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文檔簡介

相關性的判定及有關重要結論1.線性相關與線性組合的關系定理2.相關性的判定定理定理3：在一個向量組中，若有一個部分向量組線性相關，則整個向量組也必定線性相關。推論：一個線性無關的向量組的任何非空的部分向量組都線性無關。解：解：證明定理4.寫成分量形式為對A作初等變換考慮A的r+1階子式按向量形式寫，上式為：0推論1：當m>n時，m個n維向量線性相關。推論2：任意m個n維向量線性無關的充要條件是由它們構成的矩陣A=的秩r(A)=m。推論3：任意n個n維向量線性無關的充要條件是由它們構成的方陣A的行列式不等于零。或r(A)=n.推論4：任意n個n維向量線性相關的充要條件是由它們構成的方陣A的行列式等于零。或r(A)<n.定理5：若m個r

維向量

線性無關，則對應的m個r+1

維向量

也線性無關。用語言敘述為：線性無關的向量組，添加分量后仍舊線性無關。推論：r維線性無關的向量，添加n-r個相應分量組成的n

維向量組仍舊線性無關。證明：向量組的極大無關組滿足定義1：設向量組或則稱的一個極大線性無關組，簡稱極大無關組。極大無關組的含義有兩層：1無關性;2.極大性.注:1.線性無關向量組的極大無關組就是其本身;2.向量組與其極大無關組等價;3.同一個向量組的極大無關組不惟一,但它們之間是等價的.例:求向量組的極大無關組.極大無關組的性質定理1：設有兩個n維向量組若向量組(I)線性無關，且可由向量組(II)線性表示，則rs.證：設推論1：若向量組性表示，且r>s,則向量組線推論2：任意兩個線性無關的等價向量組所含向量的個數相等。定理2：一個向量組的任意兩個極大無關組所含向量的個數相等。向量組的秩定義：向量組的極大無關組所含向量的個數，稱為向量組的秩，記為注：（1）線性無關的向量組的秩=向量的個數。（2）向量組線性無關秩=向量個數。定理3：推論：等價的向量組有相同的秩。必須注意：有相同秩的兩個向量組不一定等價。=n例1：設向量組線性表示,求例2：設有兩個n維向量組若你能舉一個反例嗎？向量組的秩的求法定理4：向量組的秩與該向量組所構成的矩陣的秩相等。行秩：矩陣行向量組的秩；列秩：矩陣列向量組的秩。推論：矩陣的行秩與列秩相等。這實際上給出了一個求向量組秩的方法：先將向量組構成一個矩陣，然后求矩陣的秩，這個秩就是向量組的秩。例1：求向量組的秩。解：極大無關組的求法列擺行變換法。例2：求向量組的秩及極大無關組。（記錄法與逐個考察法就不介紹了。）列擺行變換將矩陣化為梯形陣后，秩即求出來了。這時，只要在同一高度上取一個向量，即可得到極大無關組。如上例，求秩及一個極大無關組。矛盾反例：但，行擺行變換不行！我們已經看到：用矩陣可以解決向量組的

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