..>信號與系統分析實驗報告實驗工程名稱：離散線性時不變系統分析；連續時間系統分析所屬課程名稱：信號與系統實驗教程實驗類型：驗證型指導教師：班級：學號：姓名：離散線性時不變系統分析一、實驗目的1.掌握離散線性時不變系統的單位序列響應、單位階躍響應和任意鼓勵下響應的MATLAB求解方法。2. 掌握離散線性時不變系統的頻域分析方法；3. 掌握離散線性時不變系統的復頻域分析方法；4.掌握離散線性時不變系統的零極點分布與系統特性的關系。二、實驗原理及方法離散線性時不變系統的時域分析描述一個N階線性時不變離散時間系統的數學模型是線性常系統差分方程，N階線性時不變離散系統的差分方程一般形式為〔2.1〕也可用系統函數來表示〔2.2〕系統函數反映了系統響應和鼓勵間的關系。一旦上式中，的數據確定了，系統的性質也就確定了。特別注意必須進展歸一化處理，即。對于復雜信號鼓勵下的線性系統，可以將鼓勵信號在時域中分解為單位序列或單位階躍序列的線性疊加，把這些單元鼓勵信號分別加于系統求其響應，然后把這些響應疊加，即可得到復雜信號作用于系統的零狀態響應。因此，求解系統的單位序列響應和單位階躍響應尤為重要。由圖2-1可以看出一個離散LSI系統響應與鼓勵的關系。圖2-1離散LSI系統響應與鼓勵的關系(1)單位序列響應〔單位響應〕單位響應是指離散線性時不變系統在單位序列鼓勵下的零狀態響應，因此滿足線性常系數差分方程(2.1)及零初始狀態，即，(2.3)按照定義，它也可表示為(2.4)對于離散線性時不變系統，假設其輸入信號為，單位響應為，則其零狀態響應為(2.5)可見，能夠刻畫和表征系統的固有特性，與何種鼓勵無關。一旦知道了系統的單位響應，就可求得系統對任何輸入信號所產生的零狀態響應。MATLAB提供了專門用于求離散系統沖激響應的函數impz()，其調用格式有[h,n]=impz(b,a)求解離散系統的單位響應，其中，，；[h,n]=impz(b,a,N)求解離散系統的單位響應，采樣點數由N確定，；impz(b,a)：在當前窗口，用stem(n,h)繪出圖形。〔2〕單位階躍響應單位階躍響應是指離散離散時不變系統在單位階躍序列鼓勵下的零狀態響應，它可以表示為(2.6)上式說明，離散線性時不變系統的單位階躍響應是單位響應的累加和，系統的單位階躍響應和系統的單位響應之間有著確定的關系，因此，單位階躍響應也能完全刻畫和表征一個線性時不變系統。MATLAB提供了專門用于求離散系統單位階躍響應的函數stepz()，其調用格式有[s,n]=stepz(b,a)：求解離散系統的單位階躍響應，其中，，；[s,n]=stepz(b,a,N)：求解離散系統的單位階躍響應，采樣點數由N確定，；stepz(b,a)：在當前窗口，用stem(n,s)繪出圖形。〔3〕任意鼓勵下的零狀態響應已經知道，離散線性時不變系統可用常系數線性差分方程(2.1)式來描述，Matlab提供的函數dlsim()能對上述差分方程描述的離散線性時不變系統的響應進展仿真，該函數不僅能繪制指定時間范圍內的系統響應波形圖，而且還能求出系統響應的數值解。其調用格式有dlsim(b,a,*)：求解輸入序列為*的零狀態響應需要特別強調的是，Matlab總是把由分子和分母多項式表示的任何系統都當作是因果系統。所以，利用impz(b,a)，stepz(b,a)，dlsim(b,a,*)函數求得的響應總是因果信號。同時，卷積和也是線性時不變系統求解零狀態響應的重要工具之一。假設系統的輸入信號為，單位響應為，則系統的零狀態響應可由〔2.5〕式求解。Matlab提供了專門用于求離散系統卷積和的函數conv()，其調用格式有y=conv(*,h)：求解序列*，h的卷積和，假設序列*的長度為n1，序列h的長度為n2，卷積和y的長度為n1+n2-1。這一點需要特別注意，否則，作圖時容易造成橫縱坐標長度不匹配。〔4〕帶初始狀態的任意鼓勵下的全響應任意鼓勵下的離散線性時不變系統的全響應為零輸入響應和零狀態響應之和，表示為〔2.7〕Matlab提供了用于求離散系統全響應的函數filter()，其調用格式有y=filter(b,a,*)：求解零狀態響應；y=filter(b,a,*,zi)：求解初始條件為zi的系統的全響應，zi向量的長度為ma*(length(a),length(b))-1，返回值為系統的全響應。z=filtic(b,a,y,*)：將初始狀態轉換為初始條件，其中，；z=filtic(b,a,):將初始狀態轉換為初始條件,2離散線性時不變系統的復頻域〔Z域〕分析〔1〕利用Z變換解差分方程在前面圖2-1中表示了離散系統的響應與鼓勵的關系，由圖可知，系統的響應既可以用時域的方法求解，也可以用Z域的方法求解。當系統輸入序列的Z變換，系統函數時，系統響應序列的Z變換可由求出。Matlab提供了用于求序列Z變換和Z反變換的函數，其調用格式有*=ztrans(*)：求無限長序列*的Z變換，返回Z變換的表達式，注意這里*，*都是符號表達式；*=iztrans(*)：求*〔z〕的Z反變換*(n)，返回Z反變換的表達式，注意這里*，*都是符號表達式；[r,p,c]=residuez(b,a)：把b(z)/a(z)展開成局局部式；[b,a]=residuez(r,p,c):根據局局部式的r、p、c數組，返回有理多項式。〔2〕系統的零極點分布與系統因果性和穩定性的關系因果系統的單位響應一定滿足當時，=0，則其系統函數的收斂域一定包含點，即點不是極點，極點分布在*個圓的圓內，收斂域是圓外區域。系統穩定要求，對照z變換定義，系統穩定要求收斂域包含單位圓。如果系統因果且穩定，收斂域包含點和單位圓，則收斂域可表示為：(2.8)MATLAB提供了用于求系統零極點的函數，其調用格式有roots()：利用多項式求根函數來確定系統函數的零極點位置；roots(a)：求極點位置，a為系統函數分母多項式所構成的系數向量；roots(b)：求零點位置，b為系統函數分子多項式所構成的系數向量；zplane(b,a)：繪制由行向量b和a構成的系統函數的零極點分布圖；zplane(z,p)：繪制由列向量z確定的零點、列向量p確定的極點構成的零極點分布圖。〔3〕系統的零極點分布與系統頻率響應的關系將式(2.2)因式分解，得到(2.9)式中，，是的零點，是其極點。參數影響頻率響應的幅度大小，影響系統特性的是零點和極點的分布。下面采用幾何方法研究系統零極點分布對系統頻率特性的影響。將式(2.9)的分子、分母同乘以，得到：(2.10)假設系統穩定，將代入上式，得到頻率響應(2.11)設，由式(2.11)得到(2.12)在平面上，用一根由零點指向單位圓〔〕上任一點B的向量表示，同樣用一根由極點指向單位圓〔〕上任一點B的向量來表示，和分別稱為零點矢量和極點矢量，用極坐標表示為：，。將和表示式代入式(2.12)，得到(2.13)(2.14)系統或者信號的頻率特性由式(2.13)和式(2.14)確定。按照式(2.13)，知道零極點的分布后，可以很容易地確定零極點位置對系統特性的影響。當點轉到極點附近時，極點矢量長度最短，因而幅度特性可能出現峰值，且極點愈靠近單位圓，極點矢量長度愈短，峰值愈高愈鋒利。如果極點在單位圓上，則幅度特性為，系統不穩定。對于零點，情況相反，當點轉到零點附近時，零點矢量長度變短，幅度特性將出現谷值，且零點愈靠近單位圓，谷值愈接近零。當零點在單位圓上時，谷值為零。綜上所述，極點位置主要影響頻響的峰值位置及鋒利程度，零點位置主要影響頻響的谷值位置及形狀。Matlab提供了專門用于求離散系統頻率響應的函數freqz(),其調用格式如下：[H,w]=freqz(b,a,n)：返回數字系統的n點頻率值〔復數〕，這n個點均勻地分布在[0，π]上，系統默認的采樣點數目為512點；[H,f]=freqz(b,a,n,Fs)：用于對在[0，Fs/2]上等間隔采樣n點，采樣點頻率及相應的頻響值分別存放在f和H中。H=freqz(b,a,w)：用于對在[0，2π]上進展采樣，采樣頻率點由w指定。H=freqz(b,a,f,Fs)：用于對在[0，Fs]上進展采樣，采樣頻率點由f指定。freqz(b,a,n)：用于在當前圖形窗口中繪制幅頻和相頻特性曲線。下面介紹幾個實用的函數：mag=abs(H):求解系統的絕對幅頻響應；db=20*log10((mag+eps)/ma*(mag))：求解系統的相對幅頻響應；pha=angle(H):求解系統的相頻響應；grd=grpdelay(b,a,w):求解系統的群延遲。三、實驗內容，輸入，求系統輸出:主程序如下：clear;clf;clc;n=[-5:20];%設定一個n的觀察范圍h=delta(n-5);*=stepseq(0,-5,20)-stepseq(5,-5,20);[y,ny]=conv_m(*,n,h,n)subplot(2,2,1);stem(n,*);title('*[n]');*label('n');a*is([-5,20,0,1.2]);gridon;subplot(2,2,2);stem(n,h);title('h[n]');*label('n');a*is([-5,20,0,1.2]);gridon;subplot(2,2,3);stem(ny,y);title('y[n]');*label('n');a*is([-5,20,0,1.2]);gridon;functiony=delta(*)y=(*==0);stepseq.m的源程序如下：function[*,n]=stepseq(n0,n1,n2)ifnargin~=3%nargin(numberofargumentsinput)；"~=〞表示不相等disp('Usage:Y=stepseq(n0,n1,n2)');return;elseif((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2))error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=n2')%n0<n1或者n0>n2或者n1>n2endn=[n1:n2];*=[(n-n0)>=0];conv_m.m的源程序如下：function[y,ny]=conv_m(*,n*,h,nh)%Modifiedconvolutionroutineforsignalprocessing%[y,ny]=conv_m(*,n*,h,nh)%y=convolutionresult%ny=supportofy%*=firstsignalonsupportn*%n*=supportof*%h=secondsignalonsupportnh%nh=supportofhifnargin~=4disp('Usage:Y=conv_m(*,n*,h,nh)');return;end;nyb=n*(1)+nh(1);%ny＇sbeginingnye=n*(length(*))+nh(length(h));%ny＇sendny=[nyb:nye];%ny僅僅為了計算一下結果y對應的橫坐標范圍y=conv(*,h);%Convolutionandpolynomialmultiplication;conv為MATLAB的固有函數%conv_m函數比conv函數多用了用于表示橫坐標范圍的ny、n*、nh,因為這里假定二維坐標范圍n*和nh可能從負數開場，所以要重新計算y的橫坐標范圍ny；如果n*和nh均為[0:N]，則可以直接得出ny為[0:2N](正如conv函數中那樣〕；在conv_m和conv函數中，*和h的橫坐標范圍都可以實不相等的思考題：假設,試寫出與的關系，并對MATLAB的仿真結果。解：因為函數是延時器，所以y[n]=*[n]*=*[-]。2.設*線性時不變系統的h[n]=輸入信號為*[n]=求輸出：a：b：〔a〕主程序如下：n=[-5:20];u1=stepseq(0,-5,20);u2=stepseq(6,-5,20);%u1=u[n]；u2=u[n-6]%input*[n]*=u1-u2;%impulseresponseh[n]h=n.**;subplot(3,1,1);stem(n,*);a*is([-52002]);title('InputSequence');ylabel('*[n]');subplot(3,1,2);stem(n,h);a*is([-52006]);title('InpulseResponse');ylabel('h[n]');%outputresponse[y1,ny]=conv_m(*,n,h,n);%conv_m為自定義求卷積的函數subplot(3,1,3);stem(ny,y1);title('OutputSequence');*label('n');ylabel('y_1[n]');〔b〕主程序如下：n=-10:20;u1=stepseq(0,-10,20);u2=stepseq(6,-10,20);%u1=u[n]；u2=u[n-6]%input*[n]*=u1-u2;u3=stepseq(-5,-10,20);u4=stepseq(1,-10,20);%u3=u[n+5]；u4=u[n-1]*1=u3-u4;%impulsersponseh[n+5]h=(n+5).**1;subplot(3,1,1);stem(n,*);a*is([-102002]);title('Inputsequence');ylabel('*[n]');subplot(3,1,2);stem(n,h);a*is([-102006]);title('InpulseResponse');ylabel('h[n+5]');%outputresponse[y2,ny]=conv_m(*,n,h,n);subplot(3,1,3);stem(ny,y2);title('OutputSequence');*label('n');ylabel('y_2[n]');stepseq.m的源程序如下：function[*,n]=stepseq(n0,n1,n2);ifnargin~=3disp('Usage:Y=stepseq(n0,n1,n2)');elseif((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2))error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=2')endn=[n1:n2];*=[(n-n0)>=0];conv_m.m的源程序如下：function[y,cy]=conv_m(*,n*,h,nh)ifnargin~=4disp('Usage:Y=conv_m(*,n*,h,nh)');return;end;nyb=n*(1)+nh(1);nye=n*(length(*))+nh(length(*));ny=[nyb:nye];y=conv(*,h);,輸入，求系統輸出:n=-5:50;u1=stepseq(0,-5,50);u2=stepseq(10,-5,50);%u1=u[n];u2=u[n-10]%input*[n]*=u1-u2;%impluseresponseh[n]h=((0.9).^n).*u1;subplot(3,1,1);stem(n,*);a*is([-52002]);title('InputSequence');ylabel('*[n]');subplot(3,1,2);stem(n,h);a*is([-52006]);title('InpulseResponse');ylabel('h[n]');%outputresponse[y,ny]=conv_m(*,n,h,n);subplot(3,1,3);stem(ny,y);title('OutputSequence');*label('n');ylabel('y[n]');stepseq.m的源程序如下：function[*,n]=stepseq(n0,n1,n2);ifnargin~=3disp('Usage:Y=stepseq(n0,n1,n2)');elseif((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2))error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=2')endn=[n1:n2];*=[(n-n0)>=0];conv_m.m的源程序如下：function[y,cy]=conv_m(*,n*,h,nh)ifnargin~=4disp('Usage:Y=conv_m(*,n*,h,nh)');return;end;nyb=n*(1)+nh(1);nye=n*(length(*))+nh(length(*));ny=[nyb:nye];y=conv(*,h);思考題：在此問題中為無限長序列，在計算卷積和時應如何處理？解：取盡可能多的包含能量分布集中的具有代表性的點4*離散時間線性時不變系統的差分方程為：時的系統沖激響應時的系統階躍響應a=[1,-0.8];b=1;n=[-10:50];*=impseq(0,-10,50);h=filter(b,a,*);%MATLAB固有函數filter表示系統方程ay=b*；*是沖擊信號，則h就是沖擊響應subplot(2,1,1);stem(n,h);title('InpulseResponse');*label('n');ylabel('h[n]');*=stepseq(0,-10,50);s=filter(b,a,*);%*是階躍信號，則s就是階躍響應subplot(2,1,2);stem(n,s);title('StepResponse');*label('n');ylabel('s[n]');impseq.m的源程序如下：function[*,n]=impseq(n0,n1,n2)%Generates*[n]=delta(n-n0)；n1<=n<=n2,n1<=n0<=n2%[*,n]=impseq(n0,n1,n2)＇)；ifnargin~=3disp('Usage:Y=impseq(n0,n1,n2)');return;elseif((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2))error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];*=[(n-n0)==0];stepseq.m的源程序如下：function[*,n]=stepseq(n0,n1,n2);ifnargin~=3disp('Usage:Y=stepseq(n0,n1,n2)');elseif((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2))error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=2')endn=[n1:n2];*=[(n-n0)>=0];連續時間系統分析1.設有兩個穩定的LTI系統，分別可由以下微分方程來描述：；。請分別畫出它們的系統頻率響應的幅值和相位特性曲線。lab41a.m的源程序如下：a=[13];%y'hesystemequationb=3;%*'hesystemequationfreqs(b,a);%freqs為MATLAB中求連續時間系統拉普拉斯變換域〔s域〕的頻率響應的固有函數Lab41b.m的源程序如下：a=[341];%系數矩陣b=[105];%系數矩陣freqs(b,a);%freqs為MA