第二章習題解答X0,1,2,3,對應的概率為C3kCk概率函數(shù)為

P(Xk) 37 3C340

(k0,1,2,3)XXP00.786510.202220.11230.0001分布函數(shù)為

0,

x00.7865, 0xF(x)0.9887, 1x20.9999, 2x3 ,

x3(1)X的可能取值為1,2,...,k,...,且每次取到正品的概率p7

p

3X的分布率為10 103 7X的分布函數(shù)為

P(Xk)( )k( ) k1,2,3,...10 10F(x)P(Xx)[x]k

3 7)k( )10 107 3 3 [1( )( )2...( )[x10 10 10 7 3 3 3其中[xx

1( )[x]10(2)1034次即可取到正品，XAk

第k（k1,2,3,4Bm

{第m（m1,2,3,，則X的概率函數(shù)為P(X1)P(A)71P(X2)P(A

1021B)P(B)P(21

)

772 1

B 10 9 30P(X3)P(BBA)P(B)P(B

)P(A )1 2 3

1 2B 3BB327 7

1 1 210 9 8 120P(X4)P(BBBA)P(B)P(B

)P(B

)P(A )1 2 3 4

1 2B 3B

4BBB3212 1

1 1 2

1 2 310 9 8 7 120分布函數(shù)為7

x1 , 1x21028F(x) , 2x330119120, 3x4,

x4解因為對0p1，有P(Xk

Ckpkqnk

(nk1)p n P(Xk1) Ckpk1qnkkqn(n1)pk(1q)1(n1)pkkq kqk(n1)pPXkPXk1)k(n1)pPXkPXk1)k(n1)pk(n1)pPXk1)所以，如果(n1)p是整數(shù)，則當k (n1)p1或k (n1)p時，P(Xk)最大；0 0 0如果(n1)p不是整數(shù)，則當k [(n1)p]時，P(Xk)最大。0 0PXk達到最大的k為最可能出現(xiàn)次數(shù)。00, x10.25, 1xF(x)0.75, 2x3,

x3(1)顯然P(X0.5)0.25(2) P(1.5X2.5)F(X2.5)F(X1.5)0.750.250.50(3) P(2X3)F(X3)F(X2)10.250.757.解由概率密度的性質有1

f(x)dx

k dxk1x2故k ，于是F(x)x ft)dt

1 dt1arctgx11

(1t2) 21P(1X1)F(1)F(1) 28.解因為n500005104很大，p0.01%104很小，所以利用泊松分布作近似計算。若記np5，有 5ke P(X k) 則k!(1)0.006738；(2)0.4404939. (1)由公式(2.15)，有P(X)()() (0.32)(0.32)2(0.32)-10.2510(2)類似(1)P(X1.15)0.1200(3)P(X>2.58)1P(X2.58)1P(X)1(2.58)(2.58)10.9950600.0049400.00988010.解若車門的高度為hcm,由題意：P(X 0.1P(Xh)0.99X~N(168,72，因此h168P(Xh)( )0.997查表可知(2.33)0.99010.99即有 h1687于是h16872.33184.3111.解X~N(100,102)100(1)P(X95)(10

)(0.5)0.3085110100 90100P(90X110)( )( )10 10(1)(1)0.6826(2)PXx0.05，必須1PXx0.05，即PXx)10.050.95，亦即x100)0.9510x100故10

1.645X116.45x。12.解若要求P(120X200)0.80，即(200160)120160)(40)(40) ( 2(40)10.80(40)0.90，從而31.25。

f(xdxAexdx

A0

exdx11 即2A1,Af(xe1 2 211

1e1(2) P(0x1)exdx 2 2(3) F(x)x當x0時，

0f(x)dx

x1etdt2F(x)

1x2

etdt1ex2當x0時，10F(x)x edt1edt1xedt11e10t t t x2 2 2 2 0 2ex, x 故F(x) 11ex, x0 2X的密度為 1 , 若axbf (x)baX 0, 其他利用連續(xù)型隨機變量函數(shù)的密度公式，來求Y的密度f(y)，其中ycxd的反函數(shù)xhyyd)c

,h(y)

1c1cc yd 1 ydcf(y)fx(

). , 若a c對于c0，有

0, 其他f c(b 1 , acdf c(b對于c0，有

0, 其他 1 , bcdyacdf(y)c(ba) 0, 其他c0YcXd在[acdbcdc0時，YcXd在[bcdacd上服從均勻分布。15.解(1)當x0或y0時，有F(x,y)P(Xx,Yy)0(2)x1y1F(x,y)1當0x1且0y1時，有Fx,y)xyuvdudvx2y20 0當0x1且y1時，有Fx,y)x1uvdudvx20 0當x1且0y1時，有Fx,y)1yuvdudvy20 0X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為 0,

x或y0x2y2, 0xy1F(x,y)x2, 0xy1y2, xy116.解 X的邊緣分布

,

xy1XXP113132Y的邊緣分布為Y 1 2 3P 1 12 9

118X和YP(X2)P(X2)1

(1)

1，所以2，1，于是1

3 9 99 3 9117.(1)x0y0f(x,y)0F(x,y)0；當0xy2時，11 F(x,y)x yu uvdudv xy1 2 3

x2y21 1

3 3 122F(x,y)xyfu,vdudvx2

(u2 (2x1)x23 3當0x1,y2時，

2F(x,y)xyfu,vdudvx2

(u2 (2x1)x23 31 1 x1,0y2時，

F(x,y)xy當x1,y2時

fu,vdudv1yu21uvdudv1(4y)y3 1200F(,y)xy

f(,ydxdy12(x21xydxdy1300綜上所述，分布函數(shù)為 0, x或y01 y x2y(x), 0xy23 41 F(x)x2y(x), 0xy1 3 4112y(4y), x1,0y2 , x,y2(2)0x時,f x)X-

fx,y)2x2+1xydy2x22x3 30當0y2時,fy)Y-

fx,y)1x2+1xydy11y3 3 60

PXY1)fx,ydxdy1dx2x+1xydy652xy1 0

3 72解當z0Z

(z) 0當0z時,F(z)Z

f(x,y)dxdy3xdxdy3xdxdyxyz

0yx xzyx其中D： D： （圖略）1 0xz 2 zx1則Fz)zdxx3xdy1則Z0 0 z

xx

3xdy

3 1z z32 2當z時,Fz)1dxx3xdx31Z0 0綜上所述，得 0, z03 F(z) zz3, 0z3 Z

2z1故ZXY的分布密度為(1z2), 0zfZ解因為

(z)

0, 其它sink 2

1,0,1,

k4n1k2n (n1,2,...)k4n3所以，Ysin(2

X)只有3個可能取值1,0,1。而取這些值的概率分別為P(Y1)P(X3)P(X7)P(X11