7.5二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎(jiǎng)?wù)n件_第1頁(yè)
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7.5二階線性微分方程解結(jié)構(gòu)掌握并靈活利用線性微分方程解結(jié)構(gòu)二階線性微分方程二階線性齊次微分方程二階線性非齊次微分方程n階線性微分方程一、概念二、二階線性微分方程解結(jié)構(gòu)1.二階齊次方程解結(jié)構(gòu):問(wèn)題:注:齊次線性方程解符合疊加原理.比如線性無(wú)關(guān)線性相關(guān)比如定義2.二階線性非齊次方程解結(jié)構(gòu):一階線性非齊次微分方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程一個(gè)特解（與c=0對(duì)應(yīng)特解）結(jié)論：一階線性非齊次微分方程通解等于它一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)齊次方程通解之和2.二階非齊次線性方程解結(jié)構(gòu):解疊加原理定理4通常稱為非齊次線性微分方程解疊加原理定理4一樣能夠推廣到n階非齊次方程情形三、常數(shù)變易法是（1）一個(gè)已知非零特解作變量替換：代入（1）得：注意:1.降階法----劉維爾公式----二階齊次方程通解是（1）一個(gè)已知非零特解作變量替換：作變量替換：分離變量得:兩邊積分得:是（1）一個(gè)已知非零特解作變量替換：作變量替換：劉維爾公式是方程例1:設(shè)一個(gè)解,試求方程通解解:令代入方程并化簡(jiǎn)得作變量替換：并將代入化簡(jiǎn)得兩邊積分得:是方程例1:設(shè)一個(gè)解,試求方程通解解:令作變量替換：兩邊積分得:所以三、常數(shù)變易法假如對(duì)應(yīng)齊次線性方程則由常數(shù)變易法可設(shè)（1）有以下形式特解：2.常數(shù)變易法----求非齊次線性方程特解有通解:補(bǔ)充條件:則由常數(shù)變易法可設(shè)（1）有以下形式特解：補(bǔ)充條件:所以代入（1）并化簡(jiǎn)得則由常數(shù)變易法可設(shè)（1）有以下形式特解：代入（1）并化簡(jiǎn)得解之得：則由常數(shù)變易法可設(shè)（1）有以下形式特解：若能求得（2）一個(gè)特解則可按以下步驟求得（1）通解：（2）由常數(shù)變易法求出（1）一個(gè)特解：從而得到齊次方程（2）通解：（1）由劉維爾公式求出（2）另一個(gè)特解，（3）寫出方程（1）通解通解例2:求方程解:由劉維爾公式得齊次方程（2）通解為：由常數(shù)變易法，設(shè)所求方程特解為:由得通解例2:求方程解:由常數(shù)變易法，設(shè)所求方程特解為:解方程組得：積分并取一個(gè)原函數(shù)得：作業(yè)：習(xí)題7--5:

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