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第一章極限與連續LIMITANDCONTINUITY

第一節微積分中的極限方法典型問題1面積問題例：求圓盤的面積割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積

第二節數列的極限例如注意：1.數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取2.數列是整標函數問題:當

無限增大時,是否無限接近于某一確定的數值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它.幾何解釋:其中例2證所以,說明:常數列的極限等于同一常數.小結:用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.例4證1.函數在有限點處的極限第三節函數的極限一、函數極限的定義幾何解釋:注意：例1證例2證例4證3.單側極限:例如,左右極限存在但不相等,例5證

例6例7通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用數學語言刻劃函數“無限接近”.另兩種情形:例9證二、極限的性質2.有極限的函數的局部有界性1.極限的唯一性例如,有界無界定理收斂的數列必定有界.證由定義,推論無界數列必定發散.注意：有界性是數列收斂的必要條件.并非充分條件,如定理(保號性)推論3.有極限的函數的局部保號性注意：類似地有:4.函數極限的歸并性定義定理

證例如,函數極限與數列極限的關系函數極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.例

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