，令鳥=任“可+1「｝和罵=&.于是月“耳'…是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)非空閉集下降序列，因此根據(jù)引理7.4.4，我們有6翻+罵工0厲施門5耳.由于X滿足第一可數(shù)性公理，根據(jù)定理5.1.8，在點(diǎn)x處有一個(gè)可數(shù)鄰域基｛厲耳，…｝滿足條件：E二6二…=藥=6egH0對(duì)于任意jez+成立.令&、=min{JEZ+|6n對(duì)于每一個(gè)i>l,令N[-JE?+丨吁EqC爲(wèi);_|+J,于是站…是一個(gè)嚴(yán)格遞增的正整數(shù)序列?并且心已6對(duì)于每一個(gè)j(=z+成立.我們來證明序列｛召｝的子序列^｝收斂于X：設(shè)U是x的一個(gè)鄰域.存在某一個(gè)kez+，使得卩皿匚^,于是當(dāng)i>k時(shí)我們有卞恥已厲匚久匚根據(jù)本節(jié)中的各個(gè)定理，我們可以得到圖表7.2．根據(jù)這個(gè)表立即可以知：推論7?4?8設(shè)X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的爲(wèi)空間，A是X的一個(gè)子集?則下列條件等價(jià)：（1）A的每一個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋；（2）A的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋；（3）A中的每一個(gè)序列都有子序列收斂于A中的點(diǎn)；（4）A中的每一個(gè)無限子集都有凝聚點(diǎn)在A中.特別，對(duì)于n維歐氏空間必的子集以上推論成立，并且推論中的每一個(gè)條件都等價(jià)于A是一個(gè)有界閉集.作業(yè):P2011§7?5度量空間中的緊致,本節(jié)重點(diǎn)：掌握度量空間中的緊致空間、可數(shù)緊致空間、序列緊致空間、列緊空間之間的關(guān)系.由于度量空間滿足第一可數(shù)性公理，同時(shí)也是爲(wèi)空間，所以上一節(jié)中的討論（參見表7?2）因此我們，一個(gè)度量空間是可數(shù)緊致空間當(dāng)且僅當(dāng)它是列緊空間，也當(dāng)且僅當(dāng)它是序列緊致空間．但由于度量空間不一定就是Lindeloff空間，因此從定理7.4.2并不能斷定列緊的度量空間是否一定就是緊致空間．本節(jié)研究這個(gè)問題并給出肯定的回答．定義7.5.1設(shè)A是度量空間(X,p)中的一個(gè)非空子集.集合A的直徑diam(A)定義為diam(A)二sup{p(x,y)|x,y^A}若A是有界的diam(A)二*若A是無界的定義7?5?2設(shè)(X,p)是一個(gè)度量空間，A是X的一個(gè)開覆蓋?實(shí)數(shù)入>0稱為開覆蓋A的一個(gè)Lebesgue數(shù)，如果對(duì)于X中的任何一個(gè)子集A,只要diam(A)V入，則A包含于開覆蓋A的某一個(gè)元素之中.Lebesgue數(shù)不一定存在?例如考慮實(shí)數(shù)空間R的開覆蓋{(-8,l)}u{(n-1/n,n+1+1/n)|n^Z+}則任何一個(gè)正實(shí)數(shù)都不是它的Lebesgue數(shù)?(請(qǐng)讀者自補(bǔ)證明?)定理7.5.1[Lebesgue數(shù)定理]序列緊致的度量空間的每一個(gè)開覆蓋有一個(gè)Lebesgue數(shù).證明設(shè)X是一個(gè)序列緊致的度量空間，A是X的一個(gè)開覆蓋.假若開覆蓋A沒有Lebesgue數(shù)，則對(duì)于任何iGZ+，實(shí)數(shù)1/i不是A的Lebesgue數(shù)，所以X有一個(gè)子集E,使得diam(E)V1/i并且Ei不包含于A的任何元素之中.在每一個(gè)鳥之中任意選取一個(gè)點(diǎn)召,由于X是一個(gè)序列緊致空間，所以序列心可,…有一個(gè)收斂的子序列嘰.由于a是x的一個(gè)開覆蓋，故存在AeA使得y^A,并且存在實(shí)數(shù)￡>0使得球形鄰域B(y,￡)匸A.由于g臥…F,所以存在整數(shù)M>0使得當(dāng)i>M時(shí)%已險(xiǎn)煜.令k為任意一個(gè)整數(shù)，使得k>M+2/￡，則對(duì)于任何應(yīng)皿有p(x,y)Wp(x,%)+p(琢,y)V￡這證明%匚呂W)uAea與丑恥的選取矛盾.定理7?5?2每一個(gè)序列緊致的度量空間都是緊致空間.證明設(shè)X是一個(gè)序列緊致的度量空間，A是X的一個(gè)開覆蓋.根據(jù)定理7.5.1,X的開覆蓋A有一個(gè)Lebesgue數(shù)，設(shè)為入＞0.令B=｛B（x,入/3）｝.它是X的一個(gè)開覆蓋.我們先來證明B有一個(gè)有限子覆蓋.假設(shè)B沒有有限子覆蓋.任意選取一點(diǎn)心丘X.對(duì)于i＞1，假定點(diǎn)心吃,…，耳1已經(jīng)取定，由于3（九加覓￡（心加3）,…￡（召」加3）｝xieX,sxi毎）不是X的覆蓋，選取.按照歸納原則，序列6吃,…已經(jīng)取定.易見對(duì)于任何i,jwZ+,iHj,有p（召刃）＞入/3.序列6可,…沒有任何收斂的子序列.（因?yàn)槿魏蝭wx的球形鄰域B（y,入/6）中最多只能包含這個(gè)序列中的一個(gè)點(diǎn).）這與X是序列緊致空間相矛盾.現(xiàn)在設(shè)｛回可川取月（吃謳?…月O腫⑶打是開覆蓋B的一個(gè)有限子覆蓋.由于其中每一個(gè)元素的直徑都小于入，所以對(duì)于每一個(gè)i=l,2,…,n存在召迂衛(wèi)使得B（y/3）皿.于是是A的一個(gè)子覆蓋.因此，根據(jù)定理7.5.2以及前一節(jié)中的討論可見：定理7?5?3設(shè)X是一個(gè)度量空間?則下列條件等價(jià)：X是一個(gè)緊致空間；X是一個(gè)列緊空間；X是一個(gè)序列緊致空間；X是一個(gè)可數(shù)緊致空間.我們將定理7.5.3的結(jié)論列為圖表7.3以示強(qiáng)調(diào)緊致空間O可數(shù)緊致空「可O序列緊致空間O列緊空間作業(yè):P2051．本章總結(jié)：(1)重點(diǎn)是緊致性、緊致性與分離性的關(guān)系．(2)度量空間(特別是疋、中的緊致性性質(zhì)要掌握.緊致性是否是連續(xù)映射所能保持的、可積的、可遺傳的？證明時(shí)牽涉到的閉集要注意是哪個(gè)空間的閉集．§7.6局部緊致空間，仿緊致空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握局部緊致空間、仿緊致空間的定義?性質(zhì)；掌握局部緊致空間、仿緊致空間中各分離性公理空間之間的關(guān)系；掌握局部緊致空間、仿緊致空間與緊致空間之間的關(guān)系.定義7?6?1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X中的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)緊致的鄰域,則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)局部緊致空間.由定義立即可見,每一個(gè)緊致空間都是局部緊致空間,因?yàn)榫o致空間本身便是它的每一個(gè)點(diǎn)的緊致鄰域．n維歐氏空間也是局部緊致空間,因?yàn)槠渲械娜魏我粋€(gè)球形鄰域的閉包都是緊致的．定理7.6.1每一個(gè)局部緊致的空間都是正則空間.證明設(shè)X是一個(gè)局部緊致的Hausdorff空間，設(shè)x$X,U是x的一個(gè)開鄰域.令D是x的一個(gè)緊致鄰域，作為Hausdorff空間X的緊致子集,D是X中的閉集．由推論7.2.4，D作為子空間是一個(gè)緊致的Hausdorff空間，所以是一個(gè)正則空間"UF是x在子空間D中的一個(gè)開鄰域，其中口°是集合D在拓?fù)淇臻gX中的內(nèi)部.從而x在子空間D中有一個(gè)開鄰域V使得它在子空間D中的閉包包含于W.—方面V是子空間D中的一個(gè)開集，并且又包含于W,因此V是子空間W中的一個(gè)開集,而W是X中的一個(gè)開集，所以V也是X中的開集.另一方面，由于D是X的閉集，所以V在D中的閉包便是V在X中的閉包歹因此點(diǎn)x在X中的開鄰域V使得莎u琢uU.因此X是一個(gè)正則空間.定理7.6.2設(shè)X是一個(gè)局部緊致的正則空間,xWX,則點(diǎn)x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基.證明設(shè)U是xeX的一個(gè)開鄰域.令D為x的一個(gè)緊致鄰域，則是x的一個(gè)開鄰域.因?yàn)閄是正則空間，所以存在x的開鄰域V使得曠匚U小.閉

集曠是X的一個(gè)閉鄰域，并且作為緊致空間D中的閉子集,它是緊致的.以上證明了在x的任何開鄰域U中包含著某一個(gè)緊致鄰域歹.從前面兩個(gè)定理立即可以推出：推論7?6?3設(shè)X是一個(gè)局部緊致的Hausdorff空間,x^X?則點(diǎn)x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基.定理7?6?4每一個(gè)局部緊致的正則空間都是完全正則空間.證明設(shè)X是一個(gè)局部緊致的正則空間．我們驗(yàn)證X是一個(gè)完全正則空間如下：設(shè)xeX和B是X中的一個(gè)閉集，使得沁=g是x的一個(gè)開鄰域.由定理7.6.2,存在x的一個(gè)緊致閉鄰域V,使得卩R?作為X的一個(gè)子空間是緊致的正則空間(正則是可遺傳的),因此是完全正則的．因而存在連續(xù)映射g:Vf[0,l],使得g(x)=0,和對(duì)于任何，亡卩一卩有g(shù)(y)=l.定義映射h:呼-[0使得⑵=1.顯然h是一個(gè)連續(xù)映射定義映射f:X-[0,l],使得對(duì)于任何/r