金牌高二數學（暑期）高頻考點復習資料第3講直線、平面垂直的判定與性質（一）熱點透析TOC\o"1-5"\h\z考查目標i.考查垂直關系的命題的判定；2.考查線線、線面、面面垂直關系的判定和性質；3.考查平行和垂直的綜合問題；4.考查空間想象能力，邏輯思維能力和轉化思想.達成目標1.熟記、理解線面垂直關系的判定與性質定理；2.解題中規范使用數學語言，嚴格證題過程；3.重視轉化思想的應用，解題中要以尋找線線垂直作為突破.（二）知識回顧1.直線與平面垂直

(1)判定直線和平面垂直的方法①定義法.②利用判定定理：一條直線和一個平面內的兩條相交苜辿垂直，則該直線和此平面垂直.③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也這個平面.(2)直線和平面垂直的性質①直線垂直于平面，則垂直于平面內直線.②垂直于同一個平面的兩條直線二③垂直于同一條直線的兩平面一2,斜線和平面所成的角斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角..平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法①定義法.②利用判定定理：一個平面過另一個平面的,則這兩個平面垂直.(2)平面與平面垂直的性質兩平面垂直，則一個平面內垂直于的直線垂直于另一個平面..二面角的有關概念(1)二面角：從一條直線出發的所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一點，在兩個半平面內分別作與棱的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角.［難點正本疑點清源］.兩個平面垂直的性質定理兩個平面垂直的性質定理，即如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面是作點到平面距離的依據，要過平面外一點P作平面的垂線，通常是先作(找)一個過點P并且和“垂直的平面3,設歸a=l,在3內作直線all,則a,a.兩平面垂直的判定(1)兩個平面所成的二面角是直角；(2)一個平面經過另一平面的垂線.附件：當堂過手訓練(快練五分鐘，穩準建奇功！)一平面唾直于另一平面的一條平行線，則這兩個平面的位置關系是4ABC中，/一平面唾直于另一平面的一條平行線，則這兩個平面的位置關系是4ABC中，/ABC=90°,PAX平面ABC,則圖中直角三角形的個數是“、3是兩個/、向的平囿，m、n是平囿口及3之外的兩條/、向的直線，盡。給出四個論斷：①m「；②a±3;③n,3;④m,%以其中三個論斷作為條件，剩余的一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題4.設a,b,c是三條不同的直線，”3是兩個不同的平面，則a，b的一個充分條件是（）A.a±c,b±cB.n3,a?%b?3C.a_La,bHaD.a_La,b_La5.SDL底面ABCD,( )（20115.SDL底面ABCD,( )則下列結論中不正確的是??ACXSBAB//平面SCDSA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角:、高頻考點專題鏈接題型一直線與平面垂直的判定與性質如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PAL底面ABCD,AB±AD,ACXCD,/ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.證明：(1)CD，AE;(2)PD，平面ABE.注意平面圖形中的一些線線垂直探究提高破解此類問題的關鍵在于熟練把握空間垂直關系的判定與性質,注意平面圖形中的一些線線垂直關系的靈活利用，這是證明空間垂直關系的基礎.由于“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”之間可以相互轉化，因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心而展開，這是化解空間垂直關系難點的技巧所在.是平面兀內的一條直線，是平面兀內的一條直線，b是兀外的一條直線(2012陜西)(1)如圖所示，證明命題“(b不垂直于*c是直線b在兀上的投影，若a±b,貝Ua^c”為真;(2)寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假(2)寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假(不需證明).題型二平面與平面垂直的判定與性質2（2012江蘇）如圖，在直三棱柱ABC—AiBiCi中，AiBi=AiCi,D,E分別是棱BC,CCi上的點（點D不同于點C）,且AD，DE,F為BiCi的中點.求證：（i）平面ADE，平面BCCiBi；（2）直線AiF//平面ADE.探究提高面面垂直的關鍵是線面垂直，線面垂直的證明方法主要有判定定理法、平行線法（若兩條平行線中一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面卜面面垂直性質定理法，本題就是用的面面垂直性質定理法，這種方法是證明線面垂直、作線面角、二面角的一種核心方法.

（2011江蘇）如圖，在四棱錐P—ABCD中,平面PAD，平面ABCD,AB=AD,ZBAD=60°,E,F分別是AP,AD的中點.求證：(1)直線EF//平面PCD;(2)平面BEFL平面FAD.題型三線面、面面垂直的綜合應用如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD，平面ABCD,如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD，平面ABCD,ABIIDC,△PAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8,AB=2DC=4>/5.⑴設M是PC上的一點，求證：平面MBD，平面PAD;(2)求四棱錐P-ABCD的體積.探究提高當兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內作交線的垂線,進而可以證明線線垂直.把面面垂直轉化為線面垂直,如圖所示，已知長方體ABCD—AiBiCiDi的底面ABCD為正方形，E為線段ADi的中點，F為線段BDi的中點,(1)求證：EF//平面ABCD;(2)設M為線段CiC的中點，當D孕的比值為多少時，DF，平面DiMB?并說明理由.AD題型四線面角、二面角的求法4如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA，底面ABCD,ABXAD,ACXCD,/ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.(1)求PB和平面PAD所成的角的大?。?2)證明AEL平面PCD;(3)求二面角A—PD—C的正弦值.探究提高(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計算，要把直線與平面所成的角轉化到一個三角形中求解.(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.正方體ABCD—AiBiCiDi中，BBi與平面ACDi所成角的余弦值為(弦值為(2A.V3B.^32C.3答題規范系列2反思總結答題規范系列2解答過程要規范

典例：（12分）如圖所示，M,N,K分別是正方體ABCD—AiBiCiDi的棱AB,CD,C1D1的中點.求證：（1）AN//平面AiMK；（2）平面A1BC平面A1MK.溫馨提醒（1）步驟規范是答題得滿分的最后保證，包括使用定理的嚴謹性，書寫過程的流暢性.（2）本題證明常犯錯誤：①定理應用不嚴謹.如：要證AN//平面A1MK,必須強調AN?平面A1MK.②解題過程不完整，缺少關鍵步驟，如第（1）問中，應先證四邊形ANKA1為平行四邊形.第（2）問中，缺少必要的條件，使思維不嚴謹，過程不流暢.方法與技巧.證明線面垂直的方法（1）線面垂直白勺定義:a與a內任何直線都垂直？a±a；

m、n?a,mAn=A(2)判定定理1:?吐a；l±m,Un(3)判定定理2：a//b,a±o?b±a;TOC\o"1-5"\h\z(4)面面平行的性質：all3,a1a?a±3;(5)面面垂直的性質：a±3,“n3=l,a?a,a±l?a13.證明線線垂直的方法(1)定義：兩條直線所成的角為90°;(2)平面幾何中證明線線垂直的方法；(3)線面垂直的性質：a±a,b?a?a±b;(4)線面垂直的性質：a±a,b//a?a±b..證明面面垂直的方法(1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a?a,a±a13-.轉化思想：垂直關系的轉化判定線線叁直線面塞直面面垂玄性質性質|性質在證明兩平面垂直時一般先從現有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決.失誤與防范.在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義、判定定理和性質定理的聯合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉化..面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據.我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可.固級^習（時間：35分鐘，滿分：57分）一、選擇題（每小題5分，共20分）.設l,m是兩條不同的直線，a是一■個平面，則下列命題正確的是（）A.若1，m,m?a,則l，aB.若1，a,1日m,則m±aC.若1//a,m?a,貝U1//mD.若1//a,m//a,則1//m.已知平面a與平面3相交，直線m,%則（）A.3內必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直3內不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直3內不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直3內必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直.已知m是平面a的一條斜線，點A?a,1為過點A的一條動直線，那么下列情形可能出現的是()B.1±m,1±a1±m,1//a1//m,1//1±m,1//a1//m,1//a.正方體ABCD—A'B'C'D'中，E為A'C'的中點，則直線CE垂直于（C.A'D'A.A'C'C.A'D'二、填空題（每小題5分，共15分）.如圖，/BAC=90°,PC,平面ABC,則在△ABC,△PAC的邊所在的直線中：與PC垂直的直線有;與AP垂直的直線有..如圖，PAL圓O所在的平面，AB是圓。的直徑，C是圓。上的一點,E、F分別是點A在PB、PC上的正投影，給出下列結論:

E、①AF^PB;②EF^PB;③AF^BC;④AE，平面PBC.其中正確結論的序號是..已知平面“，3和直線m,給出條件：①m///；②m，“；③m?a;④a//8當滿足條件時，有m，3.（填所選條件的序號）三、解答題（共22分）.（10分）如圖所示，在斜三棱柱AiBiCi—ABC中，底面是等腰三角形，AiBi=AiCi,側面BBiCiC,底面AiBiCi.7rrIJi（i）若D是BC的中點，求證：ADXCCi;（2）過側面BBiCiC的對角線BCi的平面交側棱于M,若AM=MAi,求證：截面MBCi,側面BBiCiC..（i2分）如圖，在正方體ABCD—AiBiCiDi中，E、F分別是CD、AiDi的中點.(i)求證:ABiXBF;(2)求證：AEXBF;⑶棱CCi上是否存在點P,使BFL平面AEP?若存在，確定點P的位置，若不存在，說明理由.拓?居!說約J（時間：25分鐘，滿分：43分）、選擇題（每小題5分，共15分）TOC\o"1-5"\h\z1.已知l,m是不同的兩條直線，a,3是不重合的兩個平面，則下列命題中為真命題的是（）A.若l_La,a_L3,則l//3B.若l//a,/3,則l//3C.若l,m,a//3,m?氏則l，aD.若l,a,all%,m?8則l^m2.（2012浙江）已知矩形ABCDAB=1,BC=^2,將^ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直D.A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直D.對任意位置，三對直線“AC與BD”,“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直3.已知三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為A.Bf,17C.yD.4、填空題（每小題5分，共15分）.已知P為△ABC所在平面外一點，且PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題：①PALBC;②PBLAC;③PCLAB;④ABLBC.其中正確的個數是..在正四棱錐P—ABCD中，FA=#3AB,M是BC的中點，G是△PAD的重心，則在平面PAD中經過G點且與直線PM垂直的直線有條..已知a、b、l表示三條不同的直線，“、&丫表示