第七章遠(yuǎn)期與期貨定價DeterminationofForwardandFuturesPrices1第七章遠(yuǎn)期與期貨定價DeterminationofF第一節(jié)基礎(chǔ)知識一、利率有關(guān)問題（一）單利對利息不再計算利息，計算公式是：I=AnrF=A(1+nr)式中，I為利息額，A為本金現(xiàn)值，r為每期利率，n為計息期數(shù)，F(xiàn)為本利和（終值）2第一節(jié)基礎(chǔ)知識一、利率有關(guān)問題（一）單利對利息不再計算利(1+r)n也稱為復(fù)利終值系數(shù)。復(fù)利是一種將上期利息轉(zhuǎn)為本金并一并計息的方法。假設(shè)金額A以利率r

投資了n期，投資的終值是：（二）復(fù)利例假設(shè)某投資者將1000元存入銀行，存期5年，年利率10％，按年復(fù)利計息，5年后的終值是1000×(1+10％)5＝1610.51元。3(1+r)n也稱為復(fù)利終值系數(shù)。復(fù)利是一種將上期利息轉(zhuǎn)為本金（三）連續(xù)復(fù)利一定期限內(nèi)提高計復(fù)利的頻率會對復(fù)利終值產(chǎn)生影響。若R為年利率，則式說明一年復(fù)利一次的計算，其中A為投資額（本金現(xiàn)值）。設(shè)一年內(nèi)計m次復(fù)利，年利率為R，投資期限為n年，則終值為：我們通常所說的利率為年利率。但每期不一定恰好是一年，一年可分為2期、4期等。此時，表示出的年利率為名義利率（每年復(fù)利n

次的年利率）。4（三）連續(xù)復(fù)利一定期限內(nèi)提高計復(fù)利的頻率會對復(fù)利終值產(chǎn)生影響設(shè)本金A＝100元，年利率n＝10%，則年末終值如下表所示復(fù)利頻率100元在一年末的終值每年（m=1）110.00每半年（m＝2）110.25每季度（m=4）110.38每月（m＝12）110.47每周（m＝52）110.51每天（m＝365）110.52即：當(dāng)每年復(fù)利一次時，終值為：100×(1+10％)＝110元；m=2時，終值F為：100×(1+5％)2＝110.25元；m＝4時，終值F為：100×(1+2.5％)4＝110.38元；因此，年利率10%（名義）保持不變，提高計復(fù)利的頻率使100元的年末終值增大。當(dāng)m＝365時，終值F＝110.52元。5設(shè)本金A＝100元，年利率n＝10%，則年末終值如下表所示復(fù)終值為:如果將計息次數(shù)m不斷擴大，即計息頻率不斷提高，直到變?yōu)闊o窮大，我們稱之為連續(xù)復(fù)利(continuouscompounding)：若A=100,R＝0.10,n＝1，以連續(xù)復(fù)利計終值為：100e0.1＝110.52元。（與m＝365比較）。6終值為:如果將計息次數(shù)m不斷擴大，即計息頻率不斷提高，直到變（四）利率之間的轉(zhuǎn)換在計息利率（名義）相同時，以連續(xù)復(fù)利計息的終值最大；在終值相同時，連續(xù)復(fù)利的計息利率最小。如果Rc是連續(xù)復(fù)利的利率，Rm為與之等價每年計m次復(fù)利的利率（以年利率表示），則有：所以7（四）利率之間的轉(zhuǎn)換在計息利率（名義）相同時，以連續(xù)復(fù)利計息由此得出：如果分別為m1次與m2次復(fù)利的頻率，則有：8由此得出：如果分別為m1次與m2次復(fù)利的頻率，則有：8根據(jù)題意已知，m=2，Rm＝0.10，Rc＝2ln（1+0.1/2）＝0.09758，即連續(xù)復(fù)利的年息應(yīng)為9.758％例：某特定金額的年息為10%，每半年復(fù)利一次（半年計息一次），求一個等價的連續(xù)復(fù)利的利率。例：假設(shè)某債務(wù)人借款的利息為年息8％，按連續(xù)復(fù)利計息。而實際上利息是一年支付一次。則一年計一次息（m＝1）的等價年利率為：即年利率為8.33％，這說明，對于1000元的借款，該債務(wù)人在年底要支付83.3元的利息。

9根據(jù)題意已知，m=2，Rm＝0.10，例：某特定金額的年息二、現(xiàn)值與貼現(xiàn)現(xiàn)值的計算過程通常被稱作貼現(xiàn)，所用的利率稱為貼現(xiàn)率。（一）現(xiàn)值按貼現(xiàn)率r

計算，n

期后得到的金額F的現(xiàn)值計算公式為：被稱作現(xiàn)值系數(shù)。（二）連續(xù)復(fù)利現(xiàn)值在連續(xù)復(fù)利現(xiàn)值的情況下，按貼現(xiàn)率r計算，n年（期）后得到F元的現(xiàn)值計算公式為：10二、現(xiàn)值與貼現(xiàn)現(xiàn)值的計算過程通常被稱作貼現(xiàn)，所用的利率稱為貼三、投資性商品與消費性商品所謂投資性商品（Investmentassets）系指投資者持有的、用于投資目的的商品（如股票、債券、黃金、白銀等）；消費性商品（Consumptionassets）則主要是用于消費的商品，這類商品一般不用于投資性目的（如銅、石油等）。四、合理的假定1.交易費用為零；2.所有交易的凈利潤適用同一稅率；3.參與者能夠隨時以相同的無風(fēng)險利率借入和貸出資金；4.當(dāng)套利機會出現(xiàn)時，市場參與者將主動、迅速地參與套利活動。11三、投資性商品與消費性商品所謂投資性商品（Investmen第二節(jié)投資性商品的遠(yuǎn)期/期貨合約定價遠(yuǎn)期價格與期貨價格存在區(qū)別。但差別并不非常明顯，尤其是短期，可以將其忽略。因此，討論中所使用的符號一般既適應(yīng)遠(yuǎn)期價格又適應(yīng)期貨價格的分析。符號的界定：T：遠(yuǎn)期合約至到期時的時間間隔（年）；S：遠(yuǎn)期合約標(biāo)的資產(chǎn)的即期價格；F：遠(yuǎn)期價格；K：遠(yuǎn)期合約中的交割價格；f：持有遠(yuǎn)期合約多頭的合約價值r：無風(fēng)險利率12第二節(jié)投資性商品的遠(yuǎn)期/期貨合約定價遠(yuǎn)期價格與期貨價格存一、不支付收益的投資資產(chǎn)遠(yuǎn)期價格

最基本、最易理解的類型。例如期限內(nèi)不支付任何紅利的股票以及貼現(xiàn)債券（零息票債券）或不考慮持有成本的黃金等資產(chǎn)。

13一、不支付收益的投資資產(chǎn)遠(yuǎn)期價格最基本、最易理解的類型。例當(dāng)已知連續(xù)復(fù)利時1.引例若黃金的當(dāng)前價格為$1000，一年后到期的黃金遠(yuǎn)期合約價格為$1050。一年期無風(fēng)險利率為4%（年復(fù)利率），不考慮黃金的持有成本與交易成本。此時，是否存在套利機會？若其他條件不變，遠(yuǎn)期價格變?yōu)?1020，此時是否存在套利機會？結(jié)論：合約到期期限內(nèi)不支付收益資產(chǎn)的當(dāng)前價格為S，到期期限為T

年的遠(yuǎn)期價格為F，無風(fēng)險利率（年復(fù)利利率）為r，則有：14當(dāng)已知連續(xù)復(fù)利時1.引例若黃金的當(dāng)前價格為$1000，一年后2.一般分析資產(chǎn)即期價格為S，遠(yuǎn)期合約到期時間為T，r是無風(fēng)險利率（連續(xù)復(fù)利），F(xiàn)為遠(yuǎn)期價格。構(gòu)造如下兩個投資組合：投資組合A：即期購買1單位資產(chǎn)投資組合B：1單位標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭+數(shù)量為Fe-rT

的現(xiàn)金組合B中，現(xiàn)金以無風(fēng)險利率投資，時間T后其價值為F，正好用來交割合約購買1單位資產(chǎn)。組合B實際上是通過合約多頭和現(xiàn)金組合復(fù)制了組合A中的1單位資產(chǎn)。在時間T后，組合A、B的價值相同。即期購買兩種組合的成本應(yīng)該相等，因而：152.一般分析資產(chǎn)即期價格為S，遠(yuǎn)期合約到期時間為T，r是無風(fēng)Anotherwayofseeingthisresult,considerthefollowingstrategy:

BuyoneunitoftheassetandenterintoashortforwardcontracttosellitforF0attimeT.ThiscostsS0andiscertaintoleadtoacashinflowofF0

attimeT.S0

mustthereforeequalthepresentvalueofF0;thatisS0=F0e-rT,orequivalentlyF0=S0erT

16Anotherwayofseeingthisres3.套利分析假定F>SerT

，投資者可以：(1)以無風(fēng)險利率r即期借入S，期限為T，并購買1單位資產(chǎn)。(2)賣出1單位標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約。在時間T

后，將資產(chǎn)按遠(yuǎn)期合約規(guī)定價格F

賣掉，同時歸還借款本息SerT

，實現(xiàn)無風(fēng)險利潤。若F<SerT

，投資者可以：(1)賣空1單位資產(chǎn)，將所得S

以無風(fēng)險利率r

進行投資，期限為T。(2)購買1單位標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約。在時間T

后，以價格F

交割單位資產(chǎn)，補回賣空的資產(chǎn)。可實現(xiàn)無風(fēng)險利潤。173.套利分析假定F>SerT，投資者可以：(1)以無風(fēng)險討論1，若F＝55套利者可以8％的無風(fēng)險年利率借入50元，買一股股票，并在遠(yuǎn)期市場賣出合約。3個月后套利者賣出股票獲55元，歸還貸款總額51.01元。鎖定收益為55－51.01＝3.99元。例購買一份3個月的股票遠(yuǎn)期合約，股價為50元，3個月期的無風(fēng)險利率（連續(xù)復(fù)利）為8％。S＝50,r＝0.08,T＝0.25.理論遠(yuǎn)期價格F＝50×e0.08×0.25

＝51.01.討論2，若F＝49套利者賣空股票，將所得收入進行投資，并購買3個月遠(yuǎn)期合約。收入以無風(fēng)險利率投資3個月可得51.01元。此時套利者支付49元，交割合約股票，再將股票補回空頭頭寸，凈收益為51.01－49＝2.01元。因此，在無套利的前提下，遠(yuǎn)期價格一定是51.01元。18討論1，若F＝55例購買一份3個月的股票遠(yuǎn)期合約，股價為二、已知現(xiàn)金收益的投資資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格

1.一般結(jié)論其中I為標(biāo)的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期合約有效期間所支付的收益現(xiàn)值（之和）。有些投資資產(chǎn)，如附息債券或支付已知紅利的股票，在持有期限內(nèi)可提供完全預(yù)測的現(xiàn)金收益。19二、已知現(xiàn)金收益的投資資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格1.一般結(jié)論其中I為標(biāo)假定F>（S-I）erT

（1）以無風(fēng)險利率r借入S，期限為T，并購買1單位資產(chǎn)；（2）賣出1單位標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約；（3）將期間獲取的現(xiàn)金收益以無風(fēng)險利率投資。2.套利分析若F＜（S-I）erT

（1）賣空1單位資產(chǎn)，將所得收入S以無風(fēng)險利率r投資，期限為T（2）購買1單位標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約在時間T后，將資產(chǎn)按價格F賣掉的同時，還可獲得現(xiàn)金收益IerT

。歸還借款本息SerT

后，實現(xiàn)現(xiàn)金凈流入>0。在時間T后，以價格F交割單位資產(chǎn)，補回賣空的資產(chǎn)，并需支付現(xiàn)金收益IerT

。這樣，在時刻T實現(xiàn)現(xiàn)金凈流入（利潤）>0。20假定F>（S-I）erT2.套利分析若F＜（S-I）BuyoneunitoftheassetandenterintoashortforwardcontracttosellitforF0attimeT.ThiscostsS0

andiscertaintoleadtoacashinflowofF0

attimeTandincomewithapresentvalueofI.TheinitialoutflowisS0,thepresentvalueoftheinflowsisF0e-rT+I.HenceS0=F0e-rT+IorequivalentlyF0=(S0-I)erTAnotherwayofseeingthisresult,considerthefollowingstrategy:21Buyoneunitoftheassetand案例分析面值1000元債券當(dāng)前價格為900元，息票利率為8％，每半年付息一次。若遠(yuǎn)期合約期限為1年，債券在5年之后到期。在合約有效期限內(nèi)該債券共支付兩次利息，其中第二次付息日是遠(yuǎn)期合約交割日的前一天。6個月期和1年期連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險年利率分別為9％和10％。債券利息的現(xiàn)值：

I=40e-0.09×0.5+40e-0.1×1=38.24+36.19=74.43遠(yuǎn)期價格：F=(900.00-74.43)e0.1×1＝912.39元22案例分析債券利息的現(xiàn)值：I=40e-0.09×0.5+40討論1：若遠(yuǎn)期價格為920元借入900元購買債券，并開立遠(yuǎn)期合約空頭。該債券在6個月之后支付40美元現(xiàn)金收益，其現(xiàn)值為：40e-0.09×0.5=38.24在900元中，38.24元可以以9％的年利率借入6個月，在首次付息日收到40元之后償還本金和利息，余下的861.76元則須以10％的年利率借入1年。1年后所歸還的本利和為：861.76e0.1×1＝952.39債券第二次付息收到40元，以遠(yuǎn)期合約價格賣出債券可獲920元，凈盈利為40+920－952.39＝7.67元討論2：若遠(yuǎn)期價格為910元（略）23討論1：若遠(yuǎn)期價格為920元借入900元購買債券，并開立遠(yuǎn)期三、已知紅利率(KnownYield)投資資產(chǎn)遠(yuǎn)期價格

已知紅利收益率系指表示為資產(chǎn)價格百分比的收益是已知的。如貨幣、股票指數(shù)等可以認(rèn)為屬該類資產(chǎn)。1.一般性結(jié)論假設(shè)已知收益率為q（連續(xù)復(fù)利），則有：投資組合A：即期購買單位資產(chǎn)投資組合B：1單位該標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭+

的現(xiàn)金投資組合A在T時間后其價格正好等于1單位資產(chǎn)的價值。投資組合B中的現(xiàn)金以無風(fēng)險利率投資，T時間后正好可以用于交割一單位資產(chǎn)。即時間T后，投資組合A和B具有相同的價值。期初價值也應(yīng)相同：24三、已知紅利率(KnownYield)投資資產(chǎn)遠(yuǎn)期價格已2.套利分析如果F>Se(r-q)T，套利者可以買入資產(chǎn)，賣出遠(yuǎn)期合約來實現(xiàn)無風(fēng)險利潤：F-Se(r-q)T。如果F<Se(r-q)T，套利者可以買進遠(yuǎn)期合約，賣出資產(chǎn)，在T時刻獲得無風(fēng)險利潤：Se(r-q)T-F。假設(shè)一個6個月期某資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，該資產(chǎn)預(yù)期提供年率6%的連續(xù)紅利收益率，無風(fēng)險利率為每年10%（連續(xù)復(fù)利），資產(chǎn)當(dāng)前價格為60元。此時，S＝60，r＝0.1，T＝0.5，q＝0.06，則該合約的遠(yuǎn)期價格為：F＝60×e(0.1-0.06)*0.5=61.22元252.套利分析如果F>Se(r-q)T，套利者可以買入資產(chǎn)，四、考慮儲存成本的投資類商品遠(yuǎn)期價格對于商品期貨范疇下的投資類商品，如黃金、白銀等，如果不考慮存儲成本，可以視為不支付收益的投資類商品，其遠(yuǎn)期價格為F=SerT若考慮存儲成本。存儲成本可視為負(fù)收益。設(shè)U為合約有效期間所有存儲成本的現(xiàn)值，則有遠(yuǎn)期價格：F=(S+U)erT或F=Se(r+u)Tu為存儲成本與現(xiàn)貨價格的比例

26四、考慮儲存成本的投資類商品遠(yuǎn)期價格對于商品期貨范疇下的投資假設(shè)有黃金的一年期遠(yuǎn)期合約。黃金的存儲成本為每年每盎司2美元，規(guī)定在年底支付。若黃金現(xiàn)貨價格為850美元，連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險利率為每年7%。于是：r=0.07，S=1050，T=1。首先計算儲存成本的現(xiàn)值：U=2e-0.07=1.865。遠(yuǎn)期價格為F=(S+U)erT

=(1050+1.865)e0.0727假設(shè)有黃金的一年期遠(yuǎn)期合約。黃金的存儲成本為每年每盎司2美元對于持有目的主要不是投資的商品，前面的價格分析應(yīng)做調(diào)整。持有消費類商品（庫存）不是因為其具有投資價值，而是因為具有消費價值，能夠為其正常的生產(chǎn)經(jīng)營或消費提供較大的便利，并且存在可能的現(xiàn)貨市場盈利機會。這些好處被稱之為便利收益(convenienceyield)。所以，若存在上述套利機會，他們可能不會積極主動地出售商品購買期貨合約，因為期貨（遠(yuǎn)期）合約不能用作即時的消費或帶來所需的便利。第三節(jié)消費性商品遠(yuǎn)期價格確定28對于持有目的主要不是投資的商品，前面的價格分析應(yīng)做調(diào)整。持有當(dāng)F＞(S+U)erT

時，無論是消費類商品合約還是投資類商品合約都不可能存在，因為套利者可以賣出遠(yuǎn)期合約而購買現(xiàn)貨進行套利，同時不會失去便利收益。而當(dāng)F＜(S+U)erT

時，對于消費類商品合約而言則由于便利收益的存在而有可能長期存在。所以，對于消費類商品及遠(yuǎn)期價格，有：

F≤(S+U)erT

或

F≤Se(r+u)T若便利收益率為y（以連續(xù)復(fù)利表示），則：或29當(dāng)F＞(S+U)erT時，無論是消費類商品合約還是投資3.持有成本對于任何合約，其與現(xiàn)貨價格之間的關(guān)系可以用持有成本(costofcarry)來描述總結(jié)。持有成本定義為商品的存儲成本與購買資產(chǎn)的融資成本（利息）之和減去資產(chǎn)的收益之值。就不支付紅利的股票或零息票債券而言，由于無存存儲成本和任何收益，其持有成本體現(xiàn)為r.對于股票指數(shù)或外幣等商品，持有成本則體現(xiàn)為r-q（資產(chǎn)的收益率為q）.對于儲存成本與價格成比例而無收益的商品而言，持有成本體現(xiàn)為r+u。等。期貨理論價格=現(xiàn)貨價格+持有成本303.持有成本對于任何合約，其與現(xiàn)貨價格之間的關(guān)系可以用持有成設(shè)持有成本率為c。對于投資性資產(chǎn)，遠(yuǎn)期價格為：對于消費性資產(chǎn)，遠(yuǎn)期價格為：(c為年復(fù)利率時）(c和y均為年復(fù)利率時）或或31設(shè)持有成本率為c。對于投資性資產(chǎn)，遠(yuǎn)期價格為：對于消費性資產(chǎn)第四節(jié)遠(yuǎn)期合約估價根據(jù)無套利均衡理論，遠(yuǎn)期合約的均衡價格是保證開倉時合約價值為零的價格。但在開倉之后，遠(yuǎn)期合約的價值將會因遠(yuǎn)期價格的變化而不可能長久保持為零。

一般性遠(yuǎn)期合約的估價方法（多頭）：

f=(F-K)e-rT

當(dāng)f＝0時，遠(yuǎn)期合約價值為0。當(dāng)f>0時，交割價格為K的期貨合約多頭頭寸具有價值。當(dāng)f<0時，交割價格為K的期貨合約空頭頭寸具有價值。32第四節(jié)遠(yuǎn)期合約估價根據(jù)無套利均衡理論，遠(yuǎn)期合約的均衡價格將上述公式與F=SerT

結(jié)合，可得到不支付收益的投資資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約價值（多頭，下同）為：f=S-Ke-rT

與公式F=（S-I）erT

結(jié)合，可以得到已知現(xiàn)金收益（現(xiàn)值為I）投資資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約價值為：

f=S-I-Ke-rT與公式F=Se(r-q)T

結(jié)合，可以得到已知紅利率為q的投資資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約價值為f=

Se-qT-Ke-rT

33將上述公式與F=SerT結(jié)合，可得到不支付收益的投資資產(chǎn)遠(yuǎn)期價格：F＝26×e0.1×0.5＝27.33美元交割價格為K的期貨合約價值：f＝(F－K)e-0.1×0.5＝（27.33－25）e-0.1×0.5

＝2.22美元或：f＝S－Ke-rT＝26－25×e-0.1×0.5＝2.22美元案例假設(shè)一個6個月期的遠(yuǎn)期合約多頭頭寸，標(biāo)的資產(chǎn)為在合約有效期內(nèi)不支付紅利的股票，連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險年利率為10％，股票價格S為26美元，交割價格K為25美元.34遠(yuǎn)期價格：案例34第五節(jié)遠(yuǎn)期價格與期貨價格遠(yuǎn)期價格應(yīng)與期貨價格存在一定差別，這主要是由于結(jié)算方式的不同所導(dǎo)致。理論已證明：當(dāng)無風(fēng)險利率恒定且對所有到期日都相同時，或者利率完全可預(yù)測時，兩個交割日相同的遠(yuǎn)期與期貨合約有同樣的價格。實際上利率會經(jīng)常出現(xiàn)波動.若現(xiàn)貨價格與利率正相關(guān)，期貨價格應(yīng)高于遠(yuǎn)期價格；現(xiàn)貨價格與利率負(fù)相關(guān)性時，期貨價格應(yīng)低于遠(yuǎn)期價格。另外，還有一些影響因素，如稅收、交易成本與保證金因素等；同時，違約風(fēng)險的不同、期貨合約流動性高的不同等事實，同樣也是造成二者可能存在差異的原因之一。不過，有效期較短（如幾個月）的遠(yuǎn)期價格與期貨價格之間的理論差異微乎其微，在大數(shù)情況下可以忽略不計

35第五節(jié)遠(yuǎn)期價格與期貨價格遠(yuǎn)期價格應(yīng)與期貨價格存在一定差第六節(jié)幾種重要的期貨定價概述

一、股票指數(shù)期貨定價股票指數(shù)可以看成證券的組合，持有組合證券的投資者可得到紅利，即計算指數(shù)的各種股票的平均紅利。股票指數(shù)的期貨可以視作支付已知紅利收益率的資產(chǎn).如果指數(shù)中股票組合收到的紅利金額總數(shù)及時間分布可以測算，也可視股票指數(shù)期貨合約為已知收益的證券.

F=Se(r-q)T或F=(S-I)erT36第六節(jié)幾種重要的期貨定價概述一、股票指數(shù)期貨定價36考慮一個S＆P500指數(shù)的3個月期期貨合約。假設(shè)用來計算指數(shù)的股票的紅利收益率為每年3%，指數(shù)現(xiàn)值為400，連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險利率為每年8%。此時，r=0.08,S=400,T=0.25,q=0,03則期貨價格F為：實際上，計算指數(shù)的股票組合的紅利收益率一年可能每周都在變化。

q值應(yīng)代表合約有效期間的平均紅利年收益率。37考慮一個S＆P500指數(shù)的3個月期期貨合約。假設(shè)用來計算指數(shù)二、貨幣期貨定價主要的自由貨幣都有遠(yuǎn)期/期貨交易，如美元、英鎊、日元、加拿大元、歐元等期貨合約。外匯期貨合約的價格通常是用1單位外幣相當(dāng)于若干本幣來表示。以S表示某種貨幣折合成本幣的即期價格，也就是期貨合約標(biāo)的物的市場價格，由于持有任何一種外幣都能使持有者獲得該貨幣的無風(fēng)險利率，以rf表示按連續(xù)復(fù)利計息的外匯的無風(fēng)險利率。F=Se(r-rf)T

反映了外匯期貨理論價格，是國際金融領(lǐng)域著名的利率平價關(guān)系。38二、貨幣期貨定價主要的自由貨幣都有遠(yuǎn)期/期貨交易，如美元、英三、利率期貨定價詳見下章3939專題討論

期貨價格與預(yù)期未來的現(xiàn)貨價格關(guān)系40專題討論

期貨價格與預(yù)期未來的現(xiàn)貨價格關(guān)系40FuturesPrices&ExpectedFutureSpotPricesSupposekistheexpectedreturnrequiredbyinvestorsonanassetWecaninvestF0e–rTnowtogetSTbackatmaturityofthefuturescontractThisshowsthatF0=E(ST)e(r–k)TIftheassethas-no

systematicrisk,thenk=randF0isanunbiasedestimateofST-positivesystematicrisk,then k>randF0<E(ST)-negativesystematicrisk,then k<randF0>E(ST)41FuturesPrices&ExpectedFutu本章結(jié)束42本章結(jié)束42第七章遠(yuǎn)期與期貨定價DeterminationofForwardandFuturesPrices43第七章遠(yuǎn)期與期貨定價DeterminationofF第一節(jié)基礎(chǔ)知識一、利率有關(guān)問題（一）單利對利息不再計算利息，計算公式是：I=AnrF=A(1+nr)式中，I為利息額，A為本金現(xiàn)值，r為每期利率，n為計息期數(shù)，F(xiàn)為本利和（終值）44第一節(jié)基礎(chǔ)知識一、利率有關(guān)問題（一）單利對利息不再計算利(1+r)n也稱為復(fù)利終值系數(shù)。復(fù)利是一種將上期利息轉(zhuǎn)為本金并一并計息的方法。假設(shè)金額A以利率r

投資了n期，投資的終值是：（二）復(fù)利例假設(shè)某投資者將1000元存入銀行，存期5年，年利率10％，按年復(fù)利計息，5年后的終值是1000×(1+10％)5＝1610.51元。45(1+r)n也稱為復(fù)利終值系數(shù)。復(fù)利是一種將上期利息轉(zhuǎn)為本金（三）連續(xù)復(fù)利一定期限內(nèi)提高計復(fù)利的頻率會對復(fù)利終值產(chǎn)生影響。若R為年利率，則式說明一年復(fù)利一次的計算，其中A為投資額（本金現(xiàn)值）。設(shè)一年內(nèi)計m次復(fù)利，年利率為R，投資期限為n年，則終值為：我們通常所說的利率為年利率。但每期不一定恰好是一年，一年可分為2期、4期等。此時，表示出的年利率為名義利率（每年復(fù)利n

次的年利率）。46（三）連續(xù)復(fù)利一定期限內(nèi)提高計復(fù)利的頻率會對復(fù)利終值產(chǎn)生影響設(shè)本金A＝100元，年利率n＝10%，則年末終值如下表所示復(fù)利頻率100元在一年末的終值每年（m=1）110.00每半年（m＝2）110.25每季度（m=4）110.38每月（m＝12）110.47每周（m＝52）110.51每天（m＝365）110.52即：當(dāng)每年復(fù)利一次時，終值為：100×(1+10％)＝110元；m=2時，終值F為：100×(1+5％)2＝110.25元；m＝4時，終值F為：100×(1+2.5％)4＝110.38元；因此，年利率10%（名義）保持不變，提高計復(fù)利的頻率使100元的年末終值增大。當(dāng)m＝365時，終值F＝110.52元。47設(shè)本金A＝100元，年利率n＝10%，則年末終值如下表所示復(fù)終值為:如果將計息次數(shù)m不斷擴大，即計息頻率不斷提高，直到變?yōu)闊o窮大，我們稱之為連續(xù)復(fù)利(continuouscompounding)：若A=100,R＝0.10,n＝1，以連續(xù)復(fù)利計終值為：100e0.1＝110.52元。（與m＝365比較）。48終值為:如果將計息次數(shù)m不斷擴大，即計息頻率不斷提高，直到變（四）利率之間的轉(zhuǎn)換在計息利率（名義）相同時，以連續(xù)復(fù)利計息的終值最大；在終值相同時，連續(xù)復(fù)利的計息利率最小。如果Rc是連續(xù)復(fù)利的利率，Rm為與之等價每年計m次復(fù)利的利率（以年利率表示），則有：所以49（四）利率之間的轉(zhuǎn)換在計息利率（名義）相同時，以連續(xù)復(fù)利計息由此得出：如果分別為m1次與m2次復(fù)利的頻率，則有：50由此得出：如果分別為m1次與m2次復(fù)利的頻率，則有：8根據(jù)題意已知，m=2，Rm＝0.10，Rc＝2ln（1+0.1/2）＝0.09758，即連續(xù)復(fù)利的年息應(yīng)為9.758％例：某特定金額的年息為10%，每半年復(fù)利一次（半年計息一次），求一個等價的連續(xù)復(fù)利的利率。例：假設(shè)某債務(wù)人借款的利息為年息8％，按連續(xù)復(fù)利計息。而實際上利息是一年支付一次。則一年計一次息（m＝1）的等價年利率為：即年利率為8.33％，這說明，對于1000元的借款，該債務(wù)人在年底要支付83.3元的利息。

51根據(jù)題意已知，m=2，Rm＝0.10，例：某特定金額的年息二、現(xiàn)值與貼現(xiàn)現(xiàn)值的計算過程通常被稱作貼現(xiàn)，所用的利率稱為貼現(xiàn)率。（一）現(xiàn)值按貼現(xiàn)率r

計算，n

期后得到的金額F的現(xiàn)值計算公式為：被稱作現(xiàn)值系數(shù)。（二）連續(xù)復(fù)利現(xiàn)值在連續(xù)復(fù)利現(xiàn)值的情況下，按貼現(xiàn)率r計算，n年（期）后得到F元的現(xiàn)值計算公式為：52二、現(xiàn)值與貼現(xiàn)現(xiàn)值的計算過程通常被稱作貼現(xiàn)，所用的利率稱為貼三、投資性商品與消費性商品所謂投資性商品（Investmentassets）系指投資者持有的、用于投資目的的商品（如股票、債券、黃金、白銀等）；消費性商品（Consumptionassets）則主要是用于消費的商品，這類商品一般不用于投資性目的（如銅、石油等）。四、合理的假定1.交易費用為零；2.所有交易的凈利潤適用同一稅率；3.參與者能夠隨時以相同的無風(fēng)險利率借入和貸出資金；4.當(dāng)套利機會出現(xiàn)時，市場參與者將主動、迅速地參與套利活動。53三、投資性商品與消費性商品所謂投資性商品（Investmen第二節(jié)投資性商品的遠(yuǎn)期/期貨合約定價遠(yuǎn)期價格與期貨價格存在區(qū)別。但差別并不非常明顯，尤其是短期，可以將其忽略。因此，討論中所使用的符號一般既適應(yīng)遠(yuǎn)期價格又適應(yīng)期貨價格的分析。符號的界定：T：遠(yuǎn)期合約至到期時的時間間隔（年）；S：遠(yuǎn)期合約標(biāo)的資產(chǎn)的即期價格；F：遠(yuǎn)期價格；K：遠(yuǎn)期合約中的交割價格；f：持有遠(yuǎn)期合約多頭的合約價值r：無風(fēng)險利率54第二節(jié)投資性商品的遠(yuǎn)期/期貨合約定價遠(yuǎn)期價格與期貨價格存一、不支付收益的投資資產(chǎn)遠(yuǎn)期價格

最基本、最易理解的類型。例如期限內(nèi)不支付任何紅利的股票以及貼現(xiàn)債券（零息票債券）或不考慮持有成本的黃金等資產(chǎn)。

55一、不支付收益的投資資產(chǎn)遠(yuǎn)期價格最基本、最易理解的類型。例當(dāng)已知連續(xù)復(fù)利時1.引例若黃金的當(dāng)前價格為$1000，一年后到期的黃金遠(yuǎn)期合約價格為$1050。一年期無風(fēng)險利率為4%（年復(fù)利率），不考慮黃金的持有成本與交易成本。此時，是否存在套利機會？若其他條件不變，遠(yuǎn)期價格變?yōu)?1020，此時是否存在套利機會？結(jié)論：合約到期期限內(nèi)不支付收益資產(chǎn)的當(dāng)前價格為S，到期期限為T

年的遠(yuǎn)期價格為F，無風(fēng)險利率（年復(fù)利利率）為r，則有：56當(dāng)已知連續(xù)復(fù)利時1.引例若黃金的當(dāng)前價格為$1000，一年后2.一般分析資產(chǎn)即期價格為S，遠(yuǎn)期合約到期時間為T，r是無風(fēng)險利率（連續(xù)復(fù)利），F(xiàn)為遠(yuǎn)期價格。構(gòu)造如下兩個投資組合：投資組合A：即期購買1單位資產(chǎn)投資組合B：1單位標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭+數(shù)量為Fe-rT

的現(xiàn)金組合B中，現(xiàn)金以無風(fēng)險利率投資，時間T后其價值為F，正好用來交割合約購買1單位資產(chǎn)。組合B實際上是通過合約多頭和現(xiàn)金組合復(fù)制了組合A中的1單位資產(chǎn)。在時間T后，組合A、B的價值相同。即期購買兩種組合的成本應(yīng)該相等，因而：572.一般分析資產(chǎn)即期價格為S，遠(yuǎn)期合約到期時間為T，r是無風(fēng)Anotherwayofseeingthisresult,considerthefollowingstrategy:

BuyoneunitoftheassetandenterintoashortforwardcontracttosellitforF0attimeT.ThiscostsS0andiscertaintoleadtoacashinflowofF0

attimeT.S0

mustthereforeequalthepresentvalueofF0;thatisS0=F0e-rT,orequivalentlyF0=S0erT

58Anotherwayofseeingthisres3.套利分析假定F>SerT

，投資者可以：(1)以無風(fēng)險利率r即期借入S，期限為T，并購買1單位資產(chǎn)。(2)賣出1單位標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約。在時間T

后，將資產(chǎn)按遠(yuǎn)期合約規(guī)定價格F

賣掉，同時歸還借款本息SerT

，實現(xiàn)無風(fēng)險利潤。若F<SerT

，投資者可以：(1)賣空1單位資產(chǎn)，將所得S

以無風(fēng)險利率r

進行投資，期限為T。(2)購買1單位標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約。在時間T

后，以價格F

交割單位資產(chǎn)，補回賣空的資產(chǎn)。可實現(xiàn)無風(fēng)險利潤。593.套利分析假定F>SerT，投資者可以：(1)以無風(fēng)險討論1，若F＝55套利者可以8％的無風(fēng)險年利率借入50元，買一股股票，并在遠(yuǎn)期市場賣出合約。3個月后套利者賣出股票獲55元，歸還貸款總額51.01元。鎖定收益為55－51.01＝3.99元。例購買一份3個月的股票遠(yuǎn)期合約，股價為50元，3個月期的無風(fēng)險利率（連續(xù)復(fù)利）為8％。S＝50,r＝0.08,T＝0.25.理論遠(yuǎn)期價格F＝50×e0.08×0.25

＝51.01.討論2，若F＝49套利者賣空股票，將所得收入進行投資，并購買3個月遠(yuǎn)期合約。收入以無風(fēng)險利率投資3個月可得51.01元。此時套利者支付49元，交割合約股票，再將股票補回空頭頭寸，凈收益為51.01－49＝2.01元。因此，在無套利的前提下，遠(yuǎn)期價格一定是51.01元。60討論1，若F＝55例購買一份3個月的股票遠(yuǎn)期合約，股價為二、已知現(xiàn)金收益的投資資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格

1.一般結(jié)論其中I為標(biāo)的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期合約有效期間所支付的收益現(xiàn)值（之和）。有些投資資產(chǎn)，如附息債券或支付已知紅利的股票，在持有期限內(nèi)可提供完全預(yù)測的現(xiàn)金收益。61二、已知現(xiàn)金收益的投資資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格1.一般結(jié)論其中I為標(biāo)假定F>（S-I）erT

（1）以無風(fēng)險利率r借入S，期限為T，并購買1單位資產(chǎn)；（2）賣出1單位標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約；（3）將期間獲取的現(xiàn)金收益以無風(fēng)險利率投資。2.套利分析若F＜（S-I）erT

（1）賣空1單位資產(chǎn)，將所得收入S以無風(fēng)險利率r投資，期限為T（2）購買1單位標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約在時間T后，將資產(chǎn)按價格F賣掉的同時，還可獲得現(xiàn)金收益IerT

。歸還借款本息SerT

后，實現(xiàn)現(xiàn)金凈流入>0。在時間T后，以價格F交割單位資產(chǎn)，補回賣空的資產(chǎn)，并需支付現(xiàn)金收益IerT

。這樣，在時刻T實現(xiàn)現(xiàn)金凈流入（利潤）>0。62假定F>（S-I）erT2.套利分析若F＜（S-I）BuyoneunitoftheassetandenterintoashortforwardcontracttosellitforF0attimeT.ThiscostsS0

andiscertaintoleadtoacashinflowofF0

attimeTandincomewithapresentvalueofI.TheinitialoutflowisS0,thepresentvalueoftheinflowsisF0e-rT+I.HenceS0=F0e-rT+IorequivalentlyF0=(S0-I)erTAnotherwayofseeingthisresult,considerthefollowingstrategy:63Buyoneunitoftheassetand案例分析面值1000元債券當(dāng)前價格為900元，息票利率為8％，每半年付息一次。若遠(yuǎn)期合約期限為1年，債券在5年之后到期。在合約有效期限內(nèi)該債券共支付兩次利息，其中第二次付息日是遠(yuǎn)期合約交割日的前一天。6個月期和1年期連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險年利率分別為9％和10％。債券利息的現(xiàn)值：

I=40e-0.09×0.5+40e-0.1×1=38.24+36.19=74.43遠(yuǎn)期價格：F=(900.00-74.43)e0.1×1＝912.39元64案例分析債券利息的現(xiàn)值：I=40e-0.09×0.5+40討論1：若遠(yuǎn)期價格為920元借入900元購買債券，并開立遠(yuǎn)期合約空頭。該債券在6個月之后支付40美元現(xiàn)金收益，其現(xiàn)值為：40e-0.09×0.5=38.24在900元中，38.24元可以以9％的年利率借入6個月，在首次付息日收到40元之后償還本金和利息，余下的861.76元則須以10％的年利率借入1年。1年后所歸還的本利和為：861.76e0.1×1＝952.39債券第二次付息收到40元，以遠(yuǎn)期合約價格賣出債券可獲920元，凈盈利為40+920－952.39＝7.67元討論2：若遠(yuǎn)期價格為910元（略）65討論1：若遠(yuǎn)期價格為920元借入900元購買債券，并開立遠(yuǎn)期三、已知紅利率(KnownYield)投資資產(chǎn)遠(yuǎn)期價格

已知紅利收益率系指表示為資產(chǎn)價格百分比的收益是已知的。如貨幣、股票指數(shù)等可以認(rèn)為屬該類資產(chǎn)。1.一般性結(jié)論假設(shè)已知收益率為q（連續(xù)復(fù)利），則有：投資組合A：即期購買單位資產(chǎn)投資組合B：1單位該標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭+

的現(xiàn)金投資組合A在T時間后其價格正好等于1單位資產(chǎn)的價值。投資組合B中的現(xiàn)金以無風(fēng)險利率投資，T時間后正好可以用于交割一單位資產(chǎn)。即時間T后，投資組合A和B具有相同的價值。期初價值也應(yīng)相同：66三、已知紅利率(KnownYield)投資資產(chǎn)遠(yuǎn)期價格已2.套利分析如果F>Se(r-q)T，套利者可以買入資產(chǎn)，賣出遠(yuǎn)期合約來實現(xiàn)無風(fēng)險利潤：F-Se(r-q)T。如果F<Se(r-q)T，套利者可以買進遠(yuǎn)期合約，賣出資產(chǎn)，在T時刻獲得無風(fēng)險利潤：Se(r-q)T-F。假設(shè)一個6個月期某資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，該資產(chǎn)預(yù)期提供年率6%的連續(xù)紅利收益率，無風(fēng)險利率為每年10%（連續(xù)復(fù)利），資產(chǎn)當(dāng)前價格為60元。此時，S＝60，r＝0.1，T＝0.5，q＝0.06，則該合約的遠(yuǎn)期價格為：F＝60×e(0.1-0.06)*0.5=61.22元672.套利分析如果F>Se(r-q)T，套利者可以買入資產(chǎn)，四、考慮儲存成本的投資類商品遠(yuǎn)期價格對于商品期貨范疇下的投資類商品，如黃金、白銀等，如果不考慮存儲成本，可以視為不支付收益的投資類商品，其遠(yuǎn)期價格為F=SerT若考慮存儲成本。存儲成本可視為負(fù)收益。設(shè)U為合約有效期間所有存儲成本的現(xiàn)值，則有遠(yuǎn)期價格：F=(S+U)erT或F=Se(r+u)Tu為存儲成本與現(xiàn)貨價格的比例

68四、考慮儲存成本的投資類商品遠(yuǎn)期價格對于商品期貨范疇下的投資假設(shè)有黃金的一年期遠(yuǎn)期合約。黃金的存儲成本為每年每盎司2美元，規(guī)定在年底支付。若黃金現(xiàn)貨價格為850美元，連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險利率為每年7%。于是：r=0.07，S=1050，T=1。首先計算儲存成本的現(xiàn)值：U=2e-0.07=1.865。遠(yuǎn)期價格為F=(S+U)erT

=(1050+1.865)e0.0769假設(shè)有黃金的一年期遠(yuǎn)期合約。黃金的存儲成本為每年每盎司2美元對于持有目的主要不是投資的商品，前面的價格分析應(yīng)做調(diào)整。持有消費類商品（庫存）不是因為其具有投資價值，而是因為具有消費價值，能夠為其正常的生產(chǎn)經(jīng)營或消費提供較大的便利，并且存在可能的現(xiàn)貨市場盈利機會。這些好處被稱之為便利收益(convenienceyield)。所以，若存在上述套利機會，他們可能不會積極主動地出售商品購買期貨合約，因為期貨（遠(yuǎn)期）合約不能用作即時的消費或帶來所需的便利。第三節(jié)消費性商品遠(yuǎn)期價格確定70對于持有目的主要不是投資的商品，前面的價格分析應(yīng)做調(diào)整。持有當(dāng)F＞(S+U)erT

時，無論是消費類商品合約還是投資類商品合約都不可能存在，因為套利者可以賣出遠(yuǎn)期合約而購買現(xiàn)貨進行套利，同時不會失去便利收益。而當(dāng)F＜(S+U)erT

時，對于消費類商品合約而言則由于便利收益的存在而有可能長期存在。所以，對于消費類商品及遠(yuǎn)期價格，有：

F≤(S+U)erT

或

F≤Se(r+u)T若便利收益率為y（以連續(xù)復(fù)利表示），則：或71當(dāng)F＞(S+U)erT時，無論是消費類商品合約還是投資3.持有成本對于任何合約，其與現(xiàn)貨價格之間的關(guān)系可以用持有成本(costofcarry)來描述總結(jié)。持有成本定義為商品的存儲成本與購買資產(chǎn)的融資成本（利息）之和減去資產(chǎn)的收益之值。就不支付紅利的股票或零息票債券而言，由于無存存儲成本和任何收益，其持有成本體現(xiàn)為r.對于股票指數(shù)或外幣等商品，持有成本則體現(xiàn)為r-q（資產(chǎn)的收益率為q）.對于儲存成本與價格成比例而無收益的商品而言，持有成本體現(xiàn)為r+u。等。期貨理論價格=現(xiàn)貨價格+持有成本723.持有成本對于任何合約，其與現(xiàn)貨價格之間的關(guān)系可以用持有成設(shè)持有成本率為c。對于投資性資產(chǎn)，遠(yuǎn)期價格為：對于消費性資產(chǎn)，遠(yuǎn)期價格為：(c為年復(fù)利率時）(c和y均為年復(fù)利率時）或或73設(shè)持有成本率為c。對于投資性資產(chǎn)，遠(yuǎn)期價格為：對于消費性資產(chǎn)第四節(jié)遠(yuǎn)期合約估價根據(jù)無套利均衡理論，遠(yuǎn)期合約的均衡價格是保證開倉時合約價值為零的價格。但在開倉之后，遠(yuǎn)期合約的價值將會因遠(yuǎn)期價格的變化而不可能長久保持為零。

一般性遠(yuǎn)期合約的估價方法（多頭）：

f=(F-K)e-rT

當(dāng)f＝0時，遠(yuǎn)期合約價值為0。當(dāng)f>0時，交割價格為K的期貨合約多頭頭寸具有價值。當(dāng)f<0時，交割價格為K的期貨合約空頭頭寸具有價值。74第四節(jié)遠(yuǎn)期合約估價根據(jù)無套利均衡理論，遠(yuǎn)期合約的均衡價格將上述公式與F=SerT

結(jié)合，可得到不支付收益的投資資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約價值（多頭，下同）為：f=S-Ke-rT

與公式F=（S-I）erT

結(jié)合，可以得到已知現(xiàn)金收益（現(xiàn)值為I）投資資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約價值為：

f=S-