27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定(第1課時)

27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定11.相似多邊形的特征是什么？2.怎樣判定兩個多邊形相似？3.什么叫相似比？4.相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形．如果∠A

＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，，那么△ABC與△A1B1C1相似嗎？我們還有其他方法判定兩個三角形相似嗎？

ABCA1B1C11.相似多邊形的特征是什么？ABCA1B1C12證明：∵DF∥AC，1cmB.的三角形與原三角形相似.已知：如圖，在△ABC中，DE//BC，且DE分別交AB，AC于點D、E．設菱形的邊長為xcm，則CD=AD=xcm，DF=(4－x）cm，FC=4，那么AF的長是多少？如圖，在△ABC中，EF∥BC.∴.3cmD.如圖，直線l3∥l4∥l5，由平行線分線段成比例的基本事實，我們可以得出圖中對應成比例的線段，如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是()如果把圖1中l1,l2兩條直線相交，交點A剛好落到l3上，如圖2（1），所得的對應線段的比會相等嗎？依據是什么？BE=6cm，FC=3cm，AF的長為_______．如圖，DE∥BC，，；∴.解：∵l1∥l2∥l3，證明：∵DF∥AC，利用平行線分線段成比例定理及推論求線段長度的三角形與原三角形相似.如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是()兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.請分別度量l3,l4,l5.在l1上截得的兩條線段AB,

BC和在l2上截得的兩條線段DE,EF的長度,AB：BC與DE：EF相等嗎？任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的長度,它們的比值還相等嗎？

????猜想ABCDEF

l2l1

除此之外，還有其他對應線段成比例嗎？l2l3l4l5知識點1平行線分線段成比例定理若，那么若，那么即證明：∵DF∥AC，請分別度量l3,l4,事實上，當l3//l4//l5時，都可以得到，

還可以得到，，等.

ABCDEFl3l4l5

l1l2

通過探究，你得到了什么規律呢？事實上，當l3//l4//l5時，都可以得到

一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.符號語言：若a∥b∥c

，則，，

歸納：

A1A2A3B1B2B3bca一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實：符號語言51.如何理解“對應線段”？2.“對應線段”成比例都有哪些表達形式？

【想一想】

【想一想】

如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是()

A.B.C.D.

DACEBDFl2l1l3如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是(

如圖，直線l3∥l4∥l5，由平行線分線段成比例的基本事實，我們可以得出圖中對應成比例的線段，ABCDEFl4l5l1l2l3把直線l1向左或向右任意平移，這些線段依然成比例.知識點2平行線分線段成比例定理的推論如圖，直線l3∥l4∥l5，由平行線分線段成比例的基【思考】如果把圖1中l1,l2兩條直線相交，交點A剛好落到l3上，如圖2（1），所得的對應線段的比會相等嗎？依據是什么？ABCDEFl3l4l5

l1l2圖1圖2（1）A（D）EFCB【思考】如果把圖1中l1,l2兩條直線相交，交點9【思考】如果把圖1中l1,l2兩條直線相交，交點A剛好落到l4上，如圖2（2）所得的對應線段的比會相等嗎？依據是什么？圖1圖2（2）ABCDEFl3l4l5

l1l2BCEADl1l2l3l4l5【思考】如果把圖1中l1,l2兩條直線相交，交點A剛好落10l2l3l1l3ll

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll

歸納：

l2l3l1l3ll平行于三角形一邊的直線截其他11如圖,l1∥l2∥l3，

，DE＝6，求DF的長．解：∵l1∥l2∥l3，

∴.

又∵，DE＝6，

∴，解得EF＝4.∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.l1l2l3如圖,l1∥l2∥l3，，DE＝6，求DF的例

如圖，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.

∴AE=3.

解：∵AC=4，EC=1，

∵DE∥BC，

∴∴AD=2.25，

∴BD=0.75.素養考點1利用平行線分線段成比例定理及推論求線段長度例如圖，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=313

如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，

BE=6cm，FC=3cm，AF的長為_______．1cm如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，1cm14

如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點，過點D作BC的平行線DE，交AC于點E.問題1

△ADE與△ABC的三個角分別相等嗎？問題2

分別度量△ADE與△ABC的邊長，它們的邊長是否對應成比例？BCADE知識點3相似三角形的判定定理如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點，過點D作BC問題3

你認為△ADE與△ABC之間有什么關系？平行移動DE的位置，你的結論還成立嗎？通過度量，我們發現△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，這個結論恒成立.探究新知BCADE問題3你認為△ADE與△ABC之間有什么關系？平行移動DE

【思考】1.我們通過度量三角形的邊長，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定義去證明它，我們需要證明什么？

2.由前面的結論，我們可以得到什么？還需證明什么？用相似的定義證明△ADE∽△ABCBCADE【思考】1.我們通過度量三角形的邊長，知道△ADE∽∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.怎樣判定兩個多邊形相似？如圖,l1∥l2∥l3，，DE＝6，求DF的長．如圖，直線l3∥l4∥l5，由平行線分線段成比例的基本事實，我們可以得出圖中對應成比例的線段，若，那么（1）如果E、F分別是AB和AC上的點，AE=BE=7，的三角形與原三角形相似.已知：如圖，在△ABC中，DE//BC，且DE分別交AB，AC于點D、E．如圖，已知菱形ABCD內接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的邊長.求證：△ADE∽△ABC.的三角形與原三角形相似.=AD=xcm，DF=(4－x）cm，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.已知：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有___對相似三角形.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.如圖，DE∥BC，，；BE=6cm，FC=3cm，AF的長為_______．由前面的結論，我們可以得到什么？還需證明什么？的三角形與原三角形相似.∴.如圖，DE∥BC，，；3cmD.ABCDE證明:在△ADE與△ABC中，∠A=∠A.∵

DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C，過E作EF//AB交BC于F,∵四邊形DBFE是平行四邊形,F∴DE=BF.∴△ADE∽△ABC.∴.∴.則已知：如圖，在△ABC中，DE//BC，且DE分別交AB，AC于點D、E．

求證：△ADE∽△ABC.∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.ABCDE證明:在△ADE“A”型“X”型（圖2）DEOBCABCDE（圖1）定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似.符號語言：∵DE//BC,∴△ADE∽△ABC．“A”型“X”型（圖2）DEOBCABCDE（圖1）定理【討論】過點D作與AC平行的直線與BC相交，可否證明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出現一邊的平行線，那么你應該聯想到什么？【方法總結】過點D作與AC平行的直線與BC相交，仍可證明△ADE∽△ABC，這與教材第31頁證法雷同．題目中有平行線，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性質，可列出比例式．【討論】過點D作與AC平行的直線與BC相交，可否證明△ADE如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點，過點D作BC的平行線DE，交AC于點E.B.的三角形與原三角形相似.如圖，已知菱形ABCD內接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的邊長.怎樣判定兩個多邊形相似？的三角形與原三角形相似.∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，，那么△ABC與【方法總結】過點D作與AC平行的直線與BC相交，仍可證明△ADE∽△ABC，這與教材第31頁證法雷同．題目中有平行線，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性質，可列出比例式．事實上，當l3//l4//l5時，都可以得到，

還可以得到，，等.如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是()如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB，AC相交于點D，E，若AD=4，DB=2，則DE：BC的值為（）如圖，已知菱形ABCD內接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的邊長.證明：∵DF∥AC，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.請分別度量l3,l4,l5.長是否對應成比例？求證：△ADE∽△ABC.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.用相似的定義證明△ADE∽△ABC∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.（1）如果E、F分別是AB和AC上的點，AE=BE=7，的三角形與原三角形相似.已知：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有___對相似三角形.3CDABEFO相似具有傳遞性如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點，過點D作BC的平行線A如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB，AC相交于點D，E，若AD=4，DB=2，則DE：BC的值為（）A．

B．

C．

D．A如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB，AC相交于1.如圖，在△ABC

中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，BC=4cm，EF

長（）

AABCEFA.1cmB.cm

C.3cmD.2cm1.如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BEABCEDFG2.如圖，DE∥BC，，

；FG∥BC，，則

.ABCEDFG2.如圖，DE∥BC，3.如圖，在△ABC中，EF∥BC.（1）如果E、F分別是AB和AC上的點，AE=BE=7，

FC=4，那么AF的長是多少？ABCEF解：∵∴解得AF=4.3.如圖，在△ABC中，EF∥BC.ABCEF解：∵∴解得(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的長是多少？解：∵∴解得

.ABCEF(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么F如圖所示，如果D，E，F分別在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求證：OD∶OA＝OE∶OB

證明：∵DF∥AC，∵EF∥BC，如圖所示，如果D，E，F分別在OA，OB，OC上，且DF∥A27如圖，已知菱形ABCD內接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的邊長.解：∵四邊形ABCD為菱形，BCADEF∴CD∥AB，∴設菱形的邊長為xcm，則CD=AD=xcm，DF=(4－x

）cm，∴解得

∴菱形的邊長為

cm.如圖，已知菱形ABCD內接于△AEF，AE=5cm，A兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長線），所得的對應線段成比例.相似三角形判定的引理平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似.基本事實平行線分線段成比例定理及其推論兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.推論平行于三27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定(第1課時)

27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定301.相似多邊形的特征是什么？2.怎樣判定兩個多邊形相似？3.什么叫相似比？4.相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形．如果∠A

＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，，那么△ABC與△A1B1C1相似嗎？我們還有其他方法判定兩個三角形相似嗎？

ABCA1B1C11.相似多邊形的特征是什么？ABCA1B1C131證明：∵DF∥AC，1cmB.的三角形與原三角形相似.已知：如圖，在△ABC中，DE//BC，且DE分別交AB，AC于點D、E．設菱形的邊長為xcm，則CD=AD=xcm，DF=(4－x）cm，FC=4，那么AF的長是多少？如圖，在△ABC中，EF∥BC.∴.3cmD.如圖，直線l3∥l4∥l5，由平行線分線段成比例的基本事實，我們可以得出圖中對應成比例的線段，如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是()如果把圖1中l1,l2兩條直線相交，交點A剛好落到l3上，如圖2（1），所得的對應線段的比會相等嗎？依據是什么？BE=6cm，FC=3cm，AF的長為_______．如圖，DE∥BC，，；∴.解：∵l1∥l2∥l3，證明：∵DF∥AC，利用平行線分線段成比例定理及推論求線段長度的三角形與原三角形相似.如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是()兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.請分別度量l3,l4,l5.在l1上截得的兩條線段AB,

BC和在l2上截得的兩條線段DE,EF的長度,AB：BC與DE：EF相等嗎？任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的長度,它們的比值還相等嗎？

????猜想ABCDEF

l2l1

除此之外，還有其他對應線段成比例嗎？l2l3l4l5知識點1平行線分線段成比例定理若，那么若，那么即證明：∵DF∥AC，請分別度量l3,l4,事實上，當l3//l4//l5時，都可以得到，

還可以得到，，等.

ABCDEFl3l4l5

l1l2

通過探究，你得到了什么規律呢？事實上，當l3//l4//l5時，都可以得到

一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.符號語言：若a∥b∥c

，則，，

歸納：

A1A2A3B1B2B3bca一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實：符號語言341.如何理解“對應線段”？2.“對應線段”成比例都有哪些表達形式？

【想一想】

【想一想】

如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是()

A.B.C.D.

DACEBDFl2l1l3如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是(

如圖，直線l3∥l4∥l5，由平行線分線段成比例的基本事實，我們可以得出圖中對應成比例的線段，ABCDEFl4l5l1l2l3把直線l1向左或向右任意平移，這些線段依然成比例.知識點2平行線分線段成比例定理的推論如圖，直線l3∥l4∥l5，由平行線分線段成比例的基【思考】如果把圖1中l1,l2兩條直線相交，交點A剛好落到l3上，如圖2（1），所得的對應線段的比會相等嗎？依據是什么？ABCDEFl3l4l5

l1l2圖1圖2（1）A（D）EFCB【思考】如果把圖1中l1,l2兩條直線相交，交點38【思考】如果把圖1中l1,l2兩條直線相交，交點A剛好落到l4上，如圖2（2）所得的對應線段的比會相等嗎？依據是什么？圖1圖2（2）ABCDEFl3l4l5

l1l2BCEADl1l2l3l4l5【思考】如果把圖1中l1,l2兩條直線相交，交點A剛好落39l2l3l1l3ll

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll

歸納：

l2l3l1l3ll平行于三角形一邊的直線截其他40如圖,l1∥l2∥l3，

，DE＝6，求DF的長．解：∵l1∥l2∥l3，

∴.

又∵，DE＝6，

∴，解得EF＝4.∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.l1l2l3如圖,l1∥l2∥l3，，DE＝6，求DF的例

如圖，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.

∴AE=3.

解：∵AC=4，EC=1，

∵DE∥BC，

∴∴AD=2.25，

∴BD=0.75.素養考點1利用平行線分線段成比例定理及推論求線段長度例如圖，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=342

如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，

BE=6cm，FC=3cm，AF的長為_______．1cm如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，1cm43

如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點，過點D作BC的平行線DE，交AC于點E.問題1

△ADE與△ABC的三個角分別相等嗎？問題2

分別度量△ADE與△ABC的邊長，它們的邊長是否對應成比例？BCADE知識點3相似三角形的判定定理如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點，過點D作BC問題3

你認為△ADE與△ABC之間有什么關系？平行移動DE的位置，你的結論還成立嗎？通過度量，我們發現△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，這個結論恒成立.探究新知BCADE問題3你認為△ADE與△ABC之間有什么關系？平行移動DE

【思考】1.我們通過度量三角形的邊長，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定義去證明它，我們需要證明什么？

2.由前面的結論，我們可以得到什么？還需證明什么？用相似的定義證明△ADE∽△ABCBCADE【思考】1.我們通過度量三角形的邊長，知道△ADE∽∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.怎樣判定兩個多邊形相似？如圖,l1∥l2∥l3，，DE＝6，求DF的長．如圖，直線l3∥l4∥l5，由平行線分線段成比例的基本事實，我們可以得出圖中對應成比例的線段，若，那么（1）如果E、F分別是AB和AC上的點，AE=BE=7，的三角形與原三角形相似.已知：如圖，在△ABC中，DE//BC，且DE分別交AB，AC于點D、E．如圖，已知菱形ABCD內接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的邊長.求證：△ADE∽△ABC.的三角形與原三角形相似.=AD=xcm，DF=(4－x）cm，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.已知：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有___對相似三角形.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.如圖，DE∥BC，，；BE=6cm，FC=3cm，AF的長為_______．由前面的結論，我們可以得到什么？還需證明什么？的三角形與原三角形相似.∴.如圖，DE∥BC，，；3cmD.ABCDE證明:在△ADE與△ABC中，∠A=∠A.∵

DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C，過E作EF//AB交BC于F,∵四邊形DBFE是平行四邊形,F∴DE=BF.∴△ADE∽△ABC.∴.∴.則已知：如圖，在△ABC中，DE//BC，且DE分別交AB，AC于點D、E．

求證：△ADE∽△ABC.∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.ABCDE證明:在△ADE“A”型“X”型（圖2）DEOBCABCDE（圖1）定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似.符號語言：∵DE//BC,∴△ADE∽△ABC．“A”型“X”型（圖2）DEOBCABCDE（圖1）定理【討論】過點D作與AC平行的直線與BC相交，可否證明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出現一邊的平行線，那么你應該聯想到什么？【方法總結】過點D作與AC平行的直線與BC相交，仍可證明△ADE∽△ABC，這與教材第31頁證法雷同．題目中有平行線，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性質，可列出比例式．【討論】過點D作與AC平行的直線與BC相交，可否證明△ADE如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點，過點D作BC的平行線DE，交AC于點E.B.的三角形與原三角形相似.如圖，已知菱形ABCD內接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的邊長.怎樣判定兩個多邊形相似？的三角形與原三角形相似.∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，，那么△ABC與【方法總結】過點D作與AC平行的直線與BC相交，仍可證明△ADE∽△ABC，這與教材第31頁證法雷同．題目中有平行線，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性質，可列出比例式．事實上，當l3//l4//l5時，都可以得到，

還可以得到，，等.如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是()如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB，AC相交于點D，E，若AD=4，DB=2，則DE：BC的值為（）如圖，已知菱形ABCD內接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的邊長.證明：∵DF∥AC，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.請分別度量l3,l4,l5.長是否對應成比例？求證：△ADE∽△ABC.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.用相似的定義證明△ADE∽△ABC∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.（1）如果E、F分別是AB和AC上的點，AE=BE=7，的三角形與原三角形相似.已知：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有___對相似三角形.3CDABEFO相似具有傳遞性如圖，在△ABC