了解棱錐概念/掌握正棱錐性質/會畫正棱錐直觀圖

第49課時棱錐第1頁1．棱錐概念：有一個面是

，其余各面是

三角形，這么多面體叫棱錐．其中有公共頂點三角形叫棱錐

；多邊形叫棱錐

；各側面公共頂點(S)，叫棱錐

，頂點到底面所在平面垂線段(SO)，叫棱錐

(垂線段長也簡稱高)．多邊形有一個公共頂點側面頂點高底面或底第2頁2．棱錐性質

定理：假如棱錐被平行于底面平面所截，那么所得截面與底面相同，截面面積與底面面積比等于頂點到截面距離與棱錐高平方比．3．正棱錐定義：底面是正多邊形，頂點在底面上射影是底面中心棱錐叫正棱錐．4．正棱錐性質：(1)正棱錐各側棱相等，各側面是全等等腰三角形，各等腰三角形底邊上高相等(叫正棱錐斜高)．(2)正棱錐高、斜高、斜高在底面上射影組成一個直角三角形；正棱錐高、側棱、側棱在底面上射影也組成一個直角三角形．第3頁1．(·四川)如圖，已知六棱錐P－ABCDEF底面是正六邊形，PA⊥平面

ABC，PA＝2AB，則以下結論正確是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAED．直線PD與平面ABC所成角為45°答案：D第4頁2．假如四棱錐四條側棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側棱稱為它腰．以下4個命題中，假命題是()A．等腰四棱錐腰與底面所成角都相等B．等腰四棱錐側面與底面所成二面角都相等或互補C．等腰四棱錐底面四邊形必存在外接圓D．等腰四棱錐各頂點必在同一球面上答案：B第5頁3．下面是關于三棱錐四個命題：①底面是等邊三角形，側面與底面所成二面角都相等三棱錐是正三棱錐；②底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形三棱錐是正三棱錐；③底面是等邊三角形，側面面積都相等三棱錐是正三棱錐；④側棱與底面所成角都相等，且側面與底面所成二面角都相等三棱錐是正三棱錐．其中，真命題編號是________．(寫出全部真命題編號)答案：①④第6頁4．已知正三棱錐S－ABC高SO＝h，斜高SM＝l，△A′B′C′為經過SO

中點O′且平行于底面截面，則△A′B′C′面積等于________．答案：(l2－h2)第7頁1．處理棱錐問題可類比平面幾何，空間多面體可分割成若干個棱錐，如三棱 錐可分割成三個體積相等三棱錐．2．棱錐體積公式是V＝Sh.3．棱錐表面積是其底面積加上各個側面面積．第8頁【例1】如圖，四棱錐P－ABCD底面是邊長為a正方形，PB⊥面ABCD.(1)若面PAD與面ABCD所成二面角為60°，求這個四棱錐體積；(2)證實不論四棱錐高怎樣改變，面PAD與面PCD所成二面角恒大于90°.解答：(1)∵PB⊥面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上射影．又DA⊥AB，∴PA⊥DA.∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成二面角平面角．

∴∠PAB＝60°.而PB是四棱錐P－ABCD高，PB＝AB·tan60°＝a，

∴V錐＝

；第9頁(2)證實：不論棱錐高怎樣改變，棱錐側面PAD與面PCD恒為全等三角形．如圖，作AE⊥DP，垂足為E，連結EC、AC，則△ADE≌△CDE.∴AE＝CE，∠CED＝90°，故∠CEA是面PAD與面PCD所成二面角平面角．設PB＝h，則PA＝PC＝，AE＝CE＝，在△AEC中，cos∠AEC＝.則∠AEC>90°.所以，面PAD與面PCD所成二面角恒大于90°.第10頁變式1.正四棱錐棱長均為a，(1)求側面與底面所成角α余弦值；(2)求相鄰兩個側面所成二面角β余弦值；(3)求證：β＝2α. 解答：(1)如圖所表示，作高SO和斜高SE，連結OE， ∵棱錐S－ABCD為正四棱錐，∴OE⊥BC. ∴∠SEO為側面與底面所成角平面角． 由題知∠SEO＝α，∵SE＝a，OE＝a，∴cosα＝.第11頁(2)設SC中點為F，連結BF和DF，∵△BCS和△DCS都是正三角形，∴DF⊥SC，BF⊥SC，∴∠DFB為相鄰兩側面所成二面角平面角，即∠DFB＝β.由DF＝BF＝a，BD＝a，得cosβ＝.(3)證實：∵cos2α＝2cos2α－1＝，0°＜2α＜180°，0°＜β＜180°.∴β＝2α.第12頁 高考中經常以多面體為載體，考查點線面位置關系，證實平行或垂直，處理異面直線成角、直線與平面所成角以及二面角等問題．【例2】如右圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分別為PC、PB中點． (1)求證：PB⊥DM； (2)求BD與平面ADMN所成角．第13頁解答：解法一：(1)證實：因為N是PB中點，PA＝AB，所以AN⊥PB，因為AD⊥面PAB，所以AD⊥PB，從而PB⊥平面ADMN.因為DM?平面ADMN，所以PB⊥DM.(2)如圖，連結DN，因為PB⊥平面ADMN，所以∠BDN是BD與平面ADMN所成角．在Rt△BDN中，sin∠BDN＝，故BD與平面ADMN所成角是.第14頁解法二：如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系A－xyz，設BC＝1，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，M(1，，1)，D(0,2,0)．(1)證實：因為

＝(2,0，－2)·(1，，1)＝0，所以PB⊥DM.第15頁(2)因為

＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0，所以PB⊥AD，又PB⊥DM，且AD∩DM＝D，所以PB⊥平面ADMN，所以〈

〉余角即是BD與平面ADMN所成角．因為cos〈

〉＝，所以.所以BD與平面ADMN所成角為.第16頁變式2.如右圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，點O、D分別是AC、PC中點，OP⊥底面ABC. (1)求證OD∥平面PAB； (2)當k＝時，求直線PA與平面PBC所成角大小； (3)當k取何值時，O在平面PBC內射影恰好為△PBC重心？

第17頁

解法一：(2)如圖，取BC中點E，連結OE，由PO⊥BC，OE⊥BC知平面POE⊥平面PBC，作OG⊥PE，則OG⊥平面PBC，連結DG，則∠ODG為PA與平面PBC所成角，設PA＝2，由k＝知AB＝BC＝1，∴OD＝1，OE＝，

，PO＝.在Rt△POE中，OG＝，在Rt△OGD中，sin∠ODG＝，∴∠ODG＝arcsin.(3)連結OB，由OB⊥PC，則DG⊥PC.∴BD為△PBC中線和高線，則PC＝BC，所以k＝1.第18頁解法二：(2)如右圖，建立空間直角坐標系O－xyz.設PA＝1，則AB＝BC＝k，則A(0，k,0)，P(0,0,)，B(k,0,0)，C(0，k,0)，當k＝時，設平面PBC法向量為n＝(1，y，z)，由得解得∴n＝(1,1，)．cos〈

，n〉＝，∴〈

，n〉＝arccos，即直線AP與平面PBC所成角為.第19頁(3)△PBC重心坐標為G，

，由OG⊥平面PBC得：

，∴

，即k2＝1，則k＝1.第20頁1.利用平面與平面垂直作出點到平面距離進行求解．2．利用三棱錐等體積求高間接求出點到平面距離．3．可利用空間向量計算點到平面距離．第21頁【例3】在三棱錐S－ABC中，如圖，△ABC是邊長為4正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分別為AB、SB中點． (1)證實：AC⊥SB； (2)求二面角N－CM－B大小； (3)求點B到平面CMN距離．解答：解法一：(1)證實：如右圖，取AC中點D，連結SD、DB，∵SA＝SC，AB＝BC，

∴AC⊥SD且AC⊥BD.

∴AC⊥平面SDB.又SB?平面SDB，∴AC⊥SB.第22頁(2)∵AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.過N作NE⊥BD于E，則NE⊥平面ABC；過E作EF⊥CM于F，連結NF，則NF⊥CM.∴∠NFE為二面角N－CM－B平面角．∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.∵SN＝NB，∴

，且ED＝EB.在正△ABC中，由平面幾何知識可求得

.在Rt△NEF中，tan∠NFE＝，∴二面角N－CM－B大小是arctan.第23頁(3)在Rt△NEF中，

，∴S△CMN＝

，S△CMB＝

.設點B到平面CMN距離為h，∵VB－CMN＝VN－CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h＝S△CMB·NE.∴h＝.即點B到平面CMN距離為.第24頁解法二：(1)證實：如圖，取AC中點O，連結SO、OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC.∴SO⊥BO.如右圖建立空間直角坐標系O－xyz.則A(2,0,0)，B(0,，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,)，

．∵

＝(－4,0,0)·(0,，－)＝0，∴AC⊥SB.第25頁(2)由(1)得

，設n＝(x，y，z)為平面CMN一個法向量，則

取z＝1，則x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．又

為平面ABC一個法向量，∴.∴二面角N－CM－B大小為arccos.(3)由(1)(2)得

為平面CMN一個法向量，∴點B到平面CMN距離

.第26頁變式3.如圖，在五棱錐P－ABCDE中，PA＝AB＝AE＝2a，PB＝PE＝2a，

BC＝DE＝a，∠EAB＝∠ABC＝∠DEA＝90°. (1)求證：PA⊥平面ABCDE； (2)求二面角A－PD－E大小； (3)求點C到平面PDE距離．解答：(1)證實：∵PA＝AB＝2a，PB＝2a，∴PA2＋AB2＝PB2，∴∠PAB＝90°，即PA⊥AB.同理PA⊥AE.∵AB∩AE＝A，∴PA⊥平面ABCDE.第27頁(2)∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED.∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED.∴ED⊥平面PAE.如圖，過A作AG⊥PE于G，∴DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE.過G作GH⊥PD于H，連結AH，由三垂線定理得AH⊥PD.∴∠AHG為二面角A－PD－E平面角．在Rt△PAE中，AG＝a.在Rt△PAD中，AH＝a，∴在Rt△AHG中，sin∠AHG＝.∴∠AHG＝arcsin.∴二面角A－PD－E大小為arcsin.第28頁(3)如圖，∵∠EAB＝∠ABC＝∠DEA＝90°，BC＝DE＝a，AB＝AE＝2a，取AE中點F，連結CF，∵AF∥BC，且AF＝BC，∴四邊形ABCF為平行四邊形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE?平面PDE，CF?平面PDE，∴CF∥平面PDE.∴點C到平面PDE距離等于F到平面PDE距離．第29頁∵DE⊥平面PAE.∴平面PAE⊥平面PDE.∴過F作FQ⊥PE于Q，則FQ⊥平面PDE.∴FQ長即F點到平面PDE距離．在△PAE中，PA＝AE＝2a，F為AE中點，FQ⊥PE，∴FQ＝a.∴點C到平面PDE距離為a.第30頁1．要熟練應用棱錐和正棱錐性質，處理棱錐中點、線、面位置關系，主要處理平行和垂直，計算成角和距離等問題．2．經過學習要熟知一些例題和變式